解析几何中对称问题的探索

解析几何中对称问题的探索
解析几何中对称问题的探索

解析几何中对称问题的探索

忻海波.(宁波市鄞州区五乡中学数学组,浙江宁波,315111)

摘要:其实在数学里有很多的对称问题,特别在几何上更是比较多。本文通过对几何中对称问题的解析,使得大家对于对称点、对称直线和对称曲线的方法和步骤有个比较清楚的了解,遇到类似的题目可以更简单快速的按照一定的套路和规律解题,提高学习效率。以下详细地探讨了关于对称点的问题、关于对称直线的问题、关于对称曲线的问题,并且提供了通用的基本公式和一些特殊的解题技巧,希望对大家有所帮助!

关键词:对称点;对称直线;对称曲线.

一、引言

对称问题是几何中比较常见的热点问题,也是高考中的常见题型,平常对于这种题目,没有一个非常简单地规律可循,大大加长了我们的思考时间,所以我们接下来通过对一下问题的探讨,总结出一套简单可行的步骤,提升大家的解题效率。一般分为一下几个问题:关于对称点的问题、关于对称直线的问题、关于对称曲线的问题

二、关于对称点的问题

1.求点关于点的对称点

其实只要是涉及点的对称问题,都是对称问题中最基本的一种类型,而且在这个题型的基础上,其它类型的对称问题都是由关于点对称的这个最基本的问题变化而来的.而处理此类问题的关键就在于中点坐标公式的熟练应用。

基本公式如下如下:由中点坐标公式易知点(x,y),关于点(a,b)对称的点的坐标为(2a-x,2b-y),那么所求的点就是:(2a-x,2b-y)

例1 求点A(4,3)关于点B(-1,2)对称的点C的坐标

解:根据题目可以知道,对于线段AC,B为对称点,即是中点,可设定点C的坐标为(x,y),

则可得出:X=2×(-1)-4=-6,y=2×2-3=-1

所以点C的坐标为(-6,1)

2.求点关于直线的对称点

而涉及到点关于直线的对称问题,其实是点关于点对称问题的一种拓展,,处理此类.作者简介:忻海波(1971-),男,浙江宁波人,宁波市鄞州五乡中学数学教师,研究方向:解析几何

问题时主要从以下两个方面入手:第一,两点所在直线的中点正好在已知直线上.第二,两点所在直线垂直于已知直线,

例如:A(m0,n0)直线Am+ Bn+ C=0,假定B(m1,n1)为点关于直线的对称点

可知:A(m0+m1)/2+B(n0+n1)/2+C=0

可知: A(n1-n0)=B(m1-m0)

解方程即可值得注意的是如果是关于n=m+c 或n=-m+c对称则可以直接代方程,

则:A(m0,n0)令B(m1,n1)为点关于直线n=m+c的对称点n=m+c=m0+c m=n-c=n0-c B(m0+c,n0-c)

例题如下:

设对称点坐标为 Q(x,y)。点PQ在直线上,直线l: y = 3x+3,其斜率为 3。

所以PQ斜率为 -1/3(y-5)/(x-4) = - 1/3

则 x-4 = 15 - 3yx+3y = 19PQ

因此中点坐标为 [(4+x)/2, (5+y)/2]该点在直线l上。

所以(5+y)/2 = 3*(4+x)/2 + 35+y = 12 + 3x + 6y-3x = 13

合并y-3x=13x+3y=19x=-2 y = 7

则可以得到:题目中所求对称点为 ( -2,7)

三、关于对称直线的问题

1.求直线关于直线外一点的对称直线

关于这个问题,关键就在于如果两条直线关于某个点对称,那么这两条直线一定平行,那么这个点到两条直线的距离肯定相等!这样问题就转化为一下问题:

假如点(M,N)关于直线L1:aX+bY+c=0和到直线L2:a’X+b’Y+c’=0 这两条直线的距离相等,这样的话,基本公式为:

d=|ax1+by1+c|/√(a^2+b^2)= |a’x1+b’y1+c|’/√(a’^2+b’^2)

例题如下:已知直线l1为x-y-1=0,求它关于点P(3,1)的对称直线L2的方程。

解题如下:设直线L2的方程为X-Y+M=0

则代入公式:d=|ax1+by1+c|/√(a^2+b^2)= |a’x1+b’y1+c|’/√(a’^2+b’^2) 则得到:|3-1-1 |√2=|3-1+m|√2

则得到:M=-3.

可知:直线L2的方程为x-y-3=0

2.求直线关于直线的对称直线

涉及到关于直线对称的问题,其实有两种情况,①两条已知直线平行,②两条已知直线相交。例如已知直线L1和直线L,求直线L1关于直线L对称的直线L2方程。

第一种情况:如果两条已知直线平行,

方法:因为两线平行,可以直接根据这个条件设定来求解,其次关于直线平行,表示两直线到所关于直线的距离相等,可以通过这两点求对称直线的方程。

第二种情况:如果两条已知直线相交

方法1:在L1上随便取一点A,设定所求直线上一点B,则AB的中点在直线L上。

方法2:先求出L1与L的交点坐标,其次用两直线与直线L的夹角相等求解出L2的斜率,然后用点斜法写出所求直线的方程。

方法3:先求出L1与L的相交点的坐标,再在直线L1上随便取一点A,并求出点A关于直线L的对称点,最后用两点式写出所求直线方程。

例题如下:求直线l1:m-n-2=0关于直线l2:3m-n+3=0对称的直线方程。

首先,两直线交点A(-5/2,-9/2)在对称的直线上其次在直线L1上任取一点B(2,0)求B 关于直线L2的对称点B',则AB'即为要求的直线。

下面求B’直线BB'的方程为 n=-(m-2)/3 其与L2的交点C(-7/10,9/10)所以B'(-17/5,9/5) 故直线AB'的方程为 n=-7(m+5/2)-9/2 即 7m+n+22=0

