函数定义域、值域、表示方法教案

函数的概念——定义域

基础知识

一、函数的概念 1、函数的定义：

设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为. 2、函数的定义域、值域

在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域. 3、函数的三要素：定义域、值域和对应法则.

注意：（1） “()y f x =”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“()y g x =”； （2） 函数符号“()y f x =”中的()f x 表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 二、 区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；

（3）区间的数轴表示．

三、函数定义域的求法 1、求函数定义域的一般原则：

①如果()f x 为整式，其定义域为实数集R ；

②如果()f x 为分式，则其定义域是使分母不等于0的实数集合；

③若()f x 是偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； ④若()f x 是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集；

⑤0

()f x x =的定义域是{|0}x R x ∈≠；

⑥()log a f x x =(01)a a >≠且的定义域是{|0}x x >； ⑦()(01)x f x a a a =>≠且的定义域是实数集R .

B A 、f A x B A B A x x f y ∈=),(A x x f y ∈=),(x x A )(x f y =x y {}

A x x f ∈)()(x f y =

2、 抽象函数的定义域：

①函数()f x 的定义域是指x 的取值范围所组成的集合；

②函数[()]f x ?的定义域还是指x 的取值范围，而不是()x ?的取值范围；

③已知()f x 的定义域为A ，求[()]f x ?的定义域，其实质是已知()x ?的取值范围为A ，求出x 的取值范围；

④已知[()]f x ?的定义域为B ，求()f x 的定义域，其实质是已知[()]f x ?中的x 的取值范围为B ，求出()x ?的范围（值域），此范围就是()f x 的定义域；

⑤同在对应法则f 下的范围相同，即()f t ，[()]f x ?，[()]f h x 三个函数中的t ，()x ?，()h x 的范围相同.

例题精讲

考点一：判断两函数是否为同一个函数

例1、判断下列函数()f x 与()g x 是否表示同一个函数，说明理由？ （1）0()(1)f x x =-；()1g x = （2）()f x x = ；

()g x =

（3）2

()f x x =； 2

()(1)f x x =+ （4）()f x x =

；()g x =

解析：（1）不是，定义域不同 （2）不是，值域不同 （3）是 （4）是 变式训练：例1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1），；

（2），

（3），（n ∈N *

）； （4），；

（5），

2)(x x f =33)(x x g =x

x x f =

)(?

?

?<-≥=;01,01

)(x x x g 1212)(++=n n x x f 1212)()(--=n n x x g x

x f =

)(1+x x x x g +=

2)(12)(2

--=x x x f 12)(2

--=t t t g

解析：（1）不是，值域不同 （2）不是，定义域域不同

（3）是 （4）不是，定义域域不同 （5）是 考点二：求函数定义域 例2、求下列函数的定义域 （1

）2

()232

f x x x =

-- （2

）()f x = （3

）()f x = （4

）()1f x x =

-

（5

）()f x =

解析：（1）1{|0}2

x x x ≤≠-且 （2

）[

（3）[]5,1- （4）[2,1)(1,2]- （5）1

(,][1,)4

-∞-+∞

考点三：抽象函数定义域的求法

例3、（1）已知函数的定义域为，求的定义域.

解析：因为的定义域为，所以在函数中，， 从而，故的定义域是 即本题的实质是求中的范围.

（2）已知的定义域是，求函数的定义域.

解析：因为函数的定义域是，则，从而 所以函数的定义域是.

变式训练1：设()f x 的定义域是[-3，2]

，求函数2)f 的定义域. 解析：要使函数有意义，必须：223≤-≤

-x 得： 221+≤≤-x

∵ x ≥0 ∴ 220+≤≤

x 2460+≤≤x

∴函数)2(-x f 的定域义为：{}

2460|+≤≤x x .

