高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1] (1)

圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如方程2222(6)(6)8x y x y -+-++=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22

22b

x a y +＝1（0a b >>）。

方程22

Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2

2

y x +的最小值是___（答：5,2）

（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22

22b

x a y -＝1（0,0a b >>）。方程

22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。

如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，

则C 的方程为_______（答：226x y -=）

（3）抛物线：开口向右时2

2(0)y px p =>，开口向左时2

2(0)y px p =->，开口向上时

22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由x 2

,y

2

分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程1212

2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：

)2

3

,1()1,( --∞）

（2）双曲线：由x 2,y 2

项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2

2

2

a b c =+，在双曲线中，c 最大，2

2

2

c a b =+。

4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以122

22=+b

y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两

个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a

=，椭圆?01e <<，

e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。

如（1）若椭圆

152

2

=+m

y x 的离心率510

=

e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）

（2）双曲线（以22

22

1x y a b -=（0,0a b >>）为例）

：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为

22

,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a

=，双曲线?1e >，等轴双曲线

?2e =，e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b

y x a

=±。

（3）抛物线（以2

2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2

p ，其中p

的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；

④准线：一条准线2

p

x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。

如设R a a ∈≠,0，则抛物线2

4ax y =的焦点坐标为________（答：)161

,

0(a

）； 5、点00(,)P x y 和椭圆122

22=+b

y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200221x y a b +>；

（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b

y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200

221x y a b +<

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

（2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线与抛物线相切；

（3）相离：0?

提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线

与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2222b

y a x -＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个

公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线

和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： 2

0tan ||2

S b c y θ

==，

当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ；对于双曲线2

tan

2θ

b S =

。 如 （1）短轴长为5，

8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF ；（3）设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB ；（4）若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线。

9、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB ＝2

121k

x x +-，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝212

1

1y y k -+

，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB ＝2

121k

y y +-。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计

算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

抛物线：

10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆122

22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0

202y a x b ；

弦所在直线的方程： 垂直平分线的方程：

在双曲线22

221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0

202y a x b ；在抛物线

22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0

p

y 。

提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！

11．了解下列结论

（1）双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02222=-b

y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222

=-b

y a x 为参数，λ≠0）。

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2

2

1mx ny +=；

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为2

2b a

，焦准距（焦点到相应准线的距

离）为2

b c

，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ；

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（6）若抛物线2

2(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；

②2

21212,4

p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2

2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点

(2,0)p

12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=

；

（2）给出OB OA +与AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点;

（3）给出0

=+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;

（4）给出()

BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数

,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线.

（6） 给出0=?MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m MB MA ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m MB MA ,等于已知AMB ∠是锐角,

（8）给出MP MB MB MA MA =???

?

? ??+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/

（9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+AD AB AD AB ，等于已知ABCD 是菱形;

（10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形; （11）在ABC ?中，给出2

2

2

OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ?的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在ABC ?中，给出0=++OC OB OA ，等于已知O 是ABC ?的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （13）在ABC ?中，给出OA OC OC OB OB OA ?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

F

A

P H

B

Q

（14）在ABC ?中，给出+=OA OP (

)||||

AB AC

AB AC λ+)(+∈R λ等于已知AP 通过ABC ?的内心；

（15）在ABC ?中，给出,0=?+?+?OC c OB b OA a 等于已知O 是ABC ?的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）； （16） 在ABC ?中，给出()

1

2

AD AB AC =

+,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线; （3）已知A,B 为抛物线x 2=2py (p >0)上异于原点的两点，0OA OB ?=，点C 坐标为（0，2p ）

（1）求证：A,B,C 三点共线；

（2）若AM ＝BM λ（R ∈λ）且0OM AB ?=试求点M 的轨迹方程。

（1）证明：设22

1212(,),(,)22x x A x B x p p

，由0OA OB ?=得

222

1212120,422x x x x x x p p p

+=∴=-，又222121121(,2),(,

)22x x x AC x p AB x x p p -=--=- 222

211121(2)()022x x x x p x x p p

-∴-?--?-=，//AC AB ∴，即A,B,C 三点共线。

（2）由（1）知直线AB 过定点C ，又由0OM AB ?=及AM ＝BM λ（R ∈λ）知OM ⊥AB ，垂

足为M ，所以点M 的轨迹为以OC 为直径的圆，除去坐标原点。即点M 的轨迹方程为x 2+(y-p )2=p 2(x ≠0，y ≠0)。

13.圆锥曲线中线段的最值问题：

例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________

(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 。 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =，因而易发现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。

