考点51 坐标系与参数方程
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考点51 坐标系与参数方程
一、选择题
1.(2011·安徽高考理科·T5)在极坐标系中,点(2,
3
π
)到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为
(A )(
【思路点拨】将极坐标系转化为直角坐标系,在直角坐标系中求点到圆心的距离.
【精讲精析】选D.由,sin ,cos θρθρ==y x 及2cos ρθ=得θθθsin cos 2,cos 22==y x ,则1cos 2,sin 2,x y θθ=+=所以1)1(2
2
=+-y x ,即圆心坐标为(1,0),而点(2,3
π
)在直角坐标系中
的坐标为(1,3),所以两点间的距离为3
2.(2011·北京高考理科·T3)在极坐标系中,圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是( ) (A )(1,
)2
π
(B )(1,)2
π
-
(C )(1,0) (D )(1,)π
【思路点拨】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心后,再转换为极坐标. 【精讲精析】选B.圆的方程可化为2
2sin ,ρρθ=-由cos sin x y ρθρθ
=??
=?得222x y y +=-,即22
(1)1x y ++=,
圆心(0,1)-,化为极坐标为(1,)2
π
-.
二、填空题
3.(2011·湖南高考理科·T9)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为??
?+==α
αsin 1cos y x
).(为参数α在极坐标系(与直角坐标系xOy 有相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极
轴)中,曲线2C 的方程为21,01)sin (cos C C 与则=+-θθρ的交点个数为______ 【思路点拨】本题主要考查参数方程和极坐标方程转化为平面直角坐标方程.
【精讲精析】答案:2.由??
?+==α
αsin 1cos y x 得到圆的方程1)1(22=-+y x ,由
01)sin (cos =+-θθρ得到直线方程x-y+1=0,因为圆心在直线上,所以直线和圆有两个交点.
4.(2011·湖南高考文科T9)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为??
?=
=α
αsin 3cos 2y x ).(为参数α在
极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,曲线2C 的方程为
21,01)sin (cos C C 与则=+-θθρ的交点个数为___
【思路点拨】本题主要考查参数方程和极坐标方程转化为平面直角坐标方程. 【精讲精析】答案:2.由??
?+==α
αsin 1cos y x 得到圆的方程1)1(22=-+y x ,由
01)sin (cos =+-θθρ得到直线方程x-y+1=0,因为圆心在直线上,所以直线和圆有两个交点. 5.(2011·江西高考理科·T15)(1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为ρ=2sin 4cos θθ+,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为 . 【思路点拨】先根据ρ求出2ρ,再将2ρ=22x y +,y sin ,x cos ,=ρθ=ρθ代入即得.
【精讲精析】2
2
2
2
222
2
2sin 4cos ,2sin 4cos ,x y ,
sin y,cos x ,x y 2y 4x ,x y 2y 4x 0=--=.
ρ=θ+θ∴ρ=ρθ+ρθρ+ρθ=ρθ=+=++ 将代入得:即
【答案】22x y 2y 4x 0--=.+
6.(2011·陕西高考理科·T15C )直角坐标系xo y 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,
设点A ,B 分别在曲线1C :3cos 4sin x y θ
θ
=+??=+?(θ为参数)和曲线2C :1ρ=上,则||AB 的最小值
为 .
【思路点拨】利用化归思想和数形结合法,把两条曲线转化为直角坐标系下的方程. 【精讲精析】答案:3
曲线1C 的方程是2
2
(3)(4)1x y -+-=,曲线2C 的方程是2
2
1x y +=,两圆外离,所以||AB
的最小值为113-=.
7.(2011·陕西高考文科·T15C )(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系x O y 中,以原点为极点,x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A ,B 分别在曲线1C :3cos sin x y θθ
=+??=?(θ为参数)和曲线2C :1
ρ=上,则||AB 的最小值为 .
【思路点拨】利用化归思想和数形结合法,把两条曲线转化为直角坐标系下的方程. 【精讲精析】答案:1
曲线1C 的方程是22(3)1x y -+=,曲线2C 的方程是221x y +=,两圆外离,所以||AB
的最小值为111-=.
8.(2011.天津高考理科.T11).已知抛物线C 的参数方程为28,8.?=?=?
x t y t (t 为参数)若斜率为1的
直线经过抛物线C 的焦点,且与圆()2
22
4(0)x y r r -+=>相切,则r =________. 【思路点拨】化抛物线为普通方程,求出焦点,写出直线方程,求圆心到直线的距离即可。 【精讲精析】
2
8,2,0:204,0=∴--= y x l x y 焦点(),故,圆心()到直线的距离
d r ==
=9.(2011·广东高考理科·T14)
(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为
(0)sin x y θθπθ?=??
=??≤<和25()4x t t R y t
?
=?
∈??=?
,它们的交点坐标为 . 【思路点拨】将两曲线的参数方程化为普通方程,然后通过解方程组求得交点坐标. 【精讲精析】答案:)
5
52
,1(
分别将两曲线的参数方程化为普通方程得15
2
2
=+y x
)10(≤≤y 与
)0(542
≥=x x y
,联立??
??
?≥==+)
0(5415
22
2x x y y x 得0542=-+x x ,解得5-=x (舍去),1=x ,得5
5
2=y .
三、解答题
10.(2011·福建高考理科·T21)(2)在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程为x-y+4=0,曲线C 的参数方
程为x y sin ααα
?=??
=??(为参数). (I )已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为(4,
2
π),判断点P 与直线l 位置关系;
(II )设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.
