高中数学立体几何常考证明题汇总

新课标立体几何常考证明题汇总

1、已知四边形A B C D 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形

（2） 若

BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。

证明：在ABD ?中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1//,2E H B D E H B D =

同理，1//,2

F G B D F G B D =∴//,EH FG EH FG =∴四边形E F G H 是平行四边形。

(2) 90° 30 °

考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角

2、如图，已知空间四边形A B C D 中，,BC AC AD BD ==，E 是A B 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE;

（2）平面C D E ⊥平面ABC 。 证明：（1）

B C A C C E A B A E B E =?

?⊥?=?

同理，

A D

B D D E A B A E B E =?

?⊥?=?

又∵C E D E E ?= ∴AB ⊥平面C D E

（2）由（1）有AB ⊥平面C D E

又∵AB ?平面ABC ， ∴平面C D E ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定

A

H

G

F

E

D C

B A

E

D

B

C

3、如图，在正方体1111ABC D A B C D -中，E 是1A A 的中点， 求证： 1//A C 平面BD E 。

证明：连接A C 交B D 于O ，连接E O ， ∵E 为1A A 的中点，O 为A C 的中点 ∴E O 为三角形1A A C 的中位线 ∴1//EO A C 又E O 在平面BD E 内，1A C 在平面BD E 外

∴1//A C 平面BD E 。 考点：线面平行的判定

4、已知A B C ?中90ACB ∠= ,SA ⊥面ABC ,A D SC ⊥,求证：AD ⊥面S B C ． 证明：90A C B ∠=∵° B C A C ∴⊥

又SA ⊥面ABC S A B C ∴⊥ BC ∴⊥面S A C B C A D ∴⊥

又,SC AD SC BC C ⊥?=A D ∴⊥面S B C 考点：线面垂直的判定

5、已知正方体1111ABC D A B C D -，O 是底A B C D 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11A B D ；(2)1A C ⊥面11A B D ． 证明：（1）连结11A C ，设

11111

A C

B D O ?=，连结1AO

∵ 1111ABC D A B C D -是正方体 11A AC C ∴是平行四边形

∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =

11AO C O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴?

∥面11A B D ，1C O ?面11A B D ∴C 1O ∥面11A B D （2）1C C ⊥ 面1111A B C D 11

!C C B D ∴⊥ 又

1111

A C

B D ⊥∵， 1111B D A

C C ∴⊥面 111A C B

D ⊥即

同理可证

11

A C AD ⊥， 又

1111

D B AD D ?=

∴1A C ⊥面11A B D

考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定

A

E

D 1

C

B 1

D

C

B

A

S

D

C

B

A

D 1

O

D

B

A

C 1

B 1

A 1

C

N

M P

C

B

A

6、正方体''''A B C D A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面.

考点：线面垂直的判定

7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ， 又BD ?平面B 1D 1C ，B 1D 1?平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ． 同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．

而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．

(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．

从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

8、四面体A B C D 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，

且2

EF AC =

，

90BDC ∠=

，求证：B D ⊥平面A C D

证明：取C D 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴E G 12

//A C =

12

//F G B D =，又,AC BD =∴12

F G A C =

，∴在E F G ?中，22

2

2

1

2

E G

F

G A C

E F +=

=

∴E G F G ⊥，∴B D A C ⊥，又90BDC ∠=

，即BD C D ⊥，A C C D C ?=

∴B D ⊥平面A C D

考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形

9、如图P 是A B C ?所在平面外一点，,P A P B C B =⊥平面P A B ，M 是P C 的中点，N 是A B 上的点，

3A N N B =

（1）求证：M N A B ⊥；（2）当90APB ∠=

，24A B B C ==时，求M N 的长。 证明：（1）取P A 的中点Q ，连结,MQ NQ ，∵M 是P B 的中点， ∴//M Q BC ，∵ C B ⊥平面P A B ，∴ MQ ⊥平面P A B ∴Q N 是M N 在平面P A B 内的射影 ，取 A B 的中点D ，连结 P D ，∵,P A P B

=∴PD AB ⊥，又3A N N B =，∴BN N D =

∴//QN PD ，∴QN AB ⊥，由三垂线定理得M N A B ⊥

（2）∵90APB ∠=

，,PA PB =∴122

P D A B =

=，∴1QN =，∵MQ ⊥平面P A B .∴MQ NQ ⊥，且

112

M Q B C =

=

，∴MN =考点：三垂线定理

A

1

10、如图，在正方体1111ABC D A B C D -中，E 、F 、G 分别是A B 、A D 、11C D 的中点.求证：平面1D E F ∥平面B D G .

