拉氏变换与反变换
2.5 拉氏变换与反变换
机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
2.5.1 拉普拉斯变换的定义
如果有一个以时间为自变量的实变函数，它的定义域是，那么的拉普拉斯变
换定义为
(2.10)
式中，是复变数，（σ、ω均为实数），称为拉普拉斯积分；是函数
的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称为的象函数，而称
为的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数
。
2.5.2 几种典型函数的拉氏变换
1.单位阶跃函数
的拉氏变换
单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为
单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为
当，则。
所以
t ()t f 0≥t ()t f ()()()0
e d st
F s L f t f t t ∞
-=??????s ωσj +=s ?∞
-0
e st )(s F )(t
f )(s F )(t f )(t f )(s F )(s F )(1t ??
?≥
)0(0)(1t t t 0=t 0e 1
d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-?st
st s
t t t L s F 0)Re(>s 0
e lim →-∞
→st t
（2.11）
图2.7 单位阶跃函数
2.指数函数的拉氏变换
指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中是常数。
令
则与求单位阶跃函数同理，就可求得
（2.12）
3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换
设
，
，则
由欧拉公式，有
所以
[]s s s t L st 1
)1(00e 1)(1=
??????--=∞-=-????
??-=
-∞--∞??t t s F st
t st t d e e d e e j 21)(0j 0j 1ωω
(2.13）
同理
(2.14
）
4.单位脉冲函数δ(t )的拉氏变换
单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。其幅值和
作用时间的乘积等于1，即。如图2.8所示。
图2.8 单位脉冲函数
单位脉冲函数的数学表达式为
其拉氏变换式为
此处因为
时，
，故积分限变为
。
????
??-=
-∞+-∞--??t t st
t s t s d e e d e j 210)j (0)j (ωω??
?
?????∞+-∞--=+---0e j 10e j 1j 21)j ()j (t s t s s s ωωωω22j 1j 1j 21ωω
ωω+=???? ??+--=
s s s
(2.15) 5.单位速度函数的拉氏变换
单位速度函数，又称单位斜坡函数，其数学表达式为
见图2.9所示。
图2.9 单位速度函数
单位速度函数的拉氏变换式为
利用分部积分法
令
则
所以
当时，,则
（2.16）6.单位加速度函数的拉氏变换
单位加速度函数的数学表达式为
如图2.10所示
图2.10 单位加速度函数
其拉氏变换式为
（2.17）
2.5.3 拉氏变换的主要定理
根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换，但利用以下的定理，则对一般的函数可以使运算简化。
1.叠加定理
拉氏变换也服从线性函数的齐次性和叠加性。
（1）齐次性设，则
（2.18）式中——常数。
（2）叠加性设,，则
（2.19）两者结合起来，就有
这说明拉氏变换是线性变换。
2.微分定理
设
则
式中——函数在时刻的值，即初始值。
同样，可得的各阶导数的拉氏变换是（2.20）
式中,，…——原函数各阶导数在时刻的值。
如果函数及其各阶导数的初始值均为零（称为零初始条件），则各阶导数的拉氏变换为
（2.21）
3.复微分定理
若可以进行拉氏变换，则除了在的极点以外，
（2.22）
式中，。同样有
一般地，有
（2.23）
4.积分定理
设，则
（2.24）
式中——积分在时刻的值。
当初始条件为零时，
（2.25）
对多重积分是
（2.26）
当初始条件为零时，则
（2.27）
5.延迟定理
设，且时，，则
（2.28）
函数为原函数沿时间轴延迟了，如图2.11所示。
()[]()s F s t tf L d d
-
=()[
]
()
s F s t f t L 22
2
d d =()()()
d 11,2,3,d n
n
n
n L t f t F s n s ??=-=??
