高中数学复习提纲

第一章 集合与简易逻辑

集合及其运算

一．集合的概念、分类： 二．集合的特征：

⑴ 确定性 ⑵ 无序性 ⑶ 互异性 三．表示方法：

⑴ 列举法 ⑵ 描述法 ⑶ 图示法 ⑷ 区间法 四．两种关系：

从属关系：对象 ∈、? 集合；包含关系：集合 ?、ü 集合 五．三种运算：

交集：{|}A B x x A x B =∈∈ 且 并集：{|}A B x x A x B =∈∈ 或 补集：U A {|U }x x x A =∈?且e 六．运算性质：

⑴ A ?= A ，A ?= ?．

⑵ 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集． ⑶ 若B A ?，则A B = A ，A B = B ．

⑷ U A A = （）e?，U A A = （）eU ，U U A =（）痧A ． ⑸ U U A B = （）（）痧U A B （）e，U U A B = （）（）痧U A B （）

e． ⑹ 集合123{,,,,}n

a a a a ???的所有子集的个数为2n

，所有真子集的个数为21n -，所有非空真子集的个数为22n -，所有二元子集（含有两个元素

的子集）的个数为2

n C ．

简易逻辑

一．逻辑联结词：

1．命题是可以判断真假的语句的语句，其中判断为正确的称为真命题，判断为错误的为假命题．

2．逻辑联结词有“或”、“且”、“非”．

3．不含有逻辑联结词的命题，叫做简单命题，由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题．

4．真值表：

1．原命题：若p则q

逆命题：若P则q，即交换原命题的条件和结论；

否命题：若q则p，即同时否定原命题的条件和结论；

逆否命题：若┑P则┑q，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定．2．四个命题的关系：

⑴原命题为真，它的逆命题不一定为真；

⑵原命题为真，它的否命题不一定为真；

⑶原命题为真，它的逆否命题一定为真．

三．充分条件与必要条件

1．“若p则q”是真命题，记做p q

?，

“若p则q”为假命题，记做p q

?，

2．若p q

?，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件

3．若p q

?，则称p是q的充分非必要条件；

?，且p q

若p q

?，且p q

?，则称p是q的必要非充分条件；

若p q

?，则称p是q的充要条件；

?，且p q

若p q

?，则称p是q的既不充分也不必要条件．

?，且p q

4．若p的充分条件是q，则q p

?；

若p的必要条件是q，则p q

?．

第二章 函数

指数与对数运算

一．分数指数幂与根式：

如果n x a =，则称x 是a 的n 次方根，0的n 次方根为0，若0a ≠，则当n 为奇数时，a 的n 次方根有1

n 为偶数时，负数没有n 次方根，正数a 的n 次方根有2个，其中正的n

负的n

次方根记做 1．负数没有偶次方根；

2

．两个关系式：n

a =

||a n a n ?=??

为奇数为偶数

3

、正数的正分数指数幂的意义：m n

a =

正数的负分数指数幂的意义：m n

a -=

．

4、分数指数幂的运算性质：

⑴ m n m n a a a +?=； ⑵ m n m n a a a -÷=； ⑶ ()m n mn a a =； ⑷ ()m m m a b a b ?=?；