)(x f y =][b a ，)2(+=x f y )(x f y =][b a ，)2(+=x f y b x a ≤+≤222-≤≤-b x a )2(+=x f y ]2,2[--b a b x a ≤+≤2x )2(+=x f y ][b a ，)(x f y =)2(+=x f y ][b a ，b x a ≤≤222+≤+≤+b x a )(x f y =]2,2[++b a

变式训练:2： 若函数(1)f x +的定义域是[2,3]-，求(21)y f x =-的定义域.

解析：5[0,]2

考点四：已知定义域求参数的取值范围 例4、若函数a

ax ax y 1

2+

-=

的定义域是一切实数，求实数a 的取值范围. 解析：2

10ax ax a -+≥恒成立，等价于2

002140a a a a a >?

??<≤??=-?≤??

变式训练：

已知函数y =

R ，求实数a 的取值范围.

解析：依题意，要使函数有意义，必须2430ax ax ++≠，要使函数的定义域为R ，必须方程2430ax ax ++=无解； 当0a =时，2430ax ax ++=无解；

当0a ≠时，方程2

430ax ax ++=的判别式△0<，即2(4)120a a -<

304

a ∴<<

综上可得3

04

a ≤<

时，已知函数的定义域为R . 能力提高

例1、求下列函数的定义域 （1

）y （2

）33

y x =

+-

解析：{|10}x x x ≥=且 解析：{|536}x x x x ≥≤-≠-或且 例2、

若()f x =

A

，()g x =(1)a <的定义域为B ，当B A ?时，求实数a 的取值范围.

解：由题意得(,1)[1,)A =-∞-+∞ ，[2,1]B a a =+ ∴11a +<，12122a a a ≥?<-≥

或 , 又11(,2)[,1]2

a a

例3、若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+

=x f y )41

(-?x f 的定义域. 解析：要使函数有意义，必须：4343454

3434

5

141

11411≤≤-??????≤

≤-≤

≤-???

??

?

≤-

≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+

=x f y )41(-?x f 的定义域为：???

?

??

≤≤-4343|x x

例4、设，则的定义域为（ ） A . ；B . ；C . ；D .

解析：要求复合函数的定义域，应先求的定义域。 由

得，的定义域为，故 解得;故的定义域为.选B. 课堂练习

1、下列个组函数表示同一函数的是（ D ）

1)(1

1

)(.2+=--=x x g x x x f A 与

.()()B f x g x x ==

2.()()C f x x g x ==与 22.()21()21D f x x x g t t t =--=--与

2、若函数

()

y f x =的定义域是[0,2],则函数

(2)

()1f x g x x =

-的定义域是（ B ）

.[0,1]A .[0,1)B .[0,1)(1,4]C .(,1)D -

3、函数的定义域为( D ) A. B. C.[4,0)(0,1]- D.[4,0)(0,1)-

4、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数

1

(2)f x

+的定义域为 .( 50,2??????

,11(,][,)32-∞-+∞ ) ()x x x f -+=22lg

??

? ??+??? ??x f x f 22()()4,00,4 -()()4,11,4 --()()2,11,2 --()()4,22,4 --??

? ??+??? ??x f x f 22)(x f 202x x +>-()f x 22x -<<22,2

22 2.x

x

?

-<

??-<

()()4,11,4x ∈-- ??

?

??+???

??x f x f 22()()4,11,4 --=

)(x f )4323ln(1

22+--++-x x x x x

),2[)4,(+∞--∞ )1,0()0,4( -

5、已知函数

y =R ，求m 的取值范围.

解析：01m ≤≤

课后作业

1. 函数)13lg(13)(2++-=

x x

x x f 的定义域是（ C ）

1.(,)3

A -∞- 11.(,)33

B - 1.(,1)3

C - 1

.(,)3D -+∞

2. 函数＝y R ，则k 的取值范围是（ B ）

.09A k k ≥≤-或 .1B k ≥ .91C k -≤≤ .01D k <≤

3. 设函数()f x 的定义域为[0,1]，则函数2()f x 的定义域为 ；函数2)f 的

定义域为 .（[][]1,1,4,9-） 4. 已知(2)x f 的定义域为[1,2]，则12

(l o g )y f x =的定义域为 .（11,164??

