第四章 差分方程方法
第四章 差分方程方法
在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等等，但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型，因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。
下面就不同类型的差分方程进行讨论。所谓的差分方程是指：对于一个数列{}n x ，把数列中的前1+n 项()n i x i ,2,1,0=关联起来所得到的方程。
4．1常系数线性差分方程
4.1.1 常系数线性齐次差分方程
常系数线性齐次差分方程的一般形式为
02211=+?+++---k n k n n n x a x a x a x (4.1)
其中k 为差分方程的阶数，()k i a i ,,2,1 =为差分方程的系数，且()n k a k ≤≠0。对应的代数方程
02
211=++++--k k k k a a a λλ
λ （4.2） 称为差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根称为特征根。
常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出差分方程解的形式。 1. 特征根为单根
设差分方程（4.1）有k 个单特征根 k λλλλ,,,,321 ，则差分方程（4.1）的通解为
n
k k n
n
n c c c x λλλ+++= 2211，
其中k c c c ,,,21 为任意常数，且当给定初始条件
()
0 i i x λ= ()k i ,,2,1 = (4.3)
时，可以唯一确定一个特解。
2. 特征根为重根
设差分方程（4.1）有l 个相异的特征根()k l l ≤≤1,,,,321λλλλ 重数分别为
l m m m ,,,21 且k m l
i i =∑=1
则差分方程（4.1）的通解为
n l i m i li
n i m i i
n i m i i
n n
c
n
c
n
c
x l
λλλ1
1
2
1
1
21
1
1
12
1
-=-=-=∑∑∑+
++
=
同样的，由给定的初始条件（4.3）可以唯一确定一个特解。
3. 特征根为复根
设差分方程（4.1）的特征根为一对共轭复根βαλλi ±=21,和相异的2k -个单根
k λλλ,,43 ,则差分方程的通解为
n
k k n n n n n c c c n c n c x λλλθρθρ+++++= 443321sin cos ,
其中2
2
β
α
ρ+=
, α
β
θarctan
= . 同样由给定的初始条件（4.3）可以惟一确定一个特解。
另外，对于有多个共轭复根和相异实根，或共轭复根和重根的情况，都可以类似地给出差分方程解的形式。
4．1．2 常系数线性非齐次差分方程 常系数线性非齐次差分方程的一般形式为
()
n f x a x a x a x k n k n n n =++++--- 2211 (4.4)
其中k 为差分方程的阶数，()
k i a i ,,2,1 =为差分方程的系数，
()
n k a k ≤≠0,)
(n f 为已知函数。
在差分方程（4.4）中，令0)(=n f , 所得方程
02211=++++---k n k n n n x a x a x a x (4.5) 称为非齐次差分方程（4.4）对应的齐次差分方程，即与差分方程（4.1）的形式相同。
求解非齐次差分方程通解的一般方法为
首先求对应的齐次差分方程（4.5）的通解*
n x ，然后求非齐次差分方程（4.4）的一个
特解()
0n x ，则
()
0*
n n n x x x +=
为非齐次差分方程（4.4）的特解。
关于求*
n x 的方法同求差分方程（4.1）的方法相同。对于求非齐次方程（4.4）的特解
()
0n x 的方法，可以用观察法确定，也可以根据()f n 的特性用待定系数法确定，具体方法可
参照常系数线性非齐次微分方程求特解的方法。
4.2 差分方程的平衡点及其稳定性
一般来说，差分方程的求解是困难，实际中往往不需要求出差分方程的一般解，而只需要研究它的平衡点及其稳定性即可。
4.2.1 一阶线性常系数差分方程
一阶线性常系数差分方程的一般形式为
，
?==++,2,1,0,1k b ax x k k 其中b a ,为常数，它的平衡点由代数方程b ax x =+求解得到，不妨记为*x . 如果*
lim x x k k =∞
→，则称平衡点*x 是稳定的，否则是不稳定的。
为了便于研究平衡点*x 的稳定性问题，一般将其转化为求方程01=++k k ax x 的平衡点
0*
=x 的稳定性问题。事实上，由
01=++k k ax x
可以解得
()0x a x k
k -=，
于是0*
=x 是稳定的平衡点的充要条件是：1 a .