⑸ 01a =，其中m 、n 均为有理数，a ，b 均为正整数 二．对数及其运算

1．定义：若b a N =(0a >，且1a ≠，0)N >，则log a b N =． 2．两个对数：

⑴ 常用对数：10a =，10log lg b N N ==； ⑵ 自然对数： 2.71828a e =≈，log ln e b N N ==． 3．三条性质：

⑴ 1的对数是0，即log 10a =； ⑵ 底数的对数是1，即log 1a a =； ⑶ 负数和零没有对数． 4．四条运算法则：

⑴ log ()log log a a a MN M N =+； ⑵ log log log a

a a M

M N N

=-； ⑶ log log n a a M n M =； ⑷

1

log log a a M n

=．

5．其他运算性质：

⑴ 对数恒等式：log a b a b =；

⑵ 换底公式：log log log c a c a

b b

=

； ⑶ log log log a b a b c c ?=；log log 1a b b a ?=；

⑷ log log m n a a n

b b m

=．

函数的概念

一．映射：设A 、B 两个集合，如果按照某中对应法则f ，对于集合A 中的任

意一个元素，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A 到集合B 的映射．

二．函数：在某种变化过程中的两个变量x 、y ，对于x 在某个范围内的每一

个确定的值，按照某个对应法则，y 都有唯一确定的值和它对应，则称y 是

x 的函数，记做()y f x =，其中x 称为自变量，x 变化的范围叫做函数的定义域，和x 对应的y 的值叫做函数值，函数值y 的变化范围叫做函数的值域．

三．函数()y f x =是由非空数集A 到非空数集B 的映射． 四．函数的三要素：解析式；定义域；值域．

函数的解析式

一．根据对应法则的意义求函数的解析式；

例如：已知x x x f 2)1(+=+，求函数)(x f 的解析式． 二．已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；

例如：已知()f x 是一次函数，且[()]43f f x x =+，函数)(x f 的解析式． 三．由函数)(x f 的图像受制约的条件，进而求)(x f 的解析式．

函数的定义域

一．根据给出函数的解析式求定义域： ⑴ 整式：x R ∈ ⑵ 分式：分母不等于0

⑶ 偶次根式：被开方数大于或等于0 ⑷ 含0次幂、负指数幂：底数不等于0

⑸ 对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0 二．根据对应法则的意义求函数的定义域：

例如：已知()y f x =定义域为]5,2[，求(32)y f x =+定义域； 已知(32)y f x =+定义域为]5,2[，求()y f x =定义域； 三．实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域．

函数的值域

一．基本函数的值域问题：

域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等．

反函数

一．反函数：设函数()y f x =()x A ∈的值域是C ，根据这个函数中x ，y 的关

系，用y 把x 表示出，得到()x y ?=．若对于C 中的每一y 值，通过()x y ?=，都有唯一的一个x 与之对应，那么，()x y ?=就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数()x y ?=()y C ∈叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数，记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y f x -=． 二．函数()f x 存在反函数的条件是：x 、y 一一对应．

三．求函数()f x 的反函数的方法：

⑴ 求原函数的值域，即反函数的定义域 ⑵ 反解，用y 表示x ，得1()x f y -= ⑶ 交换x 、y ，得1()y f x -= ⑷ 结论，表明定义域

四．函数()y f x =与其反函数1()y f x -=的关系： ⑴ 函数()y f x =与1()y f x -=的定义域与值域互换．

⑵ 若()y f x =图像上存在点(,)a b ，则1()y f x -=的图像上必有点(,)b a ，即

若()f a b =，则1()f b a -=．

⑶ 函数()y f x =与1()y f x -=的图像关于直线y x =对称．

函数的奇偶性：

一．定义：对于函数()f x 定义域中的任意一个x ，如果满足()()f x f x -=-，则

称函数()f x 为奇函数；如果满足()()f x f x -=，则称函数()f x 为偶函数． 二．判断函数()f x 奇偶性的步骤：

1．判断函数()f x 的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；

2．验证()f x 与()f x -的关系，若满足()()f x f x -=-，则为奇函数，若满足

()()f x f x -=，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数．

二．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．

三．已知()f x 、()g x 分别是定义在区间M 、N ()M N ≠? 上的奇（偶）函

数，分别根据条件判断下列函数的奇偶性．

五．若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．

六．一次函数y kx b =+(0)k ≠ 二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠

函数的周期性：

一．定义：对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的

每一个值时，都有()()f x T f x +=，则)(x f 为周期函数，T 为这个函数的一个周期．

2．如果函数)(x f 所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期．如果函数()f x 的最小正周期为T ，则函数()f ax 的

最小正周期为||

T

a ．

函数的单调性

一．定义：一般的，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于此区间上的任

意两个自变量的值1x ，2x ，当x x <时满足：

⑴ ()()f x f x <，则称函数()f x 在该区间上是增函数； ⑵ ()()f x f x >，则称函数()f x 在该区间上是减函数． 二．判断函数单调性的常用方法： 1．定义法：

