常州大学2010年数值分析试卷A及评分标准
常州大学2010~2011学年第 2 学期硕士生考试试题评分标准 课程名称： 数值分析 试题类型：A
（考生不得在此试题上填写答案，如填写一律无效）
本试卷考试时间为90分钟，满分100分。
1. （10分）当0x ≈时, 试比较1cos x -与
2
sin 1cos x x
+在理论上与在数值计算上的差异？并
叙述常见的防止误差的一些原则。
解：当0x ≈时，两个表达式在理论上恒等， 但其数值计算结果不同，前者会出现相近数相减，失去有效数位，降低计算结果精度的问题；后者避免了相近数相减的问题，尽可能地保证了计算结果的精度。
………… 5 分
防止误差的几个基本原则主要有： 1） 防止大数“吃”小数；
2） 避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法； 3） 避免相近数相减； 4） 避免使用不稳定的算法；
5) 注意简化计算步骤，减少运算次数；
………… 5 分
2. （15分）叙述Newton 插值法的方法思想，并根据列表函数
利用Newton 插值方法求()f x 的插值逼近多项式3()N x 。
解：Newton 插值法的方法思想：对于给定节点(,),0,1,2,,i i x y i n = ，Newton 插值方法通过构造如下形式的插值多项式
010201011()()()()()()()n n n N x a a x x a x x x x a x x x x x x -=+-+--++---
保证当新增加节点11(,)n n x y ++时，新的插值多项式1()n N x +满足
1101()()()()()n n n n N x N x a x x x x x x ++=+--- ，
其中系数01[,,,]i n a f x x x = 为由01,,,i x x x 确定的i 阶差商，仅与01,,,i x x x 有关。这样就可以新增节点后的新的插值多项式能够在已有的插值多项式的基础上用较少的工作量得到。
………… 7 分
Newton 差商表：
D= 2.0000 -1.0000 -3.0000 1.0000 2.0000 2.5000 2.0000 1.0000 -0.5000 -1.0000
………… 5 分
3()^3 2.5^20.51N x x x x =-++-
………… 3 分
3. （15分）写出变步长的梯形积分公式，并用复化辛普森（Simpson ）公式n S 计算
1cos 0
2
x
dx ?
，其中2n =。
解：复化梯形求积公式2,n n T T 之间的关系如下：
211
2
1(),2
2
n
n n i i h
T T f x
-
==
+
∑ （3-1）
其中1[()()]2
b a T f a f b -=
+。（3-1）式为变步长的梯形积分公式。
………… 5 分
在变步长的梯形积分公式的基础上有
241;33n n n S T T =
-
；
………… 5 分
应用上述公式计算上述积分可得结果如下： 1T =1.7271 1S =1.8006
2T =1.7822 2S =1.8001 4T =1.7956 由此可得2S =1.8001
………… 5 分
4. （10分）设21002
31004510
4
4A ????-?
?=??
-??-??, 13816b ????-??=????-??
，试用LU 分解法解线性方程组A x b =。
解： 1211
14
1,1
14
11
13L U ????
? ?-
? ?== ? ?- ? ?-?
??
?
………… 5 分
解A x b =可以转化为解L U x b =，先解Ly b =，再解Ux y =可得所求解。具体如下：解
Ly b =可得()1
210
6'y =--；解Ux y =可得()1
12
2'x =--。
………… 5 分
5. （15分）对下述线性方程组
1231231232594330
x x x x x x x x x ++=??
-++=-??+-=?
给出一个收敛的Gauss-seidel 迭代格式，并用此收敛的Gauss-seidel 迭代格式求此方程组的一个误差不超过110-的近似解。 解：改写上述方程组可得 1231231
2330
43259
x x x x x x x x x +-=??
-++=-??++=? ………… 5 分
新方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，相应的Gauss-seidel 迭代为
(1)()()123(1)(1)()
2
13(1)(1)(1)3
12()/3(3)/4(92)/5
k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++?=-+?=-+-??=--? ………… 5 分
从初始近似解(0)
(0,0,0)'x
=出发，可得满足精度要求的近似解为
(3)
(1.0208, -1.0010, 1.9962)'x
=；迭代次数为 3。精确解为*(1,-1,2)'x =。
………… 5 分
6. （15分）写出Newton 迭代方法求非线性方程()0f x =根的方法思想；并选用适当的方
法求方程20x
x e
+=在00.5x =-附近的一个根，要求误差不超过3
10
-。
解：求非线性方程()0f x =根的Newton 方法的方法思想：
Newton 法是一种迭代法, 在已知方程()0f x =的第k 次近似解k x 时, Newton 法是利用曲线
()y f x =在k x 处的切线来近似曲线()y f x =, 把切线与x 轴的交点1k x +作为()y f x =与
x 轴的交点*x 的第1k +次近似, 由此得到方程()0f x =根的第1k +次近似。即有
1()'()
k k k k f x x x f x +=-
………… 8 分
算法优点：对于方程的单根，方法具有二阶收敛速度；缺点：局部收敛性。
………… 2 分
由Newton 法解方程20x x e +=在00.5x =-附近的一个根可得迭代结果如下：
1x = -0.4239， 2x = -0.4263，
其中2x = -0.4263满足精度要求。
………… 5 分
7. (10分)写出解常微分方程初值问题的四阶Runge －Kutta 方法，并用四阶Runge －Kutta
方法解方程
22',1 1.3
(1)1
y x y x y ?=+≤≤?
=?
