拟单调中立型反应扩散方程行波解的唯一性
扩散方程稳态扩散与非稳态扩散
扩散方程稳态扩散与非稳态扩散 1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0） 单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比 即J=－D（dc/dx） 其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2〃s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。 可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。 x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2 则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx 若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为 n1f〃dt 跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。 令，则上式 2．扩散系数的测定：
其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度 下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量： A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量 则： 即： 则： q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。 第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问 3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0
两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为 （Fick第一定律） （Fick第一定律） （即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通量之和） 若D不随浓度变化，则 故： 4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解 a. 无限大物体中的扩散
扩散方程的差分解法
扩散方程的差分解法 在研究热传导过程、扩散过程、边界层现象时，我们常常遇到抛物型方程，这类方程中最典型、最简单的就是热传导方程。热传导方程中的自变量中包括时间t ，它是描述一种随时间变化的物理过程，即所谓不定常现象。这类问题的基本定解问题应是初值问题，即在初始时刻（t=0）时给定定解条件，求解t>0时的解。 本文主要运用有限差分法对一维扩散方程进行求解，并对差分解的适定性、相容性、收敛性及稳定性进行分析，同时与解析解进行对比。 1.扩散方程 一维扩散方程为： 22u u t x α??=?? （1） 式中，u 为因知量，α为扩散系数，x 为坐标，t 为时间。 其定解条件如下： 初始条件： (,0)() 0x u x f x L =≤≤ （2） 边界条件： 12(0,)() , (,)()u t f t u L t f t == （3） 一般假定函数()f x ，1()f t ，2()f t 满足连接条件，即1(0)(0) f f =，2()(0) f L f =。 2.有限差分法 有限差分法是数值计算解微分方程古老的方法之一，也是系统化地、数值地求解数学物理方法的方程。其控制方程中的导数用离散点上函数值的差商代替。 差分格式可以分为显格式和隐格式。所谓显格式是指在任一结点上因变量在新是时间层上的值可以通过之前的时间层上相邻结点变量的值显式解出来。由于这些层的变量值是已知的，当时间向前推进时，空间点上的新的变量值就只需逐点计算就行了，因此显格式计算起来比较省事。隐格式则是指任一结点上变量在新的时间层的值，不能通过之前的时间层上相邻结点的值显式解出来，它不仅与之前的时间层上的已知值有关，而且也与新时间层的相邻结点的变量值有关。因而一个差分方程常常包括几个相邻结点上的未知数，未知数的个数取决于格式的构成形式。为了解出这些未知数需要联立新的方程，而每引进一个新的方程往往又同时引进了新的未知数。因此，隐格式总是伴随着求解巨大的代数方程组。隐格式的主要缺点是计算工作量大，因而不如显格式计算得快，但这只是就时间步长一样的情况而言的。隐格式的主要优点是时间步长可以比显格式能够采用的最大步长大很多。显格式的时间步长受到稳定性条件的限制，而隐格式则几乎不受限制。 3.方程的离散 3.1 显格式 采用时间前差及第n 时间层的空间中心差，得一维扩散方程的显格式解： 111 2 2()n n n n n j j j j j u u u u u t x α ++---+=?? （4） 即 111(2) n n n n n j j j j j u u r u u u ++-=+-+ （5）
几类非线性方程的行波解与临界周期分支
