尺规作图 三等分任意角

尺规作图三等分角

张焕炯

河西学院数学系,甘肃张掖734000

摘要：本文旨在探求用尺规作图法把任意角三等分的方法,解决三等分任意角的问题.使用本文所给方法,并利用计算机作图软件确实可以将任意角三等分.

关键词：尺规作图三等分任意角双曲线

分析：

首先,假设有一个角AOD被三等分,作图如下：

就会有AB=BC=CD,很明显AB=2BE=CD,先假设B在弧AD上运动并且B位于OE左面.因为A是一个定点,OE是一条定直线,因此弦AB的长是动点B到定点A的距离,BE的长是动点B到定直线OE的距离,这让我想到双曲线的第二定义及一些性质.

双曲线的第二定义：

到定点的距离与到定直线的距离的比是一个大于1的常数的点的轨迹.

这就是说B点会是某双曲线上的一点,而此双曲线的左焦点是A,左准线是OE,焦距c=4,离心率e=2.

那么,双曲线的左准线为：

这样可得双曲线的方程为：

各点坐标A (-4,0),F（-1,0）（A 是双曲线左焦点,F 是OE 与X

轴交点）.下面我们把这个图放到直角坐标系中,图如下：

现在的关键就是用尺规作图的方法找到双曲线坐支和弧AD 的交点的位置,即所求动点B.,最后找到如下的方法：

1.取点H（-2,0）,J（4,0）（J 是双曲线右焦点）；

2.分别以A 和J 为圆心,都做出过H 点的圆,并设两圆分别和弧AD 交于两点M、N；

3.分别过M、N 做出两圆的切线,设两切线交于点P,再做出角MP N 22

1412

x y ?=2

1a x c

=?=?

的角平分线,设此线交弧AD于K.设想K就是所求B点,我通过做图工具“几何画板”按步骤做出了下图,并且由软件自动进行了测量,测得三条弦的长度是一样长的,如图：

结果：

综合以上得到了一个直接在任意角上面作图进行三等分任一角（设为角AOB）的方法：

1）以任意半径,以O为圆心作弧AB,连接AB并延长；

2）作OC平分角AOB,并且OC交直线AB于点C；

3）在AC上取一点D,使CD等于三分之一倍的AC,同样在CB上取一点E,使CE等于三分之一倍的CB；

4）在AB的延长线上取一点F,使得EF=AE；

5）以A为圆心,AD为半径作圆,设圆与弧AB交于点M,再以F为圆心,FD为半径作圆,设圆与弧AB交于点N,连接AM、FN；

6）过M点作AM的垂线,再过N点作FN的垂线,设两条垂线交于点H；

7）作角MHN的角平分线HK,设HK交弧AB于点K,连接OK；