《数值分析》中文教材勘误表
《数值分析》勘误表
portal开发入门手册范本
门户开发入门手册
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目录 1.1创建P ORTAL域 (4) 1.1.1 启动 Configuration Wizard (4) 1.1.2 创建或扩展域 (4) 1.1.3 选择域源 (5) 1.1.4 配置管理员用户名和密码 (6) 1.1.5 指定服务器启动模式和 JDK (7) 1.1.6 自定义环境和服务设置 (9) 1.1.7 创建 WebLogic 域 (9) 1.1.8 创建域 (10) 1.2创建P ORTAL EAR项目 (11) 1.3创建P ORTAL W EB 项目 (16) 1.4创建数据同步项目 (20) 1.5创建P RTAL (23) 1.5.1 创建一个Portal (23) 1.5.2 增加一个页面到你的Portal (25) 1.5.3 发布和查看Portal (27) 1.5.4 创建Portlets (27) 1.5.5 把Portlets添加到Portal (31) 1.6登录管理控制台并创建P ORTAL和桌面 (32) 1.6.1 打开管理控制台 (32) 1.6.2 登录管理控制台 (33) 1.6.3 创建Portal和桌面 (34)
1创建Portal域 ●启动 Configuration Wizard ●创建或扩展域 ●选择域源 ●配置管理员用户名和密码 ●指定服务器启动模式和 JDK ●自定义环境和服务设置 ●创建 WebLogic 域 ●创建域 1.1启动 Configuration Wizard 打开“开始”->“BEA Products”->“Tools”->“Configuration Wizard”。之后将会出现“欢迎”窗口。 1.2创建或扩展域 提示您选择是新建域还是扩展现有域。
数值分析最佳习题(含答案)
第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5 105.0-?,那么近似数有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-?=x ，325* 102 1 1021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0?= π，欲使其近似值* π具有4位有效数字，必需 41*1021 -?≤-ππ，3*3102 11021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：3* 1021-?≤ -a a ，2*102 1 -?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2 123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知 δ=-* *x x x ，则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5* =，已知 cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差 限。（误差限的计算） 解： * 2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 π ππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v
Laravel 5.5 入门教程6
Laravel 5.5 入门教程 By IT崖柏图 Mail 973714522@https://www.360docs.net/doc/166521423.html, 出自布尔教育PHP高端教育培训 21 章功能细化 21.1 登陆状态 在 view 层 , 判断用户是否登陆 或者我们还可以使用身份快捷认证,如: 21.2 分页功能 中使用 paginate 方法。 代码如下:
如何渲染样式在Blade模板上? 附加参数到分页链接中 方法： ```php {{ $users->fragment('foo')->links() }} 然而，自定义分页视图最简单的方法是通过vendor:publish命令将它们导出到你的resources/views/vendor php artisan vendor:publish --tag=laravel-pagination 这个命令将视图放置在 resources/views/vendor/pagination 目录中。这个目录下的 default.blade.php 文件对应于默认分页视图。你可以简单地编辑这个文件来修改分页的 HTML 。 21.3 JS 验证 以发布借款项目为例 , 做 JS 验证
第22章自动验证自动验证 22.1 验证案例 第1个参数为Request对象,第2个参数为验证规则验证规则 验证规则为关联数组,语法如下: 借款验证案例: 验证未通过的检测,以money为例 22.2 自定义错误信息 如果验证未通过,需要自定义错误信息,只需在第3个参数中传递.