目录 目录 摘要 .................................................................................................................................... I Abstract ................................................................................................................................. II 第一章序言 .. (1) §1.1 非线性波方程的行波解 (1) §1.1.1 行波解理论的基本问题 (1) §1.1.2 非线性波方程的求解 (3) §1.2 极限环分支与临界周期分支 (4) §1.2.1 极限环分支 (4) §1.2.2 临界周期分支 (6) §1.3 本文主要工作和创新点 (7) 第二章一类Schamel-Korteweg-de Vries方程的行波解 (9) §2.1 引言 (9) §2.2 预备知识 (10) §2.3使用Sine-Cosine法求解 (10) §2.4使用扩展双曲正切函数法求解 (13) 第三章一类五次Kukles系统的极限环与局部临界周期分支 (17) §3.1 引言 (17) §3.2 预备知识 (17) §3.3 中心条件与极限环 (21) §3.4 细中心与临界周期分支 (26) 第四章一类反应扩散方程的局部临界周期分支 (28) §4.1 引言 (28) §4.2 预备知识 (29) §4.3 孤立周期波解与连续周期波解 (30) §4.4 细中心与临界周期分支 (32) 第五章两类非线性Schr?dinger型方程的局部临界周期分支 (36) §5.1 引言 (36) §5.2 细中心与局部临界周期分支 (37) 第六章总结与展望 (41) 参考文献 (42) 致谢 (50) 作者在攻读硕士期间主要研究成果 (51) IV
抛物型方程的计算方法
分类号：O241.82 本科生毕业论文（设计） 题目：一类抛物型方程的计算方法 作者单位数学与信息科学学院 作者姓名 专业班级2011级数学与应用数学创新2班 指导教师 论文完成时间二〇一五年四月
一类抛物型方程的数值计算方法 (数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班) 指导教师 摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式.本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析. 关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性 Numerical computation methods for a parabolic equation Yan qian (Class 2, Grade 2011, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Nie hua Abstract: The common methods to solve parabolic equations include differential method, finite element method etc. The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations. In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover, the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established. Key words: differential method, finite element method, convergence, stability
一类反应扩散方程解的长时间行为
I 一类反应扩散方程解的长时间行为 摘 要 本文主要在一个有界光滑区域中讨论了一类带有齐次Dirichlet 边值条件的反应扩散方程解的长时间行为，其方程的形式如下： 其中 偏微分算子是一致抛物的， ，满足一定条件。 对于以上方程，我们首先定义了该方程的弱解，之后我们在有限维空间中构造了一系列该方程的近似解，并证明了在维数趋于无穷时，存在子列收敛于该方程的弱解。最后，我们利用先验估计得到了该方程弱解的存在唯一性。 在获得方程弱解的存在唯一性后，我们便能定义伴随方程的解半群，并由此研究伴随方程解半群的全局吸引子。 为了证明解半群在 中存在全局吸引子，我们证明 了伴随方程的解半群在 与中有界吸收集的存在性，并利用Sobolev 紧嵌入定理得到了全局吸引子的存在性。 关 键 词：反应扩散方程；Galerkin 方法；全局吸引子；弱解