????） 5. 求下列函数的定义域：

（1）2()lg(31)

f x x =++ （2）y =

解析：（1）1,13??- ???

（2）()1,2

6. 已知函数22(1)1

x

y ax a x -=-+-的定义域是R , 求实数a 的范围.

解析：(

33---+

函数的概念——值域

基础知识

一、函数值域的求法

1、基本初等函数的定义域和值域：

①一次函数()(0)f x kx b k =+≠≠的定义域是R ，值域是R ；

②反比例函数()(0)k

f x k x

=≠的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，值域是(,0)(0,)-∞+∞ ； ③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的定义域是R ，当0a >时，值域是[(),)2b

f a

-+∞；当0a <时，值域是(,()]2b

f a

-∞-； 2、求函数值域的常用方法：

①观察法：如求函数1y =

的值域；

②配方法：若函数是二次函数形式即可化为2()(0)f x ax bx c a =++≠型的函数，再配方； ③判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值得范围； ④换元法：

⑤分离常数法：将形如(0)cx d

y a ax b

+=≠+的函数，分离常数； ⑥反函数法：

例题精讲

考点一：求函数的值域 例1、求下列函数的值域

（1）（观察法）y =

（2）

（配方法）2347y x x =-+

（3）（判别式法）2224723x x y x x +-=++ （4）（换元法）y x =（5）（分离常数法）51

42x y x -=+ （6）（反函数法）221

x y x =+ 解析：（1）[0,2] （2）7

[,)3

+∞

（3）9[,2)2

-

（4）1[,)

2

+∞

（5）5

{}

4y R y ∈≠且

（6）[0,1)

考点二：已知值域求参数的取值范围

例2、求使函数222

1

x ax y x x +-=-+的值域为(,2)-∞的a 的取值范围.

解：令22

221

x ax x x +-<-+， 2213

1()024x x x -+=-+> ∴2222(1)x ax x x +-<-+

即2(2)40x a x -++>，此不等式对x R ∈恒成立， ∴△=2[(2)]4140a -+-??< 解得62a -<<，

∴使函数222

1

x ax y x x +-=-+的值域为(,2)-∞的a 得取值范围为{|62}a a -<<.

能力提高

例1、求下列函数的值域： （1）21()1f x x =

+ （2）2

8

()45f x x x =-+

（3

）y x =解析：（1）(0,1] （2）(0,8] （3）(,1]-∞

例2、若函数的值域是，求函数的值域. 解析：可以视为以为变量的函数，令，则

，所以，在

上是减函数，在上是增函数，故的最大值是

，最小值是2. 答案： 课堂练习

1、函数251

x

y x =

+的值域为（ D ） 5.{|}2A y y ≠ .{|0}B y y ≠ .{|25}C y y y ≠≠且 2

.{|}5

D y y ≠

2、函数2

211x

y x -=+的值域为（ B ）

.[1,1]A - .(1,1]B - .[1,1)C - .(,1][1,)D -∞-+∞

()y f x =]3,3

2[()()1

()

F x f x f x =+

)(x F )(x f )(x f t =)33

2

(1≤≤+=t t t F 2

222)1)(1(111t t t t t t F -+=-=-='t t F 1+=]1,32

[]3,1[)(x F 310]3

10

,2[

3、求下列函数的值域：

（1）223y x x =+- (10)x -≤≤ （2）y x =-

解析：2

214y x x =++- 解析：令21

2

t t x +==

2

(1)4x =+- ∴21

()(0)2

t f t t t +=-+≥ ∵10x -≤≤ 21

(1)2

t =-

- ∴函数的值域为[4,3]-- ∴函数的值域为(,0]-∞

（3）22223

1x x y x x -+=-+ （4）311

x y x -=+

解析：∵2213

1()024

x x x -+=-+> 解析：方法一：

∴22(1)223y x x x x -+=-+ 3(1)44

311x y x x +-=

=-++

即2(2)(2)30y x y x y ---+-= ∵

4

01

x ≠+ ① 当2y =时，显然不成立； ∴函数的值域为{|,3}y y R y ∈≠且

② 当2y ≠时，2

2

(2)4(2)(3)0

y y y y ≠??