所确定的函数()y x 在 1.3x =处的近似值，取0.3h =。 解：四阶龙格-库塔（Runge －Kutta ）方法如下:
112341213243(22)
6
(,)
(/2,/2)(/2,/2)(,)
k k k k k k k k k k h y y K K K K K f x y K f x h y h K K f x h y h K K f x h y hK +=++++==++=++=++其中
………… 5 分
利用Runge-kutta 方法可得函数()y x 在 1.3x =的近似值为：y1= 2.0347，其中 k1= 2.0000 k2= 3.0125 k3= 3.4304 k4= 5.8074 y1= 2.0347。
………… 5 分
8. （10分）已知列表函数
若用函数()x q x a bx
=
+拟合上述列表函数，试用最小二乘法确定参数,a b 的大小。
解：令11()1/(),p x q x a
b at b t
==+=+=
其中。将上述列表函数作相应的变换有 用函数()p x at b =+拟合上述列表函数可得正规方程组如下：
2
(,)()()(,)(
)(1)i i i i
i i
i
i i
i i i
a b t a t b t Y
a a
b t a b Y
b ????=+=????
??=+=
???
∑∑∑∑∑∑，从而有 1.4636 2.28339.0252
2.2833518.2566a b a b +=??+=?
，
解得 a =1.6348， b =2.9048。
………… 5 分
试卷一参考答案及评分标准
试卷一参考答案及评分标准 一、不定项选择：（每题2分，25题，共50分。） 1.ABCE 2.ABD 3.BCDE 4.BCE 5.CDE 6.DE 7.ACDE 8.BCE 9.BCE 10.BCDE 11.ACE 12.BCDE 13.BCDE 14.AD 15.AD 16.BE 17.D 18.ADE 19.C 20.BC 21.ABC 22.ABCDE 23.ABC 24.ABCE 25.ABDE 二、引文解释：（每题7分，2题，共14分） 26.“资本可变部分比不变部分的相对减少，或资本价值构成的变化，只是近似地表示出资本的物质组成部分构成上的变化”。（引自第1卷第23章） 1）资本技术构成和资本价值构成之间存在一定的关系，即资本技术构成的变化会引起资本价值构成的相应变化。（2分） 2）当劳动生产率提高时，由于单个劳动者在相同时间内需要的生产资料数量增加，从而会引起资本技术构成的提高，进而引起不变资本价值的增加和可变资本价值的相对减少。（3分） 3）由于劳动生产率的提高会引起生产资料价值的下降，因此资本价值构成的提高会低于资本技术构成的提高。（3分）4）例如…（2分） 27.“周转时间的缩短对剩余价值的生产，从而对利润的生产的直接影响，在于使可变资本部分由此提高效率”。（引自第3卷第4章） 1）资本周转时间包含了生产时间和流通时间。由于劳动生产率的提高而缩短生产时间和由于改进交通而缩短流通时间，都可以增加利润量、提高利润率。（2分）例如：…（2分） 2）资本周转时间缩短引起资本周转次数增多，导致年利润量增加和年利润率的提高，从表面上看似乎是资本周转速度本身加快所致。（2分）但实际上，根本的原因则是因为可变资本由于资本周转次数的增加而提高了使用效率，即生产出更多的年剩余价值量。（4分） 三、说明下列概念的内涵和相互关系：（1题，共10分） 28.劳动过程、价值形成过程、价值增殖过程 区别：①涵义：（2分）②劳动过程和价值形成过程的区别：劳动过程考察的是劳动的质、目的和内容；价值形成过程考察的是劳动的量（1分）③价值形成过程和价值增殖过程的区别：价值形成过程中创造的新价值等于劳动力价值；价值增殖过程中创造的新价值包含剩余价值。（2分）④劳动生产率的变化对劳动过程创造的使用价值量和价值形成和价值增殖中创造的价值量影响不同。（2分） 联系：①劳动过程与价值形成过程的统一构成一般商品生产过程；劳动过程与价值增殖过程的统一构成资本主义生产过程。（1分）②劳动时间超过必要劳动时间，价值形成过程就转化为价值增殖过程（2分）
东南大学数值分析上机题答案
数值分析上机题 第一章 17.（上机题）舍入误差与有效数 设∑=-= N j N j S 2 2 11 ，其精确值为）111-23（21+-N N 。 （1）编制按从大到小的顺序1 -1 ···1-311-21222N S N +++=，计算N S 的通用 程序； （2）编制按从小到大的顺序1 21 ···1)1(111 222-++--+ -=N N S N ，计算N S 的通用程序； （3）按两种顺序分别计算210S ,410S ,610S ,并指出有效位数（编制程序时用单精度）； （4）通过本上机题，你明白了什么？ 解： 程序： （1）从大到小的顺序计算1 -1 ···1-311-21222N S N +++= ： function sn1=fromlarge(n) %从大到小计算sn1 format long ; sn1=single(0); for m=2:1:n sn1=sn1+1/(m^2-1); end end （2）从小到大计算1 21 ···1)1(111 2 22 -++--+-= N N S N function sn2=fromsmall(n) %从小到大计算sn2 format long ; sn2=single(0); for m=n:-1:2 sn2=sn2+1/(m^2-1); end end （3） 总的编程程序为： function p203()
clear all format long; n=input('please enter a number as the n:') sn=1/2*(3/2-1/n-1/(n+1));%精确值为sn fprintf('精确值为%f\n',sn); sn1=fromlarge(n); fprintf('从大到小计算的值为%f\n',sn1); sn2=fromsmall(n); fprintf('从小到大计算的值为%f\n',sn2); function sn1=fromlarge(n) %从大到小计算sn1 format long; sn1=single(0); for m=2:1:n sn1=sn1+1/(m^2-1); end end function sn2=fromsmall(n) %从小到大计算sn2 format long; sn2=single(0); for m=n:-1:2 sn2=sn2+1/(m^2-1); end end end 运行结果：
最新第六章习题答案-数值分析
