(精校版)新课标Ⅱ理数卷文档版(有答案)-2015年普通高等学校招生统一考试

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

(1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B =∧

（A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝

(2) 若a 为实数且（2+ai ）（a -2i ）=-4i ,则a =

（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2

(3) 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是

.

2013年

2012年2011年2010年2009年2008年2007年2006年2005年2004年2 7002 6002 5002 4002 3002 2002 1002 0001 900

（A ） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著. （B ） 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效. （C ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势. （D ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关. （4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 =

（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84

（5）设函数211log (2),1(),2,1

x x x f x x -+-?=?≥?则2(2)(og 12)f f l -+=

（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）

12

（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与

剩余部分体积的比值为 （A ）

81 （B ）71 （C ）61 （D ）5

1 （7）过三点A （1,3），B （4,2），C （1,-7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =

（A ）26 （B ）8 （C ）46 （D ）10

（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a ,b 分别为14,18，则输出的a =

（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）14

a=a-b

b=b-a

否

是

a>b

a ≠b

是

否

结束

输出a

输入a,b

开始

（9）已知A ,B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为

A ．36π

B .64π

C .144π

D .256π

(10).如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，∠BOP =x.将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为

(D)

(C)

(B)(A)

x

y

π4

π2

3π4

π

2

2

π

3π4

π2

π4

y

x

x

y

π4

π2

3π4

π

2

2π

3π4

π2

π4

y

x

X

P

O D

C

B

A

（11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，?ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为

A ．5

B ．2

C ．3

D ．2

（12）设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当x >0时，'()()xf x f x -＜0，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是

A ．()(),10,1-∞-?

B ．()()1,01,-?+∞

C ．()(),11,0-∞-?-

D ．()()0,11,?+∞

第Ⅱ卷

二、填空题本大题共四个小题，每小题5分。

（13）设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ= ；

（14）若x ，y 满足约束条件10,

20,220,x y x y x y -+≥??

-≤??=-≤?

，则z x y =+的最大值为____________ ；

（15）4

()(1)a x x ++ 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则α=__________； （16）设S n 是数列{a n }的前项和，且1111,n n n a a s s ++=-=，

则S n =___________________．

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）

?ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，?ABD 是?ADC 面积的2倍。 (Ⅰ)求 sin sin B

C

； (Ⅱ) 若AD =1，DC =22 ，求BD 和AC 的长．

(18) (本小题满分12分）

某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

9

87654

B 地区

A 地区

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分 低于70分 70分到89分

不低于90分 满意度等级

不满意

满意

非常满意

记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率。

（19）(本小题满分12分）

如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中AB =16，BC =10，AA 1=8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E =D 1F =4，过点E ，F 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面 所成角的正弦值.

E

F

D 1

C 1

B 1

A 1

D C

B

A

（20）(本小题满分12分）

已知椭圆C ：2229x y m +=(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .

(Ⅰ) 证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(

,)3

m

m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．

（21）(本小题满分12分） 设函数2

()mx

f x e

x mx =+-.

(Ⅰ)证明：f (x )在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；

(Ⅱ)若对于任意x 1,，x 2∈[-1,1]，都有｜f (x 1)- f (x 2)｜≤e -1，求m 的取值范围．

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与△ABC 的底边BC 交于M 、N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E 、F 两点. (Ⅰ)证明：EF ∥BC

(Ⅱ) 若AG 等于圆O 的半径，且AE=MN=,求四边形EBCF 的面积.

O

D

G

N M

F

E

C

B

A

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos ,

sin ,x t y t α=??

=??

（t 为参数，t ≠0）其中0α

π≤，在以

O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：23cos ρθ=. (Ⅰ).求C 2与C 3交点的直角坐标；

(Ⅱ).若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.

（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+，证明： (Ⅰ) 若ab >cd ，则a b c d +>+； (Ⅱ) a b c d +>+是||||a b c d ->- 的充要条件.

答案：

一，选择题

（1） A （2）B （3）D （4）B （5）C （6）D （7）C （8）B （9）C （10）B （11）D （12）

A

二，填空题

（13）12（14）32（15）3（16）1

n -

三．解答题 (17)解

（Ⅰ）

ABD S

=12AB

?ADsin ∠BAD,

ADC S

=1

2AC ?ADsin ∠CAD,

因为

ABD S

=

2ADC s

,∠BAD,= ∠CAD,所以AB=2AC

由正玄定理可得

sin 1sin 2

B A

C C AB ∠==∠

（Ⅱ）因为

ABD S

：

ADC S

=BD ：

DC,所以BD=2. 在?ABD 和?ADC 中，有余弦定理

2AB =2AD +2BD -2AD COS BD ADB ∠

2AC =2AD +2DC -2AD COS BD ADC ∠

故2

AB +22AC =23AD +2BD +2

2DC =6 由（Ⅰ）知AB=2AB,所以AC=1 (18)

（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下

通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区永华满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散。

（Ⅱ）记1A c 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或者非常满意”；

2A c 表示事件：

“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； 1B c 表示事件：

“B 地区用户的满意度等级为不满意”； 2B c 表示事件：

“B 地区用户的满意度等级为满意”；

则1A c 与1B c 独立，2A c 与2B c 独立，1B c 与2B c 互斥，C=1B c 1A c 2B c 2A c

P(C)=P(1B c 1

A c 2

B c 2A c )

= P(1B c 1A c )+(2B c 2A c ) =P(1B c )P(1A c )+P(2B c )P(2A c )

由所给数据得1A c ，2A c ，1B c ，2B c 发生的频率分别为1620，420，1020，820，故P(1A c )=16

20

P(1A c )=1620,P(2A c )=420,P(1B c )=1020,P(2B c )=8

20， P(C)= 1020?1620?820?

