教室灯光模型的分析

关于教室灯光问题的数学模型及分析

姓名：陈金华学号：08125028

摘要：自从电被发现以后，灯光成了人们生活中重要的一部分.它让人们的生理时钟延长，加速了人类文明的进程，无论是现在社会还是未来社会都能体现出照明越来越重要的存在价值.本文针对目前学校教室照度普遍偏低的现象，结合国家最新的有关标准和现有的照明情况，建立了教室平均照度的计算模型.对教室平均照度进行分析后，在分别考虑了反射照度和直射照度对照度值影响的基础上，逐步建立数学模型，最后求得平面上任意一点的照度值关于坐标轴x的关系函数，从而加以分析，得出结论.论文中以湖北文理学院教学区6栋教学楼的普通教室308为实例，用数学建模的形式来对该问题进行研究，并将我校采用的日光灯和该教室的相关数据带入模型进行计算，并对结果进行分析，指出模型与结论的不足点，并对此进行总结与推广.

关键字：灯光教室数学模型平均照度照度均匀度

目录

1 绪论 (1)

1.1 论文研究现状 (1)

1.2论文研究的目的和意义 (1)

1.3论文研究的方法和思路 (1)

1.4论文研究的范围 (1)

2 问题的提出 (2)

3 问题的分析 (3)

4 模型的建立 (4)

4.1 问题一 (4)

4.1.1 模型假设 (4)

4.1.2 模型符号的说明 (4)

4.1.3 模型的建立求解 (5)

4.1.4 模型的分析总结 (5)

4.2 问题二 (5)

4.2.1 模型假设 (6)

4.2.2 模型符号说明 (6)

4.2.3 模型的建立求解 (6)

4.2.4 模型的分析总结及对结果的说明 (13)

4.2.5模型的改进及评价 (15)

4.3 问题三 (16)

4.3.1 模型假设 (16)

4.3.2 模型符号的说明 (16)

4.3.3 模型的建立求解 (17)

4.3.4 模型的分析总结 (17)

5 参考文献 .................................................................................................... 错误！未定义书签。

6 致谢 ............................................................................................................ 错误！未定义书签。

1 绪论

1.1 论文研究现状

据统计数据显示，我国学生近视发生率高达60%，位居世界第一.究其原因，除饱受诟病的课业负担重导致用眼疲劳以外，教室的照明条件不良也是其重要因素.由于我们国内现有的大多数教室都是2004年以前所建立的，教室内的灯源数量及摆设大多都是按照《中小学校教室采光和照明卫生标准》旧标准设计的[1]，而社会发展到现在，随着各种科学技术的不断进步，人们对视觉的认识也在不断加深，相应的对灯光设计，关照强度提出了更高的要求，最新标准修订了教师课桌面、黑板的照明标准，增加了对光源、教室统一眩光值、照明功率密度以及维护系数的规定.其中要求教室课桌面上的维持平均照度值不应低于300Lx；教室黑板应设局部照明灯，其维持平均照度不应低于500Lx[2].而自今年1月1日开始实施的《中小学校设计规范》（GB50099-2011），也将平均照度300Lx作为普通教室的照明标准[3].并且根据复旦大学电光源研究所的有关研究成果，300Lx只是中小学教室照度的底线，同时，呼吁国家能够突破底线，给广大学子营造一个舒适明亮的学习环境.

1.2论文研究的目的和意义

灯光不仅是实际照明的条件，同时也是表达空间形态，营造室内环境气氛的基本要素.在长期的学习过程中，视觉效果受眼睛接受信息的有效性，光环境及同学对事物的读解的综合作用.本课题通过对教室灯光问题的研究，结合卫生部和国家标准委修订并于2011年5月发布的《中小学校教室采光和照明卫生标准》中的相关要求，能够对教室内的视觉环境有一个更加明确的了解。为了更加具体的阐明教室内的相关数据，本课题将以数学建模的方式来处理，同时也希望能够在灯光摆设方面提出自己的一些意见.希望在资源有限的情况下，结合国家发布的最新要求，提出更加科学合理的方案，希望可以在一定程度上改善教室内的视觉环境，保护好同学们的眼睛.本课题将随着问题的需要逐一建立数学模型，尽管模型本身存在不少缺陷，但仍然希望为后面的研究者们提供一个研究方案。

1.3论文研究的方法和思路

本课题将用数学建模的方法去阐述教室内的灯光问题.所以，课题的主要内容就是对室内灯光建立数学模型，并进行分析计算得出结论.具体一点，就是当我们需要从定量的角度分析和研究室内灯光时，我们先要在深入调查研究、了解光源型号、室内模型、单个灯光在不同距离的光照强度、以及有关部门颁布的相关标准等信息、然后作出简化假设、分析内在规律，接着用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型[4]，最后用通过计算得到的模型结果，来说明教室课桌及黑板上的实际照度值与相关规定的数据差异并接受检验.若是通过了检验，则可以根据模型，提出改进意见，若是差异太过异常，则修改假设，重新建模计算.