4.2.2一阶线性常系数差分方程组
一阶线性常系数齐次差分方程组的一般形式为
()() ,2,1,0,1==++k B k Ax k x
其中()k x 为n 维向量，A 为n n ?阶常数矩阵。
它的平衡点0*
=x 是稳定的充要条件是A 的所有特征根都有1
对于一阶线性常系数非齐次差分方程组
B k Ax k x =++)()1(， ?=,2,1,0k
的情况同样给出
4.2.3 二阶线性常系数差分方程
二阶线性常系数齐次差分方程的一般形式为
,2,1,0,02112==++++k x a x a x k k k
其中21,a a 为常数，其平衡点0*=x 是稳定的充要条件是特征方程0212=++a a λλ，
的根21,λλ满足11<λ，12<λ。
对于一般的02112=++++k k k x a x a x 的平衡点的稳定性问题同样给出。类似地，也可直接推广到n 阶线性差分方程的情况。
4.2.4 一阶非线性差分方程 一阶非线性方程的一般形式为
()k k x f x =+1 ， ,2,1,0=k ，
其中f 为已知函数，其平衡点定义为方程()x f x =的解*x 。
事实上，将()k x f 在*x 处作一阶的泰勒展开有
()()()**
*'
1x f x
x
x f
x k
k +-≈+，
则*x 也是一阶线性方程()()()*
*
*
'
1x f x
x
x f x k
k +-=+的平衡点，故此，平稳衡点*
x
稳定
的充要条件是|1)(*<'x f 。
4.3 连续模型的差分方法
4.3.1 微分的差分方程 已知
)
(x f 在点
k
x 处的函数值
)
(k x f )1,...,1,0+=n k ，且
b x x x a n =<<<=+110...，试求函数的导数值(),
'
k x f
),...2,1(n k =。
根据导数的定义，用差商代替微商，则有下面的差分公式。 向前差：
k
k k k k x x x f x f x f --≈
++11'
)
()()(
),,...,2,1(n k =
向后差：
1
1'
)
()()(----≈k k k k k x x x f x f x f
),,...,2,1(n k =
中心差：
1
11'1)()()(--+-+-≈k k k k k x x x f x f x f
),,...,2,1(n k =
4.3.2定积分的差分方法
已知函数)(x f 在点k x 处的函数值)(k x f ，),,...,2,1(n k =且在],[b a 上可积，试求函数在],[b a 上的积分值?b
a dx x f )(。
根据定积分的定义，则有一般的求积公式
?
∑=≈
b
a
n
k k k
x f A
dx x f 0
)()(
其中k A 为求积系数，它与k x 的选取方法有关。取不同的求积系数，可以得不同的求积公式。
对于等距节点kh a x k += ),...,1,0(n k =，其中步长n
a b h -=为很小的数，则有如
下的求积公式。
（1）复化矩阵公式；
?
∑-=?????
???? ??
++≈b
a
n k h k a f h dx x f 1
021)(。
（2）复化梯形矩阵； )]()(2)([2
)]()([2
)(1
1
1
1b f x f a f h x f x
f h dx x f n k k b
a n k k k
++=
+≈
∑?∑-=-=+
（3）复化辛普森(Simpson)矩阵公式；
?
∑-=++
++≈
b
a
n k k k k
x f x
f x f h
dx x f 1
12
1)]
()(4)([6
)(
)]()(2)(4)([1
1
10
2
1b f x f x
f a f n k k n k k +++=∑∑-=-=+
其中)(2
112
1++
+=
k k k x x x
为子区间],[1+k k x x )1,...,1,0(-=n k 的中点。
（4）复化柯特斯(Cotes)公式；
)]
(7)(12)(32)(12)(32)(7[90
)(1
1
1
4
31
2
110
4
1b f x f x
f x
f x
f a f h dx x f n k k n k k n k k n k k b
a
+++++≈
∑∑∑∑?
-=-=+
-=+
-=+
其中4
34
12
1,,+
+
+
k k k x
x
x
为子空间)1,...,1,0](,[1-=+n k x x k k 中的四等分点。
4.3.3常微分方程的差分方法 1. 一阶常微分方程的差分方法 设一阶常微分方程的定解问题为
?