其他解法如下:用直线k1到直线k2的到角公式 tanθ=(k2-k1)/(1+k1k2)则由于L1到L2的夹角和L2到所求直线夹角相等于是所求直线斜率 k满足 (3-1)/(1+3)=(k-3)/(1+3k) ==》k=-7再加上点A(-5/2,-9/2),可以知道所求直线为:n=-7(m+5/2)-9/2整理的n+7m+22=0

三、关于对称曲线的问题

1.求曲线关于点的对称曲线方程

如:线4a^2+9b^2=36关于点Q(-3,1)对称的曲线方程

设M(m,n)在原曲线上,N(a,b)在所求曲线上m=-6-a,n=2-b,代入原方程4(-6-a)^2+9(2-b)^2=36化简得4(a+6)^2+9(b-2)^2=36

2.求曲线关于直线的对称曲线方程

相对而言,曲线的问题相对复杂一点,但是从本质上来讲都是可以转化为点关于直线对称的问题来解决,以下列举一些常见的曲线关于直线的对称问题的解决方法,比如:

(1)曲线f(m,n)=0关于直线m=a对称的曲线方程为f(2a-m,n)=0,

(2)曲线f(m,n)=0关于直线n=m+b对称的曲线方程为f(m,2b-n)=0,

(3)当斜率为1时,曲线f(m,n)=0关于直线n=m+b对称的曲线方程为f(n-b,n+b)=0, (4)当斜率为-1时,曲线f(m,n)=0关于直线n=-m+b对称的曲线方程为f(-n+b,-m+b)=0, 例如:求解曲线f(m,n)=0关于直线m-n-2=0对称的曲线方程

一般解法如下:假设M(m0,n0)是题中曲线上随意的一个点,

则有f(m0,n0)=0

再假设(m,n)与(m0,n0)关于m-n-2=0对称,

∴(n0-n)/(m0-m)=-1

∴(m0+m)-(n0+n)-4=0

合并上述两个方程可知:m0=n+2,n0=m-2,代入f(m,n)=0得:f(n+2,m-2)=0,即是所求的曲线方程。

其实对于对称轴直线的斜率为±1的,还有更为简洁的方法如下:由m-n-2=0,∴m=n+2,n=m-2,代入得f(n+2,m-2)=0. 此为所求对称曲线方程。

总结

通过以上这些简单问题的分析,我们由浅入深的探讨了几何中比较常见的几种对称问题,以后我们再遇到类似的这种问题是,可以节省思考的时间,直接运用上面讨论的方法和规律,以及上面的公式,直接列出解法求解,以上只是列举了其中一部分,希望对大家有所帮助!

参考文献:

[1] 张淑梅. 关于对称问题的研究[J]. 新课程(中学版) 2008年02期

[2] 冯俊仁. 谈解析几何中的对称变换[J]. 高中数理化 2009年04期

[3] 卢从研. 平面解析几何中的四种对称及其应用[J]. 华章(教学探索) 2007年09期

[4] 娄秀勤. 直线中对称问题归类解析[J]. 中学生数理化(高二版) 2008年10期

[5] 董秋霞. 直线中四类经典对称问题[J]. 中学生数理化(高一版) 2010年11期

[6] 肖贯勋. 解析几何中的对称问题[J]. 中学生数学 2007年03期

平面解析几何中的对称问题

平面解析几何中的对称问题 新林 市第一中学 515031 对称性是数学美的重要表现形式之一,在数学学科中对称问题无处不在。在代数、三角中有对称式问题;在立体几何中有中对称问题对称体;在解析几何中有图象的对称问题。深入地研究数学中的对称问题有助于培养学生分析解决问题的能力,有助于提高学生的数学素质。 在平面解析几何中,对称问题的存在尤其普遍。平面解析几何中的对称问题在高考试题中更是屡见不鲜。本文将对平面解析几何中的几种常见对称问题作一些肤浅的探讨,以求斧正。 平面解析几何中的对称问题主要有如下几种:点关于点的对称问题简称点点对称;点关于直线的对称问题简称点线对称;曲线关于点的对称问题简称线点对称;曲线关于直线的对称问题简称线线对称。 一、点点对称 定理1平面上一点),(y x M 关于点),(00y x P 的对称点为)2,2(00' y y x x M --, 特别地,点 ),(y x M 关于点)0,0(P 的对称点为),('y x M --。 证明:显然 ),(00y x P 为线段'MM 的中点,设),('''y x M ,由中点坐标公式有: ??? ????+=+=22' 0'0y y y x x x ,即???-=-=y y y x x x 0' 0'22 ,故)2,2(00' y y x x M --。 例1 若点 A 关于点)1,2(- B 的对称点为)2,4( C ,求点A 的坐标。 解:设 ),(y x A ,由定理1有)212,4)2(2(-?--?A ,即)0,8(-A 。 二、点线对称 定理1平面上一点),(00y x M 关于直线)0(,0:2 2 ≠+=++B A C By Ax l 的对称点为: -+++- 022000',)(2(y B A C By Ax A x M )) (22 200B A C By Ax A +++。 证明:先证明一般情况,即0,0≠≠ B A 的情况。 ),(' y x ,线段'MM 交直线l 于点 与点),('y x M 关于直线l 对称,故),(Q Q y x Q 为线段' MM 的中点且l MM ⊥', X 于是有: ),(y x M

直线中的对称问题—4类对称题型

直线中的对称问题—4类对称题型 直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题,我们可以把它主要归纳为,点关于点对称,点关于线对称,线关于点对称,线关于线对称问题,下面我们来一一探讨: 一、点关于点对称问题 解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式,同时也是其它对称问题的基础. 例1.求点(1)关于点的对称点的坐标, (2),关于点对称,求点坐标. 解:由题意知点是线段的中点, 所以易求(1) (2). 因此,平面内点关于对称点坐标为 平面内点,关于点对称 二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时,根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得. 例2.已知点直线:,求点关于直线的对称点的坐标 解:法(一)解:设,则中点坐标为且满足直线的方程 ① 又与垂直,且斜率都存在即有② 由①②解得, 法(二)求点点关于线对称问题,其实我们可以转化为求点关于点对称的问题,可先求出的直线方程进而求与的交点坐标,再利用中点坐标公式建立方程求坐标. 三、线关于点对称问题 求直线关于某一点的对称直线的问题,一般转化为直线上的点关于点的对称问题. 例3.求直线:关于点的对称直线的方程. 解:法(一)直线:与两坐标轴交点为, 点关于对称点 点关于对称点 过的直线方程为,故所求直线方程为. 法(二)由两直线关于点对称,易知两直线平行,则对称点到两直线的距离相等,可以建立等式,求出直线方程. 四、线关于线的对称问题 求直线关于直线的对称问题,一般转化为点关于直线对称问题:即在已知直线上任取两不同点,求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程. 例4.求已知直线:关于直线对称的直线方程. 解:在:上任取一点 直线的斜率为3

