奥数余数和同余讲义

（十八）余数和同余

【知识要点】

1、例如：37÷5＝7……2，四者之间的数量关系：被除数=除数×商+余数

2、同余的概念：两个整数，被同一个大于1的整数m除，所得余数如果相同，那么，这两个整数对于除数m来说

是同余的。例如：14和26这两个数虽然大小不同，但它们分别除以6所得的余数相同，我们把14和26叫做关于模6同余。

3、同余最基本的性质是：几个同余式（模相同）相加、减、乘、乘方仍然同余。

【典型例题】

例1、两个整数相除商8，余16；并且被除数、除数、商及余数的和是463.那么被除数是多少？

解：因为：被除数=除数×8+16，并且被除数+除数=463―8―16＝439，所以除数=（439－16）÷（8+1）=47，被除数=47×8＋16=392.

例2、被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小自然数是多少？

解：被3除余2的数有2，5，8，11，…其中8又能被5除余3，并且满足条件最小的，而［3，5］=15，所以8+15=23，23+15=38，38+15=53，53满足了被7除余4这个条件，并且最小。

例3、五（3）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，问上体育课的同学最少多少名？

解：［3,4,5,6］=60, 60－1=59(人).

例4、小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3而余数恰好相同，这题中的除数是几？

解：设除数为m,正确的商位q，余数为r，那么错写被除数后，除数仍为m，商为q－3，余数仍为r。因为：171=m×q+r

117= m×（q－3）+r

于是171 －117= （m×q+r）－（m×q－3 m+r）得m=18.

【精英班】例5、有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3.这个三位数是多少？

解：这个三位数除以5余4，所以它的个位数字是4或9，因为个位数字是百位数字的3倍，所以个位数字只能是9，百位数字是3.因为这个数除以11余3，所以它的十位数字=3+（9－3）=9，这个三位数是399.

【竞赛班】例6、11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是多少？

解：由数的整除性质和同余性质可推知：

（1）3的倍数的任何次方（0除外）除以3的余数为0，可知33+66+99 除以3余0.

（2）不是3的倍数的偶次方除以3的余数为0，可知22+44+88除以3余1.

（3）11除以3余1，55与25对于3同余，它们除以3余2. 77与17对于3同余，它们除以3余1. 所以（1+2+1）÷3=1……1。

【课后分层练习】

A组：入门级

1、被

2、

3、5除都余1，且不等于1的最小整数是多少？

解：这个数减去1后，被2、3、5整除，因而这个数至少是2×3×5＋1=31

2、两个整数相除得商数是12，余数是26.被除数、除数、商数及余数的和等于454，除数是多少？

解：根据带余除法，被除数=除数×12+26，又被除数+除数=454―12―26=416.即13×除数+26=416，所以除数是30.

3、有民兵在操场上列队，只知人数在90～110之间，排成三列无余，排成五列不足2人，排成七列不足4人，共

有民兵多少人？

解：去掉3个人后，总数被3、5、7整除，［3，5，7］=105，因原人数在90～110之间，所以是105+3=108.

4、一个整数除300、262、205，得到相同的余数，问这个整数是几？

解：300－262=38 262－205=57 （38，57）=19 因为所求数应是19的因数，19只有1和19两个因数，而1不可能作除数。所以这个整数是19.

5、某个月里有三个星期日的日期为偶数，请你推算出这个月的15日式星期几？

解：每个月的连续的四个星期日中只有两个日期是偶数，所以这个月必有5个星期日，并且第一个星期日为2号，第三个星期日为16号（16=2+14），第五个星期日为30号（30=2+28）。

这个月的15日是星期六（因为1号是星期六，1+14=15，15号也是星期六）

B组：进阶级

1、甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

解：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，

所以乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。

2、有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。因为

110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。

3、求478×296×351除以17的余数。

解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。所求余数是1。

4、在10000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有几个？

解：满足“除以3余2”的数有5，8，11，14，17，20，23，…

再满足“除以7余3”的数有17，38，59，80，101，…再满足“除以11余4”的数有59。因为阳[3，7，11]=231，所以符合题意的数是以59为首项，公差是231的等差数列。（10000-59）÷231=43……8，所以在10000以内符合题意的数共有44个。

C组：挑战级

1、甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。

因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

（11×25）÷36=7……23，即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。

2、学校要安排66名新生住宿，小房间可以住4人，大房间可以住7人，需要多少间大、小房间，才能正好将66名新生安排下？

解：设需要大房间x间，小房间y间，则有7x+4y=66。

这个方程有两个未知数，我们没有学过它的解法，但由4y和66都是偶数，推知7x也是偶数，从而x是偶数。

当x=2时，由7×2+4y=66解得y=13，所以x=2，y=13是一个解。

因为当x增大4，y减小7时，7x增大28，4y减小28，所以对于方程的一个解x=2，y=13，当x增大4，y减小7时，仍然是方程的解，即x=2+4=6，y=13-7=6也是一个解。所以本题安排2个大房间、13个小房间或6个大房间、6个小房间都可以。

3、已知2008被一些自然数除，得到余数都是10，这些自然数共有多少个？

解：所求自然数必为2008－10=1998的大于10的因数。1998=2×33×37故1998的因数共有（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个，其中不超过10的因数有1，2，3，6，9计5个，故符合要求的自然数共有11个。