模板中使用 22.3 手动验证 ,也可以手动来创建一个验证对象 22.3 表单授权验证 令来创建表单请求类：
数值分析思考题1
% 数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 答：（1）绝对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x * 表示成 x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。若绝对误差，那么x *至少有n 个有效数字，即a 1，a 2，…，a n 为有效数字，而a n+1，…，a k ，…不一定是有效数字。因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。 （2）相对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x * 表示成 x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。若a k 是有效数字，那么相对误差不超过 ;反之，如果已知相对误差r ，且有 ，那么a k 必为有效数字。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 ' 答：在实际计算时，由于真值常常是未知的，当较小时， r e x x e x x *****-==
通常用代替。 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 答：（1）病态问题：对于数学问题本身，如果输入数据有微小变化，就会引起输出数据（即问题真解）的很大变化，这就是病态问题。 （2）不同点：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。 4、 取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么 （1）(3322-，（2）(2752-，（3）()31 322+，（4）()61 21，（5） 99702-答：（1）( 332-==； （2）(2752-==； , （3） ()31322+=； （4）()6121=； （5）99702-=； 由上面的计算可以看出，方法（3）最好，因为计算的误差最小。 2141.≈)6 21
数值分析第四章数值积分与数值微分习题复习资料
第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h A h -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 011431313A h A h A h -?=?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=
令4 ()f x x =，则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时， 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。 （2）若 21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1014h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h A h -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 2211163 h h A h A -=+ 从而解得 1143 8383A h A h A h -?=-?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 22322()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=
数值分析第1章习题
(A)1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）为有效数字(有效数字) A. 4和3 B. 3和2 C. 3和4 D. 4和4 解..14159.3==*πx ,1103142.0?=a 时,1=m ,3102 1...00041.0)(-*?≤ =-=a x a E m-n= -3,所以n=4,即有4位有效数字。当1103141.0?=a 时,1=m , 2102 1005.0...00059.0)(-*?=≤=-=a x a E ，m-n= -2,所以n=3,即有3位有效数字。 (A)2. 为了减少误差，在计算表达式19992001-时，应该改为 199920012+计算，是属于（）来避免误差。（避免误差危害原则） A.避免两相近数相减； B.化简步骤，减少运算次数； C.避免绝对值很小的数做除数； D.防止大数吃小数 解：由于2001和1999相近，两数相减会使误差大，因此化加法为减法，用的方法是避免误差危害原则。 (B)3.下列算式中哪一个没有违背避免误差危害原则（避免误差危害原则） A.计算123460.60.612345++- B.计算 25612520000450?- C.计算10.99994- D.计算11x x +- 解:A 会有大数吃掉小数的情况C 中两个相近的数相减，D 中两个相近的数相减也会增大误差 (D)4.若误差限为5105.0-?,那么近似数0.003400有()位有效数字。(有效数字) A. 5 B. 4 C. 7 D. 3 解：51021)(-?= a E 即m-n= -5,2103400.0-?=a ，m= -2，所以n=3，即有3位有效数字 (A)5.设*x 的近似数为40.32710a =?，如果a 具有3位有效数字，则a 的相对误差限为 ()（有效数字与相对误差的关系） A ． 35103-g B. 33105-g C. 53105-g D. 5103 g -2 解：因为40.32710a =?所以31=a ,因为a 有3位有效数字，所以n=3,由相对误差和有效数字的关系可得a 的相对误差限为 31103510.5--?== n r a δ