高中平面解析几何知识点总结

高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率: α tan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k .两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0 x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式:121 121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠,12 x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意直线. (4)截距式:1=+b y a x ( b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式: B C x B A y - - =,即,直线的斜率: B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0 x ,常设其方程为 x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点 00(,) x y ,常设其方程为 00 ()y k x x y =-+或 x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直 线一般不重合.

高中数学解题方法系列:解析几何中对称问题的常见求解方法

高中数学解题方法系列:解析几何中对称问题的常见求解方法 解析几何中的对称问题在现行中学数学材料中没有按章节进行系统编排,只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。但这部分知识是解析几何中重要的基础内容,也是近年来的高考热点之一。对称点、对称直线的求法,对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的。这就要求教师在讲完直线、曲线部分后,需对对称问题进行适当的归纳、总结。使学生对这部分知识有一个较完整的、系统的认识,从而解决起对称问题才能得心应手。本文谈一下中学解析几何中常见的对称问题和解决办法。 一、关于点对称。 1、点关于点对称。①点(,)P a b 关于原点的对称点坐标是(,)a b --;②点(,)P a b 关于某一点00(,)M x y 的对称点的坐标,利用中点坐标式求得为00(2,2)x a y b --。 2、直线关于点对称。① 直线L :0Ax By C ++=关于原点的对称直线。设所求直线上一点为(,)P x y ,则它关于原点的对称点为(,)Q x y --,因为Q 点在直线L 上,故有()()0A x B y C -+-+=,即0Ax By C +-=;② 直线1l 关于某一点00(,)M x y 的对称直线2l 。它的求法分两种情况:1、当 00(,)M x y 在1l 上时,它的对称直线为过M 点的任一条直线。2、当M 点不在1l 上时,对称直线的求法为:解法(一):在直线2l 上任取一点(,)P x y ,则它关于M 的对称点为00(2,2)Q x x y y --,因为Q 点在1l 上,把Q 点坐标代入直线在1l 中,便得到2l 的方程。解法(二):在1l 上取一点11(,)P x y ,求出P 关于M 点的对称点Q 的坐标。再由12l l K K =,可求出直线2l 的方

解析几何里面的对称性问题

解析几何里面的对称性问题 1. 点关于点对称的求法 直线关于点对称的求法(可转化为点关于点对称求解;注意判断点是否在直线上) 点关于直线对称的的求法 直线关于直线对称的求法(分平行和相交2种情况讨论) 点关于点的对称点A′的坐标是 变式1-1点关于点的对称点A′的坐标是 变式1-2过点P(3,0)作一直线l,使它被两直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y +3=0所截的线段AB以P为中点,求此直线l的方程.

求直线关于点对称的直线方程. 变式2-1求直线l:2x-3y+1=0关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程. 求点关于直线:的对称点的坐标. 变式3-1求点关于直线:的对称点的坐标. 已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程是( ) A. x-2y+1=0 B.x-2y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+2y-1=0 变式4-1已知直线,直线,直线与直线关于直线对称,求直线的方程. 能力提高 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求: (1) 点A关于直线l的对称点A′的坐标; (2) 直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程; (3) 直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程.

变式 光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.

2.从点(2,3)射出的光线沿与向量a=(8,4)平行的直线射到y轴上,则反射光线所在的直线方程 为 ( ) A.x+2y-4=0 B.2x+y-1=0 C.x+6y-16=0 D.6x+y-8=0

浅谈解析几何中的对称问题

浅谈解析几何中的对称问题 解析几何中的对称问题在现行中学教材中没有按章节进行系统编排,只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。对称问题主要涉及四种类型:点关于点成中心对称;线(直线或曲线)关于点成中心对称;点关于线成轴对称;线(直线或曲线)关于线成轴对称。无论是解析几何的新授课还是复习课,几乎所有的老师都会对对称问题进行教学或复习,近几年对称问题也是高考的热点之一。这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结,使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识,从而解决起对称问题才能得心应手。本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题类型及解决方法。 一、中心对称:即关于点的对称问题 定义:把一个图形绕某个点旋转180o 后能与另一个图形重合,称这两个图形关于这个点对称。这个点叫做对称中心。 性质:关于某个点成中心对称的两个图形,对称点的连线都经过对称中心,且被对称中心平分。 1. 点关于点对称 例1. 求P (3,2)关于M (2,1)的对称点P ’的坐标。 分析:由中心对称的性质得M 点是PP ’的中点,可求P ’(1,0) 。 小结:P (x 0,y 0)???????→?的对称点 ,(关于点)b a M P ’(2a -x 0,2b -y 0)(依据中点坐标公式)。 特例P (x 0,y 0)?????→?关于坐标原点对称 P ’(-x 0, -y 0)。 2. 直线关于点对称 例2. 求直线l 1:x +y -1=0关于M (3,0)的对称直线l 2的方程。 分析:思路一:在直线l 2上任取一点P (x ,y ),则它关于M 的对称点Q (6-x, -y ),因为Q 点在l 1上,把Q 点坐标代入直线l 1中,便得到l 2的方程:x +y -5=0。 思路二:在l 1上取一点P (1,0),求出P 关于M 点的对称点Q 的坐标(5,0)。再由k l1=k l2,可求出直线l 2的方程x +y -5=0。 思路三:由k l1=k l2,可设l 1:Ax +By +C=0关于点M (x 0,y 0)的对称直线为Ax +By +C ’=0且 2 200B A C By Ax +++= 2 2' 00B A C By Ax +++,求出C ' 及对称直线l 2的方程x +y -5=0。 小结:直线关于点对称的情形: (1) 直线L :0Ax By C ++=关于原点的对称直线。设所求直线上一点为(,)P x y ,则它 关于原点的对称点为(,)Q x y --,因为Q 点在直线L 上,故有()()0A x B y C -+-+=,即0Ax By C +-=; (2) 直线1l 关于某一点00(,)M x y 的对称直线2l 。它的求法分两种情况: 1、当00(,)M x y 在1l 上时,它的对称直线为过M 点的任一条直线。 2、当M 点不在1l 上时,对称直线的求法为:解法(一):在直线2l 上任取一点(,)P x y ,