第六章习题解答 2、利用梯形公式和Simpson 公式求积分2 1 ln xdx ? 的近似值，并估计两种方法计算值的最大 误差限。 解：①由梯形公式： 21ln 2 ()[()()][ln1ln 2]0.3466222 b a T f f a f b --= +=+=≈ 最大误差限 3''2 ()111 ()()0.0833******** T b a R f f ηη-=-=≤=≈ 其中，(1,2)η∈ ②由梯形公式： 13()[()4()()][ln14ln()ln 2]0.38586262 b a b a S f f a f f b -+= ++=++≈ 最大误差限 5(4)4()66 ()()0.0021288028802880 S b a R f f ηη-=-=≤≈， 其中，(1,2)η∈。 4、推导中点求积公式 3''()()()()() ()224 b a a b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<
东南大学数值分析上机作业汇总
东南大学数值分析上机作业 汇总 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
数值分析上机报告 院系： 学号： 姓名：
目录 作业1、舍入误差与有效数 (1) 1、函数文件cxdd.m (1) 2、函数文件cddx.m (1) 3、两种方法有效位数对比 (1) 4、心得 (2) 作业2、Newton迭代法 (2) 1、通用程序函数文件 (3) 2、局部收敛性 (4) （1）最大δ值文件 (4) （2）验证局部收敛性 (4) 3、心得 (6) 作业3、列主元素Gauss消去法 (7) 1、列主元Gauss消去法的通用程序 (7) 2、解题中线性方程组 (7) 3、心得 (9) 作业4、三次样条插值函数 (10) 1、第一型三次样条插值函数通用程序： (10) 2、数据输入及计算结果 (12)
作业1、舍入误差与有效数 设∑ =-=N j N j S 2 2 11 ，其精确值为?? ? ??---1112321N N . （1）编制按从小到大的顺序1 1 131121222-? ??+-+-=N S N ，计算N S 的通用程序； （2）编制按从大到小的顺序()1 21 11111222-???+--+-=N N S N ，计算N S 的通用程序； （3）按两种顺序分别计算642101010,,S S S ,并指出有效位数； （4）通过本上机你明白了什么？ 程序： 1、函数文件cxdd.m function S=cxdd(N) S=0; i=2.0; while (i<=N) S=S+1.0/(i*i-1); i=i+1; end script 运行结果（省略>>）： S=cxdd(80) S= 0.737577 2、函数文件cddx.m function S=cddx (N) S=0; for i=N:-1:2 S=S+1/(i*i-1); end script 运行结果（省略>>）： S=cddx(80) S= 0.737577 3、两种方法有效位数对比
常州大学数值分析07-08试卷B及参考答案
江苏工业学院2007~2008学年第 2 学期硕士生考试试题解答 一、（10分）举例说明如何在数值计算过程中防止相近数相减及避免“大数吃小数”。 答：1）防止相近数相减举例：当x 充分大时，即1x >>时，计算 会出现相近数相减， 可以用下述数学上等价的表达式 来计算，以避免相近数相减。 ………… 5 分 2） 避免“大数吃小数”举例： 设,1:1000,i i δ=为区间[0, 0.5]上的随机数，在字长为5的计算机上计算 12100012345S δδδ=++++ 时，如果采用上述给定的顺序计算S ，则会出现大数吃小数的现象；要避免大数吃小数，这里可以采用表达式：212100012345S δδδ=++++规定的顺序来计算即可。 ………… 5 分 注：学生的举例只要符合要求均可以算对。 二、(15分) （1）叙述Newton 插值方法的方法思想； (2) 设(1)0,(2)1,(3)3,(4)5f f f f ====, 试求)(x f 的三次Newton 插值多项式； (3) 利用上述插值公式近似计算(2.3)f . 解： (1) 牛顿插值方法是通过构造如下形式的多项式 01020101()()()()()()n n n N x a a x x a x x x x a x x x x -=+-+--++-- 其中,0,1,2,,i a i n =通过Newton 差商公式得到，且仅与0,1,,,i x x x 有关，由此可以保 证在增加节点时， 原先的计算量能够被充分利用。 ………… 6 分 (2) 根据列表函数可得差商表如下： 0 0 0 0 1.0000 1.0000 0 0 3.0000 2.0000 0.5000 0 5.0000 2.0000 0 -0.1667 )(x f 的三次Newton 插值多项式为: 3()(1)0.5(1)(2)0.1667(1)(2)(3)N x x x x x x x =-+------ ………… 6 分 (3) 3(2.3)(2.3) 1.5405f N ≈≈ ………… 3 分 三、（15分） （1）简要叙述求非线性方程()0f x =根的迭代法的方法思想。 （2）选用适当的迭代方法求方程3 2 210x x x ---=在0 2.5x =附近的一个根, 精度 为3 10-。 解：（1）求非线性方程()0f x =根的迭代法的方法思想： 将方程()0f x =改写成 ()x x ?=
试卷参考答案和评分标准
试卷参考答案和评分标准The document was prepared on January 2, 2021
试卷参考答案 一. 听力材料及答案. Ⅰ. 听录音,把你所听到单词的序号填写在题前括号内。（10分） 1.house 2. bedroom 3. wash 4. dishes 5. making 6. dirty 7. women 8. without 9. work 10. dresser 1----5 A B A B B 6----10 B B A B A Ⅱ. 听句子，从 ABCD 四个选项中选出所包含的信息，并将字母标号填写在题前的括号内。（10分） ( C ) Ming is coming to Canada by plane. ( A ) ’s time to make lunch. ( D ) ’s the sink Here it is. ( C ) did she arrive She arrived at 5:50. ( B ) is Mary’s favourite shape. Ⅲ. 听对话, 用1,2,3……排列下列图片顺序,并将序号写在相应图片的括号内。（10分） 1. A: Is it a refrigerator? B: Yes, it is. 2．A: When do you go to school?