【思路点拨】(I )将点P 的极坐标化为直角坐标,然后代入直线l 的方程看是否满足,从而判断点P 与直线l 的位置关系;
(II )将点Q 到直线l 的距离转化为关于α的三角函数式,然后利用三角函数的知识求最小值. 【精讲精析】
(I )把极坐标系下的点(4,)2
P π化为直角坐标得点(0,4).
因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程40x y -+=, 所以点P 在直线l 上.
(II )因为点Q 在曲线C 上,故可设点Q
的坐标为,sin )αα,从而点Q 到直线l 的距离为
2cos()4
)6
++=
=
=
+
+d παπα
由此得,当cos(+
)16
π
α=-时,d
11.(2011·江苏高考·T21C )选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中,求过椭圆5cos 3sin x y ??
=??=?(?为参数)的右焦点,且与直线423x t y t
=-??
=-?(t 为
参数)平行的直线的普通方程。
【思路点拨】本题考察的是参数方程与普通方程的互化、椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关系,中档题。解决本题的关键是掌握参数方程与普通方程的互化原则与技巧。 【精讲精析】椭圆的普通方程为
2
2
1,25
9x
y
+
=右焦点为(4,0),直线423x t
y t =-??=-?
(t 为参数)的普通方程
为22y x -=,斜率为:12
;所求直线方程为:1(4),2402
y x x y =
---=即
12.(2011·新课标全国高考理科·T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα
=??
=+?(α
为参数)M 是C 1上的动点,P 点满足2O P O M =uu u v uuuv
,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程
(Ⅱ)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3
πθ=与C 1的异于极点的交点为A ,与C 2的
异于极点的交点为B ,求A B .
【思路点拨】第(1)问,2OP OM =
意味着M为O P 、的中点,设出点P 的坐标,可由点M 的参数
方程(曲线1C 的方程)求得点P 的参数方程;
第(2)问,先求曲线1C 和2C 的极坐标方程,然后通过极坐标方程,求得射线3
π
θ=与1C 的交点A 的极
径1ρ,求得射线3
π
θ=
与2C 的交点B 的极径2ρ,最后只需求AB ||=
21|ρρ-|即可. 【精讲精析】(I )设P(x,y),则由条件知M(,22
x y
).由于M 点在C 1上,所以
2cos 2
22sin 2
x
y αα
?=???
?=+?? 即 4cos 44sin x y αα=??=+? 从而2C 的参数方程为
4cos 44sin x y α
α=??
=+?
(α为参数) (Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3
πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3
πρ=, 射线3
πθ=
与2C 的交点B 的极径为28sin
3
πρ=.
所以21||||AB ρρ-==13.(2011·新课标全国高考文科·T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为
2cos 22sin x y α
α=??
=+?
(α为参数)M 是C 1上的动点,P 点满足2O P O M =uu u v uuuv ,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程
(Ⅱ)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3
πθ=与C 1的异于极点的交点为A ,与C 2的
异于极点的交点为B ,求A B .
【思路点拨】第(1)问,2OP OM =
意味着M为O P 、的中点,设出点P 的坐标,可由点M 的参数
方程(曲线1C 的方程)求得点P 的参数方程;
第(2)问,先求曲线1C 和2C 的极坐标方程,然后通过极坐标方程,求得射线3
π
θ=与1C 的交点A 的极
径1ρ,求得射线3
π
θ=
与2C 的交点B 的极径2ρ,最后只需求AB ||=
21|ρρ-|即可. 【精讲精析】(I )设P(x,y),则由条件知M(,22
x y
).由于M 点在C 1上,所以
2cos 2
22sin 2
x
y αα
?=???
?=+?? 即 4cos 44sin x y αα=??=+? 从而2C 的参数方程为
4cos 44sin x y α
α=??
=+?
(α为参数) (Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3
πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3
πρ=, 射线3
πθ=
与2C 的交点B 的极径为28sin
3
πρ=.
所以21AB =r -r =
14.(2011·辽宁高考理科·T23)(本小题满分10分)(选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为??
?==)(,s i n ,c o s 为参数??
?y x ,曲线C 2的参数方程为
?
?
?>>==),0(,s i n ,c o s 为参数???
b a b y a x .在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l :θ=a 与C 1,C 2各有一个交点.当a=0时,这两个交点间的距离为2,当a=2
π时,这两个交点重合.
(I )分别说明C 1,C 2是什么曲线,并求出a 与b 的值; (II )设当α=
4
π时,l 与C 1,C 2的交点分别为A 1,B 1,当a=-
4
π时,l 与C 1,
C2的交点为A 2,B 2,求四边形A 1A 2B 2B 1的面积.
【思路点拨】(Ⅰ)先求坐标,利用条件求a 与b 的值;(II)先写出1C ,2C 的普通方程,再依次求出A 1、
A 2、
B 2、B 1的横坐标,最后求等腰梯形A 1A 2B 2B 1的面积. 【精讲精析】(Ⅰ)1
C 是圆,2C 是椭圆.
当0=α时,射线l 与1C ,2C 交点的直角坐标分别为)0,(),0,1(a ,因为这两点间的距离为2,且a 0>,所以3=a .
当2
π
α=
时,射线l 与1C ,2C 交点的直角坐标分别为),0(),1,0(b ,因为这两点重合,所以1=b .
(Ⅱ)1C ,2C 的普通方程分别为12
2
=+y x 和
19
2
2
=+y
x
.
当4
π
α=
时,射线l 与1C 交点1A 的横坐标为2
2=x ,与2C 交点1B 的横坐标为10
103=
'x .
当4
π
α-
=时,射线l 与1C ,2C 的两个交点22,B A 分别与1A ,1B 关于x 轴对称,
因此四边形1A 122B B A 为等腰梯形.
故四边形1A 122B B A 的面积为5
22
)
)(22(=-'+'x x x x .