微信小程序开发(PHP Laravel MySQL)教学大纲
《微信小程序》教学大纲 课程编码制订人制订日期修订人修订日期审核人审核日期曾建华2021.1 学分：3-4 学时：48-64 适用专业：软件技术专业 一、课程的性质与任务 课程的性质：针对计算机软件类相关专业学生的专业核心课。 课程的任务：通过本课程的学习，学生应能熟练使用微信开发者工具，熟练开发微信小程序，在后台方面，理解后台的开发流程以及微信小程序是如何与后台交互的。 二、教学基本要求 通过本课程的学习，学生应达到下列基本要求： 微信小程序的项目构成 微信小程序页面构成 生命周期函数 WXML 事件 微信小程序如何使用外部API（到此48学时） 使用PHP+MySQL设计自己的API 使用Laravel框架设计自己的API（到此56学时） 系统组件 自定义组件 WeUI组件库（到此64学时） 三、教学条件 机房上课，每个学生有一台电脑。 投影仪等多媒体教学设备。
安装软件：微信开发者工具、HBuilder、xampp。 四、教学内容 各学校可根据实际情况选择： 1-7：48学时 1-9：56学时 1-11：64学时 序号单元主要内容 1 开发环境及第一 个微信小程序 ●了解微信小程序相关技术。 ●掌握微信开发者工具的安装、使用。 ●掌握如何创建微信小程序。 ●掌握微信小程序的项目架构、页面结构。 2 基本页面和底部 导航 ●熟练掌握创建新的页面。 ●熟练编写底部导航代码。 ●理解底部导航各属性的含义。 ●进一步熟悉微信开发者工具界面。 3 js文件●理解app.js中的生命周期函数。 ●掌握app.js中的全局变量。 ●理解page.js中的生命周期函数。 ●掌握page.js中的局部变量。 ●掌握如何创建和引用模块。 4 WXML语法●掌握数据绑定的方法。 ●掌握条件渲染的用法。 ●掌握列表渲染的用法。 ●掌握如何定义模板以及使用import引用模板。 ●掌握include引用方式。 5 事件及数据传递●熟练掌握如何进行事件处理。 ●理解事件冒泡机制。 ●在事件中获取组件绑定的附加信息。 ●熟练掌握路由机制。 ●熟练掌握页面之间如何进行数据传递。 6 常用API及组 件 ●清楚小程序API的类型，熟悉界面交互API。 ●了解地图操作步骤。
数值分析第1章习题
一 选择题(55分=25分) (A)1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）为有效数字(有效数字) A. 4和3 B. 3和2 C. 3和4 D. 4和4 解,时,, m-n= -3,所以n=4,即有4位有效数字。当时,, ，m-n= -2,所以n=3,即有3位有效数字。 (A)2. 为了减少误差，在计算表达式时，应该改为计算，是属于（）来避免误差。（避免误差危害原则） A.避免两相近数相减； B.化简步骤，减少运算次数； C.避免绝对值很小的数做除数； D.防止大数吃小数 解：由于和相近，两数相减会使误差大，因此化加法为减法，用的方法是避免误差危害原则。 (B)3.下列算式中哪一个没有违背避免误差危害原则（避免误差危害原则） A.计算 B.计算 C.计算 D.计算 解:A会有大数吃掉小数的情况C中两个相近的数相减，D中两个相近的数相减也会增大误差 (D)4.若误差限为,那么近似数0.003400有()位有效数字。(有效数字) A. 5 B. 4 C. 7 D. 3 解：即m-n= -5,，m= -2，所以n=3，即有3位有效数字 (A)5.设的近似数为，如果具有3位有效数字，则的相对误差限为()（有效数字与相对误差的关系） A． B. C. D. 解：因为所以,因为有3位有效数字，所以n=3,由相对误差和有效数字的关系可得a的相对误差限为 二 填空题：(75分=35分)
1.设则有2位有效数字，若则a有3位有效数字。(有效数字) 解:,时,，，m-n= -4,所以n=2,即有2位有效数字。当时, ，m-n= -5,所以n=3,即有3位有效数字。 2.设 =2.3149541...，取5位有效数字，则所得的近似值x=2.3150(有效数字)解：一般四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到最末位，有几位就称该近似数有几位有效数字，所以要取5位有效数字有效数字的话，第6位是5，所以要进位，得到近似数为2.3150. 3.设数据的绝对误差分别为0.0005和0.0002，那么的绝对误差约为 0.0007 。（误差的四则运算） 解：因为，， 4.算法的计算代价是由 时间复杂度 和 空间复杂度 来衡量的。(算法的复杂度) 5.设的相对误差为2%，则的相对误差为 2n% 。（函数的相对误差） 解：， 6.设>0，的相对误差为δ，则的绝对误差为 δ 。（函数的绝对误差） 解：，， 7.设，则=2时的条件数为 3/2 。(条件数) 解:， 三 计算题(220分=40分) 1.要使的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？（有效数字和相对误差的关系） 解：设取n位有效数字,由定理由于知=4所以要使相对误差限小于0.1%,则，只要取n-1=3即n=4。所以的近似值取4位有效数字,其相对误差限小于0.1%。 2.已测得某场地长的值为，宽d的值为，已知试求面积的绝对误差限和
《PHP网站开发实例教程(第2版)》—教学大纲
《PHP网站开发实例教程（第2版）》 教学大纲 （课程英文名称） 课程编号： 学分：5学分 学时：70学时（其中：讲课52学时上机18学时） 先修课程：计算机基础 适用专业：信息技术及其计算机相关专业 开课部门：计算机相关院系 一、课程的性质与目标 《PHP网站开发实例教程（第2版）》是面向计算机相关专业的一门PHP课程，涉及框架基础知识、数据库和模板引擎的使用、框架实现原理、使用框架开发项目等内容。通过本课程的学习，学生能够了解框架的基础使用，如何使用框架进行网站开发，以及市面上流行的Laravel框架的使用。 二、课程设计理念与思路 课程设计理念：高等职业教育的集中实践教学环节需明确必要的理论知识的升华与知识层面的拓展，不能局限于单纯的技能训练。单纯的技能训练不是提高高等职业教育的理想课程。以能力的培养为重点，以就业为导向，培养学生具备职业岗位所需的职业能力，职业生涯发展所需的能力和终身学习的能力，实现一站式教学理念。 课程设计思路：基于工作过程开发课程内容，以行动为导向进行教学内容设计，以学生为主体，以案例（项目）实训为手段，设计出理论学习与技能掌握相融合的课程内容体系。教学整体设计“以职业技能培养为目标，以案例（项目）任务实现为载体、理论学习与实际操作相结合”。