⑴ 取值； ⑵ 作差、变形； ⑶ 判断： ⑷ 定论： *2．导数法：

⑴ 求函数f (x )的导数'()f x ；

⑵ 解不等式'()0f x >，所得x 的范围就是递增区间； ⑶ 解不等式'()0f x <，所得x 的范围就是递减区间． 3．复合函数的单调性：

对于复合函数[()]y f g x =，设()u g x =，则()y f u =，可根据它们的单调性确定复合函数[()]y f g x =，具体判断如下表：

4

函数的图像一．基本函数的图像．

二．图像变换：

三．函数图像自身的对称

四．两个函数图像的对称

第三章 数列

数列的基本概念

一．数列是按照一定的顺序排列的一列数，数列中的每一个数都叫做这个数列

的项．

二．如果数列{}n a 中的第n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，

那么这个公式就叫做这个数列的通项公事，它实质是定义在正整数集或其有限子集的函数解析式． 三．数列的分类：

按项的特点可分为递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列 按项数可分为有穷数列和无穷数列

四．数列的前n 项和：1231n n n S a a a a a -=+++???++

n S 与n a 的关系：1

112n n

n S n a S S n -=?=?

-≥? 五．如果已知数列{}n a 的第1项(或前几项)，且任一项n a 与它的前一项1n a -(或

前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法． 如：在数列{}n a 中，11a =，1112n n a a -=

+，其中11

12

n n a a -=+即为数列{}n a 的递推公式，根据数列的递推公式可以求出数列中的每一项，同时可根据数列的前几项推断出数列{}n a 的通项公式，至于猜测的合理性，可利用数学归纳法进行证明．

如上述数列{}n a ，根据递推公式可以得到：232a =

，374a =，415

8

a =，53116a =，进一步可猜测121

2

n n n a --=．

等差数列

一．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那

么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 二．通项公式：

若已知1a 、d ，则1(1)n a a n d =+-；若已知m a 、d ，则()n m a a n m d =+-

三．前n 项和公式： 若已知1a ，n a ，则12n

n a a S n +=

?；若已知1a 、d ，则1(1)2

n n n S na d -=+ 注：⑴ 前n 项和公式n S 的推导使用的是倒序相加法的方法．

⑵ 在数列{}n a 中，通项公式n a ，前n 项和公式n S 均是关于项数n 的函数，在等差数列{}n a 通项公式n a 是关于n 的一次函数关系，前n 项和公式n S 是关于n 的没有常数项的二次函数关系．

⑶ 在等差数列中包含1a 、d 、n 、n a 、n S 这五个基本量，上述的公式中均含有4基本量，因此在数列运算中，只需知道其中任意3个，可以求出其余基本量．

四．如果a 、b 、c 成等差数列，则称b 为a 与c 的等差中项，且2

a c

b +=． 五．证明数列{}n a 是等差数列的方法： 1．利用定义证明：1n n a a d --=(2)n ≥ 2．利用等差中项证明：2

a c

b +=

3．利用通项公式证明：n a an b =+ 4．利用前n 项和公式证明：2n S an bn =+ 六．性质：在等差数列}{n a 中，

1．若某几项的项数成等差数列，则对应的项也成等差数列， 即：若若2m n k +=，则2m n k a a a +=．

2．若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的和也相等， 即：若m n k l +=+，则m n k l a a a a +=+． 3．依次相邻每k 项的和仍成等差数列， 即：k S ，2k k S S -，32k k S S -成等差数列．

4．n a ，1-n a ，2-n a ，…，2a ，1a 仍成等差数列，其公差为d -．

三．等比数列

一．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，

那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用宇母q (0)q ≠表示．

二．通项公式：

若已知1a 、q ，则n a =11n a q -；若已知m a 、q ，则n a =n m m a q - 三．前n 项和公式：

当公比1q =时，1n S na =

当公比1q ≠时，若已知1a 、n a 、q ，则n S =

11n a a q

q

-- 若已知1a 、q 、n ，则1(1)