B: I go to school on September first. 3. A: What’s he doing B: He is writing a letter for his mother. 4．A: What’s the temperature outside? B: It’s 20 degrees. 5．A: What’s this B: This is a kitchen. 图片顺序为：1（ 5 ），2（ 3 ），3（ 1 ），4（ 2 ），5（ 4 ） Ⅳ. 听录音，根据听到的句子的意思写出句子中所缺的英语单词，每空只填一词。（10分） 1. is going to play the piano . 2.I like to have my boots on a rainy day. 3.This is the way we take a shower , on a Sunday morning. 4.Look! This is the living room .
东南大学 数值分析 考试要求
第一章绪论 误差的基本概念：了解误差的来源，理解绝对误差、相对误差和有效数的概念，熟练掌握数据误差对函数值影响的估计式。 机器数系：了解数的浮点表示法和机器数系的运算规则。 数值稳定性：理解算法数值稳定性的概念，掌握分析简单算例数值稳定性的方法，了解病态问题的定义，学习使用秦九韶算法。 第二章非线性方程解法 简单迭代法：熟练掌握迭代格式、几何表示以及收敛定理的内容，理解迭代格式收敛的定义、局部收敛的定义和局部收敛定理的内容。 牛顿迭代法：熟练掌握Newton迭代格式及其应用，掌握局部收敛性的证明和大范围收敛定理的内容，了解Newton法的变形和重根的处理方法。 第三章线性方程组数值解法 （1）Guass消去法：会应用高斯消去法和列主元Guass消去法求解线性方程组，掌握求解三对角方程组的追赶法。 （2）方程组的性态及条件数：理解向量范数和矩阵范数的定义、性质，会计算三种常用范数，掌握谱半径与2- 范数的关系，会计算条件数，掌握实用误差分析法。 （3）迭代法：熟练掌握Jacobi迭代法、Guass-Seidel迭代法及SOR方法，能够判断迭代格式的收敛性。 （4）幂法：掌握求矩阵按模最大和按模最小特征值的幂法。 第四章插值与逼近 （1）Lagrange插值：熟练掌握插值条件、Lagrange插值多项式的表达形式和插值余项。（2）Newton插值：理解差商的定义、性质，会应用差商表计算差商，熟练掌握Newton插值多项式的表达形式，了解Newton型插值余项的表达式。 （3）Hermite插值：掌握Newton型Hermite插值多项式的求法。 （4）高次插值的缺点和分段低次插值：了解高次插值的缺点和Runge现象，掌握分段线性插值的表达形式及误差分析过程。 （5）三次样条插值：理解三次样条插值的求解思路，会计算第一、二类边界条件下的三次样条插值函数，了解收敛定理的内容。 （6）最佳一致逼近：掌握赋范线性空间的定义和连续函数的范数，理解最佳一致逼近多项式的概念和特征定理，掌握最佳一致逼近多项式的求法。 （7）最佳平方逼近：理解内积空间的概念，掌握求离散数据的最佳平方逼近的方法，会求超定方程组的最小二乘解，掌握连续函数的最佳平方逼近的求法。
《光学》试卷库参考答案及评分标准要点
《光学》试题（一）标准答案及评分标准 一、选择题（每小题2.5分，共25分） 1、D 2、A 3、C 4、B 5、B 6、D 7、A 8、C 9、B 10、C 二、填空题（每小题2分，共20分） ① 6.00×10-4 ② 2(n-1)h ③ 0.458 ④ 120 ⑤ 250 ⑥ 3:1 ⑦ 8.3% ⑧ 2I 0/3 ⑨ 1.22λ/D ⑩ 56.1% 三、试用作图法找像的位置和大小(5分) 四、论述题(10分) （1） 同频率 （2）两光波相遇是有固定的位相差 （3）两光波相遇点相同的振动分量 （4）两光波相遇光程差不能太大，要小于光源的相干长度。 （5）两光波相遇点所产生的振动后的振幅不能太悬殊。 评分标准：每小题各占据2分。如没有论述，则酌情扣分。 五． 1．（a ）→x=-20mm 180mm =′=′x f f x S'=60-180=120mm （实像） （5分） （b ）x=20mm x'=-180mm （5分） S'=60-180=240mm （虚像） 2．由于右边321n n n ，故没有额外程差，而左边3221,n n n n 发生额外程差 对于右边 λj R r n h n j 22 2=2 λ)5+(=25+2 j R r n j 两式相减，可求得波长 Ο A R r n j 6480=5) r -(=2j 25+2λ 对于左j 级亮纹满足
m m r n R r j n R r j R r n j j j j 24.4=18 =62 .1×210×10×6480×10+4×4=2+=)21 +(==21 -37-22 222 2 左左左λλ λλ 3．设光栅常数为d ，可见光谱两面三刀端波长所对应的光栅方程为 760 ?=θsin 400?=sin 2211K d K d θ 如果发生重叠是400nm 的二级与760nm 的一级： 1 221/760=sin /800=/400?2=sin θθθθ d d d 所以不发生重叠。 而当K 1=3 K 1=2时 1 221)(/1520=/760×2=θsin )(/1200=/400×3=sin θθθ nm d d nm d d 发生重叠 发生重叠时，1级光谱的角宽 d d /360=/)400-760(≈θΔ 发生重叠时， 3×400=2×λ λ= 600 nm 所以重叠范围 600～760 nm 4．当晶片引起的位相差对薄些波长形成全波片时，这些波长的光将不能通过系统，即 π2=)-(20K d n n e λ π Ｋ的取值范围 7-010×7800)-(d n n e ～7-010 ×3900)-(d n n e 即9～17 Ｋ=9时 ΟA l K n n e 7644=9 000688.0=-= λ09
东南大学《数值分析》-上机题