三、教学条件要求 操作系统：Windows 7、W AMP 开发工具：命令行工具（如cmd）、开发工具（如VS Code）、依赖管理工具（如Composer） 四、课程的主要内容及基本要求 第1章开发环境搭建 第2章PHP框架基础（上） 第3章PHP框架基础（下）
第4章数据库和模板引擎 第5章内容管理系统（上）
数值分析题库
一． 单项选择题（每小题2分，共10分） 1． 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 5102 1 -?，则该数是（ ） A 0.001523 B 0.15230 C 0.01523 D 1.52300 2． 设方阵A 可逆，且其n 个特征值满足：n λλλ>≥> (21) ，则1-A 的主特征值是（ ） A 11λ B n λ1 C 1λ或n λ D 11λ或n λ1 3． 设有迭代公式 → →+→+=f x B x k k ) () 1(。若||B|| > 1，则该迭代公式（ ） A 必收敛 B 必发散 C 可能收敛也可能发散 4． 常微分方程的数值方法，求出的结果是（ ） A 解函数 B 近似解函数 C 解函数值 D 近似解函数值 5． 反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ） A 追赶法 B LU 分解法 C 雅可比迭代法 D 高斯—塞德尔迭代法 二． 填空题（每小题4分，共20分） 1． 设有方程组 ??? ??=+-=+-=+0 21324321 32132x x x x x x x x ，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为 ?? ??? 2． 设?? ?? ??????----=111112101A ，则=∞A 3． 设1)0(,2'2 =+=y y x y ，则相应的显尤拉公式为=+1n y 4． 设 1)(+=ax x f ,2)(x x g =。若要使)(x f 与)(x g 在[0，1]上正交，则a = 5． 设 T x )1,2,2(--=→ ，若有平面旋转阵P ，使P → x 的第3个分量为0，则P = ???? ? ????? 三． 计算题（每小题10分，共50分） 1． 求 27的近似值。若要求相对误差小于0.1%，问近似值应取几位有效数字？
数值分析课后习题答案
习 题 一 解 答 1．取3.14，3.15， 227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。 解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差： 3()0.0016 ()0.51103.14r e x e x x -==≈? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311 101022 --?=? 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差： 2()0.0085 ()0.27103.15r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1 ＝11211101022 --?=? 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差：
《数值分析》第一章答案
习题1 1． 以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。 （1）*1x ＝451.023， 1x ＝451.01； （2）* 2x ＝－0.045 113， 2x ＝－0.045 18； （3）* 3x ＝23.421 3， 3x ＝23.460 4； （4）* 4x ＝3 1 ， 4x ＝0.333 3； （5）* 5x ＝23.496， 5x ＝23.494； （6）* 6x ＝96×510， 6x ＝96.1×510； （7）*7x ＝0.000 96， 7x ＝0.96×310-； （8）*8x ＝－8 700， 8x ＝－8 700.3。 解：(1) =* 1x 451.023 =1x 451.01 =-1*1x x 0.0131 10 2 1-?≤ ，1x 具有4位有效数字。→1x 451.0 (2) -=*2x 0.045 113 -=2x 0.045 18 =-
=-4* 4x x 4 10 2 1000033.0-?< ,4x 具有4位有效数字，=4x 0.3333 (5) =* 5x 23.496，= 5 x 23.494 =-5 *5 x x =-494.23496.232 10 21002.0-?< 5x 具有4位有效数字， → 5x 23.50 (不能写为23.49) (6) = * 6x 5 1096?7 10 96.0?= =6x 5 10 1.96?7 10 961.0?= =-6*6 x x 7 10 001.0-?7 2 10 102 1--??≤ 6x 具有2位有效数字，57610961096.0?=?=x (7) =*7x 0.00096 3 71096.0-?=x 3 *710 96.0-?=x =-7* 7x x 0 7x 精确 (8) 8700* 8-=x 8x 3.8700-= 8*8 x x -0 10 2 13.0?≤ = 8x 具有4位有效数字，8x 8700-=精确 2.以下各数均为有效数字： (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747?6.83; (2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。 问经过上述运算后，准确结果所在的最小区间分别是什么？ 解：(1) 1x =0.1062，2x =0.947，1x +2x =1.0532 )(1x e 4 10 2 1-?≤ ，)(2x e 3 10 2 1-?≤ )()()(2121x e x e x x e +≈+≤ +≤)()(21x e x e 3 4 10 2 110 21--?+ ? =0.00055
