2014年全国高考文科数学试题及答案-新课标1

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）（课标I ）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=｛x|-1＜x ＜3｝，N=｛x|-2＜x ＜1｝则M ∩N=（ ）

A. )1,2(-

B. )1,1(-

C. )3,1(

D. )3,2(-

（2）若0tan >α，则

A. 0sin >α

B. 0cos >α

C. 02sin >α

D. 02cos >α

（3）设i i

z ++=11，则=||z A. 21 B. 22 C. 2

3 D. 2 （4）已知双曲线)0(13

2

22>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 2

5 D. 1 (5)设函数)(),(x g x f 的定义域都为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是

A. )()(x g x f 是偶函数

B. )(|)(|x g x f 是奇函数

C. |)(|)(x g x f 是奇函数

D. |)()(|x g x f 是奇函数

（6）设F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点，则=+

A. AD

B.

AD 21 C. BC D. BC 21 (7)在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π

-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为

A.①②③

B. ①③④

C. ②④

D. ①③

（8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体

的三视图，则这个几何体是（ ）

A.三棱锥

B.三棱柱

C.四棱锥

D.四棱柱

（9）执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( ) A.

203 B.72 C.165 D.158

（10）已知抛物线C ：x y =2的焦点为F,A(x 0,y 0)是C 上一点，x F A 045=

，则x 0=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

（11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥??-≤-?

且z x ay =+的最小值为7，则a = A ．-5 B. 3

C ．-5或3 D. 5或-3

（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是

A.()2,+∞

B.()1,+∞

C.(),2-∞-

D.(),1-∞-

第II 卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_ _.

（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；

乙说：我没去过C 城市；

丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为____ ____.

（15）设函数()113,1,,1,

x e x f x x x -?

取值范围是__ _____.

（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C

为

测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=?，C 点的仰角45CAB ∠=?以及75MAC ∠=?；从C 点测得60MCA ∠=?.已知山高100BC m =，

则山高MN =_ ___m .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2

560x x -+=的根。 （I ）求{}n a 的通项公式；

（II ）求数列2n n a ??????

的前n 项和.

（18）（本小题满分12分）

从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：

（I ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：

（II ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组

区间的中点值作代表）；

（III ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量

指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

(19)(本题满分12分)

如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的

中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.

（1）证明：;1AB C B ⊥

（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB

求三棱柱111C B A ABC -的高.

（20）（本小题满分12分）

已知点)2,2(P ，圆C :082

2=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.

(1)求M 的轨迹方程；

（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ?的面积

（21）（本小题满分12分）

设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+

-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0 (1)求b;

（2）若存在01,x ≥使得()01

a f x a <

-，求a 的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.

（22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲

如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，

且CB CE =.

（I ）证明：D E ∠=∠；

（II ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ABC ?为

等边三角形.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线194:2

2=+y x C ，直线???-=+=t

y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.

（24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲

若,0,0>>b a 且

ab b a =+11 （I ）求33b a +的最小值；

（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.

参考答案

一、选择题

1-5. BABDA 6-10. CCBDC 11-12. BA

二、填空题 13. 23

14. A 15. (,8]-∞ 16. 150 三、解答题

17. 解：

（1）方程2560x x -+=的两个根为2，3，由题意得因为242,3a a ==

设数列{}n a 的公差为d ，则422a a d -=，故12d =，从而132a = 所以{}n a 的通项公式为112n a n =

+ （2）设{}2

n n a 的前n 项和为n S ，由（1）知1222n n n a n ++=，则 2313412 (2222)

n n n n n S +++=++++ ① 341213412 (22222)

n n n n n S ++++=++++ ② ①-②得

3412131112 (242222)

n n n n n S ++++=++++- 123112(1)4422

n n n -++=+-- 所以，1422

n n n S ++=- 18.解：

（1）

…………………………4分

（2）质量指标值的样本平均数为806902610038110221208100100

x ?+?+?+?+?=

= 质量指标值的样本方差为

所以，这种产品质量指标的平均数估计值为100，方差的估计值为104.

……………………………………10分

（3）依题意38228100

++= 68％ < 80％ 所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80％”的规定。……………………………………12分

19.

