长 方 体 和 正 方 体 (2)

第三讲 长方体与正方体

1、填空题。

（1）如图，长方体的棱长总和是（ ），上面面积是（ ），右面面积是（ ）。

（2）如图，正方体的棱长总和是（ ），底面积是（ ）。

（3）如图所示的物体是由（ ）个小正方体拼搭成的，至少还需要（ ）个同样的小正方体，才能拼搭成一个大正方体。

（4）有一个正方体，其中一面的面积是36平方厘米，它的棱长总和好是（ ）。

（5）观察上图，在括号里填上一个字母，使等式成立：）

（

上面面积）

（

前面面积 。

（6）做一个长方体的鱼缸，用了下面几块长方形的玻璃。

鱼缸的底是（ ）号玻璃，鱼缸深（ ）分米。

2、判断题。

（1）长方体由六个长方形组成。 （ ）

（2）一个长方体有四个面完全一样，那么另外两个面一点是正方形。

（ ）

第（3）题

3dm

①

6dm

4dm ②

6dm

3dm ③

4dm

④

⑤

4dm

第（2

）题

第（1）题

2dm

6dm

c

第（5）题

（3）一个正方体棱长10厘米，它的棱长总和是100厘米。（）

（4）正方体是一种特殊的长方体。（）

（5）一个长、宽、高分别是10厘米、8厘米、7厘米的长方体可以从一个边长是8厘米的正方形洞中漏下去。

（）

1、选择题。

（1）图（）不能折成正方体。

(2)如图是一个长3厘米、宽与高都是2厘米的长方体。将它挖掉一个棱长

1厘米的小正方体，它的表面积（）。

A、比原来大

B、比原来小

C

、不变

D、无法确定

（3）至少需要（）个小正方体才能拼成一个较大的正方体。

A、2

B、4

C、8

D、9

（4）如图所示已画出一个长方体的长、宽、高（单位：厘米），这个长方体左面的面积是（）平方厘米。

A、12

B、15

C、20

D、不能确定

（5）下图分别是从一个长方体的前面和右面看到的图形，那么这个长方体

第（2）题

2cm

6cm

2cm

3cm

A. B C. D.

的底面积是（）。

A、6

B、12

C、18

D、不能确定

2、一种礼品盒，长30厘米，宽25厘米，高20厘米。如果要用红丝线按下图所示方法把它捆扎起来，结头处丝线留出30厘米，至少需要多少米丝线？

1、填空题。

（1）一个长32厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体木块最多可以切成（）个棱长为4厘米的正方体。

（2）用三个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体，拼成一个表面积最小的大长方体，它的棱长总和是（）。

（3）用48厘米长的铁丝焊接成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是（）厘米。

（4）小明自己动手烤了一块正方体大蛋糕，蛋糕的表面

呈咖啡色，里面是淡黄色。小明想慢慢享用自己的劳动成果，

于是他将这块蛋糕切成了如图所示的125（5×5×5）块同样

大小的小正方体蛋糕。切完后他发现，有的小蛋糕有咖啡色

的面，而有的没有咖啡色的面，那么一块小正方体蛋糕最多

有（）个面是咖啡色，没有咖啡色的面和只有两面是咖啡色的小正方体蛋糕的总数分别是（）块和（）块。

（5）用8个棱长2厘米的正方体拼成一个长方体或一个正方体（全部用完）。要使棱长总和最小，应拼成（），它的棱长总和是（）；要使棱长总和尽可能长，应拼成（），它的棱长总和是（）。

2、选择题。

(1)如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底标有字母“M”，沿图中粗线将其剪开

M

展成平面图形，想一想，这个平面图形是（ ）。

(2)一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为1分米的正方体摆在课桌上成如图形状，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色，则被他涂上颜色部分的面积为（ ）。