数值分析习题
第一章 绪论 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5 105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算） 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5* =，已知 cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差 限。（误差限的计算） 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算） 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 8 设?-=1 1 dx e x e I x n n ，求证： （1）)2,1,0(11 =-=-n nI I n n （2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）
第二章 插值法 习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。 1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ，求)(x f 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） 2 已知9,4,10=== x x x y ，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值） 3 若),...1,0(n j x j =为互异节点，且有 ) ())(())(()())(())(()(11101110n j j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------= +-+- 试证明 ),...1,0()(0 n k x x l x n j k j k j =≡∑=。 （拉格朗日插值基函数的性质） 4 已知352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===，用抛物线插值计算3367.0sin 的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 5 用余弦函数x cos 在00=x ，4 1π =x ，2 2π = x 三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值 多项式, 并近似计算6 cos π 及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗 日二次插值） 6 已知函数值212)6(,82)4(,46)3(,10)1(,6)0(=====f f f f f ，求函数的四阶均差 ]6,4,3,1,0[f 和二阶均差]3,1,4[f 。（均差的计算） 7 设)())(()(10n x x x x x x x f ---= 求][1,0p x x x f 之值，其中1+≤n p ，而节点 )1,1,0(+=n i x i 互异。（均差的计算） 8 如下函数值表 建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造） 9求一个次数小于等于三次多项式)(x p ，满足如下插值条件：2)1(=p ，4)2(=p ， 3)2(='p ，12)3(=p 。（插值多项式的构造）
数值分析复习题答案
数值分析复习题 一、填空 Chapter1 绪论 近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 3 位有效数字. 用1000.1近似真值1000时，其有效数字有 4 位， 已知准确值x*与其有t 位有效数字的近似值12 10.10(0)s n x a a a a =?≠的绝对误差为 1 x*-x 102s t -≤ ?。 设 2.40315x * =是真值 2.40194x =的近似值，则x * 有 3 位有效数字。 设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是44 11 1010224--?=?? ，其绝对误差限是4 1 102-?。 当x 很大时，为防止损失有效数字，应该使 = 。 Chapter2 插值方法 设642 ()3651f x x x x =+-+，则[3,2,1,0,1,2,3]f ---= 3 。 若 42 f(x)=2x +x -3, 则f[1,2,3,4,5,6]= 0 。 对 32f(x)=x +3x -x+5,差商f[0,1,2,3,4]= 0 。 设 643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 1 。 已知y=f(x)的均差 021[,,]5f x x x =, 402[,,]9f x x x =, f[x4, x3, x2]=14， f[x0, x3, x2]=8 ,.那么 均差f[x4, x2, x0]= 9 。（交换不变性） 设有数据112 032 x y -则其 2 次 Larange 插值多项式为 32 (1)(2)(1)(1)23x x x x -+-++-，2次拟合多项式为 （最佳平方逼近可求）。？？？ 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为 ()k l x ( k =0,1,2,…,n)，则 n k k=0 kl (x)= ∑ x 。？？（注： k y k =，则有拉格朗日插值公式：