首先需要通过公式计算出整个教室的总光通量，看情况赋予适合的空间利用系数和维权系数[2]，计算出平均照度，并与相关规范标准比较给出建议.

建立一支日光灯发出的光线在教室地面个点的照度分布的数学模型，然后对教室照明情况进行分析，间教室中各日光灯照度进行叠加便得到了教室中，桌面各点的照度分布，计算出照度均匀度，并与相关规范标准比较给出建议.

然后接下来通过移动光源位置，建立模型，重新计算，并于国家有关规定值再次进行比较，由于没有改变光源的型号和数量，那么教室内的平均照度是不会发生变化的；如果照度均匀度的变化在可忽略的范围内，则说明改变光源位置对光照度的分布影响不大；如果差异明显，则说明，在相同资源下桌面照度均匀度与灯管的安装走向及分布有很大关系，通过建立模型，计算出更加优秀的分布方案，结合现实情况，对新的方案进行说明，并给出相应的建议.

最后对黑板的平均照度和照度均匀度进行单独计算，比较相关规定后给出适当建议即可.

1.4论文研究的范围

本文主要建立数学模型来对教室灯光问题进行研究，由于室内照明系统的技术指标项目众多，有平均照度、照度均与度、眩光指数、一般染色指数、色温偏差、闪屏等，本文主要是理论研究，重点是对平均照度、照度均匀度进行研究，突出点是在于对照度分布模型的建立、分析及计算，在模型计算中，考虑到灯座及地板色泽情况，主要考虑墙面以及天花板的反射对模型的影响，并针对实际例子，给出数据计算出结果，给出合适的建议.

2 问题的提出

为了提供良好的照明环境教室照明设计不仅应具有，合适的照度值而且照明质量的各项参数均应满足要求，年国家颁布《建筑照明设计标准》（GB50034-2004），将教室照明值提高了一倍，接近国际标准，并对照明质量提出了更为全面的要求，其中说明教室课桌面平均照度不低于300lx，黑板面平均照度500lx，窗地面积比1:5,照度均匀度应不低于0.7[2].此外，不论是从绿色照明节约能源的角度考虑，还是从以人为本的角度考虑，对教室照明的前期设计和后期的照度检验都是必须的.

本论文将选取所在学校教学楼中的一间普通教室为实例进行研究，主要问题是该教室桌面及黑板的平均照度，照度均匀度与国家最新的相关标准的比较，分析差距原因，通过计算

表1.0

3 问题的分析

通过对上述问题的理解，可以将对整个灯光问题的研究分为俩部分，一部分是对教室桌面高度平面的研究，另一部分就是教室黑板问题的研究.可如图所示

对于教室桌面高度平面的研究主要包括以下部分，该平面的均匀照度与国家标准的比较分析；该平面的照度均匀度与国家标准的比较分析，这部分将是本文重点研究部分，一改以往相关文章只是进行简单数据统计的情况，在这部分中将建立详细的数学模型，仔细研究光照度的分布函数（包括横向和纵向的函数分布图），尽可能做出该平面光照度的空间分布图，然后对结论进行系统的分析及推广；设想移动光源位置，对模型重新修改，重新整理照度均匀度的分布函数，做出相应的数学模型，为了使照度均匀度达到国家规定的标准值以上，计算出合理的模型，并给出说明.

对于黑板平均照度的计算可以单独建立模型，由于黑板有规定的黑板灯照明，故考虑黑板的照度均匀度意义不大，并且为了保持黑板照度要高于周围环境照度的条件，故不可能去提升其他桌面照明灯的功率和光通量，所以，只需要对黑板照明灯的功率和光通量进行调节就可以满足要求.

4 模型的建立

4.1 问题一

根据所给出教室的相关参数，建立适合的模型，计算出该教室的桌面所在的平面的平均照度，并与国家相关标准比较后分析总结.