数值分析上机题1 设2 21 1N N j S j ==-∑ ，其精确值为1311221N N ??-- ?+?? 。 （1）编制按从大到小的顺序222 111 21311 N S N = +++---，计算N S 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序22 21111(1)121 N S N N =+++----，计算N S 的通用程序。 （3）按两种顺序分别计算210S ，410S ，610S ，并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本上机题，你明白了什么？ 程序代码（matlab 编程）： clc clear a=single(1./([2:10^7].^2-1)); S1(1)=single(0); S1(2)=1/(2^2-1); for N=3:10^2 S1(N)=a(1); for i=2:N-1 S1(N)=S1(N)+a(i); end end S2(1)=single(0); S2(2)=1/(2^2-1); for N=3:10^2 S2(N)=a(N-1); for i=linspace(N-2,1,N-2) S2(N)=S2(N)+a(i); end end S1表示按从大到小的顺序的S N S2表示按从小到大的顺序的S N 计算结果
通过本上机题，看出按两种不同的顺序计算的结果是不相同的，按从大到小的顺序计算的值与精确值有较大的误差，而按从小到大的顺序计算的值与精确值吻合。从大到小的顺序计算得到的结果的有效位数少。计算机在进行数值计算时会出现“大数吃小数”的现象，导致计算结果的精度有所降低，我们在计算机中进行同号数的加法时，采用绝对值较小者先加的算法，其结果的相对误差较小。
常州大学数值分析作业共六章
第一章：9.设2 cos 1)(x x x f -= ，给出计算函数值)012.0(f 的一个合适算法，并在字长m 给定的，十进制计算机上给出数值计算结果。 解：由 )24 21(242)2421(1)cos(1224242x x x x x x x -=-=+- -≈- 得 )24 21(cos 1)(22x x x x f -≈-= 10. 字长为5的十进制计算机上计算 )015.0(f 和)015.0(g ，并与)015.0(f 的精确值 1.79比较，说明差异存在理由，其中x e x f x 1)(-=，24 621)(3 2x x x x g +++=。
12.对任意给定的实数a 、b 、c 、试编写Matlab 程序,求方程02 =++c bx ax 的根。 解：利用教材例11的方法： 当b>0时，a ac b b x 2421---=，b ac b c x +--=4222。 13.利用1 ,753arctan 7 53<+-+-=x x x x x x 及 () 3/3arctan 6 =π ，给出一个计算π的方 法，根据此方法编写程序，给出π的至少有10位有效数字的近似值。 解：根据题中所给公式，容易得到：
() 1 2)3/3(16)3/3arctan(61 21 1 --≈=-=+∑i i n i i π 14.分别利用下式给出计算ln2的近似方法，编写相应程序并比较算法运行情况。 11,32) 1()1ln(321 1 ≤<-+++-=-=+∑∞ =+x n x x x x n x x n n n n 11),1253(21 2211ln 1253112<<-+-++++=-=-+-∞ =-∑x n x x x x n x x x n n n 解： 由运行结果可知， 方法二的绝对误差比方法一的误差要小得多。 这是因为方法一给出的计算公式含有相近数相减项，损失了有效数字。 而方法二给出的计算公式避免了相近数相减，具有较好的精度。
测试题一参考答案和评分标准
测试题一参考答案和评分标准 一、选择题：每题2分，共50分。 二、读图题：（8分） （1）A、辽，B、北宋，C、西夏；（2）澶渊之盟；（3）金、南宋、西夏对峙形势图；（4）郾城大捷，岳飞；（5）经济重心完成南移。（每空1分） 三、连线题：共5分。 （ B ）苏轼（ A ）宋应星（ E ）关汉卿（ C ）施耐庵（ D ）白居易 四、材料解析：第1题9分，第2题8分，本大题共17分。 1、（1）唐太宗；（1分）重视科举，扩充国学；（1分）文成公主入吐蕃（或设立都督府，任用突厥贵族进行管理，保留原有民族的习惯与生活方式；唐太宗为突厥将
领疗伤等）。（1分）（2）武则天时期的治世（2分）和唐玄宗时期的开元盛世（2分）。（3）国家统一，社会安定；统治者大都重视发展生产；科举制为唐朝选拔了大量人才（或统治者大都重用人才）；开明的民族政策，民族关系友好；开放的对外政策，对外友好往来等等。言只有理可酌情给分。（3分） 2、(1)唐朝对外交往比较活跃，与亚洲以至非洲、欧洲的一些国家，都有往来；宋朝鼓励海外贸易，还设置了管理海外贸易的市舶司。（2分）对外开放政策。（2分）（2）害怕外商与沿海人民交往滋生事端，便利洋人侵略中国；自恃中国地大物博，藐视西方各国，夜郎自大；（2分）闭关锁国政策。（2分） （3）唐宋的对外开放政策促进了经济的发展，提高了当时中国在世界上的声望；（2分）清朝的闭关政策阻碍了中国的发展和进步，使中国在世界上逐渐落伍了（2分）启示：加强交流、实行开放能够促进社会的进步与发展；闭关自守、盲目自大只能导致落后挨打。我国今天应坚持对外开放，加强与世界各国的经济文化交流与合作（2分）（言之有理，可酌情赋分） 五、融入情境，探究问题（13分） (1)戚继光抗倭；郑成功从荷兰殖民者手中收复台湾；清朝康熙帝时取得两次雅克卫反击战的胜利，遏制了沙俄在我国黑龙江流域的侵略；签订了《尼布楚条约》，划定了中段边界。（4分） (2) 西藏地区：1．建立对达赖、班禅的册封制度，历世达赖、班禅的继承都必须经过中央政府册封；2．雍正时,清朝设置驻藏大臣，与达赖与班禅共同管理西藏事
东南大学-数值分析上机题作业-MATLAB版
2015.1.9 上机作业题报告 JONMMX 2000
1.Chapter 1 1.1题目 设S N =∑1j 2?1 N j=2 ，其精确值为 )1 1 123(21+--N N 。 （1）编制按从大到小的顺序1 1 131121222-+ ??+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序1 21 1)1(111222-+ ??+--+-= N N S N ，计算S N 的通用程序。 （3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本次上机题，你明白了什么？ 1.2程序 1.3运行结果