420

=0.48

(19)

解：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：

（Ⅱ）作EM ⊥AB,垂足为M ，则AM=1A E=4，EM=AA 1=8 因为EHGF 为正方形，所以EH=EF=BC=10 于是MH=22EH EM -=6，所以AH=10.

以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则 A(10,0,0), H(10,10,0), E(10,4,8,),

=(10,0,0) FE =(10,0,0), HE =(0,-6,8).

设n=(x,y,z)是平面EHGF 的法向量，则 0,n FE ?= 即10x=0

0n HE ?= ?6y+8z=0

所以可取n=(0,4,3). 又AF =（-10,4,8），故

所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为

（20）解：

（1） 设直线l:y=kx+b(k ≠0,b ≠0),A(1x ，1y )，B （2x ，2y ），M （M x ,M y ） 将y =kx+b 代入92

x +2y =2m 得（2k +9_）2x +2kbx+2

b -2

m =0,故

m x =

12+x 2x =2+9

kb

k -，M y =k M x +b=299b k +. 于是直线OM 的斜率OM k =

y x M M

=?9

K ,即OM k ?k =?9 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值

（2）四边形OAPB 能为平行四边形.

因为直线l 过点（3m ，m ）,所以l 不过原点且与C 有两个交点的冲要条件是k>0,k ≠3 由（1）得OM 的方程为y =?9

k

x 设点p 的横坐标为p x .

由22299y x k x y m ?

=-?

??+=?

得2

p x =222981k m k +，即p x =239

km

k ±+

将点（

3m ，m ）的坐标代入l 的方程得b=(3)3m k -,因此M x =2(3)3(9)

k k m

k -+

四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即p x =2M x . 于是

239

km k ±+=2×

2

(3)3(9)

k k m

k -+，解得1k =4?7，2k =4+7 因为1k >0, 1k 3≠,i=1,2,所以当l 的斜率为4?7或4+7时，四边形OAPB 为平行四边形

(21)解： （1）

()()'12mx f x m e x

=-+

若

()0,x ,0m ≥∈-∞则当时，'e 10,()mx

f x -≤<0，

当x ()0,e 1mx ∈+∞-时，()'0,f x ≥>0. 若m <0,则当x ∈(),0e 1mx -∞-时，>0,()'f x <0, 当x ()0,e 1mx ∈+∞-时，<0,'f (x)>0.

所以，()()()00f x -∞∞在，单调递减，在，+单调递增

(2)由（1）知，对任意的m,()[][]1,00,1f x -在，单调递减，在单调递增，故

()[]12x 0,1,1,

f x x =∈-在处取得最小值.所以对于任意x ()()121f x f x e -≤-的充要条件是

???()()101,f f e -≤-即???

1m e m e -≤-

(1)(0)1f f e --≤- 1m e m e -+≤-

设函数()()'

'

1,g'1g t e t e t e =--+=-则

当t <0时，()'

g t <0；

当t >0时，()'

g t >0.

故()()(),00g t -∞+∞在单调递减，在，单调递增. 又()1

g 10,(1)2g e e -=-=+-<0，故当t ∈[]()1,1g 0t -≤时，.

当m ∈[]()()1,1g 0,0,m g m -≤-≤时，即1式成立； 当m >1时，由g(m)的单调性，g(m) >0即m

e —m>e-1 当m <-1时，g(-m) >0,即2

e -m>e-1 综上，m 的取值范围是[]1,1-

（22） 解：

（Ⅰ）由于ABC ?是等腰三角形，AD ⊥BC,所以AD 是CAB ∠的平分线，又因为O 分别

与AB,AC 相切于点E,F,所以AE=A F 故AD ⊥EF 从而EF BC （Ⅱ）有（Ⅰ）,知故是的垂直平分线又为的弦，所以在上链接则 由等于的半径的，所以，因此和都是等边三角形 因为AE=23，所以AO=4，OE=2

因为所OM=OE=2,DM=12MN=3,所以、OD=1 于是AD=5，AB=

103

3

所以四边形EBCF 的面积为

12X(1033)2X 32-12X(23)2X 32=1633

(23)解：

（Ⅰ）曲线

2c 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3c 的直角坐标方程为

22230x y x +-=。

联立

2222

20230x y y x y x ?+-=??+-=?? 解得00

x y =??=? 或3

232

x y ?=??

?

?=??

所以2c 与3c 交点的直角坐标为（0,0）和（

32

，32）。 （Ⅱ）曲线1c 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠,其中0α≤0απ≤＜ 因此A 的极坐标为（2sin α,α）,B 的极坐标为（23cos ,αα）。 所以AB =2sin 23cos α-=4sin()3

π

α-

当α=56

π

时，AB 取得最大值，最大值为4.

(24) 解：

（Ⅰ）因为

(

)2

a b

+=a+b+2

ab ,

(

)

2

a b +-a+b+2cd

由题设a+b=c+d,ab >

cd 得(

)2

a b

+>()2

c d

+

因此a +b >

c +d

（Ⅱ）(i)若a b -＜c d -，则（a-b ）

2

＜（c-d ）

2

，即

(a+b)2

-4ab ＜(c+d)2

-4ad

因为a+b=c+d ，所以ab >

cd 由（Ⅰ）a +b 得c +d （ii ）若a +b >

c +

d ，则(a +b )2，即

a+b+2ab

>

c+d 2cd

因为a+b=c+d ，所以ab >

cd ，于是 (a-b)2

= (a+b)2

-4ab ＜(c+d)2

-4cd=(c-d)2

因此

a b

-＜

c d -

综上a +b ＜

c +

d 是a b

-＜

c d -的充要条件