图2.11 函数
6.位移定理
在控制理论中，经常遇到一类的函数，它的象函数只需把用代
替即可，这相当于在复数坐标中，有一位移。
设，则
（2.29）例如的象函数，则的象函数为
7.初值定理
它表明原函数在时的数值。
（2.30）
即原函数的初值等于乘以象函数的终值。
8.终值定理
设，并且存在，则
（2.31）即原函数的终值等于乘以象函数的初值。这一定理对于求瞬态响应的稳态值是很有用的。
9.卷积定理
设，，则有
（2.32）即两个原函数的卷积分的拉氏变换等于它们象函数的乘积。
式（2.32）中，为卷积分的数学表示，定义为
10.时间比例尺的改变
（2.33）
式中——比例系数 例如,
的象函数
,则
的象函数为
11.拉氏变换的积分下限
在某些情况下,在处有一个脉冲函数。这时必须明确拉普拉斯积分的下
限是
还是
，因为对于这两种下限，
的拉氏变换是不同的。为此，可采
用如下符号予以区分：
若在处包含一个脉冲函数，则
因为在这种情况下
显然，如果在处没有脉冲函数，则有
2.5.4 拉普拉斯反变换
拉普拉斯反变换的公式为
（2.36）
()[]?∞+∞
--=
=j j 1d e )(πj 21)(c c st
s
s F s F L t f
式中——表示拉普拉斯反变换的符号
通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数
。
1.部分分式展开法
在控制理论中，常遇到的象函数是的有理分式
为了将写成部分分式，首先将的分母因式分解，则有
式中，
，
，…，
是
的根的负值，称为
的极点，按照这些根的性质，
可分为以下几种情况来研究。
2.的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换
（2.37）
式中，
是待定系数，它是
处的留数，其求法如下
（2.38）
再根据拉氏变换的迭加定理，求原函数
[例 2.1] 求
的原函数。
解:首先将
的分母因式分解，则有
1
L )(t
f
即得
3.含有共轭复数极点时的拉氏反变换
如果有一对共轭复数极点,，其余极点均为各不相同的实数极点。将展成
式中,和可按下式求解
即（2.39）因为(或）是复数，故式（2.39）两边都应是复数，令等号两边的实部、虚部分别相等，得两个方程式，联立求解，即得，两个常数。
[例2.2] 已知,试求其部分分式。
解:因为（2.40）
含有一对共轭复数极点,和一个极点，故可将式（2.40）因式分解成（2.41）
以下求系数、和。
由式（2.40）和式（2.41）相等，有
（2.42）
用乘以上式两边，并令，得到
上式可进一步写成
由上式两边实部和虚部分别相等，可得
联立以上两式，可求得
为了求出系数,用乘方程（2.42）两边，并令,将代入，得
将所求得的,,值代入（2.41），并整理后得的部分分式
查拉氏变换表便得，结果见式（3.16）。
[例 2.3] 已知求。
解: 将的分母因式分解，得
利用方程两边实部、虚部分别相等得
解得，
所以
这种形式再作适当变换：
查拉氏变换表得
4.中含有重极点的拉氏反变换
设有r个重根，则
将上式展开成部分分式
（2.43）
式中，，，…，的求法与单实数极点情况下相同。
，，…，的求法如下：
……
则
(2.44）
[例 2.4] 设，试求的部分分式。
解: 已知
（2.45）含有2个重极点，可将式（2.45）的分母因式分解得
（2.46）以下求系数、和。
将所求得的、、值代入式（2.46），即得的部分分式
查拉氏变换表可得。
[例 2.5] 求的拉氏反变换。
解: 将展开为部分分式
上式中各项系数为
于是
查拉氏变换表，得
5.用MATLAB展开部分分式
(1) 概述
MATLAB是美国Math Works公司的软件产品，是一个高级的数值分析、处理与计算的软件，其强大的矩阵运算能力和完美的图形可视化功能，使得它成为国际控制界应用最广的首选计算机工具。
SIMULINK是基于模型化图形的动态系统仿真软件，是MATLAB的一个工具箱，它使系统分析进入一个崭新的阶段，它不需要过多地了解数值问题，而是侧重于系统的建模、分析与设计。其良好的人机界面及周到的帮助功能使得它广为科技界和工程界所采用。
(2) 用MATLAB进行部分分式展开
MATLAB有一个命令用于求B(s)/A(s)的部分分式展开式。
设s的有理分式为
式中（i=）和(j=）的某些值可能为零。在MATLAB的行向量中，num和den分别表示F(s)分子和分母的系数，即
num=[]
den=[1 ]
命令
[r,p,k]=residue(num,den)
MATLAB将按下式给出F(s)部分分式展开式中的留数、极点和余项：
上式与式（2.37）比较，显然有p(1)=-p1，p(2)=-p2，…，p(n)=-p n；r(1)=A1,r(2)=A2，…，r(n)=A n；k（s）是余项。
[例2.6] 试求下列函数的部分分式展开式
解：对此函数有
num=[1 11 39 52 26]
den= [1 10 35 50 24]
命令
[r,p,k]=residue(num,den)
于是得到下列结果
[r,p,k]=residue(num,den)
r=
1.0000
2.5000
-3.0000
0.5000
p=
-4.0000
-3.0000
-2.0000
-1.0000
k= 1
则得
如果F(s)中含重极点，则部分分式展开式将包括下列诸项
式中，p(j)为一个q重极点。
[例2.7] 试将下列函数展开成部分分式
解：对于该函数有
num=[0 1 4 6]
den =[1 3 3 1]
命令
[r,p,k]=residue(num,den)
将得到如下结果：
[r,p,k]=residue(num,den)
r=
1.0000
2.0000