?=----≥?方法二：31(1)yx y x x +=-≠-

10

23y ?<≤

13y x y

+=- 即函数的值域为10

[2,

]3

. ∴函数的值域为{|,3}y y R y ∈≠且 . 课后作业

1、 求下列函数的值域

（1）1

y =

（2）4y =

解析：2

111x +≥≥ 解析：∵2

2

45(2)99x x x -++=--+≤

10≥ ∴03≤ ∴函数的值域为[0,)+∞ ∴函数的值域为[1,4].

（3）2243

6

x x y x x ++=+- （4

）y x =解析：(1)(3)

(2)(3)x x y x x ++=-+

解析：令212t t x -=?= (1)

(3)(2)

x y x x +?=≠-- ∴21()(0)2t f t t t -=-≥ 2331122x x x -+==+≠-- 21

(1)12

t =-++

当3x =-时，原式25y = ∵1

0()2

t f t ≥?≤

∴函数的值域为2{|,1,}5y y R y y ∈≠≠且且 ∴函数的值域为1

(,]2

-∞.

2、已知函数22()lg[(1)(1)1],f x a x a x =-+++若()f x 的值域为(,)-∞+∞，求实数a 的

取值范围；

解析：要使()f x 的值域为(,)-∞+∞，则对对任意

22,(1)(1)10x R a x a ∈-+++>恒成立

2

1210101110a x a a a =?+>?-==±?

=-?>?不成立（1）当即时，成立

()()22

22

10510131410a a a a a a ?->?-≠?<->??=+--

（2）当时，或

综上所述：a 的取值范围为：

5

(,1](,)

3

-∞-+∞

3、求函数

2121

x x

y -=+的值域. 解析：由题意知1y ≠，从而得

1

20

1x

y y

+=>-，所以11y -<< 所以函数的值域是(1,1)-.

函数的表示法

基础知识

一、函数的表示方法：（1）列表法；（2）图像法；（3）解析法.

二、 映射的概念：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ） 记作：“:f A B →”. 三、 函数解析式的求法： （1）代入法； （2）换元法； （3）待定系数法； （4）消去法；

（5）分段函数的解析式的求法； （6）抽象函数的解析式的求法.

例题精讲

考点一：图表

例1、已知函数，分别由下表给出：

则的值为

；满足的的值是

.

解析：由表中对应值知=；

当时，，不满足条件

当时，，满足条件， 当时，，不满足条件， ∴满足的的值是

()f x ()g x [(1)]f g [()][()]f g x g f x >x [(1)]f g (3)1f =1=x [(1)]1,[(1)](1)3f g g f g ===2=x [(2)](2)3,[(2)](3)1f g f g f g ====3=x [(3)](1)1,[(3)](1)3f g f g f g ====[()][()]f g x g f x >x 2=x

考点二：求函数解析式

例2、（1）（代入法）已知()21f x x =-，求2(1)f x -； 解析：22(1)21f x x -=-+

（2）（换元法）

已知1)f x =+，求()f x ； 解析：2()1f x x =-

（3）（待定系数法）若{[()]}2726f f f x x =+，求一次函数()f x 的解析式； 解析：设()f x ax b =+，则2[()]f f x a x ab b =++，

232{[()]}()f f f x a a x ab b b a x a b ab b =+++=+++

∴3

227

3()32226a a f x x b a b ab b ?==????=+??

=++=???

（4）（消去法）已知1()2()32f x f x x

-=+，求()f x ； 解析：依题意可得：

1()2()322()213()2()2

f x f x x

f x x x f f x x

x ?

-=+???=---?