1n n a q S q

-=-

注：⑴ 等比数列前n 项和公式n S 的推导使用的是错位相减的方法．

⑵ 在等比数列中包含1a 、q 、n 、n a 、n S 这五个基本量，上述的公式中均含有4基本量，因此在数列运算中，只需知道其中任意3个，可以求出其余基本量．

四．若a 、b 、c 成等比数列，则称b 为a 与c 的等比中项，且a 、b 、c 满足

关系式b =

五．证明数列{}n a 是等比数列的方法： 1．利用定义证明：

1

n

n a q a -=(2)n ≥ 2．利用等比中项证明：2b ac = 3．利用通项公式证明：n n a aq = 六．性质：在等比数列}{n a 中，

1．若某几项的项数成等差数列，则对应的项成等比数列， 即：若2m n k +=，则2m n k a a a ?=

2．若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的积相等， 即：若m n k l +=+，则m n k l a a a a ?=?

3．若数列公比1q ≠-，则依次相邻每k 项的和仍成等比数列， 即k S ，2k k S S -，32k k S S -成等比数列。

4．n a ，1-n a ，2-n a ，…，2a ，1a 仍成等比数列，其公比为1q

．

数列求和

1．常见数列的前n 项和：

⑴ 自然数数列：1，2，3，…，n ，… n S =

(1)

2

n n + ⑵ 奇数列：1，3，5，…，21n -，… n S =2n ⑶ 偶数列：2，4，6，…，2n ，… n S =(1)n n + ⑷ 自然数平方数列：21，22，23，…，2n ，… n S =(1)(21)6

n n n ++

2．等差、等比数列：利用等差、等比数列的求和公式．

3．数列{}n c 满足：n n n c a b =±，其中n a 、n b 为等差或者等比数列． 方法：拆项，转化成两个等差或等比各项的和（差）．

4．数列{}n c 满足：n n n c a b =?，其中{}n a 是公差为d 的等差数列；{}n b 是公比为

q 的等比数列．

方法：错位相减． 5．若数列{}n a 满足：1

()()

n a kn a kn b =

+?+，其中k 、a 、b 均为常数．

方法：裂项法，设111

()()()n a p kn a kn b kn a kn b

==-+?+++，其中p 为可确

定的参数．

第四章 三角函数

一．角度与弧度制

1．弧度与角度的互化：180π=

2．终边相同角：与角α有相同终边的角的集合可以表示为：

{|2,}k k Z ββαπ=+∈

3．特殊角的集合： ⑴ 各个象限的角的集合 第一象限角：{|22,}2

k k k Z π

απαπ<<+∈

第二象限角：{|

22,}2

k k k Z π

απαππ+<<+∈

第三象限角：3

{|22,}2k k k Z αππαππ+<<+∈

第四象限角：3

{|222,}2

k k k Z αππαππ+<<+∈

⑵ 角的终边在各个坐标轴上的角的集合 终边在x 轴的角：{|,}k k Z ααπ=?∈ 终边在y 轴的角：{|,}2

k k Z π

ααπ=

+∈

终边在坐标轴上的角：{|,}2

k k Z π

αα=?

∈

终边在第一三象限角平分线上：{|,}4

k k Z π

ααπ=

+∈

终边在第二四象限角平分线上：3

{|,}4

k k Z ααππ=+∈

4．弧长公式和扇形面积公式

设扇形的半径为r ，圆心角为α，则 弧长l =||r α?， 扇形的面积S =

211

||22

l r r α??=??

任意角三角函数的定义：

一．定义：以角α顶点为原点O ，始边为x 轴的非负半轴建立直角坐标系。在

角α的终边上任取不同于原点O 的一点(,)P x y ，设P 点与原点O 的距离为

r (0)r >

，则||PO r ==，则角α的六个三角函数依次为：

s i n

y r α=， c o s x r α

=， t a n y

x

α=

c s c

r y α=， s e c

r x α=， c o t x

y

α= 二．三角函数的定义域与值域：

三．三角函数值的符号：

s i n α cos α t a n α 四．三角函数线

同角三角函数基本关系式：

倒数关系：sin csc 1αα?=、cos sec 1αα?=、tan cot 1αα?= 商数关系：sin tan cos ααα=

、cos cot sin α

αα

= 平方关系：22sin cos 1αα+=

正弦、余弦的诱导公式：

诱导公式可简单的概括为：“奇变偶不变，符号看象限”，其中“奇变偶不变”的含义为：当k 为奇数时，2

k π

α?±的三角函数值为α的余函数，当k 为

偶数时，2

k π

α?