解析几何中的对称问题

解析几何中对称问题的常见求解方法 关键词:对称点、对称直线 解析几何中的对称问题在现行中学数学材料中没有按章节进行系统编排,只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。但这部分知识是解析几何中重要的基础内容,也是近年来的高考热点之一。对称点、对称直线的求法,对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的。这就要求教师在讲完直线、曲线部分后,需对对称问题进行适当的归纳、总结。使学生对这部分知识有一个较完整的、系统的认识,从而解决起对称问题才能得心应手。本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题和解决办法。 一、关于点对称。 1、点关于点对称。①点(,)P a b 关于原点的对称点坐标是(,)a b --;②点 (,) P a b 关于某一点00(,)M x y 的对称点的坐标,利用中点坐标式求得为 00(2,2)x a y b --。 2、直线关于点对称。① 直线L :0Ax By C ++=关于原点的对称直线。设所求直线上一点为(,)P x y ,则它关于原点的对称点为(,)Q x y --,因为Q 点在直线L 上,故有()()0A x B y C -+-+=,即0 Ax By C +-=;② 直线1l 关于某一 点00(,)M x y 的对称直线2l 。它的求法分两种情况:1、当00(,)M x y 在1l 上时,它的对称直线为过M 点的任一条直线。2、当M 点不在1l 上时,对称直线的求法为:解法(一):在直线2l 上任取一点(,)P x y ,则它关于M 的对称点为 00(2,2)Q x x y y --,因为Q 点在1l 上,把Q 点坐标代入直线在1l 中,便得到2l 的

平面解析几何中的对称问题

平面解析几何中的对称问题 李新林 汕头市第一中学 515031 对称性是数学美的重要表现形式之一,在数学学科中对称问题无处不在。在代数、三角中有对称式问题;在立体几何中有中对称问题对称体;在解析几何中有图象的对称问题。深入地研究数学中的对称问题有助于培养学生分析解决问题的能力,有助于提高学生的数学素质。 在平面解析几何中,对称问题的存在尤其普遍。平面解析几何中的对称问题在高考试题中更是屡见不鲜。本文将对平面解析几何中的几种常见对称问题作一些肤浅的探讨,以求斧正。 平面解析几何中的对称问题主要有如下几种:点关于点的对称问题简称点点对称;点关于直线的对称问题简称点线对称;曲线关于点的对称问题简称线点对称;曲线关于直线的对称问题简称线线对称。 一、点点对称 定理1 平面上一点),(y x M 关于点),(00y x P 的对称点为)2,2(00' y y x x M --, 特别地,点 ),(y x M 关于点)0,0(P 的对称点为),('y x M --。 证明:显然 ),(00y x P 为线段'MM 的中点,设),('''y x M ,由中点坐标公式有: ??? ????+=+=22'0'0y y y x x x ,即???-=-=y y y x x x 0' 0'22 ,故)2,2(00' y y x x M --。 例1 若点 A 关于点)1,2(- B 的对称点为)2,4( C ,求点A 的坐标。 解:设 ),(y x A ,由定理1有)212,4)2(2(-?--?A ,即)0,8(-A 。 二、点线对称 定理1 平面上一点),(00y x M 关于直线)0(,0:2 2 ≠+=++B A C By Ax l 的对称点为: -+++- 22000',)(2(y B A C By Ax A x M )) (22 200B A C By Ax A +++。 证明:先证明一般情况,即0,0≠≠B A 的情况。 如图(一),设),('y x M ,线段'MM 交直线l 于点 ),(Q Q y x Q ,由点),(00y x M 与点),('y x M 关于直线l 对称,故),(Q Q y x Q 为线段 'MM 的中点且l MM ⊥', X 于是有: ),(y x M