??==,)(),
,(00'y x y y x f y
其中函数),(y x f 关于 y 满足李普希兹条件，即保证问题解的存在唯一性。
现在的问题是求方程在一系列节点.......21<<< ,...,...,,21n y y y 不妨假设步长为 n n x x h -=+1 为常数。在此，我们根据微分的差分方法， 即用差商来近似代替微商，再利用“步进式”方法，可以给出求解问题(4-6)的差分方法。 （1）单步欧拉(Euler)公式 用差商 h x y x y n n ) ()(1-+近似代替))(,()(' n n n x y x f x y =中的导数，则可以得差分公式 ,....2,1,0),,(1=+=+n y x hf y y n n n n 其精度为)(2h O 阶的。 （2）两步欧拉公式 用差商 h x y x y n n 2) ()(11-+- 近似代替))(,()(' n n n x y x f x y =中的导数，则可得差分公式 ,....2,1,0),,(211=+=-+n y x hf y y n n n n 两步法需要用到前两步的方信息，一般不能自行起步，需先用单步方法求出1y ，其精度是 )(2 h O 阶的。 （3）梯形公式 对于方程),(' y x f y =的两边在],[1+n n x x 上求积分得 ? ++ ==+1 .))(,()()()(1n n x x n n n dx x y x f x y x y x y 利用积分的差分方法中梯形公式求解积分 ))](,())(,([2 ))(,(111 +++≈ ? +n n n n x x x y x f x y x f h dx x y x f n n 则 ))](,())(,([2 )()(111+++++ ≈n n n n n n x y x f x y x f h x y x y 离散化即可得到微分方程的梯形差分公式 ,.....2,1,0)],,(),([2 111=++ =+++N y x f y x f h y y N n N n N n 这是一个隐式格式，计算量大，一般不单独使用。其镜的也是)(3h O 阶的。 （4) 改进的欧拉公式 由于单步欧拉公式色精度低，但计算量小；矩形公式精度高，但是计算量大，为此，我们综合运用这两种方法舅老爷得到改进的欧拉公式，其精度为()3h O 阶的。 预报： () ,1,0,,1=+=+- n y x hf y y n n n n 校正： () ,1,0,,,2111=??? ?????? ??++=+- ++n y x f y x f h y y n n n n n n 或写成平均化形式； ()()??? ? ? ???? =+=+=+=++.,2,1,0 ),(21 , ,,,11 n y y y y x hf y y y x hf y y c p n p n n c n n n p （5）龙格—库塔法 龙格—库塔方法的基本思想： 对于微分方程的定解问题（4.6），考虑差商h x y x y n n ) ()(1-+，根据阿格朗日微分中值 定理可得 ()()()()()ξξξy hf x y hy x y x y n n n ,)(' 1+=+=+， 1+< 记()()ξξy f Y ,* = ，称为 []1,+n n x x 上的平均变化率，则 ()* 1)(hY x y x y n n +=+。现在 的问题只要找到寻找一种好的计算*Y 的近似方法。 如果取()1* ,Y y x f Y n n =≈，则就是欧拉公式。 如果取()()[]211* ,,2 1Y y x f y x f Y n n n n =+≈ ++，则相应的就是改进的欧拉公式。 现在，我们取m 个点()[]1,,+∈++n n i n i n x x h y h x βα ()m i ,,2,1 =，用f 在这m 个点的函数值的加权平均作为* Y 的近似值，即 ()h y h x f Y i n i n m i i βαω++≈ ∑=,1 * 其中i ω为权系数。则有 ()h y h x f h y y i n i n m i i n n βαω+++=∑=+,11 （4.7） 其中 i α，i β，i ω为待定系数。 实际上，适当选择i α，i β，i ω，使得公式有更高的精度，这是龙格---库塔方法的思想。 二阶龙格---库塔公式： 在[]1,+n n x x 内取中点h x x n n 2 12 1+ =+ ，则可取01=ω，12=ω， 2 1==βα代人（4.7） 式得到二阶龙格-库塔公式，其精度为()3h O 阶。 ()??? ? ? ???? =??? ??++==+=+ ,2,1,0,2,2,,,12121n Y h y h x f y y x f Y hY y y n n n n n n 三阶龙格-库塔公式： 在[]1,+n n x x 内任取二点ph x x n p n +=+，qh x x n q n +=+，()10<< ()()()() ? ????? ?? ? +-++==??? ??