考点51 坐标系与参数方程

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考点51 坐标系与参数方程

一、选择题

1.(2011·安徽高考理科·T5)在极坐标系中,点(2,

3

π

)到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为

(A )(

【思路点拨】将极坐标系转化为直角坐标系,在直角坐标系中求点到圆心的距离.

【精讲精析】选D.由,sin ,cos θρθρ==y x 及2cos ρθ=得θθθsin cos 2,cos 22==y x ,则1cos 2,sin 2,x y θθ=+=所以1)1(2

2

=+-y x ,即圆心坐标为(1,0),而点(2,3

π

)在直角坐标系中

的坐标为(1,3),所以两点间的距离为3

2.(2011·北京高考理科·T3)在极坐标系中,圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是( ) (A )(1,

)2

π

(B )(1,)2

π

-

(C )(1,0) (D )(1,)π

【思路点拨】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心后,再转换为极坐标. 【精讲精析】选B.圆的方程可化为2

2sin ,ρρθ=-由cos sin x y ρθρθ

=??

=?得222x y y +=-,即22

(1)1x y ++=,

圆心(0,1)-,化为极坐标为(1,)2

π

-.

二、填空题

3.(2011·湖南高考理科·T9)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为??

?+==α

αsin 1cos y x

).(为参数α在极坐标系(与直角坐标系xOy 有相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极

轴)中,曲线2C 的方程为21,01)sin (cos C C 与则=+-θθρ的交点个数为______ 【思路点拨】本题主要考查参数方程和极坐标方程转化为平面直角坐标方程.

【精讲精析】答案:2.由??

?+==α

αsin 1cos y x 得到圆的方程1)1(22=-+y x ,由

01)sin (cos =+-θθρ得到直线方程x-y+1=0,因为圆心在直线上,所以直线和圆有两个交点.

4.(2011·湖南高考文科T9)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为??

?=

αsin 3cos 2y x ).(为参数α在

极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,曲线2C 的方程为

21,01)sin (cos C C 与则=+-θθρ的交点个数为___

【思路点拨】本题主要考查参数方程和极坐标方程转化为平面直角坐标方程. 【精讲精析】答案:2.由??

?+==α

αsin 1cos y x 得到圆的方程1)1(22=-+y x ,由

01)sin (cos =+-θθρ得到直线方程x-y+1=0,因为圆心在直线上,所以直线和圆有两个交点. 5.(2011·江西高考理科·T15)(1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为ρ=2sin 4cos θθ+,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为 . 【思路点拨】先根据ρ求出2ρ,再将2ρ=22x y +,y sin ,x cos ,=ρθ=ρθ代入即得.

【精讲精析】2

2

2

2

222

2

2sin 4cos ,2sin 4cos ,x y ,

sin y,cos x ,x y 2y 4x ,x y 2y 4x 0=--=.

ρ=θ+θ∴ρ=ρθ+ρθρ+ρθ=ρθ=+=++ 将代入得:即

【答案】22x y 2y 4x 0--=.+

6.(2011·陕西高考理科·T15C )直角坐标系xo y 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,

设点A ,B 分别在曲线1C :3cos 4sin x y θ

θ

=+??=+?(θ为参数)和曲线2C :1ρ=上,则||AB 的最小值

为 .

【思路点拨】利用化归思想和数形结合法,把两条曲线转化为直角坐标系下的方程. 【精讲精析】答案:3

曲线1C 的方程是2

2

(3)(4)1x y -+-=,曲线2C 的方程是2

2

1x y +=,两圆外离,所以||AB

的最小值为113-=.

7.(2011·陕西高考文科·T15C )(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系x O y 中,以原点为极点,x 轴

的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A ,B 分别在曲线1C :3cos sin x y θθ

=+??=?(θ为参数)和曲线2C :1

ρ=上,则||AB 的最小值为 .

【思路点拨】利用化归思想和数形结合法,把两条曲线转化为直角坐标系下的方程. 【精讲精析】答案:1

曲线1C 的方程是22(3)1x y -+=,曲线2C 的方程是221x y +=,两圆外离,所以||AB

的最小值为111-=.

8.(2011.天津高考理科.T11).已知抛物线C 的参数方程为28,8.?=?=?

x t y t (t 为参数)若斜率为1的

直线经过抛物线C 的焦点,且与圆()2

22

4(0)x y r r -+=>相切,则r =________. 【思路点拨】化抛物线为普通方程,求出焦点,写出直线方程,求圆心到直线的距离即可。 【精讲精析】

2

8,2,0:204,0=∴--= y x l x y 焦点(),故,圆心()到直线的距离

d r ==

=9.(2011·广东高考理科·T14)

(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为

(0)sin x y θθπθ?=??

=??≤<和25()4x t t R y t

?

=?

∈??=?

,它们的交点坐标为 . 【思路点拨】将两曲线的参数方程化为普通方程,然后通过解方程组求得交点坐标. 【精讲精析】答案:)

5

52

,1(

分别将两曲线的参数方程化为普通方程得15

2

2

=+y x

)10(≤≤y 与

)0(542

≥=x x y

,联立??

??

?≥==+)

0(5415

22

2x x y y x 得0542=-+x x ,解得5-=x (舍去),1=x ,得5

5

2=y .

三、解答题

10.(2011·福建高考理科·T21)(2)在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程为x-y+4=0,曲线C 的参数方

程为x y sin ααα

?=??

=??(为参数). (I )已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为(4,

2

π),判断点P 与直线l 位置关系;

(II )设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.