±的三角函数值为α的原函数；“符号看象限”的含义为在α的

三角函数前加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号.

两角和与差的三角函数：

一．基本公式： s i n ()s i n c o s c o s αβαβαβ

+=?+? s i n ()s i n c o s

c o s αβαβαβ

-=?

-? c o s ()c o s c o s s i n αβαβαβ+=?-? c o s ()

c o s c o s

s i n αβαβαβ

-=?

+?

t a n t a n t a n ()1t a n t a n αβαβαβ++=-? t a n t a n

t a n ()1t a n t a n

αβαβαβ--=+?

二．常见关系：

1．辅助角公式：sin cos )a x b x x ?+=+

如：sin cos )4πααα+=+；sin cos )4

π

ααα-=-

s i n 3c o s 2s i n ()3πααα=

+；cos 2sin()6

x x π

α=- 2．两角和与差的正切公式的变形： t a n t a n t a n ()[1t a n αβαβαβ+=

+?-? t a n

t a n t a n ()[1t a n αβαβαβ

-=-?

+? 二倍角公式

一．基本公式：

s i n 22s i n

c o

α

αα=? 22

2

2

c o s 2c o s s i n 2c o s 112s i n

ααααα=-=

-=- 22t a n

t a n 21t a n αα

α

=-

二．常见关系式：

1．21sin 2(sin cos )ααα+=+ 2

1s i n 2(s i n c o

s )ααα-=-

21c o s 22s i n αα-= 21c o s 22c o s

αα+=

2．21cos 2sin 2αα-=

21c o s 2

c o s 2

αα+=

三角函数的图像：

一．正弦、余弦、正切函数的图像： 1．正弦函数sin y x =

2．余弦函数cos y x =

2．正切函数tan y x =

二．三角函数的图象变换：

1．sin sin y x y A x =????→=振幅变换

：将sin y x =图象上各点横坐标保持不变，纵

坐标拉伸(1)A >或压缩(01)A <<为原来的A 倍得到．

2．sin sin y x y x ω=????→=周期变换：将sin y x =图象上各点纵坐标保持不变，横

坐标压缩(1)ω>或拉伸(01)ω<<为原来的

ω

1

倍得到．

3．sin sin()y x y x ?=????→=+相位变换：将s i n y x =的图象向右(0)?<或向左

(0)?>平移||?个单位得到．

4．函数sin()y A x ω?=+(,0,1)A A ω>≠的图象可以看作是由函数sin y x =的图象分别经过下面的两种方法得到：

⑴sin sin()y x y x ?=????→=+相位变换

s i n ()y x ω?????→=+周期变换 s i n ()

y A x ω?????→=+振幅变换 ① 将sin y x =的图象向左(0)?>或向右(0)?<平移||?个单位，可得到函数sin()y x ?=+图象；

② 将得到图象点的纵坐标保持不变，横坐标压缩(1)ω>或拉伸

(01)

ω<<为原来的ω

1

倍，得到函数sin()y x ω?=+图象；

③ 将新图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸(1)A >或压缩(01)

A <<为原来的A 倍，可得函数sin()y A x ω?=+图象．

⑵ sin sin y x y x ω=????→=周期变换

s i n ()s i n ()

y x x ?

ωω?ω

????→=+=+相位变换

sin()y A x ω?????→=+振幅变换

① 将sin y x =图象点纵坐标保持不变，横坐标压缩(1)ω>或拉伸

(01)ω<<为原来的

ω

1

倍，可以得到函数sin y x ω=图象；

② 将得到的图象向左(0)?>或向右(0)?<平移

||

?ω

个单位就得到函数

sin()y x ω?=+图象；

③ 将新的图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸(1)A >或压缩

(01)A <<为原来的A 倍，可得函数sin()y A x ω?=+的图象．

三．形如sin()y A x ω?=+的函数图像的画法 —— 五点法，即根据x ω?+分别

取0、

2

π、π、32π

、2π时对应的x 与y 的值描点作出sin()y A x ω?=+的

一个周期的图像．

三角函数的性质