1.4结果分析 按从大到小的顺序，有效位数分别为：6，4，3。 按从小到大的顺序，有效位数分别为：5，6，6。 可以看出，不同的算法造成的误差限是不同的，好的算法可以让结果更加精确。当采用从大到小的顺序累加的算法时，误差限随着N 的增大而增大，可见在累加的过程中，误差在放大，造成结果的误差较大。因此，采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。 2.Chapter 2 2.1题目 （1）给定初值0x 及容许误差ε，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。 （2）给定方程03 )(3 =-=x x x f ,易知其有三个根3,0,3321= *=*-=*x x x ○1由牛顿方法的局部收敛性可知存在,0>δ当),(0δδ+-∈x 时，Newton 迭代序列收敛于根x2*。试确定尽可能大的δ。 ○2试取若干初始值，观察当),1(),1,(),,(),,1(),1,(0+∞+-----∞∈δδδδx 时Newton 序列的收敛性以及收敛于哪一个根。 （3）通过本上机题，你明白了什么？ 2.2程序
数值分析习题六解答
习 题 六 解 答 1、在区间［0，1］上用欧拉法求解下列的初值问题，取步长h=0.1。 (1)210(1)(0)2y y y '?=--?=?(2)sin (0)0x y x e y -'?=+?=? 解：（1）取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为 21(1)(0,1,2,)n n n y y y n +=--= 由初值y 0=y(0)=2出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=2； x 1=0.1，2100(1)211y y y =--=-= x 2=0.2，2211(1)101y y y =--=-= 指出： 可以看出，实际上求出的所有数值解都是1。 （2）取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为 21(sin )(0,1,2,)n x n n n y y h x e n -+=++= 由初值y 0=y(0)=0出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=0； x 1=0.1， 02 1000 (sin )00.1(sin 0)00.1(01)0.1x y y h x e e -=++=+?+=+?+= x 2=0.2， 122110.1 (sin )0.10.1(sin 0.1)0.10.1(0.10.9)0.2 x y y h x e e --=++=+?+=+?+= 指出： 本小题的求解过程中，函数值计算需要用到计算器。 2、用欧拉法和改进的欧拉法(预测－校正法)求解初值问题，取步长h=0.1。 22(00.5) (0)1 y x y x y '?=-≤≤? =? 解：(1) 取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为 2 1(2)(0,1,2,)n n n n y y h x y n +=+-= 由初值y 0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下：
试题答案及评分标准
语文试题答案及评分标准 卷一（选择题，共50分） 一、（本大题10个小题，每小题2分，共20分） 二、（本大题6个小题，每小题3分，共18分） 三、（本大题4小个小题，每小题3分，共12分） 卷二（非选择题，共70分） 四、（本大题5个小题，共15分） 21．（5分） 想要研究自然现象与人类社会的关系，通晓古往今来变化的规律，成为一家之言。 22．（3分） （1）天生我材必有用 （2）我们共享雾霭、流岚、虹霓。 （3）胜似闲庭信步。 （4）以先国家之急而后私仇也。 （5）相逢何必曾相识。 【评分标准】如果答题超过三句，选择正确答案给分。答对一句得1分，答对三句即得满分，答题错误不倒扣分。句中有错别字或漏字、添字，该句不得分。 23．（4分） 五、（本大题5个小题，每小题3分，共15分） 24．（3分） （1）树比人活的长久，但并不以此傲人；（2）树绝对不伤人；（3）树比人坚忍；（4）树
会帮助人。 【评分标准】每点1分，答出三点即可 25、（3分） 这句话运用了象征（托物言志、比喻）的手法，表面上说的是树，实际上说的是人（1分）。“不曾”说明人往往是很坚强的，能够战胜各种不幸和灾难（1分），“却”字使句 意发生了转折，指出人们常常会被名利和赞扬所压垮（1分） 26、（3分） 虔诚、尊敬——嫉妒——自卑、伤感——自信、自强（每一点1分） 27、（3分） 文章的主旨（2分）：我们不管身处何种环境，地位如何卑微，都没有理由也不应该自惭 形秽，而应像小草那样坦然、快乐地生活。 草的特征（1分）：不因卑微而羞愧、安然的怡然挺立。 28、（3分） 感悟如下均可：自卑人人都有，但要勇于面对；人们虽然会在各个方面存在差异，但不 能自惭形秽，要豁达自信；人应该坦然快乐地生活，你就能走出自卑的泥潭，收获属于 自己的成功。 【评分标准】（只要谈到其中的某一点，意思相近即可得2分，能结合实际生活谈2分）六、作文（45分） 29．【评分标准】 说明：①不写题目扣2分； ②不足700字，每少50字扣2分； ③错别字每2个扣1分，重复的不计，最多扣3分； ④卷面不整洁，字迹潦草，不能进入一类卷。 范文 1、学会转身，是生活的智慧 转身是一种生活方式，让达成目标的人们重新审视生活；转身是一种生活态度，是摒弃名利后的一种本质的回归；转身也是一种选择，是对光鲜外表下深藏的隐患的警醒。二战时期纳粹法西斯在欧洲大肆残杀犹太人，匈牙利处于腥风血雨之中。 当时那里有一位意大利籍商人叫佩拉斯卡，在纷乱的战世中，却选择留在匈牙利解救
东南大学数值分析上机解剖