4.1.1 模型假设

（1）假设一：将教室每一灯具内的2支灯管合并为1支灯管，光源的功率，光通量等于各个参数之和，这与实际效果相差不大.

（2）假设二：将教室里面的光源日光灯管抽象成线光源，其光强分布曲线如图1.1所示.

（3）假设三：在计算中，不考虑自然采光对于教室关照度分布的影响.

4.1.2 模型符号的说明

E：平均照度，单位为（lx）；

N：灯具的数量；

U：灯具的利用系数；

K：灯具的维护系数；

A：教室的面积；

RI：该教室的室形指数；

：光源的光通量；

图1.1中心灯管上某点光强分布示意图

4.1.3 模型的建立求解

平均照度的计算通常利用系数法，赔光曲线法和等照度曲线法.相对于赔光曲线法和等照度曲线法而言，系数法考虑了四周维护结构内表面对关的反射作用，适用于均匀布置，四周建筑表面反射系数较高，空间无大型设备遮蔽的室内照明，对于教室内的平均照度计算使用系数法比较准确.

根据系数法平均照度计算公式：

/E NUK A =Φ （001）

该教室的室形指数（表示房间几何形状的数值）.其计算式为：

1.()

a b

RI h a b =

+

（002）

计算得 1.28RI =，该墙面的反射系数为10.5α=，查《照明系数手册》可得：灯具的利用系数0.72U =.查《照明设计标准》，结合我校实际对教室的维护清洁情况，可取较高的灯具维护系数0.7K =.其中232,88N A ab ===m ,带入各项数据计算得我校6号教学楼308室桌面所在平面的平均照度为：

329.89E lx =

4.1.4 模型的分析总结

该结果是略高于国家的标准规定值300E lx =，同时，《建筑照明设计标准》上第4.1.7条规定：设计照度值与照度标准值可有10%~10%-+的偏差，即计算时的照度范围应是(270~330) lx .所以对于上述结果是完全符合国家要求标准的，由于在计算中的误差影响，其中有模型本身的局限性；有忽略了地面反射带来的影响；最重要的就是在模型计算中没有考虑日常采光的影响，因为这里就是对教室灯光进行研究，但这个影响是非常大的，比如天气明朗时根本无需灯光就完全可以满足光照的需要，这说明了在白天时太阳光可以替代灯光成为教室的主要光源，灯光只是作为辅助光源.而晚间自习完全是考照明灯提供光源，所以为了不对长期晚间自习的同学们照成影响，均匀照度需要达到国家规定标准以上.通过上述计算及对结果分析，该教室的平均照度是符合国家标准的，不会对同学们的学习造成影响的.

4.2 问题二

根据实例所给出的相关参数，建立适当的数学模型，求出相应模型的照度分布函数，计算出照度均匀度，并与国家规定标准比较分析和对计算结果的总结，如果最后结果与国家规定值差距不能忽略，就给出优化方案模型.

4.2.1 模型假设

（1）假设一：将教室每一灯具内的2支灯管合并为1支灯管，光源的功率，光通量等于各个参数之和.

（2）假设二：将教室里面的光源日光灯管抽象成线光源，计算中不考虑俩盏的宽度带来的距离影响，将俩盏灯等效成一盏灯计算.

（3）假设三：将地面于桌面反射所带来的照度忽略不计，因为地面与桌面反射系数很低，而且主要是漫反射.

（4）假设四：将黑板所在的墙面所带来的反射忽略不计，因为黑板很少存在镜面反射，那样眩光太明显了，而黑板面积居中，所占该墙面的比重很大，故可忽略该墙面的反射. （5）假设五：在计算中不考虑自然采光对照度分布的影响. 4.2.2 模型符号说明 i i A B :等效灯管i l 的两端点的坐标点；

