2004年第四十五届IMO试题(不含答案)

第四十五届（2004年）

希腊 雅典（Athens ，Greece ）

1. 设ABC 为锐角三角形且AB ≠AC 。直径为BC 的圆交边AB 和AC 分别于M 和N 。定义O 为边BC 的中点。∠BAC 的平分线和∠MON 的平分线交于R 。求证：三角形BMR 的外接圆和三角形CNR 的外接圆在边BC 上有公共点。（罗马尼亚）

2. 找到所有实系数多项式f ，使得对于所有满足ab+bc+ca=0的实数a 、b 、c 有下面的关系：

f (a-b )+f (b-c )+f (c-a )=2f (a+b+c )。（韩国）

3. 定义一个“钩子”为由六个单位正方形按下面的图组合起来的形状，或者其他可由下图旋转和轴反射形成的形状。

找出所有m×n 的可以不把钩子割裂开或重叠就可以覆盖的矩形，使得 ● 长方形不能由钩子割裂或重叠来覆盖。

● 钩子的任何一部分都不能覆盖长方形外面的区域。（爱沙尼亚）

4. 设n 为不小于3的整数。设t 1，t 2，…，t n 为正实数，且满足

2

12121111()n n n t t t t t t ??+>++++++ ??? 。证明对于所有满足1≤i

5. 在凸四边形ABCD 中，对角线BD 不平分角ABC 和角CDA 。ABCD 内一点P 满足∠PBC =∠DBA 和∠PDC =∠BDA 。求证：当且仅当AP=CP 时ABCD 是圆内接四边形。（波兰）

6. 如果一个数按十进制表示，任意两个连续的位数奇偶性不同就称这个数是“交替的”。

找到所有正整数n ，使得n 的某个倍数是交替的。（伊朗）