北师大版数学九年级下册教案[1]
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第1课时
§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起
教学目标
1、经历探索直角三角形中边角关系的过程
2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明
3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比
4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算
教学重点和难点
重点：理解正切函数的定义
难点：理解正切函数的定义
教学过程设计
从学生原有的认知结构提出问题
直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。
师生共同研究形成概念
1、梯子的倾斜程度
在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。
1）（重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡；
2）如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡；
3）如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；
通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。
2、想一想（比值不变）
☆想一想书本P 3 想一想
通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。
当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
3、 正切函数
（1） 明确各边的名称
（2） 的邻边
的对边A A A ∠∠=tan
（3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。
☆ 巩固练习
a 、 如图，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ；
2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；
3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；b 、 如图，在△ACB 中，tanA = 。（不是直角三角形） （4） tanA 的值越大，梯子越陡
4、 讲解例题
例1 图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。这是上述结论的直接应用。
例2 如图，在△ACB 中，∠C = 90°，AC = 6，4
3
tan =
B ，求B
C 、AB 的长。 分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。
5、 正切函数的应用
书本P 5 正切函数的应用 随堂练习
6、书本 P 6 随堂练习
7、《练习册》 P 1
A B
C ∠A 的对边
∠A 的邻边斜边
8m
α5m
5m
β
13m A
B
C
小结
正切函数的定义。 作业
书本 P 6 习题1.1 1、2。
第2课时
§1.1.2 从梯子的倾斜程度谈起
教学目标
5、 经历探索直角三角形中边角关系的过程
6、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明
7、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比
8、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算
教学重点和难点
重点：理解正弦、余弦函数的定义 难点：理解正弦、余弦函数的定义
教学过程设计
从学生原有的认知结构提出问题
上一节课，我们研究了正切函数，这节课，我们继续研究其它的两个函数。 ? 复习正切函数
师生共同研究形成概念
8、 引入
书本 P 7 顶
9、 正弦、余弦函数
斜边的对边
A A ∠=sin ，斜边
的邻边A A ∠=cos
☆ 巩固练习
c 、 如图，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） sinA = ；cosA = ；sinB = ；cosB = ； 2） 若AC = 4，BC = 3，则sinA = ；cosA = ； 3） 若AC = 8，AB = 10，则sinA = ；cosB = ；
d 、 如图，在△ACB 中，sinA = 。（不是直角三角形）
A B C ∠A 的对边
∠A 的邻边
斜边A
B
C A
B C
10、 三角函数
锐角∠A 的正切、正弦、余弦都是∠A 的三角函数。
11、 梯子的倾斜程度
sinA 的值越大，梯子越陡；cosA 的值越大，梯子越陡
12、 讲解例题
例3 如图，在Rt △ABC 中，∠B = 90°，AC = 200，6.0sin =A ，求BC 的长。
分析：本例是利用正弦的定义求对边的长。
例4
如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，13
12
cos =
A ，求A
B 的长及sinB 。 分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。
随堂练习
13、 书本 P 9 随堂练习 14、 《练习册》 P 2
小结
正弦、余弦函数的定义。
作业
书本 P 9 习题1.2 2、3
教学后记
第3课时
§1. 2 30°、45°、60°角的三角函数值
教学目标
9、 经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义
A B C A
B
C
10、 能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算
11、 能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小
教学重点和难点
重点：进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算 难点：记住30°、45°、60°角的三角函数值
教学过程设计
从学生原有的认知结构提出问题
上两节课，我们研究了正切、正弦、余弦函数，这节课，我们继续研究特殊角的三角函数值。
师生共同研究形成概念
15、 引入
书本 P 10 引入
本节利用三角函数的定义求30°、45°、60°角的三角函数值，并利用这些值进行一些简单计算。
16、 30°、45°、60°角的三角函数值
通过与学生一起推导，让学生真正理解特殊角的三角函数值。
要求学生在理解的基础上记忆，切忌死记硬背。
17、 讲解例题 例5
计算：（1）sin30°+ cos45°； （2）?-30cos 31；
（3）
?