Φ：等效光源的光通量，其值数据上为两盏灯的和； ML E ：动点M 对x 轴上任意点L 点的直射照度；

α：直线ML 与z 轴间的夹角；

i E 直：灯管i l 对任意点L 的直射照度；

j E

直

：灯管j l 对任意点L 的直射照度；

L

E 直：教室里的所有灯管对任意点L 的直射照度；

L

E

反：教室里的所有灯管对任意点L 的反射照度；

E

L ：教室里的所有灯管对任意点L

的总照度；

E '：式（015）中表达式合并为n 项多项式的和中的某一项；

max E ：照度分布函数中求得的照度最大值； min E ：照度分布函数中求得的照度最小值； avc E ：教室桌面所在平面的平均照度；

12/U U :教室桌面所在平面的照度均匀度；

4.2.3 模型的建立求解

以桌面所在的平面为xoy 平面，以中心灯管中点所在的垂直线为z 轴，建立空间直角坐

标系.由于所有灯管中，只有俩盏黑板灯的排列方向不一致，为了便于后面积分的计算和模型分析的需要，我们建所有的灯管根据排列的不同分为俩部分，由于整个教室灯管排布是

yoz 平面对称的（中心灯管所在直线的垂直面），则该桌面所在平面的照度分布也必定沿yoz

平面对称.这将为我们的计算带来方便，我们只需计算出x 轴正方向的照度分布就好了. 如图1.2所示，当建立如此坐标系后，教室的所有灯管的坐标都建确定下来，例如等效的中心灯管11A B 的坐标为：

11111111111(,,)(,,),(0,0.615,2.03)(0,0.615,2.03)A B x y z x y l z A B +-即

图1.2 教室模型全景图

一：现在我们来考虑x 轴正方向在xoz 平面内的直射照度分布情况.对于任意一盏等效灯管1(,,)(,,)i i i i i i i i A B x y z x y l z +（除了俩盏黑板灯以外，黑板灯在后面单独计算）

，该光源光通量为Φ，在i i A B 上的任意一点(,,)i i i M x y y z +，对于x 轴正方向上的任意一点(,0,0)L x ，根据光照度计算公式可知，点M 对L 点的直射照度为：

2

ML ICOS E d α

=

（003）

其中 44h I COS d

απΦΦ

=

==Ω

4423cos h

h h h d

α=-=

d =

(004)

则

3

222442423..()()44ML

i i h h ICOS E x x y y h d d αππ-ΦΦ??===-+++?

? (005)

将（005）对y 进行积分，则可以求得灯管i i A B 对点L 的直射照度与L 的横坐标x 的关系函数.

1

3

2224240

.()()4l i i i h E x x y y h d y π

-????Φ=-+++?

直 （006）

根据《数学分析》（第二册）中的第二换元积分法[5]：

3

2

2x dx c -±+?（a ）

（007）

可令

222

4

()i i y y y

m x x h '=+=-+

积分区间变为1(,)i i y y l +

则

()

111

1

12244

3

2

22244

044.()()4i i y l y l l i i i h y m dy h h E x

x y y h d y

πππ++-???

???

??????

Φ=+''Φ=Φ=-++

+??

直

（008）

（12315i = 、

、） 得到十五盏桌面照明灯i E

直

与x 的关系函数为：

4

4

44i h h E ππΦ-

Φ=

直

（12315i = 、

、） （009） 上面的计算公式不包括俩盏黑板灯，这俩盏灯管是平行于x

轴排列的，其上面的点在移动过程中，变化的量是x ，与上面的计算方法相同，其中

d = （010）

那么俩盏黑板灯与x 的关系函数为：

3

222421.()0444444h l E x a x y h da j

j j x l x h x x h πππ

?

?????-

Φ=+-++?+-Φ=-Φ-直

1617j =（、） （011）

那么整个教室的照明灯在x 轴的点00x L （，，）

处的直射照度为：

17

115

17

116

444

4i i j E E

L i E

E

i i x l x

h x x h ππ

=====+=

-

++-Φ-Φ-∑∑∑直直

直

直

（012）

二：现在考虑教室内的灯光对点L 的反射照度，忽略桌面与地面的反射和黑板所在墙面的反

射后，其数学模型如下图1.3所示，同样将教室内的灯管分为俩部分，为15盏纵向的等效灯管，和2盏横向的黑板灯管.

同上面的计算直射照度的方式对模型

计算，对于任意一盏等效灯管1(,,)(,,)i i i i i i i i A B x y z x y l z +（除了俩盏黑板灯以外，黑板灯在后面单独计算）

，该等效光源光通量为Φ，在i i A B 上的任意一点(,,)i i i M x y y z +，则令M 关于三面边墙和天花板的镜像分别为1(8,,)i i i M x y y z --+、2(8,,)i i i M x y y z -++、3(,11,)i i i M x y y z ---、