浅谈高中数学解析几何中的对称问题

浅谈高中数学解析几何中的对称问题 发表时间:2019-12-10T17:34:32.223Z 来源:《教育学文摘》2019年12期作者:龚杨熙 [导读] 新课标改革开展后,我国的教育事业也在不断发展 摘要:新课标改革开展后,我国的教育事业也在不断发展,其中高中数学也乘着改革开放的快车,发展迅猛。在高中数学中,数学解析几何中的对称问题受到了广泛的关注与讨论。研究对称问题不仅能增强我们解决问题的能力,同时可以培养发散思维,锻炼空间想象力等,而且还能提高在日常生活当中的审美能力,提高创新意识。下面我将结合自己的学习理解,对高中数学解析几何中对称问题进行简要分析,希望能在这方面为同学们的学习提供一些帮助。 关键字:高中数学解析几何对称问题 高中数学解析几何中的对称问题,是高中数学的一个重要内容,也是平时学习的难点,它的运用非常广泛,不仅体现在数学应用上,有时还会渗透到物理学科的应用方面。在对称问题中,主要研究的问题有:点关于点对称、点关于直线对称、直线关于点对称、直线关于直线对称、曲线关于点对称、曲线关于直线对称等问题。不过在对称问题中,最基础的问题为点关于点,点关于直线的对称问题,线(直线、曲线)关于点的对称问题可转化为点关于点对称。线(直线、曲线)关于直线对称的问题可转化为点关于直线对称。 一、关于点的对称问题 点与点之间的对称问题,在初步接触对称问题时,较为常见,也较为简单。在关于点的对称问题中,也有不同的类型,包括了点与点之间的关系、点与点关于直线对称的关系,线与线关于直线对称的关系,每种不同的关系之间,解题思路既有相同点,也有不同的点,均需要答题者,认真思考,得出答案。下面我将针对不同的种类进行分析。 (一)点关于定点对称问题 这类问题,一般是知道一个点A,知道A点的坐标,给出另外一个中心点Q,告诉Q点的位置坐标,最后让大家求出A点关于Q点对称的点B。这类题的求解办法较为单一统一。例如:已知点A(x1,y1),已知中心点Q(x0,y0),求出A点关于Q点对称的点B,在坐标中,这三个点的横纵坐标,应该满足怎么样的条件呢?根据条件可知,Q点为A、B点的中点,于是得2x0=x1+x2,2y0=y1+y2,由此可以得到x2,y2的值,得到B点位置坐标。关于定点对称问题,表面看上去是多个类型题中,最简单的一类题目,但是却是后续题目的基础,在许多不同类型、不一样表述的题目,表面上比较难也很有深度,但是随着理解领悟的加深,基础知识掌握牢固后,大家会发现,运用的知识,大部分仍然是定点对称问题的方法与策略,所以基础知识必须掌握牢固,才能解决其他难题。 (二)线关于点的对称问题 在线关于点的对称问题中,无论是曲线还是直线,都可以把每条线看作是满足某条件的动点的集合,看作是动点沿着一定的限制条件运动形成的轨迹,所以在遇到线关于点对称的问题时,我们不妨设对称曲线上任一点的坐标为A(x,y),点A关于中心点Q(x0,y0)的对称点为B,根据点与点对称之间的法则,求出对称点B的坐标,利用对称点B在已知曲线上坐标满足方程最终求得是对称曲线的轨迹方程。这样就成功的将线关于点的对称问题转化为点关于点的对称问题,将困难化解。在解决线的问题时,大家需要明白一个道理,就是所有的线都可以看作是满足某个条件的点的集合,无论是直线还是曲线,解题时将点关于点的对称问题掌握好即可。 二、点关于线的对称问题 在解决点关于线的对称问题中,相比较点,要复杂很多,需要利用更多几何性质,譬如轴对称的性质,在前面的学习中知道,两个图案在关于直线对称时,可以观察到,图案相应两点的连线会被该直线垂直平分,所以在解决关于线之间的对称问题时,要将此问题简化,回到线关于点,点关于点之间的对称问题中,在应用这个办法求解时,需要注意的问题是,点关于线的对称问题需要满足两个条件,第一是两个对称轴对称的点,连接起来,应该垂直于对称轴所在直线。第二是:两个对称点的中点应该在对称轴上。在解决线关于线的对称问题时,只要能将点关于线的问题处理好,线关于线的对称问题也可以迎刃而解,在高中数学对称问题中,关于曲线C,直线L的对称问题,最终都可以化归为点与点之间的对称问题,在解决此类问题时,需要打开思维,充分利用点关与点对称、点关与线对称的处理方法,融会贯通,举一反三,不断提升自己的解题能力。 三、实际应用 实践出真知,理论知识无论有多丰富,只有回归到实际问题中,才能体现其真正的价值,只有在解决问题的过程中,才能真正发现是否将理论知识熟练的掌握运用。应用举例:(线关于线对称问题)已知两直线L1,L2,两直线关于直线L0对称,L0方程为:2x-2y+1=0,其中L1的方程为3x-2y+1=0,求L2的方程?分析:在这道题目中,虽然是线关于线对称的问题,但是仍然可以转化为点关与点的对称问题,在解题过程中,可以在L1上,随意找出一点A(x1, y1)关于直线对称点设为B(x2,y2),利用A,B两点关于L0对称,求出对称点B的坐标,同理再求出一个对称点的坐标,就可以求出对称线的方程。如果是求曲线关于直线的对称曲线则可设对称曲线上任一点的坐标A(x, y), A(x, y)关于直线对称点设为B(x0,y0),利用A,B两点关于L0对称,求出对称点B的坐标,利用对称点B在已知曲线上代入曲线方程即可求得对称曲线的轨迹方程。除了这一类型题目以外,还有许多与这类题目相关的问题,但是万变不离其宗。 这篇文章主要是从点关与点对称,点关于线对称的角度出发,简要分析讨论了解析几何中对称问题。要想真正解决这类问题,首先要深刻理解基础知识,灵活把握线与点之间的对称关系,有的题目还存在图形,此时也不能忽视图形的重要性,在许多题型例如直线、圆、椭圆的对称问题中,图形均可以反映出大量的解题信息,解题时需要抓住图形中的细节,数形结合,解决难题。参考文献: [1]许悦. 高中数学解析几何中对称问题分析[J]. 2018(2). [2]苏明亮. 高三数学复习中要善于借“题”发挥——解析几何中与对称相关的试题分析[J]. 高中数学教与学, 2016(8).

解析几何中的对称问题

解析几何中的对称问题 1.原点关于直线10x y +-=的对称点坐标为( ) (A )( 22 (B ) (C )2 (D )(1,1) 2.已知曲线C 与C ′关于直线02=+-y x 对称,若C 的方程为074422 =++-+y x y x , 则C ′的 方程为( ) (A )031882 2 =+-++y x y x (B )031882 2=+--+y x y x (C )031882 2 =++++y x y x (D )031882 2 =-+-+y x y x 光线所在直线方程为 (A)5x+4y+2=0 (B)5x-4y+2=0 (C)5x-4y-2=0 (D)5x+4y-22=0 4.将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,若点(7,3)与点(m ,n)重合,则m+n 的值为 A.4 B.-4 C.10 D.-10 5.若直线1:2(1)l y k x -=-和直线2l 关于直线1y x =+对称,那么直线2l 恒过定点( ) A .(2,0) B .(1,1)- C .(1,1) D .(2,0)- 6.(04全国文Ⅱ)已知圆C 与圆1)1(22 =+-y x 关于直线 x y -=对称,则圆C 的 方程为 (A )1)1(22 =++y x (B )122 =+y x (C )1)1(22 =++y x (D )1)1(2 2=-+y x 7.已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点A 、B ,则|AB |等于 (A )3 (B )4 (C )23 (D )24 8.如果直线y =kx +1与圆042 2 =-+++my kx y x 交于M 、N 两点,且M 、N 关于直线x +y =0对称,则不等式组:?? ? ??≥≤-≥+-0001y my kx y kx 表示的平面区域的面积是( ) A . 41 B .2 1 C .1 D .2

