2003年第14届希望杯初二笫2试

2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(初二笫2试)

一、选择题:(50分)

1.y-2x+1是4xy-4x 2-y 2

-k 的一个因式,则k 的值是( ) (A)0; (B)-1;(C)1; (D)4

2.不等式0≤ax+5≤4的整数解是1、2、3、4,则a 的取值范围是( ) (A)a ≤-54; (B)a<-1;(C)-54≤a<-1;(D)a ≥-54

3.整数x 、y 满足不等式x 2

+y 2

+1≤2x+2y,则x+y 的值有( ) (A)1个; (B)2个; (C)3个; (D)4个

4.如图1,在矩形ABCD 中,AE,AF 三等分∠BAD,若BE=2,CF=1,则最接近矩形面积的是( ) (A)13; (B)14; (C)15; (D)16

C

B

A

F

E D

图1

C B A

G

F

E

D 图2

5.如图2,Rt ΔABC 中,∠C=900

,∠DAF=13∠DAB,∠EBG=13

∠EBA,则射线AF 与BG( )

(A)平行;(B)延长后相交;(C)反向延长后相交;(D)可能平行也可能相交

6.If the radius(半径) of circle Ⅲ in the figure3(图3) is 34

of the radius of circle Ⅱ,and the radius of circle Ⅱ is 4

5

of the radius of circle Ⅰ,then the

area of the shaded region iswhat part of the area of circle Ⅰ?( ) (A)

725; (B)920;(C)35

;(D)1625 7.凸n 边形(n ≥4)中,不算两个最大的内角,其余内角的和为1100

,则n 等于( ) (A)12; (B)11; (C)10或9; (D)10

8.将长为12的线段截成长为整数的三段,使它们成为一个三角形的三边,则构成的三角形( )

（A ）不可能是等腰三角形;(B)不可能是等腰三角形;

图3

(C)不可能是等边三角形;(D)不可能是钝角三角形;

9.数轴上的点A 、B 、P 分别对应数:-1、-4、x,并且P 与A 的距离大于P 与B 的距离,则( ) (A)x>-3; (B)x>-2; (C)x<-2; (D)x<-5

2

10.如图4,啤酒瓶高为h 瓶内酒面高为a,若将瓶 盖盖好后倒置,酒面高为a ,

(a ,

+b=h),则酒瓶 的容积与瓶内酒的体积的比为( )

(A) 1+'b a

; (B)1+'a b ; (C)1+b a ; (D)1+a

b

二、填空题: (50分)

11.方程丨x+3丨+丨3-x 丨=9

2

丨x 丨+5的解是___________.

12.有人问毕达哥拉斯,他的学校中有多少学生,他回答说:“现在,有一半学生学数学,四分之一的学生学音乐,七分之一的学生在休息,还剩三个女同学┉┉.”那么毕达哥拉斯的学校中有____________学生. 13.方程x+

1

2

x -=412的一个根是4,则另一个根是_____________. 14.已知:对于正整数n,有

1

11(1)1

1

n n n n n

n =

-++++，若某个正整数k 满足

1111

2

3

2112

3223

4334

(1)1

k k k k ++

+

+

=

++++++,则k=___________。 15.已知

032

x z

y ==≠,那么2

2234xy yz zx x y z ++-+=________________. 16.小明到商场购买某个牌子的铅笔x 支,用了y 元(y 为整数).后来他又去商场时,发现这种牌子的铅笔降阶20%,于是他比上一次多买了10支铅笔,用了4元钱,那么小明两次共买了铅笔_______支.

17.If a,b and c are sieds(边) of the ΔABC,and a 2

-bc=a(b-c),then the figure(形状) of the triangle(三角形) is_________.(用汉语填写) 18.如图5,是一个圆形花坛,中间的鲜花构成一个菱形图案 (单位:米),若每平方米种植鲜花20株,那么这个菱形图 案中共有鲜花______株.

19.如图6,ΔABC中,AC=BC=5,∠ACB=800,O为ΔABC中一点,

∠OAB=100,∠OBA=300,则线段AO的长是_______.

20.已知x、y、z均为正整数,且7x+2y-5z是11的倍数,那么

3x+4y+12z除以11,得到的余数是_____.

三、解答题:(要求写出推算过程,21题20分,22,23题各15分)

21.有一批影碟机(VCD)原售价:800元/台.甲商场用如下办法促销:

,每台打八五折;

每次购买17~24台,每台打八折;每次购买24台以上,每台打七五折.

(1)请仿照甲商场的促销列表,列出到乙商场购买VCD的购买台数与每台价格的对照表.

(2)现在有A、B、C三个单位,A单位要买10台VCD,B单位要买16台VCD,C单位要买20台VCD,

问他们到哪家商场购买花费较少?

22.如图7,在锐角ΔABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA边上的三等分点,P、Q、R分别是ΔADF、

ΔBDE、ΔCEF的三余中线的交点.(1)求ΔDEF与ΔABC的面积比;(2)求ΔPDF与ΔADF 的面积比;(3)求多边形PDQERF与ΔABC 的面积比.