4(,, 1.6)i i i M x y y z ++.如图1.4所示

a 图 俯视图作图模型

b 图 右视图作图模型

图1.3

对于x 轴正方向上的任意一点(,0,0)L x ，根据光照度计算公式可知，点M 对L 点的反射照度为：

1

2

3

4M L M L M L M

L

L E E E E E =+++反

按照上面计算直射照度的方法计算，只要在光通量前乘以墙面反射系数就可以了，依次计算出1234i M L

i E =、、、

在此处的计算技巧：比较(,,)i i i M x y y z +与1(8,,)i i i M x y y z --+，可以发现只有x

坐标不同，其他计算步骤与方法均相同，所以，将8i i x x =--代人（012）式，则可得：

1111188

..4444M L E x l x

h x x

h ααααππ

--=-+-+-Φ--Φ-（013）

(12315)(1617)i j == 、、、

用计算技巧可以快速得到234i M L

i E =、、

因为23i

M L

i E =、与1M L E 的计算极为相似，这里便不在多计算将4

M L E 计算出来便可.

( 1.6)

14

( 1.6)

1( 1.6)

4.14

y l

h E M L y h x l x

h αααπ

+Φ+=Φ+-+-Φ++( 1.6)4.14x x h απ-Φ+-

(12315)(1617)i j == 、、

、 （014）

那么，整个教室所有灯源经过直射和反射后(,0,0)L x 所得到的总照度为：

1234

E E E L

L

L E E E E E

M L M L M L M L L =+=++++反直直

（015）

接下来我们将对总照度E L

关于点(,0,0)L x 的变量x 的关系函数（015）进行分析.

很明显，若是直接对函数表达式（015）进行分析，那将是一个非常复杂的工作，对冗

长而且无法化简的表达式进行微积分计算来求出函数式的单调性（或者区间单调性），那是非常困难近乎难以完成的工作.这里我们运用单调性分析技巧.通过观察我们容易发现，由于（015）最后的函数表达式中，临近两项都可以合并为一项（可以通过观察（013）式或（014），因为它们都是（015）中的一项和式）.最后的表达式将形成N 项多项式的和的形式，并且这些多项式的模型相同，也就是这些多项式的单调性相同.通过上述对最终表达式的表述，我们知道了，只需要分析出其中一项多项式的单调性，就代表了（015）式的单调性； 那么我们就以（015）中的一项来作分析：（015）式中的其中一项为

42244()i E h x x h π'=

?

?Φ=??-+??-

（016） 这样我们很发现，表达式22

14()i f x x h =-+，

（017）

2f =

（018）

由于（017）式中的表达式的变量的幂要高于（018）式中的幂，故式（017）的增长率要远大于式（018）的增长率，所以（016）式的单调性为E '在[]i x -∞， 上递增，在,i x ??+∞??上递减.

在上述坐标系下，式（016）的(2.7,0,2.7)(12)i x i =-= 、、315,通过上述分析，

我们可以将在x 轴上的照度分布x E 与x 的关系分布图作出来，如图1.4所示（这里选用取点法作图，这里由于取点有限精确度不高，只做分析用）：

图1.4照度E 与x 的关系函数图

从上述分析和图形单调性来看，当( 2.7,0,2.7)i

x x ==-函数值达到极大值，在

0x =时达到最大值max E ；在1.4x =±，达到极小值也是最小值min E ，将相关的值代入

（015）式进行计算得：

max 385.00lx E ≈

min 210.00lx E ≈

则

m i n 1m a x 210.00

0.55385.00

E E U =

==

min 2210.00

0.64329.89

avc E U E ===

根据《建筑照明设计标准》对照度均与度的最新规定：4.2.1 公共建筑的工作房间和工业建筑作业区域内的一般照明照度均匀度，不应小于0.7，而作业面邻近周围的照度均匀度

U略小于国家规定标准，但都满足周围的不应小于0.5 .与上述结果比较发现，照度均匀度

2

照度均匀度不小于0.5.

4.2.4 模型的分析总结及对结果的说明

一这部分工作是本论文的重点也是突出点，一改其他相关文献在这部分工作中的简化计算模型，甚至大部分文献直接对数据进行统计而跳过这部分繁琐的模型建立和计算过程.在这部分问题的研究中，为了尽可能的化简函数式计算，首先我们通过观察发现教室内的灯管是对称分布的，这将为我们空间坐标系建立后的灯管坐标的确定提供便利，并且由此推论出教室内的照度分布是关于yoz对称的（如图1.5），这也将对经计算所得的E与x的关系函数的分析提供便利.