A 、42平方分米

B 、33平方分米

C 、

24平方分米 D 、21平方分米

（3）如下图，一个正方体的六个面上分别涂有“赤、橙、黄、绿、青、蓝”六种颜色，其中赤色的对面是（ ）。

A 、橙色

B 、 绿色

C 、 黄色

（4）要把3件同样长17厘米、宽7厘米、高3厘米的长方体物品拼装成一个大的长方体包装物，你能想出几种包装方法？请画出表面积最小的包装方法的草图。

M A. M

B M

C

M

D

长方体与正方体的表面积

1、填空题。 （1）填表。

（2）如图所示，在台阶面上（阴影部分）铺上地毯，至少需要（ ）平方米的地毯。

（3）一个长方体的长、宽、高分别是4分米、3分米、和5分米，这个长方体与桌面接触时，最大的接触面是（ ）平方分米。

（4）一个正方体，它的棱长总和是60厘米，这时正方体的表面积是（ ）平方厘米。

2、解决问题。

（1）做四个棱长5分米的正方体纸盒，至少要用多少平方分米的纸板？

（2）一个长方体食品盒，长10厘米，宽8厘米，高15厘米，围着它的四周贴一层商标，这张商标纸有多少平方厘米？

2.1m 4m

（3）为一座新楼做200节长2米、宽20厘米、高10厘米的雨水管道，需用铁皮多少平方米？

1、填空题。

（1）将一个棱长是4分米的正方体截成4个同样大小的长方体后，表面积至少增加（）平方分米。

（2）先把体积是1立方分米的正方体木块，平均切成棱长是1分米的小正方体木块，再把这些小正方体木块拼成一个宽和高都是1分米的长方体，这个长方体的长是（）米。

（3）有棱长都是1厘米的24个小正方体，用它们拼成一个长方体，共有（）中不同的拼法，拼成的长方体表面积最小是（）平方厘米。

（4）一个表面积是70平方厘米的长方体木块，正好可以切成三个小正方体，每个小正方体的表面积是（）平方厘米。

（5）两个完全相同的长方体恰好拼成一个正方体，正方体的表面积是30平方厘米。如果把这两个长方体拼成一个大长方体，那么大长方体的表面积是（）平方厘米。

（6）右图形体是由棱长为1厘米的小正方体拼搭成的，它的表面

积是（）平方厘米；至少还需要（）个这样的小正方体，才能

拼搭成一个正方体。

2、解决问题。

（1）有一个铁皮烟囱，底面是正方形，周长为2米，高为15米。现需将烟囱加高到25米，至少再需要铁皮多少平方米？

（2）一间教室长8米，宽5米，高3米，如果用涂料粉刷教室的四壁和顶部，除去门窗面积16平方米，共需粉刷多大的面积？

（3）把一个长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体截成两个长方体，使这两个长方体的表面积的和最大，这时表面积之和是多少平方厘米？

1、解决问题。

（1）一个长方体木块，如果长减少2厘米，就成为正方体木块，这时正方体木块的表面积是96平方厘米。原来这个长方体木块的体积是多少？

（2）从一个长方体上截下一个棱长4厘米的正方体后，剩下的还是一个长方体，这时长方体的表面积是64平方厘米。原来长方体最长的一条棱是多少厘米？

（3）一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。求原长方体的表面积。

（4）从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？

2、操作题。

（1）①下面（）图中的五个小方格纸折起来，可以成为一个无盖的纸盒。

②如该纸盒有盖，则还有一个面可以画在哪里？（请在图上画出）

A B

(2)先观察下图，找出小正方体个数与露在外面的面数变化的规律，然后把表

格填完整。

（3）如图所示，用棱长分别是1米、2米的两个正方体组成一

个物体，那么这个物体的表面积是多少平方米？体积是多少立方

米？

（4）小明家的柜式空调长5分米，宽3分米，高1.8米。为了防灰尘，小明的妈妈准备用布做一个长方体的套子把这个空调罩起来。请你帮小明的妈妈算一算，做这只套子至少需要多少平方米布？（接头处共需布0.2平方米）