解析几何不对称问题的处理方法

解析几何中的不对称问题 1.设,A B 是以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点,且3AF FB =,求弦AB 的中点到准线的距离. 解:由3AF FB =可知焦点F 在直线AB 上,且直线AB 与坐标轴不平行,故可设其方程为1x my =+,设点,A B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ,则 由21 4x my y x =+??=?得2440y my --=.故有124y y m +=,124y y =-. 由3AF FB =可得123y y =-. 故,221222122()(2)433 y y y y y y +-==--.即2(4)443m =--.故可得213m =. 所以,弦AB 的中点到准线的距离21212118((1)(1))(()4)22223d x x m y y m =+++=++=+=. 注意:将直线与抛物线方程联立消去x 后,通过3AF FB =建立纵坐标间的等量关系,是本题简化计算的关键所在. 2.设直线l :1x y +=与双曲线2222x a y a -=(0)a >交于,A B 两点,与y 轴交于点P ,且512PA PB =,求实数a 的值. 解:设点,A B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ,则 由22221 x y x a y a +=??-=?得2222 (1)220a x a x a -+-=. 故212221a x x a +=--,2 12221a x x a =--. 由512PA PB =可得12512 x x =. 故 2221221227()()2891256012x x x x x x +==.即22222222()2289121601a a a a a a --=-=---. 所以,由0a >可得1713 a =. 注意:将直线与双曲线方程联立消去y 后,通过512PA PB =建立横坐标间的等量关系,是本题简化计算的关键所在.

解析几何中的对称问题答案

解析几何中的对称问题答案 2007-11-16 1、D 2、 A 3.B 4.C 5.C 6.C 7.C 8.A 9.B 10、B 3.B .因为入射光线必过点P 所以将点P 坐标代入可排除A.C 即而求出点Q 关于直线x+y+1=0的对称点Q ’(-2,-2)则入射光线的斜率为4 5 '= PQ k 可选B 。 4.C 点(7,3)与点(m ,n)关于直线y =x+2对称,∴m =1,n =9. 5.C 由1l 过定点(0,2)M 知:直线2l 恒过M 关于直线1y x =+的对称点(1,1),选C 。 7.解析:选C .设直线AB 的方程为y x b =+,由 22123 301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-? =+?,进而可求出AB 的中点11 (,)22 M b --+,又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =,∴220x x +-=, 由弦长公式可求出AB ==本题考查直线与圆锥曲线的位置关系. 11.y=3x -10 12.2x -y + 5=0 13.2 2 46492200x x y -++= 14 .2 2 228110x y y x -+--= 15.椭圆上两点(,)x y 11,(,)x y 22,代入方程,相减得 31212()()x x x x +-+412()y y +()y y 120-=。 又x x x = +122,y y y =+122 ,k y y x x =--=-1 2121 4,代入得y x =3。 又由y x y x m ==+?? ?34解得交点(,)--m m 3。 交点在椭圆内,则有 ()()-+-

解析几何中“对称”问题的解法探析

解析几何中“对称”问题的解法探析 发表时间:2011-05-06T13:19:17.187Z 来源:《魅力中国》2011年3月上作者:张银歧 [导读] 本文详细地说明了高中数学解析几何中,求对称点、对称直线和对称曲线的方法和步骤。 张银歧 河南省农业经济学校,河南洛阳471000 中图分类号:G42 文献标识码:A 文章编号:1673-0992(2011)03-0000-01 摘要:本文详细地说明了高中数学解析几何中,求对称点、对称直线和对称曲线的方法和步骤,使我们在遇到类似问题时,可以直接套用这些方法,不仅可以节省时间而且还能提高学习效率. 关键词:对称;对称点;对称直线;对称曲线. 对称问题在解析几何中比较常见,同时它也是备战高考的热点问题。可是这种问题的类型很多,我们在遇到此类问题时常有无从下手的感觉。其实只要我们掌握了解决此类问题的常用套路和方法,这些问题并不难解。为了能同大家一起共同探讨这类问题,我把几种常见类型的“对称”问题的解题方法总结如下: 一、求对称点的问题 1.求点关于点的对称点 点关于点的对称问题,是对称问题中最基础最重要的一种类型,其它的对称问题均可化为点关于点的对称问题进行求解.而处理此类问题的关键就是熟练掌握和灵活运用中点坐标公式。 方法:由中点坐标公式易知点(x,y)关于点(a,b)对称的点的坐标为(2a-x,2b-y) 例1 求点A(3,5)关于点B(-1,1)对称的点C的坐标 解:邮题知,点B是线段AC的中点,设点C的坐标为(x,y),则易得 X=2×(-1)-3=-5,y=2×1-5=-3 故点C的坐标为(-5,-3) 2.求点关于直线的对称点 点关于直线的对称问题是点关于点对称问题的延伸,处理此类问题时应从以下两个方面入手:①两点连线与已知直线垂直,②两点连线的中 点在已知直线上. 二、求对称直线的问题 1.求直线关于直线外一点的对称直线 在做这类问题时,我们首先要清楚:如果两条直线关于某个点对称,那么这两条直线一定平行,这样一来问题就变得很简单了. 2.求直线关于直线的对称直线 直线关于直线对称的问题,包含两种情形:①两条已知直线平行,②两条已知直线相交。 方法:已知直线ι1和直线ι,求直线ι1关于直线ι对称的直线ι2方程。 ① ι1与ι平行时, 方法:直接设定对称直线为平行直线,然后用平行线间距离相等来求对称直线的方程。 ② ι1与ι相交时, 方法1:在ι1上任取一点A,设定所求直线上一点B,则AB的中点在直线ι上。 方法2:先求出ι1与ι的交点坐标,再在直线ι1上任取一点A,并求出点A关于直线ι的对称点,最后用两点式写出所求直线方程。方法3:先求出ι1与ι的交点坐标,再利用两直线与直线ι的夹角相等求出ι2的斜率,最后用点斜式写出所求直线的方程。