第一章 一、题目 设∑ =-=N j N j S 22 1 1，其精确值为)11 123(21+--N N 。 （1）编制按从大到小的顺序1 1 131121222-+ ??+-+-=N S N ，计算SN 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序1 21 1)1(111222-+ ??+--+-=N N S N ，计算SN 的通用程序。 （3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本次上机题，你明白了什么？ 二、MATLAB 程序 N=input('请输入N(N>1)：'); AccurateValue=single((0-1/(N+1)-1/N+3/2)/2); %single 使其为单精度 Sn1=single(0); %从小到大的顺序 for a=2:N; Sn1=Sn1+1/(a^2-1); end Sn2=single(0); %从大到小的顺序 for a=2:N; Sn2=Sn2+1/((N-a+2)^2-1); end fprintf('Sn 的值 (N=%d)\n',N); disp('____________________________________________________') fprintf('精确值 %f\n',AccurateValue); fprintf('从大到小计算的结果 %f\n',Sn1); fprintf('从小到大计算的结果 %f\n',Sn2); disp('____________________________________________________')
常州大学数值分析第三章
第三章作业 1.设节点x 0=0,x 1=π/8,x2=π/4,x3=3π/8,x4=π/2,试适当选取上述节点，用拉格朗日插值法分别构造cosx 在区间[0，π/2]上的一次、二次、四次差值多项式P 1（x ）,P 2(x)和P 4（x)，并分别计算P 1（π/3）,P 2(π/3)和P 4（π/3). 解： x0 x1 x2 x3 x4 x π/8 π/4 3π/8 π/2 y=cosx 1 0.923879 0.707106 0.382683 （1）选择x0=0,x4=π/2的节点 y0=cosx0=1,y4=cosx4=0,可得 ) () ()()()(0101 1010 1x x x x y x x x x y x P --+--=，即 333333 .0)3/(1636620.0)(11≈+-≈πP x x P （2）选择x0=0,x2=π/4,x4=π/2的节点 y0=cosx0=1,y2=cosx2=0.707106,y4=cosx4=0,可得 ) )(())(())(() )(())(())(()(1202102 2101201 2010210 1x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x P ----+----+----=,即 145968 .1)3/(1511124.5482067.1)(222≈++-≈πP x x x P （3）选择x0=0,,x1=π/8,x2=π/4,x3=3π/8，x4=π/2的节点y0=cosx0=1,y1=cosx1=0.923879,y2=cosx2 =0.707106,y3=cosx3=0.382683,y4=cosx4=0可得 ) ( )(4 ,04 4∏ ∑≠==--=i j j j i j i i x x x x y x P ， 得 P3(x)=1+0.0031x-0.51542x +0.02423 x +0.02 844 x 4(3) 0.5001P π=/ 7.解： 选取0123=0=1=2=3x x x x ，，，为节点 >> T0=[0.0 0.5];x=[1 2 3]';y=[1.25 2.75 3.5]';x0=2.8;T=aitken(x,y,x0,T0) T = 0.0000 0.5000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 1.2500 2.6000 0.0000 0.0000 2.0000 2.7500 3.6500 4.4900 0.0000 3.0000 3.5000 3.3000 3.2300 3.4820 16 1）拉格朗日差值 ．选取 函数 ],[),sin()cos(ππ-∈+=x x x y x0=-pi:0.5*pi:pi; y0=cos(x0); x=-pi:0.05*pi:pi; if length(x0)~=length(y0) error('The length of x0 must be equal to it of y0'); end w=length(x0); n=w-1; L=zeros(w,w); for k=1:n+1 V=1; for j=1:n+1 if k~=j if abs(x0(k)-x0(j)) 道路勘测设计期末考试试卷(A) 答案及评分标准（样板） 一、名词解释（3分×5＝15分） 1.设计速度：在气候条件好、行车密度小、汽车运行只受道路本身条件影响时,一般司机能保持安全而舒适地行驶的最大速度。 2.动力因数：某型汽车在海平面高程，在滿载情况下，单位车座克服道路阻力和惯性阻力的性能。 评分标准： 答出下划线部分即可得分，每题3分 二、填空题（15分，每空0.5分） 1.方格网式、环形放射式、自由式、混合式。 2. 具有足够的驱动力来克服各种行驶阻力（或R T ≥） 和 驱动力小于或等于轮胎于路面之间的附着力（或k G T ?≤）。 路面平整坚实； 路面粗糙不滑。 3．停车视距；超车视距 评分标准： 每空的分数为0.5分。 三、判断并说明理由（15分, 判断0.5分，说明理由1.0分） 1.错误；应改为：公路等级的确定与远景交通量、使用任务及其性质有关。 2.错误：应改为：横向力系数可以衡量不同重量汽车的在弯道的稳定程度。 3.错误：应改为：按二者最大值计算确定 4.错误：应改为：?=?? 的缓和曲线，则超高过渡可仅在缓和曲线的一个区段进行。 答出基本要点得5分；答得不完整酌情扣分。 2．答案及评分标准 要点： 限制最大合成坡度可以防止急弯陡坡组合，引起横向滑移危机行车安全；限制最小的合成坡度主要以防止道路排水不畅，影响行车安全 答出每一要点给2.5分。答得不完整酌情扣分。 