长方体与正方体的体积

1、填空题。

（1）少年宫有一排长方体的储物柜，共占地0.86平方米，储物柜高0.9米，这排柜子占去空间（）。

（2）一个正方体的棱长总和是84厘米，它的表面积是（），体积是（）。

（3）一个长方体，相交于一个顶点的三条棱长度分别是4厘米、3厘米和2厘米，这个正方体的棱长总和是（）厘米，表面积是（）平方厘米。

（4）单位换算。

①5000立方厘米=（）立方分米=（）立方米

②1.25立方米=（）立方米（）立方分米

③1升=（）立方分米=（）毫升

④ 3.75立方分米=（）立方分米（）立方厘米

（5）一个长方体的木盒长8厘米，宽5厘米，高4厘米，这个长方体木盒的表面积是（），容积是（）。

（6）王老师有一罐茶叶，茶叶罐的高是12厘米，底面是边长为8厘米的正方形，在茶叶罐四周贴了一圈商标纸，商标纸的面积是（）平方厘米，茶叶罐的体积是（）立方厘米。

（7）一个长方体长是6分米，宽和高都是5分米，它的表面积是（）平方分米，体积是（）立方分米。

2、解决问题。

（1）学校操场上挖了一个长5米、宽2.5米、深0.6米的沙坑。

①这个沙坑的占地面积是多少平方米？

②用7立方米黄沙能不能把这个沙坑填满？

（2）一个长方体玻璃鱼缸，长0.9米，宽0.6米，高0.4米。做这个鱼缸至少要用多少平方米玻璃？这个鱼缸的容积是多少？

1、选择题。

（1）你自己的一只拳头慢慢地伸进装满水的脸盆中，溢出来的水的体积大约是（）。

A、小于1毫升，大于1升

B、大于1立方米，小于1升

C、大于1毫升，小于1升

（2）3a表示（）。

A、3a

B、a×a×a

C、a+a+a D. a×3

（3）已知一个正方体的棱长总和是6米，则这个正方体的体积是（）。

A、0.125立方米

B、216立方米

C、1立方米

D、1.5立方米

（4）右图至少还需（）个小方块才能填成一个正方体。

A、8

B、7

C、6

D、5

（5）一粒纽扣电池能使600（）水污染，相当于一个人一生的饮水量。

A、升

B、毫升

C、立方米

（6）一个正方体，棱长扩大3倍，体积扩大（）。

A、3倍

B、9倍

C、27倍

D、不变

2、判断题。

（1）雪碧瓶的标签上有“净含量：1.25升”的字样，这个“1.25升”是指整个瓶子的容积。（）

（2）把一个铁块放入盛满水的容器中，溢出的水的体积就是铁块的体积。（）

（3）一个物体的体积是1立方米，它的占地面积就是1平方米。（）（4）用体积为1立方厘米的小正方体木块1000个，拼成一个最大的正方体，拼成后的正方体体积是1000立方厘米。（）

（5）用4个同样大的正方体摆成一个长方体，如果正方体的表面积是12平方厘米，那么所摆成的长方体的表面积是36平方厘米。（）

3、解决问题。

（1）一节车厢，从里面量长10米，宽20分米，高2米。如果储满煤，每立方米煤重1.4吨，这节车厢能装多少吨煤？

（2）下图是一块长方形铁皮。剪掉四个脚上阴影部分的正方形（每个正方形都相等）后，沿虚线折起来，做成没有盖子的铁盒。求这个盒子的容积。（单位：厘米）

（3）将2升水倒入下图两个长方体水槽中，使它们水面的高度相等，这个高度是多少厘米？（单位：厘米）

1、填空题。

（1）下图为两个接雨器，雨水将左面接雨器注满要1小时，那么将右面接雨器注满要（ ）小时。

（

2）一个正方体的体积是64立方厘米，若把它平均分成两个长方体，则每个长方体的表面积是（

）平方厘米。

20

（3）棱长1米的正方体可以分成棱长1分米的小正方体（ ）个，若把分成的所有小正方体紧紧地排成一行，一共能排（ ）米。

（4）把一个长方体的一端截下一个体积为800立方厘米的长方体后，正好剩下一个棱长为10厘米的正方体。原来长方体的体积是（ ）立方厘米，表面积是（ ）平方厘米。

2、解决问题。

（1）学校盖一间教室，内长9米，宽6米，为了打墙基，需要挖宽0.5米、深0.5米的沟。一共要挖土多少立方米？

（2）将长是45厘米的长方体截成三段，这样表面积就增加160平方厘米。这个长方体原来的体积是多少？

（3）如图，甲、乙两个容器装有同样深的水，将一块铁放入甲容器，水面上升2厘米。如果将同样的铁块放入乙容器，水面将上升多少厘米？（单位：厘米）

（4）一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，其表面积减少了120平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？