（1）证明：

连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，因为侧面11BB C C 为菱形，

所以11B C BC ⊥

又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，故1B C ABO ⊥平面

由于AB ABO ?平面，故1

BC AB ⊥……………………………6分 （2）解：

由于,BC AO BC OD ⊥⊥，故BC AOD ⊥平面，所以OH BC ⊥

又OH AD ⊥，所以OH ABC ⊥平面

因为160CBB ∠=，所以1CBB ?为等边三角形，又1BC =，可得OD =

由于1AC AB ⊥，所以11122

AO B C ==

由OH AD OD OA ?=?，且AD ==，得14

OH =

又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC 的距离为

7，故三棱柱111ABC A B C -的高为

………………………………………………………………………………12分 20．解：

（1）方法一：

圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=，所以，圆心为(0,4)C ，半径为4，

设(,)M x y ，则(,4),(2,2)CM x y MP x y =-=--，

由题设知0CM MP ?=，故

(2)(4)(2)0x x y y -+--=，即22(1)(3)2x y -+-=

由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是22

(1)(3)2x y -+-=……………6分

方法二：

圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=，所以，圆心为(0,4)C ，半径为4，

设(,)M x y ， 设24,2AB CM y y k k x x

--=

=-， 则24,2AB CM y y k k x x

--==- 所以2412AB CM y y k k x x --==-- 化简得，222680x y x y +--+=，即22

(1)(3)2x y -+-=

（2）方法一：

由（1）可知M 的轨迹是以点(1,3)N

由于||||OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上，

又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥

因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为13-

， 所以l 的方程为1833

y x =-+

又||||OM OP ==O 到l |PM =，所以POM ?的面积为165 方法二：

依题意，||OP =||||OM OP ==所以，M 也在228x y +=上

所以222282680

x y x y x y ?+=??+--+=?? 两式相减，得26160x y --+=，即1833y x =-

+，此方程也就是l 的方程 由（1）知，M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=，

设此方程的圆心为N ，则(1,3)N 所以

d =

又||NP =

所以||5

MP == O 到l 的距离

h =

所以，116

25

POM S ?== 综上所述，l 的方程为1833y x =-

+，POM ?的面积为165

由题设知(1)(1)0f a a b '=+--=

解得1b =……………………………………………………………………………4分

（2）解：()f x 的定义域为(0,)+∞，由（1）知，21()ln 2

a f x a x x x -=+-， 1()(1)1()(1)1a a a f x a x x x x x a

-'=

+--=--- （ⅰ）若12a ≤，则11a a ≤-， 故当(1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>在(1,)+∞单调递增，

所以，存在01x ≥，使得0()1a f x a <

-的充要条件为(1)1a f a <-， 即1121

a a a --<-，

解得11a << （ⅱ）若112a <<，则11a a

>-， 故当(1,)1a x a

∈-时，()0f x '<； 当(,)1a x a

∈+∞-时，()0f x '>； 所以()f x 在(1,)1a a -单调递减，在(,)1a a

+∞-单调递增， 所以，存在01x ≥，使得0()1a f x a <-的充要条件为()11

a a f a a <-- 而21()ln 112(1)11

a a a a f a a a a a a =++>-----，所以不合题意 （ⅲ）若1a >，则11(1)1221

a a a f a ---=-=<-

综上所述，a 的取值范围是(11)(1,)?+∞……………………………12分

22.（本小题满分10分）

（1）证明：由题设得，A ，B ，C ，D 四点共圆，所以，D CBE ∠=∠

又CB CE =，CBE E ∴∠=∠

所以D E ∠=∠………………………5分

（2）证明：设BC 的中点为N ，连结MN ，则由MB MC =知

MN BC ⊥，故O 在直线MN 上

又AD 不是O 的直径，M 为AD 的中点，故OM AD ⊥，即MN AD ⊥

所以//AD BC ，故A CBE ∠=∠

又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠，由（1）知，D E ∠=∠，所以ADE ?为等边三角形。…………………………………………………………………10分

23.解：

（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ

=??=?（θ为参数） 直线l 的普通方程为260x y +-=

（2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为

4cos 3sin 6|d θθ=+-

则|||5sin()6|sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角，且4tan 3α=

当sin()1θα+=-时，||PA

当sin()1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为5

…………………………………10分 24.解：

（111

a b +≥，得2ab ≥，且当a b ==时等号成立

故33a b +≥≥a b =时等号成立

所以33

a b +的最小值为5分

（2）由（1）知，23a b +≥

由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=………………………………10分