图1.5教室模型俯视图

二从图1.5我们可以看到，整个教室的我们除去两盏黑板灯所对教室内的桌面照明影响的话，这个教室的桌面照明部分的灯管分布是关于yoz面和xoz面对称的，也就是说，我们只要研究出了E与x的关系函数分布图，我们就可以用同样的方法研究出E与y的关系函数分布图（图1.4继续向左右俩边延伸一个波动），结合两者，我们就知道了E与xoy 平面（桌面所在的平面）的关系函数分布图（在对照度均匀度的计算中我们用到的是简化的计算模型，并未用到此分布图，故未作出）.而对于是否能够忽略黑板灯对教室桌面的照度影响，我的理解是这样的：我们在分析模型所构建出来的分布函数的属性（单调性、对称性）时，是可以忽略的，而在计算照度均匀度具体的数值不能忽略.原因有以下几点：1）黑板灯距桌面距离足够大，而且将随着y轴负方向的延伸越来越大，其影响也将越来越小.因为由（005）式我们可以看到直射照度是与光源距照射点的距离的三次方的倒数成正比；

2）如图1.5所示，教室桌面照明部分由15盏灯，而黑板灯才2盏，并且这是等效之后的模型，事实上每盏桌面照明灯都是由2盏灯管组成，这样数量上的巨大差异原因之一；

3）两盏黑板灯也是关于yoz面对称的，那么同样它们对x轴及其平行面的照度分布也是对称的.

4）不能忽略其数值影响当然是为了提高照度均匀度的精确度.但即使这样，由于在计算

时使用的简化模型进行计算的（即将照度分布在x上的最小值当成整个xoy平面上的最小值来进行照度均匀度计算），所以模型上本来就存在一定的误差，我们可以通过观察图 1.4发现，在xoy平面上的最小值应当近似位于两盏相邻灯管横向距离和纵向距离中线的焦点.但由于灯管是纵向排列，其纵向间距不大，因此可以将x轴上的E分布近似成xoy平面上所有平行于x轴的直线上E的分布.

三在以上模型分析的基础上，我们所求的整个教室桌面所在的平面的照度均匀度，就变换成了求照度E关于x的分布函数了，因为有了分布函数，自然可以求得最大值和最小

值，均匀照度在第一问中已经求得，接下来直接按照求照度均匀度的公式计算即可.这部分研究中接下来的整个思路路程图就如下图所示：

图1.6 计算过程流程图

（在计算反射照度关于x 的关系函数时，计算出灯管的镜像坐标后，只要乘上反射系数，

其计算过程与直射模型计算过程相同）

四 关于4.2.3中的结果说明：根据我们的模型所计算出来的照度均匀度

2U 0.64 是

略小于有关国家规定标准0.7 .现在我们考虑到模型和计算中的误差分析：一，我们在模型建立中就存在误差，将两盏灯等效于一盏灯计算会存在误差；忽略两盏横向黑板对x 轴照度波动影响会存在误差；将桌面与、地面和黑板的反射照度忽略会存在误差；二，我们在计算中也存在误差，由于计算的繁琐，多步计算中的多次取舍会造成误差；将照度分布在x 上的最小值当成整个

xoy 平面上的最小值来进行照度均匀度计算会存在误差.三，我们在所有的考

虑和计算中都没有考虑自然采光的影响，但在问题一中我们就表明了这是一个非常重要的因

素.综合上述对误差的分析，我们知道了我们通过模型计算出来的结果还具有很大的弹性，但可以肯定一点的是在白天的学习中，灯光作为辅助光源结合太阳光，是绝对能够满足我们对照度均匀度的需要的. 4.2.5模型的改进及评价

根据我们模型计算的结果，知道了我们所求得的照度均匀度仅略低于国家规定的标准，对于这种情况，我们完全可以在现有的资源上对模型进行改进.根据图1.4我们可以发现，同一直线上的照度分布总是呈现波浪状，波峰正对着灯管，波谷正对着灯管之间的间隙.由于我们是在现有的资源上改进，那么灯管的总数量不变，平均照度也不会变，而对于照度分布图而言，就是波峰与波谷的数量都不会变，那么如何在这种情况下对模型进行修改，我们给出了下面的方案.如图1.7所示.