3.0000
p=
-1.0000
-1.0000
-1.0000
k=
[ ]
所以可得
注意，本例的余项k为零。
2.5.5 应用拉氏变换解线性微分方程
应用拉氏变换解线性微分方程时，采用下列步骤：
(1) 对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为的代数方程； (2) 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； (3) 用拉氏反变换得到微分方程的时域解。 整个求解过程如图2.12所示。 2.8 设系统微分方程为
若
，初始条件分别为
、，试求。
解: 对微分方程左边进行拉氏变换
利用迭加定理将上式逐项相加，即得方程左边的拉氏变换
对方程右边进行拉氏变换
得
写成一般形式
应该强调指出
是微分方程的特征方程，也是该系统的特征方程。
利用部分分式将展开为
s
求待定系数、、、、:
代入原式得
查拉氏变换表得
当初始条件为零时，得
拉氏变换和z变换表
附录A 拉普拉斯变换及反变换 1.拉氏变换的基本性质 附表A-1 拉氏变换的基本性质 1()([n n k f t dt s s -+= +∑?个
2．常用函数的拉氏变换和z变换表 附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,, ,,m m b b b b -都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理 可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 （1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim()()i i i s s c s s F s →=- （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3）
式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝1 i n s t i i c e =∑ (F-4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…，n s 为F(s)的n r -个单根；其中，1+r c ，…，n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算，r c ，1-r c ，…，1c 则按下式计算： )()(lim 11 s F s s c r s s r -=→ 11lim [()()]i r r s s d c s s F s ds -→=- )()(lim !11)() (1s F s s ds d j c r j j s s j r -=→- (F-5) )()(lim )!1(11)1() 1(11s F s s ds d r c r r r s s --=--→ 原函数)(t f 为 [])()(1 s F L t f -= ??????-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11 111 1111)()() ( t s n r i i t s r r r r i e c e c t c t r c t r c ∑+=---+?? ????+++-+-=112211 1 )!2()!1( （F-6）
拉氏变换与反变换
拉氏变换与反变换 机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。 拉普拉斯变换的定义 如果有一个以时间 t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，那么 ()t f 的拉普拉斯变换定义为 ()()()0e d st F s L f t f t t ∞ -=?????? 式中， s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ?∞ -0 e st 称为拉 普拉斯积分； )(s F 是函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。 式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。 几种典型函数的拉氏变换
1.单位阶跃函数 )(1t 的拉氏变换 单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为 ?? ?≥s ，则 0 e lim →-∞→st t 。 所以 []s s s t L st 1)1(00e 1)(1= ??????--=∞-=-（）
拉氏变换与反变换
2.5 拉氏变换与反变换 机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。 2.5.1 拉普拉斯变换的定义 如果有一个以时间为自变量的实变函数，它的定义域是，那么的拉普拉斯变 换定义为 (2.10) 式中，是复变数，（σ、ω均为实数），称为拉普拉斯积分；是函数 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称为的象函数，而称 为的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。 式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 。 2.5.2 几种典型函数的拉氏变换 1.单位阶跃函数 的拉氏变换 单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为 单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。 单位阶跃函数的拉氏变换式为 当，则。 所以 t ()t f 0≥t ()t f ()()()0 e d st F s L f t f t t ∞ -=??????s ωσj +=s ?∞ -0 e st )(s F )(t f )(s F )(t f )(t f )(s F )(s F )(1t ?? ?≥s 0 e lim →-∞ →st t