（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 三点共线时，距离和最小。 解：（1）（2，2）（2）（

1,4

1

） 1、已知椭圆C 1的方程为14

22

=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点。 (1) 求双曲线C 2的方程； (2) 若直线l ：2+

=kx y 与椭圆C 1及双曲线C 2恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A

和B 满足6

解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12

222=-b y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由 故C 2的方程为22

1.3x y -=（II ）将.0428)41(14

22222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得

,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=?k k k 即 21

.4

k > ①

0926)31(13

22222

=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不

同的交点A ，B 得2

22

222

2130,1 1.3(62)36(13)36(1)0.

k k k k k k ?-≠?≠??即且 22

629

(,),(,),,131366,(2)(2)

A A

B B A B A B

A B A B A B A B A B A B k A x y B x y x x x x k k OA OB x x y y x x y y x x kx kx -+=?=--?<+<+=+++设则由得而 22

22

22(1)2()2

962(1)22131337

.31

A B A B k x x k x x k

k k k k

k k =++++-=+?

+?+--+=- 22223715136,0.3131k k k k +-<>--于是即解此不等式得22

131.153

k k ><或 ③

由①、②、③得

.115

13

314122<<<

(1,)(,)(,)(,1)15322315

--

-- 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA ?AB = MB ?BA ，M 点的轨迹为曲线C 。

（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。 (Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA =（-x,-1-y ）, MB =(0,-3-y), AB =(x,-2).再

由愿意得知（MA +MB ）? AB =0,即（-x,-4-2y ）? (x,-2)=0.

所以曲线C 的方程式为y=

14x 2-2. (Ⅱ)设P(x 0,y 0)为曲线C ：y=14x 2-2上一点，因为y '=12

x,所以l 的斜率为12x 0因此直线l 的方程为0001()2

y y x x x -=-，即2

00220x x y y x -+-=。

则O 点到l 的距离2

00

20|2|4y x d x -=+.又200124y x =-，所以2

020*********(4)2,244

x d x x x +==++≥++

当2

0x =0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.

设双曲线22221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2

+1相切，则该双曲线的离心率等于( )

设双曲线122

22=-b

y a x 的一条渐近线，则双曲线的离心率为( ).

过椭圆22

221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若

1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为

已知双曲线

)0(1222

2>=-b b

y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝( )0

已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2

:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若

||2||FA FB =，则k =( )

已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线2

4y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）

设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。若AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为_____________.

椭圆22

192

x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 .

过抛物线2

2(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________________

【解析】设切点

00(,)P x y ，则切线的斜率为0

'

|2x x y x ==.由题意有

00

2y x x =又2001y x =+解得: 2201,2,1()5b b

x e a a =∴

==+=

双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21

b y x a y x ?

=?

??=+?,消去y,得2

10b

x

x a

-

+=有唯一解,所以△=2()40b a -=,所以2b a =,2221()5

c a b b

e a a a +===+=

由渐近线方程为

x y =知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是222=-y x ，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和

（2，0），且

)

1,3(P 或

)

1,3(-P .不妨去

)

1,3(P ，则

)1,32(1---=PF ，)1,32(2--=PF .

∴

1

PF ·

2

PF ＝

01)32)(32()1,32)(1,32(=+-+-=-----

【解析】设抛物线2:

8C y x =的准线为:2l x =-直线

()()20y k x k =+>恒过定点P

()2,0- .如图过A B 、分 别作

AM l

⊥于

M

,

BN l

⊥于

N

, 由

||2||

FA FB =,则

||2||AM BN =,点B 为AP 的中点.连结OB ,则1

||||2

OB AF =

, ||||OB BF ∴= 点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为

22022

(1,22)1(2)3

k -∴=

=

--, 故选D ()()()2

11

1122122

22

22

1212121212

4,,,,4441y x A x y B x y x x y x y y y y x x x x y y ?=?≠?=??--=-∴==-+∴则有，两式相减得，，直线l 的方程为y-2=x-2,即y=x