图1.7 改进后模型俯视图

我们比较图1.5和图1.7就可以很容易发现，教室内的灯管数量没变，只是灯管的排列不同了，但图1.7比图1.5有以下优点：

一，不管是横向还是纵向，灯管的排列都是相互交错的，根据上面的模型分析我们知道了，灯管下方正对的xoy 平面上坐标点，正是照度E 在xoy 分布函数图的波峰坐标所在点.这样的结果就是相邻两行的波峰与波谷错开，最终形成的E 在xoy 分布函数图的波峰将降

U的值增加，以满足国家要求.

低，而波谷将上升，这样将导致照度均匀度

2

二，新的模型可以减少xoy平面上连续不受灯管直射的最大长度，虽然由于灯管数目与教室面积都没变，那么教室内的灯管密度没变，但是却相对于把灯管更加分散了，这样也

U的值.

能够降低极大值与极小值的差距，增加照度均匀度

2

当然，新的模型因为增加了灯管的列数，会对电源线的安装带来一定麻烦和电源的总负荷一定的增加，可能实现起来有一定困难，但理论上新的模型在平均照度不变的情况下（不改变教室内原有的光源型号和数量），照度均匀度要优于原来的教室照明模型.

4.3 问题三

上面已经对教室桌面所在的平面的平均照度和照度均匀度进行了系统的分析建模计算，而黑板也是一个教室中的重要组成部分，它标准性不仅影响着同学们的视力，更是影响着老师们对知识的传授和同学们对知识的接受，因此这也是一个非常重要的问题.

我们对于黑板平均照度的计算可以单独建立模型，由于黑板有规定规格的专业黑板灯照明，而且其有效的照射面积（其直射距离足够小）基本覆盖了整个黑板故考虑黑板的照度均匀度意义不大，并且为了保持黑板照度要高于周围环境照度的条件，故不可能去提升其他桌面照明灯的功率和光通量来增加黑板面上的光照度.

所以，若是计算出黑板的平均照度达不到国家规定标准照度，只需要对黑板照明灯的功率和光通量进行调节就可以满足要求；若是达到了国家规定标准，则无需再进行下步计算.那么接下来的计算将与解决问题一相似，只要对数据做修改即可.

4.3.1 模型假设

（1）假设一：将教室每一灯具内的2支灯管合并为1支灯管，光源的功率，光通量等于各个参数之和.

（2）假设二：在计算中，不考虑自然采光对于教室黑板关照度分布的影响.

（3）假设三：玻璃的反射率与墙面的反射率近似相等.(白天玻璃的反射率极低，晚上极高)

4.3.2 模型符号的说明

E：平均照度，单位为（lx）；

N：灯具的数量；

U：灯具的利用系数；

K：灯具的维护系数；

A：教室的面积；

RI：该教室的室形指数；

：光源的光通量；

图1.8 对黑板照度模型的前视图

4.3.3 模型的建立求解

这里依然还是使用系数法来对黑板面上的平均照度进行求解，虽然在灯管的反射过程中，天花板上的横梁，墙面上的玻璃都会对反射光造成阻碍和一定程度的损失，地面和桌面的反射光几乎可以忽略，但我们只要赋值一个合理的灯具利用系数，它的精准度仍然要高于赔光曲线法和等照度曲线法 .

根据系数法平均照度计算公式：

/E NUK A =Φ （001）

该教室的室形指数（表示房间几何形状的数值）.其计算式为：

1.()

a b

RI h a b =

+

（002）

计算得 1.28RI =，该墙面的反射系数为10.5α=，但由于天花板上的横梁与窗户玻璃在反射时都会直接造成一部分光线损失，地面与课桌面的反射率极低，结合《照明系数手册》，我们最终确定：灯具的利用系数0.4U =.查《照明设计标准》，结合我校实际对教室的清洁维护情况，可取较高的灯具维护系数0.7K =.其中2132,28.6N A bh ===m ,带入各项数据计算得我校6号教学楼308室黑板所在的平面的平均照度为：

563.92E lx =

4.3.4 模型的分析总结

我们首先对问题三的数学模型进行分析总结：该模型与问题一的模型极为相似，但精确度没有问题一的模型高，这是我们采用的计算方式决定的，因为用系数法求平均照度的时候，适合用于空间内没有大型遮掩物，并且周围建筑面的反射系数较高的情况，而在问题三中，天花板上的几座横梁就是大型的遮掩物，窗户玻璃的存在也影响了建筑物表面的反射效果.虽然在计算中综合考虑了上述因素后赋值了一个较低的灯具利用系数，但模型本身的误差仍