拉普拉斯变换和逆变换
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换 拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。 第一节 拉普拉斯变换 在代数中，直接计算 32 8 .95781 2028.6?? =N 5 3) 164.1(? 是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为 164 .1lg 53 )20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N 然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N 。 这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。 一、拉氏变换的基本概念 定义 设函数()f t 当0t ≥时有定义，若广义积分 ()pt f t e dt +∞ -? 在P 的某一区域内收 敛，则此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作()F P ，即 dt e t f P F pt ? ∞ +-= )()( （） 称（）式为函数()f t 的拉氏变换式，用记号[()]()L f t F P =表示。函数()F P 称为()f t 的 拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换（或称为()F P 象原函数） ，记作 )()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=。 关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明： （1）在定义中，只要求()f t 在0t ≥时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0t <时，()0f t =。 （2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。为了方便起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。 （3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。 例 求斜坡函数()f t at = （0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。 解：00 00[]()[]pt pt pt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞ +∞+∞---+∞-= =- =-+? ?? 2020 ][0p a e p a dt e p a pt pt =-=+ =∞ +-∞+-? ) 0(>p
拉氏变换与反变换.
拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换 自动控制系统所涉及的数学问题较多，经常要结算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。 1、拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的定义 如果有一个以时间 t 为自变量的实变函数()f t ，它的定义域是 0t ≥，那么 ()f t \的拉普拉斯变换定义为 ()[()] ()st F s L f t f t e dt ∞ -=? （1） 式中， s 是复变数， s j σω=+（σ、ω均为实数），0 st e ∞-?称为拉普拉斯积分； ()F s 是函数()f t 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称()F s 为()f t 的象函数，而称()f t 为()F s 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。 式（1）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数()F s 。所以，拉氏变换得到的是复数域内的数学模型。 2、几种典型外作用函数的拉氏变换 （1）单位阶跃函数1()t 的拉氏变换 (0)1() 1 () t t t ，则lim 0st t e -→∞ →。所以 1 11 [1()][0()]st L t e s s s -∞=-=--=
（2）单位脉冲函数()t δ的拉氏变换 [()]1L t δ= （3）单位斜坡函数t 的拉氏变换 0(0)()(0) t f t t t 时，lim 0st t e -→∞ →,则 2011()0st F s e dt s s ∞-=+=?