高考专题:解析几何常规题型及方法

高考专题:解析几何常规题型及方法 一、高考风向分析: 高考解析几何试题一般共有3--4题(1--2个选择题, 0--1个填空题, 1个解答题), 共计20多分, 考查的知识点约为20个左右,其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查。选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线中的基础知识,大多概念性较强,小巧灵活,思维多于计算;而解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程,以向量为载体,立意新颖,要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题,解决问题。 二、本章节处理方法建议: 纵观历年全国各省市文、理高考试卷,普遍有一个规律:占解几分值接近一 半的填空、选择题难度不大,中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中;而占解几分值一 半偏上的解答题得分很不理想,其原因主要体现在以下几个方面:(1)解析几何是代数与 几何的完美结合,解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向 量等知识,形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题,因而成为高中数学综合 能力要求最高的内容之一(2)解析几何的计算量相对偏大(3)在大家的“拿可拿之分” 的理念下,大题的前三道成了兵家必争之地,而排放位置比较尴尬的第21题或22题(有 时20题)就成了很多人遗忘的角落,加之时间的限制,此题留白的现象比较普遍。 鉴于解几的特点,建议在复习中做好以下几个方面.1.由于高考中解几内容弹性很 大。有容易题,有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题 较难,就拼命地去搞难题,套新题,这样往往得不偿失;端正心态:不指望将所有的题攻 下,将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上,这样复习,高考时就 能保证首先将选择、填空题拿下,然后对于大题的第一个小问争取得分,第二小题能拿几 分算几分。 三、高考核心考点 1、准确理解基本概念(如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等) 2、熟练掌握基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等) 3、熟练掌握求直线方程的方法(如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等) 4、在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以减少运算 5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法(如:定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等) 8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题 四、常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面 (1)中点弦问题 具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(,)x y 11, (,)x y 22,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。

解析几何中的对称问题

解析几何中的对称问题 ——“知识拓展”栏目的探究课 四川省苍溪中学校谢双峻 1、教学目标: (一)双基知识:识记对称问题中的对称点坐标公式与为求坐标而建立的方程组通式; 双基技能:会熟练由条件建立相应方程(组)求知量,能熟练把条件变成相应的数学语言——方程。 (二)方程与方法:在推导公式的过程中领会分析几何问题的方法,结合图象抓等价条件。 (三)数学思想:(1)了解数形结合的思想,图象特点与数量关系相互对应;(2)化归思想:新问题转化为旧问题。 (四)体会知识与知识、问题与问题相互联系的学科特点。 (五)培育理性精神;形成严谨思维的习惯。 2、学生和数学内容分析 (1)教材安排“距离”部分知识顺序是点到点的距离,点到直线距离,两条平行线之间的距离,由浅入深,转化思想体现得淋漓尽致,而对称问题所研究的内容正好与此思路完全吻合,恰

是学生进行模仿学习,自主研究的好素材。 (2)直线作为解析几何学习的“开篇之作”,如果能让学生在初次认识时通过不同方面的应用加深对解析法的黎阿姐,这对学生熟练掌握解析法的思路是很有帮助的。 (3)在解决对称问题时,会广泛用到直线方程,中点坐标,求距离等直线部分的重要知识,这是对前一部分知识进行回顾和提高的“天赐良机”,化复习无声无息处,化复习于应用知识解决新问题中,这能让学生产生成就感。 (4)教材中有相应的习题:教材第115页B组第10题,并且后续部分的学习(比如圆锥曲线中点弦问题)也会遇到对称问题。 (5)结合所教学生的实际情况,笔者对教参、教材内容进行重排,从学生的知识基础和认知规律出发,鼓励学生自主地多角度思考问题和解决问题,让学生在思路比比较中学会对方法的选择,在分析解决问题中体会知识的转化使教学收到良好的效果。 3、教学重点 通过利用方程(组)求解对称问题,记住对称问题的相关结论,并能把其方法与结论应用起来解题。 4、教学难点 对称问题有关结论的推导与应用。 5、针对重难点的教学构思 以“问题驱动”原则设置问题串,由浅入深分层次进行,一定“让学生先行”,忌直接讲授,点拨时注意与学生的已有知识联