II ABSTRACT In this thesis, we mainly consider the long-time behavior of solutions for the following reaction-diffusion equation with homogeneous Dirichlet boundary condition in a bounded smooth domain : where The partial differential operator is uniformly parabolic, and satisfies some additional assumptions. First of all, we give the definition of weak solutions, and then, we construct a sequence of approximate solution in a n dimension subspace and show that there exists a subsequence will convergent to a weak solution of this problem when n goes to infinite. Finally, we establish the existence and uniqueness of weak solution by some aprior estimates. With the help of the existence and the uniqueness of weak solutions, we define the solution semigroup associate with the problem and investigate the existence of a global attractor for the semigroup. To prove the existence of a global attractor, we show that there exist bounded absorbing sets in and and obtain existence of a global attractor in by using the Sobolev compactness embedding theorem. KEY WORDS: Reaction-diffusion equation; Galerkin’s method ; Global attractor; Weak solution
第三章 一维扩散方程
第三章 一维扩散方程 本章讨论一维扩散方程。首先，从随机过程中的一维扩散方程的讨论可直接得到扩散方程的解。然后对非齐次和各类边值问题相应的扩散方程作了讨论。讨论的方程类型 （1）直线上的齐次和非齐次扩散方程： 2,,0 (,0)() t xx u c u x t u x x ??=-∞<<∞>? =?；（利用随机过程的理论得到结论，再直接验证） (,),,0 (,0)() t xx u ku f x t x t u x x ?-=-∞<<∞>?? =?；（算子方法，与常微分方程类比） （2）半直线上的扩散方程0,0,0(,0)(),(0,)0t xx u ku x t u x x u t ?-=<<∞>?? =??=? ；（其它非齐次边界等） 对扩散方程理论方面的探讨：最大（最小）值原理。由此证明方程解的唯一性和稳定性。 §3.1全直线上的扩散方程 首先讨论随机过程中的扩散过程。设想粒子在一维直线上作连续随机游动（Brown 运动），满足性质：在t ?时间内位移转移概率为均值为0，方差为2 t σ?的正态分布。在时刻t 处于x 的概率密度记为(,)Pr(())u x t dx X t x dx ==。则 2 ()2(,)(,)x y t u x t t u y t dy σ-∞ -?-∞+?=?， 或 2 2 (,)(,)y u x t t u x y t dy ∞ -+?= +? 2222 1 [(,)(,)(,)()]2 y x xx u x t u x t y u x t ty o t dy σ∞ - = ++?+?? 21 (,)(,)()2 xx u x t u x t t o t σ=+?+? 因此， 2 2 t xx u u σ= 。 可见：一维Brown 运动的状态概率密度满足扩散方程。 从随机过程的角度，可直接写出状态概率密度： 22()2(,)(,0)y x t u x t e u y dy σ-∞ - = ?。 所以，有如下定理。 定理 扩散方程2,,0 (,0)() t xx u c u x t u x x ??=-∞<<∞>?=?的解为
非线性数学物理方程的行波解
非线性偏微分方程行波解 1直接积分法 行波解形式：0()u x ct φξξξ= =-+代入偏微分方程得常微分方程。这个过程简记为行波变换。直接积分法指直接求解这个常微分方程。 例0()()()()0t x xx u uu u c αφξφξφξαφξ''''+-=?-+-= 积分难计算： 1用特殊形式的解试凑： exp()1exp() B a u a ξξ=+ vakhnenko 方程20t x x x x u u u u u +++=；fisher 方程(1)t x x u u u u αβ---= ()exp(())u i kx wt φξ=- Schrodinger 方程20t xx iu u u u αβ++= 2椭圆函数在常微分方程求解中的应用。 2混合指数方法 适用于多项式方程，非多项式方程需变换。如sine-Gordon 方程sin xt u u =【1】具体步骤 1.行波变换 2.进行奇性分析：将p φξ-=代入,平衡方程中最高阶导数项与最高阶非线性项,计算出p 的值。通常p 为正整数;若n 为有理数12/m m ,可令21m φ? -=,若n 为负数,可设1φ?-=。 3.为获得更多的解，引入变换+C φ?= 4.设1,exp()n n n a g g k φξ∞===∑是方程相应线性项部分的指数解（若无则为最低次非线性项 构成方程的解），代入方程，得到递推关系。解出n a 。得到方程的解。 注： 1.n a 的递推关系难解，可以设n a 是n 的多项式。【2】 2.第3步也可以这样假设2020,exp()n n i i i i i n i n n i i i i i n i a g a g g k b g b g φξ=-==-====∑∑∑∑，代入方程令g 前系数为0解出a ，b 。【3】 3齐次平衡法 齐次平衡法已推广到寻找非线性发展方程的自Backlund 变换、相似约化、多孤子解等领域。 1.()()()m n m n x t u f f φφφφ+=+关于x 和t 的各阶偏导数为变元的低于m+n 次的线性组合。代 入方程平衡中最高阶导数项与最高阶非线性项，确定m ，n （非正整数则进行变换）。 2.代入方程令最高阶导数项系数为0，解常微分方程确定f 。