证明：∵E 、F 分别是A B 、A D 的中点，∴E F ∥B D 又E F ?平面B D G ，BD ?平面B D G ∴E F ∥平面B D G

∵1D G

E B ∴四边形1D G BE 为平行四边形，1D E ∥G B

又1D E ?平面B D G ，G B ?平面B D G ∴1D E ∥平面B D G

1EF D E E

?=，∴平面1D E F ∥平面B D G

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）

11、如图，在正方体1111ABC D A B C D -中，E 是1A A 的中点. （1）求证：1//A C 平面BD E ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BD E . 证明：（1）设A C B D O ?=，

∵E 、O 分别是1A A 、A C 的中点，∴1A C ∥E O

又1A C ?平面BD E ，E O ?平面BD E ，∴1A C ∥平面BD E （2）∵1A A ⊥平面A B C D ，BD ?平面A B C D ，1AA BD ⊥ 又B D A C ⊥，

1AC AA A

?=，∴B D ⊥平面1A A C ，BD ?平面BD E ，∴平面B D E ⊥平面1A A C

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定

12、已知A B C D 是矩形，

P A ⊥平面A B C D ，2A B =，4PA AD ==，E 为B C 的中点．

（1）求证：D E ⊥平面P A E ；（2）求直线D P 与平面P A E 所成的角． 证明：在AD E ?中，222AD AE DE =+，∴AE D E ⊥ ∵P A ⊥平面A B C D ，D E ?平面A B C D ，∴PA D E ⊥ 又PA AE A ?=，∴D E ⊥平面P A E （2）D PE ∠为D P 与平面P A E 所成的角

在R t P A D ?，PD =，在R t D C E ?中，DE =在R t D E P ?中，2PD D E =，∴0

30DPE ∠= 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形

13、如图，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是0

60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，

且平面PAD 垂直于底面A B C D ．

（1）若G 为A D 的中点，求证：B G ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；

（3）求二面角A B C P --的大小． 证明：（1）ABD ?为等边三角形且G 为A D 的中点，∴B G A D ⊥ 又平面PAD ⊥平面A B C D ，∴B G ⊥平面PAD

（2）PAD 是等边三角形且G 为A D 的中点，∴A D P G ⊥

且A D B G ⊥，P G B G G ?=，∴AD ⊥平面PBG ，

PB ?平面PBG ，∴AD PB ⊥

（3）由AD PB ⊥，A D ∥B C ，∴B C P B ⊥ 又B G A D ⊥，A D ∥B C ，∴BG BC ⊥

∴P B G ∠为二面角A B C P --的平面角

在R t P B G ?中，P G B G =，∴045PBG ∠=

考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）

14、如图1,在正方体1111ABC D A B C D -中，M 为1C C 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ． 证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，

1A A AC A

?=，

∴DB ⊥平面11A AC C ，而1A O ?平面11A AC C ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则2

2132

A O a =

，2

2

34

M O a =

．

在Rt △11A C M 中，

2

2

194

A M a =

．∵2

2

2

11A O M O A M +=，∴1

A O O M ⊥

．

∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ．

考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直

15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ， 作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵A C B C =，∴C F A B ⊥．

∵AD BD =，∴D F AB ⊥．

又CF DF F = ，∴AB ⊥平面CDF ． ∵C D ?平面CDF ，∴C D AB ⊥． 又C D B E ⊥，BE AB B ?=， ∴C D ⊥平面ABE ，C D AH ⊥．

∵AH C D ⊥，AH BE ⊥，C D BE E ?=，

∴ A H ⊥平面BCD ．

考点：线面垂直的判定

16、证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1D

A

证明：连结AC

B D A

C ∵⊥∴ AC 为A 1C 在平面AC 上的射影

∴⊥⊥?

??

?⊥BD A C

A C BC A C BC D

11111同理可证平面

考点：线面垂直的判定，三垂线定理

17、如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．

证明∵SB=SA=SC ，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取BC 的中点O ，连AO 、SO ，则AO ⊥BC ，SO ⊥BC ，

∴∠AOS 为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a ，又∠BSC=90°，∴BC=

2a ，SO=22

a ，

AO 2

=AC 2

－OC 2

=a 2

－21

a 2

=21

a 2

，∴SA 2

=AO 2

+OS 2

，∴∠AOS=90°，从而平面ABC ⊥平面BSC ．

考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）