浅谈高中数学解析几何中的对称问题

浅谈高中数学解析几何中的对称问题 摘要:新课标改革开展后,我国的教育事业也在不断发展,其中高中数学也乘 着改革开放的快车,发展迅猛。在高中数学中,数学解析几何中的对称问题受到 了广泛的关注与讨论。研究对称问题不仅能增强我们解决问题的能力,同时可以 培养发散思维,锻炼空间想象力等,而且还能提高在日常生活当中的审美能力, 提高创新意识。下面我将结合自己的学习理解,对高中数学解析几何中对称问题 进行简要分析,希望能在这方面为同学们的学习提供一些帮助。 关键字:高中数学解析几何对称问题 高中数学解析几何中的对称问题,是高中数学的一个重要内容,也是平时学 习的难点,它的运用非常广泛,不仅体现在数学应用上,有时还会渗透到物理学 科的应用方面。在对称问题中,主要研究的问题有:点关于点对称、点关于直线 对称、直线关于点对称、直线关于直线对称、曲线关于点对称、曲线关于直线对 称等问题。不过在对称问题中,最基础的问题为点关于点,点关于直线的对称问题,线(直线、曲线)关于点的对称问题可转化为点关于点对称。线(直线、曲线)关于直线对称的问题可转化为点关于直线对称。 一、关于点的对称问题 点与点之间的对称问题,在初步接触对称问题时,较为常见,也较为简单。 在关于点的对称问题中,也有不同的类型,包括了点与点之间的关系、点与点关 于直线对称的关系,线与线关于直线对称的关系,每种不同的关系之间,解题思 路既有相同点,也有不同的点,均需要答题者,认真思考,得出答案。下面我将 针对不同的种类进行分析。 (一)点关于定点对称问题 这类问题,一般是知道一个点A,知道A点的坐标,给出另外一个中心点Q,告诉Q点的位置坐标,最后让大家求出A点关于Q点对称的点B。这类题的求解 办法较为单一统一。例如:已知点A(x1,y1),已知中心点Q(x0,y0),求出A点关于Q点对称的点B,在坐标中,这三个点的横纵坐标,应该满足怎么样的条件呢? 根据条件可知,Q点为A、B点的中点,于是得2x0=x1+x2,2y0=y1+y2,由此可 以得到x2,y2的值,得到B点位置坐标。关于定点对称问题,表面看上去是多 个类型题中,最简单的一类题目,但是却是后续题目的基础,在许多不同类型、 不一样表述的题目,表面上比较难也很有深度,但是随着理解领悟的加深,基础 知识掌握牢固后,大家会发现,运用的知识,大部分仍然是定点对称问题的方法 与策略,所以基础知识必须掌握牢固,才能解决其他难题。 (二)线关于点的对称问题 在线关于点的对称问题中,无论是曲线还是直线,都可以把每条线看作是满 足某条件的动点的集合,看作是动点沿着一定的限制条件运动形成的轨迹,所以 在遇到线关于点对称的问题时,我们不妨设对称曲线上任一点的坐标为A(x,y), 点A关于中心点Q(x0,y0)的对称点为B,根据点与点对称之间的法则,求出对称 点B的坐标,利用对称点B在已知曲线上坐标满足方程最终求得是对称曲线的轨迹方程。这样就成功的将线关于点的对称问题转化为点关于点的对称问题,将困 难化解。在解决线的问题时,大家需要明白一个道理,就是所有的线都可以看作 是满足某个条件的点的集合,无论是直线还是曲线,解题时将点关于点的对称问 题掌握好即可。

高中数学解析几何总结(非常全)

高中数学解析几何 第一部分:直线 一、直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角α (1)定义:直线l向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围:?<≤?1800α 2.斜率:直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率. αtan =k (1).倾斜角为?90的直线没有斜率。 (2).每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率(直线垂直于x 轴时,其斜率不存在),这就决定了我们在研究直线的有关问题时,应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况,否则会产生漏解。 (3)设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k , 则当21x x ≠时,2 121tan x x y y k --= =α;当21x x =时,o 90=α;斜率不存在; 二、直线的方程 1.点斜式:已知直线上一点P (x 0,y 0)及直线的斜率k (倾斜角α)求直线的方程用点斜式:y-y 0=k (x-x 0) 注意:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =; 2.斜截式:若已知直线在y 轴上的截距(直线与y 轴焦点的纵坐标)为b ,斜率为k ,则直线方程:b kx y +=;特别地,斜率存在且经过坐标原点的直线方程为:kx y = 注意:正确理解“截距”这一概念,它具有方向性,有正负之分,与“距离”有区别。 3.两点式:若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点,且(2121,y y x x ≠≠则直线的方 程:1 21 121x x x x y y y y --=--; 注意:①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以适应在于任何一条直线。 4截距式:若已知直线在x 轴,y 轴上的截距分别是a ,b (0,0≠≠b a )则直线方程: 1=+b y a x ; 注意:1).截距式方程表不能表示经过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线。 2).横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直

解析几何中的对称问题及其应用

解析几何中的对称问题及其应用 关键词:对称点、对称直线 解析几何中的对称问题在现行中学数学材料中没有按章节进行系统编排,只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。但这部分知识是解析几何中重要的基础内容,也是近年来的高考热点之一。对称点、对称直线的求法,对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的。这就要求教师在讲完直线、曲线部分后,需要对对称问题进行适当的归纳、总结。使学生对这部分知识有一个较完整的、系统的认识,从而解决起对称问题才能得心应手。本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题和解决办法。 一、点关于点的对称: 理论基础:点A ()y x ,关于P ()b a ,对称点坐标)2,2(/y b x a A --,即P 是/,A B 的中点,特别是中点的应用比较广泛,中点也就是对称的另一种说法而已。 例 1 已知平行四边形ABCD 的四个顶点坐标分别为135153(,),(,),4444 A B -- 1119(,),(,)44 C D m n -,求,m n 的值。 方法一:利用斜率相等, 方法二:利用对角线互相平分, 方法三:利用向量相等。 答案:2935,44m n = =

练习 1 已知矩形ABCD 的两个顶点(1,3),(2,4)A B --,且它的对角线的交点在x 轴上,求,C D 的坐标。 方法一:设对角线中点,利用邻边垂直; 方法二:设对角线中点,利用对角线相等且互相平分; 方法三: 答案:(9,3),(8,4)C D ---- 二、直线(曲线)关于点的对称: 理论基础:就本质而言,直线关于点的对称即点关于点的对称,结合几何特性,直线关于点的对称直线与已知直线平行(对称点不在直线上),应用几何特性就可以降低解题运算量,提高解题效率。 结论:直线0Ax By C ++=关于点(,)M a b 的对称直线为(2)(2)0A a x B b y C -+-+= 圆关于点的对称:首先圆是关于自己圆心自对称的图形。其次圆关于点的对称图形仍然为圆,且半径不变,所以圆关于点的对称即为点关于点的对称。 推论:曲线()0,=y x f ,关于P ()b a ,的对称曲线()02,2=--y b x a f 例2、⑴求直线043:=--y x l 关于P ()1,2-的对称直线 。 方法一:取两点,求对称点,求方程。 方法二:因为所求直线与已知直线平行,可设平行直线,然后取一点对称后代入。 方法三:根据平行设方程,再利用距离相等求参数。 方法四:推论法 在所求直线上任取点M (),x y ,则M 点关于直线L 的对称点为()4,2x y --- 则所求直线为3(4)(2)40x y -----=?3100x y --= 答案:3100x y --= ⑵求圆022 2=-+x y x 关于P ()1,2-的对称曲线 。 解法一:求圆心()1,0关于P ()1,2-的对称点为()3,2-, 则所求曲线为22 (3)(2)1x y -++=。

相关文档
最新文档