高中信息学奥林匹克竞赛各种问题求解试题及参考答案集锦

高中信息学竞赛各种问题求解试题及

答案

第1题(5分)，将n个不同颜色的球放人k个无标号的盒子中( n>=k，且盒子不允许为空)的方案数

为S(n，k)，例如：n=4，k=3时，S(n，k)=6。当n=6，k=3时，S(n，k)=________。

答案：0 k < n

S(n,k)= 1 k = 1

S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k) n >= k >= 2

第2题(5分)，有5本不同的数学书分给5个男同学，有4本不同的英语书分给4个女同学，将全部书

收回来后再从新发给他们，与原方案都不相同的方案有________种。

答案：

5!*4!+D(5)*D(4)=1140480

其中：D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2)) (n > 2)

D(1)=0 D(2)=1

第3题(6分)，把三角形各边分成n等分，过每一分点分别做各边的平行线，得到一些由三角形的边

和这些平行线所组成的平行四边形。n为已知整数，能组成_______个平行四边形。

答案：

3*C(n+2,4)

第4题(6分)，由a，b，c3个不同的数字组成一个N 位数，要求不出现两个a相邻，也不出现两个b

相邻，这样的N位数的个数为AN，用AN-1和AN-2表示AN的关系式为：AN＝_______________。

答案：

AN= 2*AN-1+AN-2

第5题(6分)，在m*n的棋盘上，每个方格(单位正方形，即边长为1的正方形)的顶点称为格点。以格点

为顶点的多边形称为格点多边形。若设格点凸N边形面积的最小值为gn，格点凸N边形内部(非顶点的)格点的个数的最小值为fn，则gn和fn的关系式为：

gn=___________。

答案：

Gn= fn+N/2-1 ( N >= 3 )

第6题(4分)，编号为1到13的纸牌顺时针排成一

圈，有人从编号为1的牌从数字1开始顺时针数下去，

1、2、3、…、20、21、…，一圈又一圈。问：当数到数字N

时，所在纸牌的编号为多少?

答案：

1+(N-1) mod 13

第7题(8分)，有位小同学喜欢在方阵中填数字，规则

是按下图示例从右上角开始，按斜线填数字，

碰到边界就重新。显然，数字1在坐标(1，5)位置，数字

25在坐标(5，1)位置。后来这位小朋友想知道，

对于N阶的方阵，随机取一个位置(x，y)，并规定x≤y，问

这个位置上应该填的数字是多少?5阶方阵的

示例图如下：

11 7 4 2 1

16 12 8 5 3

20 17 13 9 6

23 21 18 14 10

25 24 22 19 15

答案：

(N-y+x)*(N-y+x-1)/2+x

第8题(5分)，设有质量为1、3、9、27、81、…3n g...

的砝码各一枚，如果砝码允许放在天平的两边，

则用它们来称物体的质量，最多可称出1g到3n+3n/2g之间

的所有质量，如n=4时，可称出18到121g之间的

所有质量；当物体质量为M=14时，有14+9+3+1=27，即天

平一端放M=14g的物体和9g、3g、1g的砝码，另一

端放27g的砝码，即可称出M的质量。当M=518g时，请

你写出称出该物体的质量的方法，并用上述所示的

等式来表示。

答案：

518+243+3+1= 729+27+9

第9题(7分)，在圆周上有N个点(N>=6)，在任意两个

点之间连一条弦，假设任何3条弦在圆的内部

都没有公共点，问这些弦彼此相交能在圆内构成多少个三

角形(只要求写出三角形总数的表示式而无需化

简)?

提示：下图是N=6的情况，图中所示的4个三角形从

某种意义上说具有一定的代表性。

答案：

C(N,3)+4*C(N,4)+5*C(N,5)+6*C(N,6)

第10题(6分)，用1个或多个互不相同的正整数之和

表示1～511之间的所有整数

①至少要多少个不同的正整数_________________;

②这些正整数是_______________

答案：

①9

②1,2,4,6,16,32,64,128,256

第11题(7分)，在有m行n列格子的棋盘内，一枚棋

子从棋盘的左上角格子沿上、下、左、右方向行走，

最后走到棋盘的右下角格子。该棋子走过的格子数为奇数

的充分必要条件是________________

答案：m+n为偶数

完善程序试题及其答案

第1题(14分)以下程序是将一组整数按从小到大的顺

序排列。排序的方法是将长度为n的数a分为两个长度分

别为(n div 2)与(n-n div 2)的子数组a1，a2。然后递归调用排

序过程，将a1，a2分别排序，最后将a1，a2归并成数组

a。例如a=(3，1，2，4)，那么a1=(3，1)，a2=(2，4)。调用

排序过程将a1，a2排序，得到a1=(1，3)，a2=(2，4)，然

后进行合并排序。

从键盘输入数的长度n以及n个整数，存在数组a中，调

用子过程sort进行排序，最后输

出排序结果。

program wsh；

const maxn=100；．

各种问题 1

type arr：array[1..maxn] of integer；

var

a：array[1..maxn] of integer；

n，i：integer；

procedure sort(n:integer; var a:arr);

var

i, p1, p2, n1, n2: integer;

a1,a2 :arr;

begin

if n = 1 then exit;

fillchar(a1,sizeof(a1) ,0);

fillchar(a2,sizeof(a2) ,0);

n1:=0; n2:=0;

n1:=n div 2; n2:=(____(1)____);

for i:= 1 to n1 do a1[i]:=a[i];

for i:= 1 to n2 do a2[i]:=____(2)____;