-??-?45cos 60sin 45sin 30cos ； （4）?-?+?45tan 45cos 60sin 2
2。
分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解。
B C A B C
例6
填空：（1）已知∠A 是锐角，且cosA =
2
1
，则∠A = °，sinA = ； （2）已知∠B 是锐角，且2cosA = 1，则∠B = °； （3）已知∠A 是锐角，且3tanA 3-= 0，则∠A = °；
例7
一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。
分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解的具体应用。
例8
在Rt △ABC 中，∠C = 90°，c a 32=，求
c
a
，∠B 、∠A 。 分析：本例先求出比值后，利用特殊角的三角函数值，再确定角的大小。
随堂练习
18、 书本 P 12 随堂练习 19、 《练习册》 P 4
小结
要求学生在理解的基础上记忆特殊角的三角函数值，切忌死记硬背。
作业
书本 P 13 习题1.3 1、2
教学后记
第1课时
§2.1二次函数所描述的关系
教学目标
12、 经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验 13、 能够表示简单变量之间的二次函数关系
14、 能够利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题
教学重点和难点
重点：表示简单变量之间的二次函数关系
A
B
C O D
难点：利用尝试求值的方法解决实际问题
教学过程设计
从学生原有的认知结构提出问题
在初中阶段，我们已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数。这一章，我们将学习另外一种重要的函数——二次函数。
师生共同研究形成概念
20、 橙树的产量
通过实际情境，让学生观察、归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的模型思想。教学时要与学生一起认真
)100)(5600(x x y +-= 6000010052++-=x x y
☆ 想一想 书本P 35 想一想
想一想是学生自然会想到的问题，教学时应首先鼓励学生用自己的方法解决问题，然后再通过数值统计的方法得到猜想。
21、 银行储蓄
☆ 做一做 书本P 35 做一做
做一做是为了降低列式的复杂程度，根据学生的具体情况，教学时可以要求学生考虑利息税。
22、 二次函数定义及一般形式
一般地，形如c bx ax y ++=2
（a 、b 、c 是常数，0≠a ）的函数叫做x 的二次函数。 ☆ 注意：1）x 的最高次数为2；2）0≠a ，但b 、c 可以为零。
可以让学生自己举出或写出一些二次函数的例子。
☆ 巩固练习 1）书本 P 36 随堂练习 1
2）练习册P 17 1 、2
23、 讲解例题 例9 练习册 P18 3
例10 书本 P 36 随堂练习 2。
☆ 巩固练习 1）练习册P 17 3 — 9
随堂练习
24、 《练习册》 P 18 1 — 5
小结
二次函数定义及一般形式。
作业
书本 P 37 习题2.1 2
教学后记
第2课时
§2.2 结识抛物线
教学目标
15、 经历探索二次函数2
x y =的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验 16、 经历探索二次函数2x y =的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验 17、 能够利用描点法作出2x y =的图象，并能根据图象认识和理解二次函数表达式与图象之间的联系
教学重点和难点
重点：二次函数2
x y =的图象的作法和性质
难点：根据图象认识和理解二次函数表达式与图象之间的联系
教学过程设计
从学生原有的认知结构提出问题
上一节课，我们学习了二次函数。一般函数都有其图象，二次函数都不例外。那么它的图象是一条什么曲线呢？这节课，我们先研究最简单的二次函数2
x y =和2
x y -=的图象。让我们通过动手，画一画它的图象吧。
师生共同研究形成概念
25、
作二次函数2x y =的图象
此图象由老师和学生一起探究完成，一般取七个点。
26、
二次函数2x y =的图象和性质（开口方向、对称轴、顶点坐标）
本节讨论最简单的二次函数2
x y =的图象的作法，并引出抛物线的概念，在此基础上初步归纳这类抛物线的性质，要结合图象讲解，尽可能让学生讲，老师作适当点拨。
☆ 议一议 书本P 39 议一议
学生可以用自己的语言进行描述，要提醒学生不要忽略y 轴左侧的图象。
二次函数2
x y =的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y 轴对称。对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它的图象的最低点。
☆ 巩固练习 练习册P 19 1 、2
27、
作二次函数2x y -=的图象
此函数的图象由学生完成，老师作适当指导。
? 两个图象的形状相同，但是开口向下，两个图象关于x 轴对称。
☆ 巩固练习 练习册P 19 3
28、 讲解例题 例11 已知二次函数2
ax y =的图象过点P （1，8），求此函数的解析式。 例12 已知二次函数c x y +=22的图象过点P （2，6），求此函数的解析式。
分析：两道例题都是通过图象的已知点，求出函数的未知的系数。求解时，要分清坐标点的两个数应该分别代入哪个位置上。
随堂练习
29、 《练习册》 P 19 4 ~ 9 30、 《练习册》 P 20
小结
2
2x y =1
22+=x y
作业
已知二次函数c x y +-=2
3的图象过点P （1，6）和Q （2，k ），求此函数的解析式及k 值。
教学后记
第3课时
§2.3刹车距离与二次函数
教学目标
18、 经历探索二次函数 和
的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验
19、 能作出 和 的图象，并能够比较它们与 的异同，理解a 与c 的图象的影响 20、 能说出 和 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标