++==+++=+2131213211 2,,2,1,0,2,2, ,,46 Y Y h y h x f Y n Y h y h x f Y y x f Y Y Y Y h y y n n n n n n n n 其精度是()4 h O 阶的常用的是三阶的情况。 四阶龙格----库塔公式： 类似的方法可以得到四阶龙格---库塔公式，其精度是()5 h O 阶的 ()()?? ??? ??? ?? ???+=??? ??++==??? ?? ++==++++=++) ,(2,2,2,1,0,2,2,,, 226314 2312143211hY y x f Y Y h y h x f Y n Y h y h x f Y y x f Y Y Y Y Y h y y n n n n n n n n n n 2. 一阶常微方程组的差分方法 将前面的单个方程中的变量和函数视为向量，相应的差分方法即可用于由多个方程组的 一阶方程组的情形。 对于二个方程的方程组 ()()()()?????====, ,,,, ,,.00'00'z x z z y x g z y x y z y x f y (4.8) 设以n n z y , 表示函数在节点 ,2,1,0=+=n nh x x n 上的近似解，则有改进的欧拉公式： 预报: ()() ??+=+=++- n n n n n n n n n n z y x hf z z z y x hf y y ,,,,1' 1 校正: ()() ? ????????? ???? ??+++=????? ??? ??????? ??+-+++=-+-++-++1,,,,211,,,211111,n x g z y x g h z z n n x f z y x f h y y z y z y n n n n n n n n n n n n n 四阶龙格---库塔公式 ()(),,2,1,0,226,226 4 321143211 =??? ??? ? ++++=++++=++n Z Z Z Z h z z Y Y Y Y h y y n n n n 其中 ()()()() ??? ??? ???? ??? ???? ? ?++=++=?? ? ??+++=??? ??+++=? ?? ??+++=? ?? ??+++===++3314 3314223223 11211211,,,,2,2,22,2,22,2,22,2,2;,,;,,hZ z hY y x g Z hZ z hY y x f Y Z h z Y h y h x g Z Z h z Y h y h x f Y Z h z Y h y h x g Z Z h z Y h y h x f Y z y x g Z z y x f Y n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 其他的公式也都可以类似得到，即相当于同时求解多个一阶方程，从方法上没有本质的差别。 3. 高阶常微分方程的差分方法 对于某些高阶方法的定解问题，原则上可以转化为一阶方程组来求解。譬如，对于如下的二阶微分方程的定解问题 () ()?????===' 0'00''',)(,,y x y y x y y y x f y 若令'y z =，则可以化为一阶方程组的定解问题 ()()?? ???====' 00'00' ',)(, ,,y x y y x y z y z y x f z (4.9) 实际上,(4.9)式可以视为(4.8)式的特例，类似地可以得到相应的求解差分公式。 4.4最优捕鱼问题 4.3.1问题的提出 假设鯷鱼可分为4个年龄组：称1、2、3、4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（g ）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，产卵孵化期为每年的最后4个月，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109*5 10（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄和1龄鱼不产卵。卵孵化并成活为 1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵量n 之比）为 n +??11 11 10 22.1022.1。 渔业部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力固定不变，即固定努力量捕捞，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称为捕捞强度系数。通常使用mm 13网眼的拉网，这种网只能捕捞3、4龄鱼，其两个捕捞系数之比为0.42：1. 要解决的问题是： 建立数学模型，分析如何实现可持续性捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（总质量）。 4.3.2 模型的假设与符号说明 1. 