拉氏变换与反变换
机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。 拉普拉斯变换的定义 如果有一个以时间为自变量的实变函数，它的定义域是，那么的拉普拉斯变换定义为 式中，是复变数，（σ、ω均为实数），称为拉普拉斯积分；是函数的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称为的象函数，而称为的原函数；L是表示进行拉普拉斯变换的符号。 式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数。 几种典型函数的拉氏变换 1.单位阶跃函数的拉氏变换 单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为 单位阶跃函数如图所示，它表示在时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。单位阶跃函数的拉氏变换式为 当，则。 所以 （） 图单位阶跃函数 2.指数函数的拉氏变换 指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中是常数。 令
则与求单位阶跃函数同理，就可求得 （） 3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换 设，，则 由欧拉公式，有 所以 ）同理 ）4.单位脉冲函数δ(t)的拉氏变换 单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。其幅值和作用时间的乘积等于1，即。如图所示。 图单位脉冲函数 单位脉冲函数的数学表达式为 其拉氏变换式为 此处因为时，，故积分限变为。 5.单位速度函数的拉氏变换 单位速度函数，又称单位斜坡函数，其数学表达式为 见图所示。 图单位速度函数 单位速度函数的拉氏变换式为 利用分部积分法 令 则
常用的拉氏变换表
精选资料，欢迎下载 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序号 拉氏变换E(s) 时间函数e(t) Z 变换E(z) 1 1 δ(t) 1 2 Ts e --11 ∑∞ =-=0)()(n T nT t t δδ 1 -z z 3 s 1 )(1t 1 -z z 4 21s t 2 )1(-z Tz 5 3 1s 2 2t 3 2 )1(2)1(-+z z z T 6 1 1+n s !n t n )(!)1(lim 0aT n n n a e z z a n -→-??- 7 a s +1 at e - aT e z z -- 8 2 )(1a s + at te - 2 )(aT aT e z Tze --- 9 )(a s s a + at e --1 ) )(1()1(aT aT e z z z e ----- 10 ) )((b s a s a b ++- bt at e e --- bT aT e z z e z z ---- - 11 22ω ω +s t ωsin 1 cos 2sin 2+-T z z T z ωω 12 2 2ω+s s t ωcos 1 cos 2)cos (2+--T z z T z z ωω 13 22)(ω ω++a s t e at ωsin - aT aT aT e T ze z T ze 22cos 2sin ---+-ωω 14 2 2)(ω+++a s a s t e at ωcos - aT aT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos ---+--ωω 15 a T s ln )/1(1- T t a / a z z -
典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换
成绩评定表
课程设计任务书
目录 1.Matlab介绍.............. 错误！未定义书签。 2.利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计 (5) 2.1.拉普拉斯变换曲面图的绘制 (5) 2.2.拉普拉斯变化编程设计及实现 (7) 2.3.拉普拉斯逆变化编程设计及实现 (8) 3.总结 (14) 4.参考文献 (15)
1．Matlab介绍 MATLAB语言是当今国际上在科学界和教育界中最具影响力、也最具活力的软件；它起源于矩阵运算，现已发展成一种高度集成的计算机语言；它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、丰富的交互式仿真集成环境，以及与其他程序和语言便捷接口的功能。 经过多年的开发运用和改进，MATLAB已成为国内外高校在科学计算、自动控制及其他领域的高级研究工具。典型的用途包括以下几个方面： 1）数学计算； 2）新算法研究开发； 3）建模、仿真及样机开发； 4）数据分析、探索及可视化； 5）科技与工程的图形功能； 6）友好图形界面的应用程序开发。 1.1Matlab入门 Matlab7.0介绍 Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。 在国内外Matlab已经经受了多年的考验。Matlab7.0功能强大，适用范围很广。其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算，复数运算，高次方程求根，插值与数值微商运算，数值积分运算，常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等，即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算，均可用Matlab来解决。 MATLAB7.0提供了丰富的库函数（称为M文件），既有常用的基本库函数，又有种类齐全、功能丰富多样的的专用工具箱Toolbox函数。函数即是预先编制好的子程序。在编制程序时，这些库函数都可以被直接调用。无疑，这会大大提高编程效率。MATLAB7.0的基本数据编程单元是不需要指定维数的复数矩阵，所以在MATLAB环境下，数组的操作都如数的操作一样简单方便。而且，MATLAB7.0界面友好，用户使用方便。首先，MATLAB具有友好的用户
(完整word版)常用函数的拉氏变换
附录A 拉普拉斯变换及反变换 419
420