____(3)____;

sort(n2, a2);

p1:=1; p2:=1;

n:=0;

while (p1 <= n1) and (____(4)____) do

begin

n:=n+1;

if ____(5)____

then begin a[n]:=a1[p1] ;inc(p1); end

else begin ____(6)____; inc(p2) ;end;

end;

if p1 <= n1

then for i:= ____(7)____ to n1 do begin n:=n+1;a[n]:=a1[i] end

else for i:=p2 to n2 do begin n:=n+1; a[n]:=a2[i]; end; end;

begin

write('n = ');

readln (n);

for i:= 1 to n do read(a[i]);

readln;

sort(n,a);

for i:=1 to n do write(a[i],'');

writeln;

end. 答案：

n-n1

a[n1+i]

sort(n1,a1)

(p2 < =n2)

a1[p1] < a2[p2]

a[n]:=a2[p2]

p1

第2题(8分)有n(1≤n≤100)个同学种m(1≤n≤m≤100)种小

树苗，例如：4个同学（1、2、3、4）每小时种4种树苗

（A、B、C、D）的数量估算如下表所示，编程输出每人种

1种苗所用的总时间最少的安排方案和所花费的时间。

学生 A B C D

1 5

2 4 5

2 4

3 5 3

3 5 2

4 2

4 3 2 3 3

program wsh;

const

maxn=100; maxm = 100;

var

a: array[1..maxn, 1..maxm] of integer;

m, n: integer;

i, j, t: integer;

procedure work(k,t1: integer);

var i: integer;

begin

if ____(1)____ then

begin

if t1 < t then t1:=t;

exit;

end;

for i:= ___(2)___ to ___(3)___ do

work(k+1,___(4)___);

end;

begin

readln(n,m);

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to m do read (a[i,j]);

readln

end;

t:= maxint;

work(1,0);

writeln(t)

end.

答案：

k>n

1

m

t1+t[k,i]

第3题(10分)程序的任务是用0…9中的数字填入如下

乘法运算的*处，数字可重复使用，且所用的数字至少有一

个是素数，要求输出满足下列算式的方案数。

* * *

x * *

-------------------------

* * *

* * *

-------------------------

* * *

program wsh;

const p:set of 0...9 = [2,3,5,7];

var

s:set of 0..9;

n: integer;

ans: longint;

f: text;

procedure init;

var

i: integer;

t:byte;

begin

readln(n);

s:=[];

2

for i:=1 to n do

begin

read(t);

s:=s+[t];

end;

close(f);

end;

function ok(x,l:integer):boolean; {此函数判断x是否符合条件}

var t: byte;

begin

ok:=false;

if ___(1)___< > l then exit;

while x< >0 do

begin

t:=x mod 10;

if not ( t in s) then exit;

x:=x div 10;

end;

ok:=true;

end;

function inset(x:integer):boolean; {此函数判断x中是否包含素数字}

var t: byte;

begin

inset:= false;

while ___(2)___ do

begin

t:=x mod 10;

if t in p then

begin

inset:= true;

exit;

end;

___(3)___;

end;

end;

procedure work;

var i,i1,i2,i3,j1,j2:integer;

begin

ans:=0;

for i1:=1 to 9 do

if i1 in s then

for i2:=1 to 9 do

if i2 in s then

for i3:=1 to 9 do

if i3 in s then

begin

___(4)___;

for j1:=1 to 9 do

if (j1 in s) and ok(j1*i,3) then

for j2:=1 to 9 do

if (j2 in s) and ok(j2*i,3) and ___(5)___

then

begin

if (i1 in p) or (i2 in p) or (i3 in p)

or (j1 in p) or (j2 in p) or inset(j1*i) or

inset(j2*i)

then inc(ans);

end;

end;

writeln(ans);

end;

begin

init;

work;

end.

答案：

trunc(ln(x)/ln(10))+1

x>0

x:=x div 10

i:=i1*100+i2*10+i3

ok(j1*i*10+j2*i,4)

第4题(15分)下列程序是对冒泡排序的一种改进，数

组elem中有n个元素elem[1]、elem[2]…、elem[n]。要排

序的关键字是key。先从一端开始扫描，进行比较、交换，

然后改变下一趟的扫描方向进行同样的处理。请完善下面

的过程。

program wsh;

type

Td = record

key: integer;

inf: real;

end;

var

elem:array[1..1000] of Td;

n, i: integer;

procedure shakesort(n: integer);

var

i, t, h: integer;

c: boolean;

temp: Td;

begin

h:=1;

t:=n;

repeat

____(1)____;

for i:=h to t-1 do

if elem[i].key > elem[i+1].key then begin

temp:=elem[i];

elem[i]:=elem[i+1];

elem[i+1]:=temp;

____(2)____;

end;

____(3)____;

for i:=t-1 downto h do

if elem[i].key > elem[i+1].key then begin

temp:=elem[i];

elem[i]:=elem[i+1];

elem[i+1]:=temp;

____(4)____;

end ;

____(5)____;

until c ;

end;

begin{主过程}

…{略}

end．

各种问题 3