数值分析思考题1
数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 答：（1）绝对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x *表示成 x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。若绝对误差e ，那么x *至少有n 个有效数字，即a 1，a 2，…，a n 为有效数字，而a n+1，…，a k ，…不一定是有效数字。因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。 （2）相对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x *表示成 x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣ k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。若a k 是有效数字，那么相对误差不超过 ;反之，如果已知相对误差r ，且有，那么a k 必为有效数字。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 答：在实际计算时，由于真值常常是未知的，当较小时，通常用代替。 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 r e x x e x x *****-==
- 答：（1）病态问题：对于数学问题本身，如果输入数据有微小变化，就会引起输出数据（即问题真解）的很大变化，这就是病态问题。 （2）不同点：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。 4、 取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么 （1）(33-，（2）(27-，（3）()31 3+，（4）()61 1，（5） 99-答：（1）(33-==； （2）(27-==； （3） ()3 13+=； （4）()611+=； （5）99-=； 由上面的计算可以看出，方法（3）最好，因为计算的 误差最小。 ， 141.≈)61
数值分析实验——数值积分
桂林电子科技大学 数学与计算科学学院实验报告 实验室： 06406 实验日期： 2014 年 11 月 21 日 院（系） 数学与应用数学 年级、专业、班 姓名 成绩 课程 名称 数值分析实验 实验项目 名 称 实验积分 指导 教师 李光云 一 、实验目的 通过实验掌握利用Matlab 进行数值积分的操作，掌握Matlab 中的几种内置求积分函数，进一步理 解复化梯形，复化辛普生公式，并编程实现求数值积分 二、实验原理 Matlab 中，有内置函数计算积分： >> z = trapz(x,y) 其中，输入x ，y 分别为已知数据的自变量和因变量构成的向量，输出为积分值。 >> z = quad(fun,a,b) 这个命令是使用自适应求积的方法计算积分的命令。其中，fun 为被积函数，a ，b 为积分区间。 我们还可以利用复化梯形公式 ()()()()?? ? ??++-=∑-=11022n i i n x f x f x f n a b I 三、使用仪器，材料 电脑 MATLAB 四、实验内容与步骤 1. 编写复化辛普生公式的Matlab 的程序。 2. 利用复化梯形法程序计算1 2041I dx x =+?，记录下计算结果随着n 增加的变化情况，画图与复化梯形公式的情况比较收敛速度。 3. 积分 ?dx x x sin 的原函数无法用初等函数表达，结合Matlab 复化梯形程序，用描点法绘制其原函数?x dt t t 1sin 在区间[]50,1的图形。 五、实验过程原始记录（数据，图表，计算等）
一、 复化Simpson公式程序： function s=Simpson(a,b,n) %输出s为积分的数值解，输入(a,b)为积分区间，n为等分区间的个数. h=(b-a)/(n*2); s1=0; s2=0; s=h*(f(a)+f(b))/3;%先计算特殊两点相加. for k=1:n x1=a+h*(2*k-1); %利用循环计算其他点的相加. s1=s1+f(x1); end for k=1:(n-1) x2=a+h*2*k; %利用循环计算其他点的相加. s2=s2+f(x2); end s=s+h*(4*s1+2*s2)/3; 画图程序 format long; % k为等分区间个数，t存储积分值. k=2:1:40; for i=1:length(k) t(i)=Simpson(0,1,k(i)); disp([k(i),t(i)]); end plot(k,t,'.','MarkerSize',20) 二、 Simpson(0,1,26) ans = 3.14159265358779 >> Untitled6 2.00000000000000 3.14156862745098 3.00000000000000 3.14159178093604 4.00000000000000 3.14159250245871 5.00000000000000 3.14159261393922 6.00000000000000 3.14159264030538 7.00000000000000 3.14159264832065 8.00000000000000 3.14159265122482
数值分析习题答案