421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(ΛΛ （F-1） 式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可 按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= +Λ = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其反变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1 1 n 1 n n n 1 1 m 1 m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n 1 n 1 a ,a ,...,a ,a -，m 1 m 1 b ,b ,b ,b -Λ都是实常数；n m ,是正整数。按 代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2 2 1 1 s s c s s c s s c s s c s s c )s (F ΛΛ 式中，Sn 2S 1S ，，，Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c i s s i i -=→ 或 i s s i ) s (A ) s (B c ='= 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []t s n 1 i i n 1i i i 11i e c s s c L )s (F L )t (f -==--∑∑=??????-== ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
拉氏变换常用公式
附录A 拉普拉斯变换及反变换表A-1 拉氏变换的基本性质
表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 )(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 1 1 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
Laplace拉氏变换公式表
拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质 2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 1
2
3 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将 )(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：
拉普拉斯变换的基本性质变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质
2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= +
拉氏变换定义、计算、公式及常用拉氏变换反变换
****拉普拉斯变换及反变换**** 定义：如果定义： ? 是一个关于的函数，使得当时候， ； ? 是一个复变量； ? 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分；是 的拉普拉斯变换结果。 则的拉普拉斯变换由下列式子给出：
2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1）
式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []? ?????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算： )()(lim 11 s F s s c r s s r -=→ )]()([lim 111 s F s s ds d c r s s r -=→- )()(lim !11)() (1s F s s ds d j c r j j s s j r -=→- (F-5) )()(lim )!1(11)1() 1(11s F s s ds d r c r r r s s --=--→
常用拉普拉斯变换及反变换
附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质 419
2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 420
421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =????L L （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110?，m m b b b b ,,,110?L 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=?=?++?++?+?=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(L L （F-1） 式中，n s s s ,,,21L 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i ?=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c =′= )() ( （F-3） 式中，)(s A ′为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []???????==∑=??n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c ?=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ???= +L = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c ?++?++?+?++?+?++??L L L 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
拉氏变换与反变换 参考
2 机电控制工程数学基础 本章主要内容、基本要求、重点和难点 主要内容 (1) 复数及复数表示方法，复变函数概念。 (2) 初等函数定义，复变函数的导数。 (3) 复变函数积分，计算方法。 (4) 罗朗级数、留数定理。 (5) 拉氏变换定义、常用函数拉氏变换、拉氏变换性质、拉氏反变换。 基本要求 (1) 了解复变量的表示方法，复变函数的概念，会计算留数。 (2) 了解拉氏变换定义，并用定义求常用函数的拉氏变换，会查拉氏变换表。 (3) 了解拉氏变换性质及其应用。 (4) 会用部分分式法，求拉氏反变换。 重点：复变函数表示方法；拉氏变换的定义；用拉氏变换的定义求常用函数的拉氏变换；拉氏变换性质及应用，用部分分式法求拉氏反变换。 难点： (1) 建立在复数域描述一个函数的概念。而初学者习惯于时间函数。通过拉氏变换这一数学工具将时间函数变为复域的函数，其优点是将微分方程变换为代数方程，使对系统的分析、综合方便。 (2) 拉氏变换性质的应用。 学习本章时，一般了解复变函数概念，复数表示方法；了解拉氏变换定义及其性质的推导过程，通过作习题，熟练掌握各性质的应用，为后继章节学习打下基础。 2.1 复变量及复变函数 (1) 复数的概念 在学习初等代数时，已经知道在实数范围内，方程 012=+x 是无解的，因为没有一个实数的平方等于–1。由于解方程的需要，人们引进一个新数j,称为虚单位，并规定 12-=j 从而j 是方程012 =+x 的一个根。 对于任意二实数x,y 我们称jy x z +=为复数，其中x,y 分别称为z 的实部和虚部，记 作 )()(z I y z R x m e == 当x=0 时, jy z =称为纯虚数;当y=0时, j x z 0+=,这时z 就是实数。 要注意复数与实数有一些不同,如:两个复数相等,必须它们的实部和虚部分别相等。一般说来，任意两个复数不能比较大小。 (2) 复数的代数运算 两个复数111jy x z +=，222jy x z +=