?-=+?? 变式训练：已知3(1)2(1)2f x f x x ---= ，求()f x 解析：2

()25f x x =+

（5）（分段函数）已知函数()(),()f x f x x R -=-∈，当0x >时，()(5)1f x x x =-+，求()f x 在R 上的解析式；

解析：由()()(0)0f x f x f -=-?=

当0x <时，0x ->，则()(5)1f x x x -=-++，即()()(5)1f x f x x x =--=+-

∴(5)1,0

()0,0(5)1,0x x x f x x x x x -+>??

==??+-

（6）（抽象函数）设()f x 是R 上的函数，且满足(0)1f =，并且对于任意实数,x y 都有

()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的解析式.

解析：令x y =得(0)()(21)1f f x x x x =--+=

2()1f x x x ?=++

变式训练：已知函数()f x 对任意的实数,x y 都有()()2()f x y f x y x y +=++，且(1)1f =，求()f x 的解析式。

解析：令0,1x y ==得(10)(0)2f f +=+

又(1)1(0)1f f =?=-

令0,x y x ==得22()(0)2()21f x f x f x x =+?=-

能力提高

例1、已知1

()=

1+f x x

，求[(1)(2)(3)(4)(2011)]f f f f f ++++++ 111[()()()]122011

f f f +++ 的值.

解析：111

()()11

11f x f x x x

+=+=++

例2、函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，且对于定义域内的任意,x y 都有

()()()f xy f x f y =+，且(2)1f =

，求(

2

f 的值.

解析：(2)1f f f f ==+

=12

f ?=

1(2(2)(222

f f f f =?

=+=

12f ?=-

课堂练习

1、下列对应法则中，构成从集合A 到集合的映射是（ ） A ． B ． C ．

D ． 解析：根据映射的定义知，构成从集合A 到集合的映射是D 2、设f 、g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）： 映射f

映射g

则与相同的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

解析： A ；根据表中的对应关系得，，

3、已知=，则的解析式为 . 解析： 令

，则，∴ .∴. 4、已知函数2

(1)4f x x x -=-，求那么函数()f x ，(21)f x +的解析式. 解析：（换元法）2

2

()23,(21)44f x x x f x x =--+=-

5、已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x 的解析式. 解析：设()(1),(1)f x ax b f x ax a b f x ax a b =+?+=++-=-+ ∴3332222175217ax a b ax a b x ax a b x ++-+-=+?++=+ ∴22

()275177

a a f x x a

b b ==????=+?

?+==??

f B 2||:,},0|{x y x f R B x x A =→=>=2:},4{},2,0,2{x y x f B A =→=-=21:},0|{,x

y x f y y B R A =→>==2

:},1,0{},2,0{x y x f B A =

→==B )]1([g f )]1([f g )]2([f g )]3([f g )]4([f g 1)4()]1([==f g f 1)3()]1([==g f g )11(x x f -+2

2

11x x +-)(x f t x x =-+1111+-=t t x 12)(2+=t t t f 1

2)(2+=x x

x f

课后作业

1、二次函数（∈R ）的部分对应值如下表：

则不等式的解集是 .

解析：由表中的二次函数对应值可得，二次方程的两根为－2和3，又根

据且可知，所以不等式的解集是. 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()

f x 的解析式. 解析：（待定系数法）2()21f x x x =--

3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，求()f x 的解析式. 解析：（消去法）4

()33

f x x =

-

4、

设()f x 是R 上的奇函数（()()f x f x -=-），且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x

=，

（1）则当(,0)x ∈-∞时求()f x 的解析式；（2）求()f x 在R 上的解析式. 解析：（1）()

(),00,x x ∈-∞

-∈+∞当时，则 ∴((()11f x x x -=-=-

又()()f x f x -=- ∴(()()()1,,0f x f x x x =--=-∈-∞

（2）((()1,[0,)

()1,,0x x f x x x ?∈+∞?

=?∈-∞??

c bx ax y ++=2x 02

<++c bx ax 02

=++c bx ax )2()0(-a )3,2(-