非线性方程的行波解
Sine-Gordon 方程的行波解 摘要：本文利用行波变化法求解了(2+1)维Sine-Gordon 方程的行波解, 得到了很好的结果, 并对其解进行了简要的讨论. 关键词： Sine-Gordon 方程,行波变换,行波解 Sine-Gordon 方程是物理学中的一个非常重要的模型方程，也是一类非常普遍的具有物理特性的非线性演化方程之一，在固体物理、非线性光学、量子理论等方面都有广泛的应用。 许多研究人员对此方程的解析解做了大量的研究. 如,Drazin 和Johnson 用分裂算符法[1] 求 解了该方程的解析解；刘等,张等和刘等利用Jacobi 椭圆展开法[2,3,4,5] 得到了该方程的周期波解. Parkes 和Duffyl 利用双曲正切函数法[6]找到了该方程的孤波解. 张等人通过求解得到了该方程的精确行波解[7] Sine-Gordon 方程的形式如下 0sin 2 0202022=+?-??u f c t u (1) 其中 0022 2222 ,f c ,y x ??+??=?为常数 对方程(1)做如下行波变换 ()ξu u =, ct ly Rx -+=ξ (2) 得到 () 22 222222222,ξ ξd u d l R u d u d c t u +=?=?? (3) 将式(3)带入式(1)得 0sin )]([20222 2 20 2 =++-u f d u d l R c c ξ (4) 下面我们分0)]([22202>+-l R c c 和0)]([2 2 202<+-l R c c 两种情况来讨论Sine-Gordon 方程的解. (一)、当0)]([2 2 2 02 >+-l R c c 时 0sin 2 2 2=+u m d u d ξ (5) 其中
一类非线性伪抛物型方程的初边值问题
第25卷 第3期 2008年6月 黑龙江大学自然科学学报 JOURNAL OF NAT URAL SC I E NCE OF HE I L ONGJ I A NG UN I V ERSI TY Vol 125No 13June,2008 一类非线性伪抛物型方程的初边值问题 孙明丽, 刘亚成 (哈尔滨工程大学理学院,哈尔滨150001) 摘 要:研究了一类非线性伪抛物型方程的初边值问题。首先利用了经典的Galerkin 方法的思想,构造了原问题的近似解,并对非线性伪抛物型方程中的非齐次项函数限定了如下条件:f ′下方有界且g ′上方有界,得到了近似解的几个先验估计;然后证明了原问题整体弱解的存在性与唯一性;最后利用Poincare 不等式及Gr onwall 不等式,得到了问题整体广义解的渐近性质。 关键词:非线性伪抛物方程;初边值问题;整体弱解;存在唯一性;渐近性 中图分类号:O175126文献标志码:A 文章编号:1001-7011(2008)03-0343-04 收稿日期: 2007-07-01 基金项目:国家自然科学基金资助项目(10271034);哈尔滨工程大学基础研究基金资助项目(HE UF04012) 作者简介:孙明丽(1982-),女,硕士研究生,主要研究方向:非线性发展方程,E -mail:sunm ingli1221@yahoo https://www.360docs.net/doc/125939652.html, 通讯作者: 刘亚成(1942-),男,教授 1 引 言 非线性Sobolev -Gal pern 型方程是从实际问题中提出的一类重要的伪抛物型方程,这类方程出现在许多数学物理领域,例如用于模拟热力学过程,岩石裂缝中渗流,土壤中湿气的迁移,以及固体中的扩散问题。因此,对此类方程的研究具有重要的理论与实际意义。 在文献[1-2]中研究的是如下拟抛物方程的初边值问题 u t -Δu t =f (u ),x ∈ Ω,t >0u (x,0)=u 0(x ) u |5Ω=0 其方法是利用Galerkin 方法,利用嵌入定理对f 限定条件后得到了问题的W k,p 解。 在文献[3]中研究的是一维Sobolev -Gal pern 方程的初边值问题,所用的方法是先将问题化为一个非线性积分方程,利用压缩映像原理得到局部解,再用先验估计得到整体解。 在文献[4]中研究的是多维Sobolev -Gal pern 方程的初边值问题u t -Δu t =σ(u x )x ,x ∈ Ω,t >0u (x,0)=u 0(x ) u |5Ω=0 利用Galerkin 方法,要求σ∈C 1 ,σ′ (s )下方有界,得到了整体解的存在和唯一性。而本文研究下述一类非线性伪抛物方程 [5] 的初边值问题 u t -u xx t -u xx =f (u x )x +g (u ) (1)u (x,0)=u 0(x )(2)u (0,t )=u (1,t )=0 (3) 利用Galerkin 方法,证明了若f ∈C 1,f ′ (s )下方有界;g ∈C 1,g ′(s )上方有界,且u 0(x )∈H 2(Ω)∩H 1 0(Ω).则对任一T >0,问题(1)-(3)存在Ω×[0,T ]上的弱解u (x,t ),并且得到了解的渐近性质,本文所研 究的方程是一般的拟抛物方程与Sobolev -Gal pern 型方程的综合,从实质上推广和改进了已有的结果。
