循环基以及与线性变换的可交换线性空间

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循环基以及与线性变换的可交换线性空间

作者：段海云

来源：《读写算·教研版》2015年第18期

摘要：在线性空间中，对于上的一个线性变换是否存在，使得构成的一组基？本文我们将给出上述存在性的充要条件及其证明，以及与可交换的线性变换所生成的线性空间的维数。继而求出与一般线性变换可交换的线性变换所生成的线性空间的维数。

关键词：循环基；循环变换；生成元

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）18-113-02

一、绪论

1、循环基的产生背景

在线性空间中，对于上的一个线性变换是否存在，使得构成的一组基？如果存在，具有怎样的特殊性质？以及我们怎样研究这样的线性变换？

二、循环基

1、循环基的定义

2、循环基存在的几个充要条件

（1），使得构成V的一组循环基。

（2）对于的最小多项式和特征多项式，有 = 。

（3）对于的每一个特征值只有一个线性无关的特征项量。

（4）与可交换的线性变换都可以写成的多项式。

证明：因为是n维线性空间上的线性变换，且最小多项式的次数为n.。所以的最小多项式等于的特征多项式。又因为，由上述结论容易知道可表示成的多项式，且其次数。

推论2：设为n阶若当块，其对角线元素为。求证：和乘法可交换的矩阵必为的多项式。

证明：易知J的特征多项式与最小多项式相等，从而由上述结论得证。