Q R

D B

A

P

F 图7

23.两条直线上各有n个点,用这n对点按如下规则连结线段:

①同直线上的点不连结;

②连结的任意两条线段可以有共同的端点,但不得有其它的端点;

O

C

B

A

图6

(1)画图说明当n=1、2、3时,连结的线段最多各有多少条?

(2)由(1)猜想n(n为正整数)对点之间连结的线段最多有多少条,证明你的结论.

(3)当n=2003时,所连结的线段最多有多少条?

参考答案:

一.BCCCA,ADDDC.

1、

2、

3、

4、

5、

7、

8、解：设三角形两边长为a、b，三角形周长为12，则第三边为12-a-b，根据三角形三边关系a+b＞12-a-b，a-b＜12-a-b，

∴a+b＞6，a＜6，

同理a、b、c均小于6，

当a=1时，则b、c取值均不符合题意，

当a=2时，则b、c可能取值为b=c=5，则三角形为等腰三角形，

当a=3时，则b、c可能取值为b=4、c=5或b=5、c=4，则三角形为直角三角形，

当a=4时，则b、c可能取值为b=3、c=5或b=c=4或b=5、c=3，故三角形为直角三角形或等边三角形，

当a=5时，则b、c可能取值为b=3、c=4或b=4、c=3或b=2、c=5或b=5、c=2，则三角形为等腰三角形或直角三角形，

故三角形为直角三角形或等边三角形或等腰三角形，故A、B、C选项错误，

故选 D．

9、解：由题意得：并且P与A的距离大于P与B的距离，

∴x＜-5 2 ．

故选D．

10、

二.

11.

2

9 ;

12.28;

13.5

2

;

14.8;

15.1

2

;

16.40或90;

17.等腰三角形;

18.480;

19.5;

20.0.

解：设7x+2y-5z=11m，两边乘2，得14x+4y-10z=22m （1）

设3x+4y+12z=n （2）

（2）-（1）得-11x+22z=n-22m，-11（x-2z）=n-22m

∵左边是11的倍数， ∴n-22m 也是11的倍数， ∴n 也是11的倍数，

∴3x+4y+12z 除以11的余数是0． 故本题答案为：0． 三.

21.(1)乙商场的促销办法列表如下:

(2)比较两商场的促销办法可知:

600×21=12600元,

而到乙商场买20台VCD 时共需640×20=12800元, 12800>12600,

所以购买20台VCD 时应去甲商场购买.

所以甲单位应到乙商场购买,B 单位应到甲商场购买,C 单位应到甲商场购买. 22.(1)如图1,过点D 作DG ⊥BC 于G,过点A 作AH ⊥BC 于H,则DG ∥AH,所以ΔBDG ∽ΔBAH,又1

3BD BA ,BE=2

3

BC, 所以DG=13AH,S ΔBDE =2

9S ΔABC ,

同理S ΔADF =S ΔCEF =2

9

S

ΔABC

所以S ΔDEF =S ΔABC -S ΔADF -S ΔCEF =1

3

S ΔABC.

G

图1

(2)分别延长DP,FP交AF,AD于M,N,因为点P是ΔADF的三条中线的交点,

所以M,N分别是AF,AD的中点,且DP=2

3 DM,

过点P,M分别作DF的垂线,垂足分别为K,S,则ΔDKP∽ΔDSM,相似比为2∶3,所以

KP=2

3 SM,

SΔPDF=2

3

SΔMDF,

又SΔMDF=1

2

SΔADF,得

SΔPDF=1

3

SΔADF.

(3)由(2)知,

SΔQDE=1

3

SΔBDE,SΔREF=

1

3

SΔCEF,

所以SΔPDF=SΔQDE=SΔREF=1

27

SΔABC.

所以S PDQERF=SΔDEF+SΔPDF+SΔQDE+SΔREF=5

9

SΔABC.

23.(1)由图2可以看出,n=1时,最多可以连结1条线段,n=2时,最多可以连结3条线段,n=3时,

最多可以连结5条线段.

(2)猜想:对于正整数n,这n对点之间连结的直线段最多有2n-1条

.

n=3

n=2

n=1

图2

n+1

B i+1

i

A

l2

图3

证明: 将直线标记为l1,l2,它们上面的点从左到右排列为A1,A2A3,┉,A n和B1,B2,B3,┉,B n,设这n对点之间连结的直线段最多有P n条,显然,其中必有A n B n这一条,否则,P n就不是最多的数.

当在l1,l2分别加上笫n+1个点时,不妨设这两个点在A n与B n的右侧,那么除了原来已经有的P n条直线段外,还可以连结A n+1B n,A n+1B n+1这两条线段,或连结A n B n+1,A n+1B n+1,这两条线段.

所以P n+1≥P n+2.

另一方面,设对于n+1对点有另一种连法:

考虑图3中以A n+1为端点的线段,若以A n+1为端点的线段的条数大于1,则一定可以找到一个i≤n,使得对于任意的j

由此,我们得到P n+1=P n+2,而P1=1,P2=3,所以P n=1+2×(n-1)=2n-1.

(3)当n=2003时,P2003=4005(条).