12

20

20

30

乙

表面积与体积的应用

1、选择题。

（1）一桶汽油约（ ），一瓶眼药水约（ ），一个仓库的容积约（ ），一本数学书的体积约（ ）。

A 、200毫升

B 、 150升

C 、 400立方米

D 、200立方厘米

（2）用两个棱长是a 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。

A 、212a

B 、 211a

C 、210a

（3）一间教室长8米，宽6米，高4米，这间教室有32个学生，平均每人占有的空间是（ ）。

A 、48平方米

B 、1.5平方米

C 、6立方米

D 、192立方米

（4）你认为下图的这种纸质饮料包装盒装（ ）饮料比较合适。 A 、 750毫升 B 、1000毫升 C 、1026毫升

（5）用8个1立方厘米的小方块拼成一个大正方体，如果拿去了一块（如上图），它的表面积与没有拿以前的表面积相比（ ）。

A 、大了

B 、 小了

C 、 不变

（6）一个汽油桶可装50升汽油，它的（ ）是50升。

A 、体积

B 、 容积

C 、 表面积

（7）长方体和正方体的底面积相等，长方体的高是正方体的2倍，正方体的体积是长方体的（ ）。

A 、 2倍

B 、 4倍

C 、

2

1

D 、 8倍 （8）一个长方体的长、宽、高分别是a 米、b 米、h 米，若高增加3米，则

第（5）题

新长方体的体积比原来增加了（ ）立方米。

A 、3

B 、ab 3

C 、abh 3

D 、)3(h ab

2、解决问题。

（1）在一个长40厘米、宽20厘米、宽30厘米的长方体水箱里注有15厘米深的水。现把一块棱长10厘米的正方体石块浸没水中，水箱中现在水的高度是多少厘米？

（2）在炎热夏天到来之前，王叔叔准备捐资建一座标准化的游泳池，这个游泳池的长是50米，宽是长的一半，深1.8米。 ①这个游泳池的占地面积是多少平方米？ ②挖成这个游泳池共需挖土多少立方米？

③在游泳池的侧面和底面抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？

1、填空题。

（1）如图所示，领奖台是由4个棱长为5分米的正方体拼合而成的。

①如果要把领奖台的表面涂漆（底面不涂），那么需要涂漆的面积是（ ）平方分米。

②这个领奖台的体积是（ ）立方分米。

（2）把一根长8厘米、宽和高都是4厘米的长方体木料截成两个正方体，表面积增加（ ）平方厘米，每个正方体的体积是（ ）立方厘米。 （3）把一根长4吗的方木按垂直于长锯成5段，表面积增加了160平方厘米。原来这根方木的体积是（ ）立方厘米。

（4）把一个长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米的长方体截成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和最小是（ ）。

（5）把一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体的8个顶点处，分别截下一个棱长为1厘米的小正方体后，剩下物体的表面积是（

）

A

B

平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 2、解决问题。

（1）一个密封的长方体玻璃箱，里面装水，从里面量长30厘米，宽10厘米，高15厘米，水深5厘米。如果把箱子的左侧面作为底面放在桌面上，那么水深多少厘米？

（2）下图是分别用棱长是1厘米的小正方体木块摆成的几何体，分别求它们的表面积和体积。

（3）一个正方体鱼缸，棱长6分米，如果把满缸水倒入另一个长8分、宽4.5分米的长方体鱼缸内，水面的高度是多少？

（4）一根长方体木料，长4.5米，它有一组相对的面是正方形，其余4个面的面积是7.2平方米。这根木料的体积是多少立方米？

1、 将长5分米、宽3分米的长方形硬纸（如图），做成3个棱长1分米的无盖正方体纸盒，该如何剪折（图中正方形的边长表示1分米，请在图上画出剪裁的方法）？每个纸盒的容积是多少立方分米？

2、一个正方体的A 点有一只蚊子，B 点有一只壁虎，如图。

15 30

画出壁虎捕捉蚊子的最短路线。

3、有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米。在这个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，最多能放多少个木块？

4、一个长方体木块，长5分米，宽3分米，高4分米，在它六个面上都漆上油漆，然后锯成棱长都是1分米的正方体木块。锯成的木块中几块三面有油漆？两个面、一个面有油漆的各是多少块？没有油漆的是多少块？

5、用一块长30厘米、宽20厘米的长方形铁皮（如下图），做一个高为5厘米的无盖盒子。

（1）画一画，该如何下料？在图上画出来。 （2）算一算，这个盒子的容积有多少升？

6、一块长方体的钢材重71.1千克，横截面为边长6厘米的正方形，已知每立方分米的钢重7.9千克。这根钢材长多少米？

7、 下面是一个表面被涂上红色的棱长10厘米的正方体。如果把它沿虚线切成8个小正方体，这些小正方体中，没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？

8、从一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12

厘米的长方体上面，尽可能大

地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩余的体积是多少立方厘米？

长方体和正方体（一）

我们已经学习了长方体和正方体的有关知识，如长方体和正方体的特征，长方体和正方体表面积、体积的计算。在数学竞赛中，有许多问题涉及长方体和正方体的知识，这些问题既有趣，又具有一定的思考性。解答这些问题，不仅需要我们具备较扎实的基础知识和较强的观察能力、做图能力和空间想象能力，还要能掌握一些解题的思路和技巧。通过本讲的学习，同学们将从解题的过程中得到一些启示，悟出一些道理，从而提高空间想象能力和分析推理能力。