【思路点拨】(I )将点P 的极坐标化为直角坐标,然后代入直线l 的方程看是否满足,从而判断点P 与直线l 的位置关系;

(II )将点Q 到直线l 的距离转化为关于α的三角函数式,然后利用三角函数的知识求最小值. 【精讲精析】

(I )把极坐标系下的点(4,)2

P π化为直角坐标得点(0,4).

因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程40x y -+=, 所以点P 在直线l 上.

(II )因为点Q 在曲线C 上,故可设点Q

的坐标为,sin )αα,从而点Q 到直线l 的距离为

2cos()4

)6

++=

=

=

+

+d παπα

由此得,当cos(+

)16

π

α=-时,d

11.(2011·江苏高考·T21C )选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy 中,求过椭圆5cos 3sin x y ??

=??=?(?为参数)的右焦点,且与直线423x t y t

=-??

=-?(t 为

参数)平行的直线的普通方程。

【思路点拨】本题考察的是参数方程与普通方程的互化、椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关系,中档题。解决本题的关键是掌握参数方程与普通方程的互化原则与技巧。 【精讲精析】椭圆的普通方程为

2

2

1,25

9x

y

+

=右焦点为(4,0),直线423x t

y t =-??=-?

(t 为参数)的普通方程

为22y x -=,斜率为:12

;所求直线方程为:1(4),2402

y x x y =

---=即

12.(2011·新课标全国高考理科·T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα

=??

=+?(α

为参数)M 是C 1上的动点,P 点满足2O P O M =uu u v uuuv

,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程

(Ⅱ)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3

πθ=与C 1的异于极点的交点为A ,与C 2的

异于极点的交点为B ,求A B .

【思路点拨】第(1)问,2OP OM =

意味着M为O P 、的中点,设出点P 的坐标,可由点M 的参数

方程(曲线1C 的方程)求得点P 的参数方程;

第(2)问,先求曲线1C 和2C 的极坐标方程,然后通过极坐标方程,求得射线3

π

θ=与1C 的交点A 的极

径1ρ,求得射线3

π

θ=

与2C 的交点B 的极径2ρ,最后只需求AB ||=

21|ρρ-|即可. 【精讲精析】(I )设P(x,y),则由条件知M(,22

x y

).由于M 点在C 1上,所以

2cos 2

22sin 2

x

y αα

?=???

?=+?? 即 4cos 44sin x y αα=??=+? 从而2C 的参数方程为

4cos 44sin x y α

α=??

=+?

(α为参数) (Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3

πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3

πρ=, 射线3

πθ=

与2C 的交点B 的极径为28sin

3

πρ=.

所以21||||AB ρρ-==13.(2011·新课标全国高考文科·T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为

2cos 22sin x y α

α=??

=+?

(α为参数)M 是C 1上的动点,P 点满足2O P O M =uu u v uuuv ,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程

(Ⅱ)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3

πθ=与C 1的异于极点的交点为A ,与C 2的

异于极点的交点为B ,求A B .

【思路点拨】第(1)问,2OP OM =

意味着M为O P 、的中点,设出点P 的坐标,可由点M 的参数

方程(曲线1C 的方程)求得点P 的参数方程;

第(2)问,先求曲线1C 和2C 的极坐标方程,然后通过极坐标方程,求得射线3

π

θ=与1C 的交点A 的极

径1ρ,求得射线3

π

θ=

与2C 的交点B 的极径2ρ,最后只需求AB ||=

21|ρρ-|即可. 【精讲精析】(I )设P(x,y),则由条件知M(,22

x y

).由于M 点在C 1上,所以

2cos 2

22sin 2

x

y αα

?=???

?=+?? 即 4cos 44sin x y αα=??=+? 从而2C 的参数方程为

4cos 44sin x y α

α=??

=+?

(α为参数) (Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3

πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3

πρ=, 射线3

πθ=

与2C 的交点B 的极径为28sin

3

πρ=.

所以21AB =r -r =

14.(2011·辽宁高考理科·T23)(本小题满分10分)(选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为??

?==)(,s i n ,c o s 为参数??

?y x ,曲线C 2的参数方程为

?

?

?>>==),0(,s i n ,c o s 为参数???

b a b y a x .在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l :θ=a 与C 1,C 2各有一个交点.当a=0时,这两个交点间的距离为2,当a=2

π时,这两个交点重合.

(I )分别说明C 1,C 2是什么曲线,并求出a 与b 的值; (II )设当α=

4

π时,l 与C 1,C 2的交点分别为A 1,B 1,当a=-

4

π时,l 与C 1,

C2的交点为A 2,B 2,求四边形A 1A 2B 2B 1的面积.

【思路点拨】(Ⅰ)先求坐标,利用条件求a 与b 的值;(II)先写出1C ,2C 的普通方程,再依次求出A 1、

A 2、

B 2、B 1的横坐标,最后求等腰梯形A 1A 2B 2B 1的面积. 【精讲精析】(Ⅰ)1

C 是圆,2C 是椭圆.

当0=α时,射线l 与1C ,2C 交点的直角坐标分别为)0,(),0,1(a ,因为这两点间的距离为2,且a 0>,所以3=a .

当2

π

α=

时,射线l 与1C ,2C 交点的直角坐标分别为),0(),1,0(b ,因为这两点重合,所以1=b .

(Ⅱ)1C ,2C 的普通方程分别为12

2

=+y x 和

19

2

2

=+y

x

.

当4

π

α=

时,射线l 与1C 交点1A 的横坐标为2

2=x ,与2C 交点1B 的横坐标为10

103=

'x .

当4

π

α-

=时,射线l 与1C ,2C 的两个交点22,B A 分别与1A ,1B 关于x 轴对称,

因此四边形1A 122B B A 为等腰梯形.

故四边形1A 122B B A 的面积为5

22

)

)(22(=-'+'x x x x .

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