五、叙述题与作图题（15分） 1．答案及评分标准 要点： 纸上定线的方法步骤及作用： （1）定导向线。 ①分析地形，找出各种可能的走法。 ②求平距a，并定匀坡线。作用一是放通了路线，证明方案是成立的，二是放坡可发现中间控制点，为下步工作提供依据。 ③确定中间控制点，分段调整纵坡，定导向线。目的是大概定出具有理想坡度的折线，利用了有利地形，避开了不利地形，可作为试定平面线形的参考。 （2）修正导向线。 ①试定平面线形，点绘纵断面图，设计理想纵坡 ②定修正导向线。目的：用纵断面修改平面，避免纵向大填大挖 ③定二次导向线。目的：用横断面最佳位置修正平面，避免横向填挖过大。 （3）具体定线。 在二次修正导向线基础取反复试线，采取直线型定线方法或曲线型定线方法，定出平面线形。 评分标准： 本题共10分。纸上定线的方法步骤6分；作用要点4分，每一要点给1分。 2．答案及评分标准 数值分析上机题(matlab版)(东南大学) 数值分析上机报告 第一章 一、题目 精确值为)1 1 123(21+--N N 。 1) 编制按从大到小的顺序 1 1 131121222-+??+-+-= N S N ，计算S N 的通用程序。 2) 编制按从小到大的顺序 1 21 1)1(111222-+??+--+-= N N S N ，计算S N 的通用程序。 3) 按两种顺序分别计算6 42 10,10, 10S S S ,并指出有效位 数。（编制程序时用单精度） 4) 通过本次上机题，你明白了什么？ 二、通用程序 clear N=input('Please Input an N (N>1):'); AccurateValue=single((0-1/(N+1)-1/N+3/2)/2); Sn1=single(0); for a=2:N; Sn1=Sn1+1/(a^2-1); end Sn2=single(0); for a=2:N; Sn2=Sn2+1/((N-a+2)^2-1); end fprintf('The value of Sn using different algorithms (N=%d)\n',N); disp('____________________________________________________') fprintf('Accurate Calculation %f\n',AccurateValue); fprintf('Caculate from large to small %f\n',Sn1); fprintf('Caculate from small to large %f\n',Sn2); 常州大学2009~2010学年第 2 学期硕士生考试试题评分标准 1. （10分）当x 充分大时, 试比较 算上的差异？并叙述常见的防止误差的一些原则。 解：当x 充分大时，两个表达式在理论上恒等， 但其数值计算结果不同，前者会出现相近数相减，失去有效数位，降低计算结果精度的问题；后者避免了相近数相减的问题，尽可能地保证了计算结果的精度。 防止误差的几个基本原则主要有： 1） 防止大数“吃”小数； 2） 避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法； 3） 避免相近数相减； 4） 避免使用不稳定的算法； 注意简化计算步骤，减少运算次数； ………… 5 分 2. （15分）已知列表函数 利用Newton 插值方法求()f x 的插值逼近多项式3()N x ，利用插值多项式近似计算 (1.52)f 。 解： Newton 差商表： D = 1.0000 -1.0000 - 2.0000 3.0000 4.0000 3.0000 2.0000 -1.0000 -2.5000 -1.8333 ………… 5 分 3() 1.8333^38.5000^28.6667 1.0000N x x x x =-+-+ ………… 5 分 3(1.52)(1.52) 1.0268f N ≈=。 ………… 5 分 3. （10分）已知列表函数 解：写出正规方程组 42 5.15 26 6.09 a b a b +=?? +=? ………… 5 分 解上述正规方程组得 0.9360,0.7030a b == ………… 5 分 4. （15分）写出龙贝格（Romberg ）方法的数值积分公式，并用龙贝格方法计算 1 sin 0 x e dx ? ， 要求误差不超过2 10-。 解：龙贝格（Romberg ）方法计算定积分 ()b a f x dx ? 的数值积分公式如下： 211122221(),, 2241 3316115156416363 n n n i i i i n n n n n n n n n h b a T T f x h x x n S T T C S S R C C --=-=+=-==-=-=-∑， 其中1[()()]2 b a T f a f b -= +。 ………… 7 分 利用上述公式计算可得 romberg_table = 1.6599 1.6301 1.6319 1.6375 1.6318 1.6332 ………… 8 分 5. （10分）设213212408A -????=---????--?? , 3312b -????=??????，试用高斯消去法或LU 分解法解线性方程组Ax b =。 解：利用LU 分解法可得 121311212113A LU -???? ????==--???? ????--???? 分别解,Ly b Ux y ==可得方程组的解为112x ?? ??=-????-?? 。 6. （15分）写出解线性方程组Ax b =的Jacobi 迭代法方法及Gauss-Seidel 迭代方法的分 量形式；对下述线性方程组 12312312 3335333 x x x x x x x x x --=?? +-=??+-=-? 给出一个收敛的Gauss-seidel 迭代格式，并说明收敛的理由。 解：设() ()() () 12(,, ,)'k k k k n x x x x =为方程组的第k 次迭代解， 则解线性方程组Ax b =的Jacobi 迭代法方法及Gauss-Seidel 迭代方法的分量形式分别为(完整版)试卷答案及评分标准(样板)
数值分析上机题(matlab版)(东南大学)
常州大学数值分析09-10试卷及参考答案