拉氏逆变换性质
复习：1.拉氏变换的性质. 2. 拉氏变换的公式. 讲授新课 课题引入: 在实际工作中经常会遇到这样问题,已知象函数F(s)，求它的象原函数f(t)，这时则称f(t)是F(s)的拉氏逆变换，可以记为 L -1[F(s)]＝f(t) 在求象原函数,要结合拉氏逆变换性质,通过查表10-1解得结果. 拉氏逆变换性质 设 )()]([11s F t f L =, )()]([22s F t f L = )()]([s F t f L = 1. 线性性质 )()()]()([21211t bf t af s bF s aF L +=+- （a ，b 为常数） 2.平移性质 )()]([)]([11t f e s F L e a s F L at at ==--- 3.延滞性质 )()()]([1a t u a t f s F e L at -?-=- 例1 求下列函数的拉氏逆变换：
(1) 31)(+= s s F ； (2) 2)3(1)(-=s s F ； (3)252)(s s s F -= ； (4) 434)(2+-= s s s F 。 解 (1)由表10-1中的4,取3-=a 。 得 t e s L t f 31]3 1[)(--=+= (2)由表10-1中的4，取1,3==n a 。 得 t te s L t f 31 11])3(1[)(=-=+- (3)由性质1及表10-1中公式2、3得 ]1[5]1[2]52[)(21121s L s L s s L t f ---+=-= (4) 由性质1及表10-1中7、8得 t t s L s s L s s L t f 2sin 2 32cos 4]42[23]4[4]434[)(212121-=+-+=+-=--- 练习: 习题10.3 (1) 说明: 在应用拉氏变换解决实际问题时，经常遇到的函数是有理式，一般先将其分解为部分分式之和，然后再
拉氏变换和z变换表
附录A 拉普拉斯变换及反变换1.拉氏变换的基本性质
2．常用函数的拉氏变换和z变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,,,,m m b b b b -L 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 （1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(ΛΛ （F-1） 式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数， 可按下列两式计算：lim()()i i i s s c s s F s →=- （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝1 i n s t i i c e =∑ (F-4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其逆变 换表 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
拉普拉斯变换及其反变换表 2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 n 1n n n 0 11m 1m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==---- （m n >） 式中系数n 1n 10a ,a ,...,a ,a -，m 1m 10b ,b ,b ,b - 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2211s s c s s c s s c s s c s s c )s (F 式中，Sn 2S 1S ，，， 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： 或 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 =n n i i 1r 1r 111 r 11r r 1r s s c s s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -++-++-+-++-+-++-- 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算： 原函数)(t f 为 t s n 1r i i t s 122r 1r 1r r 1e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+=---+??????+++-+-= （F-6）
双边拉普拉斯变换及反变换
主讲人：陈后金电子信息工程学院
双边拉普拉斯变换及反变换 双边拉普拉斯变换的定义 双边拉普拉斯变换的性质 双边拉普拉斯反变换
双边拉普拉斯(Laplace)变换: 拉普拉斯正变换：()e (d )st t X s x t ∞ --∞ =? j j e 1()d 2πj ()st x s s X t σσ+∞-∞ =?拉普拉斯反变换：
?若x (t )的双边拉普拉斯变换存在，上式积分需收敛。 因此，双边拉普拉斯变换存在的充要条件为： |()e |d |()e |d ,Re() st t x t t x t t C s σσ∞ ∞ ---∞ -∞ ===? ??上式成立的σ的取值范围称为Laplace 变换的收敛域， 简称为ROC (Region Of Convergence)。 ()()e d st X s x t t ∞ --∞ =?
（1）有限长信号 例：试求连续信号的双边拉氏变换及其收敛域。(2)(2)u t u t +--解：Re()s >-∞ 收敛域为s 全平面，即：221(e e )s s s -=-()[(2)(2)]e d st X s u t u t t ∞ --∞ =+--?2 2 2 21e d e |st st t s ----==-?j ω 收敛域σ
（2）右边信号 例：试求连续信号的双边拉氏变换及其收敛域。 2e ()t u t -解：收敛域：2()e ()e d t st X s u t t ∞ ---∞ =?(2)01e |2s t s -+∞=-+12s =+Re()2 s >-j ω -2 收敛域 σ 20 e e d t st t ∞ --=??0