21、 体会二次函数是某些实际问题的数学模型
教学重点和难点
重点：理解a 与c 的图象的影及响图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 难点：理解a 与c 的图象的影及响图象的开口方向、对称轴和顶点坐标
教学过程设计
从学生原有的认知结构提出问题
在上一节课，我们研究了最简单的二次函数2
x y =和2
x y -=的图象。这节课，我们将接着讨论形如 和 的图象的作法和性质，以及a 与c 的图象的影响。
师生共同研究形成概念
31、 刹车距离与二次函数
刹车距离是二次函数关系的应用之一，本节借助晴天和雨天刹车距离的不同，引出二次函数的系数对图象的影响。
||a 越大，开口越小；||a 越小，开口越大
两个图象的相同之处：
两者都位于s 轴的右侧；
函数值都随v 值的增大而增大；
32、 a 与c 的取值对图象的影响 ☆ 做一做 书本P 44 做一做
此图象可由学生自己完成。鼓励学生用自己的语言 进行描述。二次函数的图象是抛物线；二次函数的 图象形状相同，但顶点坐标不同；把二次函数的 图象向上、向下、向左、向右平移后，就可以
2
ax y =c ax y +=22ax y =c ax y +=22
x y =2ax y =c ax y +=22ax y =c ax y +=22
50
1v s =2
100
1v s =
1
32-=x y 2
3x y =得到不同的二次函数的图象。
当0>a 时，抛物线的开口向上； 当0 当0>c 时，抛物线与y 轴的交点在原点的上方； 当0 33、 和 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 ☆ 议一议 书本P 45 议一议 1） 形状、开口方向、对称轴都相同，但顶点坐标不同，122 +=x y 的图象的顶点坐标是（0 ，1），实际上，只要 将2 2x y =的图象向上平移1个单位，就可以得到122 +=x y 的图象； 2） 两二次函数的形状、开口方向、对称轴都相同，但顶点坐标不同，132 -=x y 的图象的顶点坐标是（0 ，1-）， 实际上，只要将2 3x y =的图象向上平移1个单位，就可以得到132-=x y 的图象。 34、 讲解例题 例13 《练习册》 P 21 7。 随堂练习 35、 《练习册》 P 21、22 36、 《练习册》 P 20 3 小结 刹车距离与时间的关系就是二次函数；a 与c 的取值对图象的影响；二次函数2ax y =和c ax y +=2 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 作业 书本 P 45 习题2.3 1 教学后记 第4课时 §2.4.1用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标 教学目标 22、 经历探索二次函数c bx ax y ++=2 的图象的作法和性质的过程 2ax y =c ax y +=2 23、 用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标 教学重点和难点 重点：用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标 难点：用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题 上一节课，我们研究了二次函数k h x a y +-=2 )(中的a 、h 、k 对二次函数图象的影响。这节课，我们研究一般形式的二次函数图象的作法和性质。 ||a 越大，开口越小；||a 越小，开口越大 当0>a 时，抛物线的开口向上；当0 当0>c 时，抛物线与y 轴的交点在原点的上方；当时，抛物线与y 轴的交点在原点的下方。 平移：左加右减 对称轴、顶点坐标：前相反，后相同 师生共同研究形成概念 37、 用配方法求二次函数c bx ax y ++=2图象的对称轴和顶点坐标 与学生回忆配方的步骤。 38、 讲解例题 例14 用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。 （1）522 ++=x x y ； （2）1622 -+=x x y ； （3）432 ++=x x y 。 分析：此处可由老师和学生一起完成，明确配方的步骤。 例15 用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。 （1）)5)(2(++=x x y ； （2）)1)(32(-+=x x y ； （3）2)4)(3(+++=x x y 。 分析：此例比上一例的难度有所提高，可先学生尝试做，再由老师指导。 2 3x y =2 )1(32+-=x y 随堂练习 39、 书本 P 50 随堂练习 40、 《练习册》 P 26 3 小结 用配方法求二次函数c bx ax y ++=2 图象的对称轴和顶点坐标公式。 作业 书本 P 55 习题2.5 1 教学后记 第5课时 §2.4.2 二次函数c bx ax y ++=2 的图象 教学目标 24、 经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程 25、 体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性 26、 能够作出2 )(h x a y -=和k h x a y +-=2 )(的图象，并能够理解它与2 ax y =的图象的关系，理解a 、h 、 k 对二次函数图象的影响 27、 能够正确说出k h x a y +-=2 )(图象的开口方向，对称轴，和顶点坐标 教学重点和难点 重点：二次函数c bx ax y ++=2 的图象的作法和性质 难点：理解a 、h 、k 对二次函数k h x a y +-=2 )(图象的影响 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题 上一节课，我们研究了a 、c 对二次函数图象的影响。这节课，我们研究形如2 )(h x a y -=和k h x a y +-=2 )(的二次函数的图象的性质。 师生共同研究形成概念 41、 复习旧知识 c bx ax y ++=2 ☆ 当0>a 时，抛物线的开口向上；