具有非线性记忆的抛物型方程解的Blow up
第!"卷第#期纺织高校基础科学学报$%&’!"()%’# *++,年!*月-./01/102312/45673.859:2;:082630<27/0:0 = ============================================================= 2/>?@’(*++,文章编号A!++"B C,#!D*++,E+#B+,+,B+, 具有非线性记忆的抛物型方程解的F&%GH I 容跃堂!(成涛!(* D!’西安工程科技学院理学院(陕西西安J!++#C K*’西安交通大学理学院(陕西西安J!++#L E 摘要A讨论了N D O E不具单调性的条件下(具有非线性记忆的抛物型方程解的F&%GH I’ 关键词A非线性记忆K抛物型方程K F&%GH I 中图分类号A P!J Q’*L文献标识码A R 文献S!T曾考虑了半线性抛物型方程 U O V W U X Y D U E 混合问题解的F&%GH I(在此基础上(文献S*T对如下的具有非线性记忆的抛物型方程 U O V W U X Z O+N D O[\E Y D U D](\E E^\X_D]E 在一定条件下(讨论了解的F&%GH I问题(并对某特殊的Y D U E给出了解的F&%GH I估计(而文献S,T去掉文献S*T中N D O E单调下降的条件(允许N D O E单调增加(在一定条件下(讨论了解的F&%GH I(并给出了解的F&%GH I估计’本文中讨论在N D O E不具单调性时(解的F&%GH I问题’ 假设‘ O V ab D+(O E(c O V d ab D+(O E’ 考虑如下的抛物型方程混合问题 U O V W U X Z O+N D O[\E Y D U D](\E E^\X_D]E(D](O E e‘f(D!E U D](+E V U+D]E(]e a(D*E U D](O E V+(D](O E e c f’D,E 假定 Y e g!(Y D+E h+(Y i D j E h+(Y k D j E h+(j l+(D#E Ne g!(N D j E h m h+(且存在+n O!n O*n o n O*p(使得 N i D O E V l+(+n O n O!( n+(O!n O n O*( oo n+(O*p[!n O n O*p( l+(O*p q r s n O’ D Q E _e g!(_l+(]e a(D"E U+e g*D a t E(U+l+(]e a(U+u d a V+’D J E 且v w h+(使得 M收稿日期A*++,B+L B+, 基金项目A陕西省教育厅专项基金资助项目D+!x y!,J E 作者简介A容跃堂D!L"!B E(男(陕西省宝鸡市人(西安工程科技学院教授’ 万方数据
fick定律扩散方程
扩散方程 扩散方程稳态扩散与非稳态扩散 1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0） 单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比 即J=－D（dc/dx） 其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。 可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。 x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2 则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx 若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为n1f·dt 跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。 令，则上式 2．扩散系数的测定： 其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度
下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量： A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量 则： 即： 则： q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。 第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问 3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0 两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散 中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为 （Fick第一定律） （Fick第一定律） ，，， （即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通