1第一章 习题解答 1 设x >0，x 的相对误差限为δ，求 ln x 的误差。 解：设 x 的准确值为x *，则有 ( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 所以 e (ln x )=| ln x – ln x * | =| x – x * | ×| (ln x )’|x=ξ·≈ ( | x – x * | / | x *| ) ≤ δ 另解： e (ln x )=| ln x – ln x * | =| ln (x / x *) | = | ln (( x – x * + x *)/ x *) | = | ln (( x – x * )/ x * + 1) |≤( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限ε( x ) 和 ε( y ) 。 解：| e (x ) | = |e (– 2.18)|≤ 0.005，| e (y ) | = |e ( 2.1200)|≤ 0.00005，所以 ε( x )=0.005， ε( y ) = 0.00005。 3 下近似值的绝对误差限都是 0.005，问各近似值有几位有效数字 x 1=1.38，x 2= –0.0312，x 3= 0.00086 解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知，x 1，x 2， x 3有效数末位数均为小数点后第二位。故x 1具有三位有效数字，x 2具有一位有效数字，x 3具有零位有效数字。 4 已知近似数x 有两位有效数字，试求其相对误差限。 解：| e r (x ) | ≤ 5 × 10– 2 。 5 设 y 0 = 28，按递推公式 y n = y n-1 – 783/ 100 ( n = 1，2，…) 计算到y 100。若取≈78327.982 （五位有效数字），试问，计算 y 100 将有多大的误差？ 解：由于初值 y 0 = 28 没有误差，误差是由≈78327.982所引起。记 x = 27.982，783?=x δ。则利用理论准确成立的递推式 y n = y n-1 – 783/ 100 和实际计算中递推式 Y n = Y n-1 – x / 100 (Y 0 = y 0) 两式相减，得 e ( Y n ) = Y n – y n = Y n-1 – y n-1 – ( x – 783)/ 100 所以，有 e ( Y n ) = e ( Y n-1) – δ / 100 利用上式求和 δ?=∑∑=?=100111001)()(n n n n Y e Y e 化简，得 e ( Y 100) = e ( Y 0) – δ = δ 所以，计算y 100 的误差界为 4100105001.05.0)(?×=×=≤δεY 6 求方程 x 2 – 56x + 1 = 0的两个根，问要使它们具有四位有效数字，D=ac b 42 ?至少要取几位有效数字？ 如果利用韦达定理，D 又应该取几位有效数字？ 解：在方程中，a = 1，b = – 56，c = 1，故D=4562?≈55.96427，取七位有效数字。
数值分析分章复习(第四章数值积分)
第四章 数值积分 要点：（1）数值积分公式的代数精确度概念，代数精确度所蕴含的余项表达式 （2）插值型求积公式的构造及余项表达式 （3）插值型求积公式关于代数精确度的结论及证明 （4）梯形公式、Simpson 公式的形式及余项表达式 （5）复合梯形公式、复合Simpson 公式及其余项表达式 （6）掌握如何根据要求的精度依据复合梯形（或Simpson ）公式的余项确定积分 区间[a,b]的等分次数n （7）Newton-Cotes 求积分公式的特点以及代数精确度的结论 （8）高斯型求积公式的概念 复习题： 1、已知求积公式为 ( )( )(1 1158059f x dx f f f -? ?≈++?? ? (1) 确定它的代数精度，并指出它是否为Gauss 公式； (2) 用此求积公式计算定积分 1 -? 解：（1）依次取2345()1,,,,,f x x x x x x =代入积分公式可发现: 左端=右端， 而当取6()f x x =时，左端 ≠可端 可见该是求积公式具有5阶代数精确度 由于求积公式节点数为3n =,而公式代数精确度21p n =- 所以该求积公式为Gauss 公式 （1 ）对于()f x = 有 ()0.5166, (0)0.426460.f f ===± 故 1 0.5166801 (50.9530.426450.51669 )-?+?+?≈≈?
3、分别用梯形公式和二点Gauss 公式计算积分?1 dx e x ，比较二者的精度 解：利用梯形公式，1 01 1() 1.85922 x e dx e e ≈ +≈? 注：Gauss 公式部分不要 4、对于积分 ? -1 dx e x 。 （1）写出梯形公式与辛普森公式；（2）请直接指出这两个公式的代数精度；（3）问区间[0,1]应分为多少等分，用复化辛普森公式才能使误差不超过6102 1 -? 解：（1）011()0.68392T e e --= +≈， 00.511 (4)0.63236 S e e e ---=++≈ （2）梯形公式余项 3()[](12) , [0,1]12 T b a R f f e η ηη-=-∈-''=- 辛普森公式余项5(4)()[]() , [0,1]28828800 S f f e b a R η ηη-=-∈-=- 可见梯形公式代数精度为 1p =，辛普森公式代数精度3p = （3）根据复合辛普森公式的余项 5(4)44 ()[](2880288)0n S b a e R f f n n η η----== 注意到44 1 |[]|28802880n S e R f n n η-=≤ 令 64 11 1028802 n -≤?，解得 5.133n ≥ 可见当取4n =时，对应的复合辛普森公式n S 可满足精度要求 5、确定下列公式 ? -++-≈2 2 )1()0()1()(Cf Bf Af dx x f 中的参数A ，B ，C ，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精确度。 解：依次取2 ()1,,f x x x =代入积分公式，并令: 左端=右端，得方程组 4 016 + 3A B C A C A C ? ?++=?-+=???=? ， 解得 83 43A C B ?==????=-??