例1在一个长15分米、宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水。如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米？

相等。因此，只要求出上升部分水的高度，就可以求出现在水的深度。

的深度。

【解法一】30厘米＝3分米

3×3×3÷（15×12）＋10

＝0.15＋10

＝10.15（分米）

【解法二】（15×12×10＋3×3×3）÷（15×12）

＝1827÷180

＝10.15（分米）答：水箱中水深10.15分米。

例2一个长方体容器内装满水，现在有大、中、小三个铁球。第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中。已知每次从容器中溢出的水量的情况是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍。问：大球的体积是小球的多少倍？

【分析与解】（1）当长方体容器装满水时，沉入一个球，就要溢出一定的水，

溢出的水的体积和球的体积相等。（2）当球在容器中的时候，容器是满的，球取出之后，容器中空出的体积与取出球的体积相等。（3）当容器中的水不满时，沉入一个球，如果溢出一定量的水，那么，球的体积相当于溢出的水的体积加上原来长方体容器中空出的体积。我们假设小球的体积为1，根据球放入容器后水溢出的情况，球溢出相应的大球和中球的体积。

设小球的体积为1，则第一次溢出的水的体积也为1。根据第二次溢出的水是第一次的3倍，可知第二次溢出的水是1×3＝3。因为取出小球后容器中空出的体积为1，所以，中球的体积是3＋1＝4。根据第三次溢出的水是第一次的2.5倍，可知第三次溢出的水为1×2.5。因为取出中球后容器中空出的体积是4，所以，大球与小球体积的和是4＋2.5＝6.5。从而可以求出大球的体积为6.5－1＝5.5，以及大球的体积是小球的倍数。

【解】（1×3＋1＋1×2.5－1）÷1＝5.5

答：大球的体积是小球的5.5倍。

例3一个长方体容器的底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米、底面边长15厘米的长方体铁块。这时容器里的水深0.5米。如果把铁块取出，容器里水深多少厘米？

【分析与解】要求容器中水深多少厘米，可以用水的体积除以容器的底面积；也可以用原来的水深减去铁块取出后水面下降的高度。

【解法一】0.5米＝50厘米

（60×60－15×15）×50＝168750（立方厘米）

168750÷（60×60）＝46.875（厘米）

【解法二】50－15×15×50÷（60×60）

＝50－3.125

＝46.875（厘米）答：容器里水深46.875厘米。

例4有一个正方体，棱长是6厘米。如果把这个正方体切成棱长是2厘米的小正方体（如左图），那么，这些小正方体表面积的和是多少？

用每块小正方体的表面积乘以块数，得到所有小正方体表

面积的和。

将原来正方体切开后，原来的六个面仍是所求表面积的一部分，而每切一刀，就增加2个正方形的剖面，现在一共切了6刀，表面积就比原来增加了2×6＝12（个）正方形面的面积。用原来正方体的表面积加上增加的面积，就得到所有小正方体表面积的和。

【解法一】（6×6×6）÷（2×2×2）＝27（块）

2×2×6×27＝648（平方厘米）

【解法二】6×6×（6＋2×6）

＝36×18

＝648（平方厘米）答：表面积的和是648平方厘米。

例5一个表面涂满了红色的正方体，在它的每个面上都等距离地切两刀。

（1）三个面涂有红色的小正方体有几个？

（2）两个面涂有红色的小正方体有几个？

（3）一个面涂有红色的小正方体有几个？

（4）六个面都没有涂红色的小正方体有几个？

【分析】把大正方体的每个面都切两刀，共可得到3×3×3＝27（个）小正方体。三个面都涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有8个。两个面涂有红色的小正方体的位置在每条棱上，共有1×12＝12（个）。一个面涂有红色的小正方体的位置在每个面的中间，共有1×6＝6（个）。六个面都没有涂红色的小正方体在大正方体的中间，从27个小正方体中去掉三个面、两个面、一个面涂红色的小正方体，剩下的就是六个面都没涂红色的小正方体。

【解】（1）三个面涂红色的小正方体有8个；

（2）两个面涂红色的小正方体有1×12＝12（个）；

（3）一个面涂红色的小正方体有1×6＝6（个）；

（4）六个面都没有涂红色的小正方体有27－（8＋12＋6）＝1（个）。

如果要得到100个六个面都没有涂红色的小正方体，那么，每个面上至少需