模型的假设 （1）只考虑鱼的繁殖和捕捞的变化，不考虑鱼群迁入与迁出； （2）各龄鱼在一年的任何时间都会发生自然死亡； （3）所有鱼都在每年最后四个月内（后1/3年）完成产卵孵化的过程，成活的幼鱼在下一年初成为1龄鱼； （4）产卵发生于后四个月之初，产卵鱼的自然死亡发生与产卵之后； （5）相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间变化是连续的，即第k 年底i 龄鱼的条数等于第 1+k 年初1+i 龄鱼的条数； （6）4龄以上的鱼全部死亡； （7）采用固定努力量捕捞意味着捕捞的速率正比于捕捞时各龄鱼群的条数，比例系数为捕捞强度系数。 2. 符号的说明 用)(t x i 表示t 时刻（年）i 龄鱼的条数；r 表示鱼的平均自然死亡率，即8.0=r ；i f 表示龄i 鱼的产卵数，即),2 , 0,0(),,,(4321A A f f f f =，5 10109.1?=A ；i w 表示龄i 鱼群 的捕捞强度系数，即)99.22,86.17,55.11,07.5(),,,(4321=w w w w ；i q 表示i 龄鱼群的捕捞强度系数，即),42.0,0,0(),,,(4321E E q q q q =，E 为捕捞努力量；3 2=t 表示产卵开始的 月份；i Y 表示i 龄鱼的捕捞量；i C 表示i 龄鱼的捕捞率，即i i i x Y C = 。 4.4.3 模型的建立与求解 1. 无捕捞时鱼群的自然增长模型 由假设（1）和（2）得 ()()t rx dt t dx i i -=， 4,3,2,1=i ；1+≤≤k t k ， ,2,1,0=k 。 又由假设（3）和（4）得 ()??? ??+? ? ? ??++= +- - t k x t k x k x 0011 11 110 *22.110*22.11， ?? ? ??++??? ??+=??? ??+- --t k Ax t k x A t k x 4302 由假设（5）和（6）得 ()10x x i =， ()())(lim 111 1t x k x k x i k t i i +→++=+=+ ),1,0;3,2,1( ==k i 2。固定努力量捕捞鱼群的增长和捕捞模型 由假设知，捕捞期为 t k t k +≤≤，则有 ()()()()t x E q t rx dt t dx i i i i --=,- +≤≤t k t k ， (4.10) ()()t rx dt t dx i i -= ，1+≤≤+- k t t k ， (4.11) ()10x x i = ，()()111+=+++k x k x i i ，3,2,1=i ， (4.12) ()??? ??+? ? ? ??++= +- - t k x t k x k x 0011 11 110 *22.110*22.11 (4.13) 则有 ?? ? ??++??? ??+=??? ??+- --t k Ax t k x A t k x 4302, ,2,1,0=k (1) 鱼群的增长规律 求解方程（4.10）和（4.11），并利用连续条件（4.12）式可得 ()()()k X E sl k x i i i =++11 , 3,2,1=i , (4.15) () ()k x k x b b k x 001)1(+= +, (4.16) ()()()?? ? ??++??? ??+=+- -- - t k x E l As t k x E l s A k x t t 4433021, (4.17) 其中4993.0==-r e s ,()()121==E l E l ,()- -=tE e E l 42.03,510109.1?=A ,111022.1?=b 。 (2) 捕捞量 单位时间第 i 龄鱼的捕捞量（条数）为 ()()()t x E q t y i i i =， - +<≤t k t k ， 第k 年全年（8个月）第i 龄鱼的捕捞量（条数）为 ()()()()()() ()() k x E l s E q r E q dt t x E q dt t y k Y i i t i i t i i t i i )1() 1(0 - - - -+= = = ? ? 于是，第k 年总捕捞量（质量）为 )()()(4433k Y w k Y w k W += （3）可持续性捕捞模型 可持续捕捞，即意味着由于自然死亡和捕捞使鱼群减少，而通过产卵繁殖补充，使得鱼群能够在每年初开始捕捞时保持平衡不变，这样的捕捞策略就可以年复一年地一直持续下去。因此，可持续捕捞的鱼群数应是（4.15）、（4.16）、（4.17）式的平衡解，即模型不依赖于时间t 的解)4,3,2,1,0(*=i x i 。求解（4.15）、（4.16）、（4.17）得 ()* * 1i i i x E sl x =+， 3,2,1=i ， 即 ()??? ???? ??+=+======- -* 4 4*33* 0* 0*0* 1* 133*33*4*12*2*3*1*2)()(5.0,)(,,x E l As x E l As x bx b bx x x E l s x E sl x x s sx x slx x t t 将（4.18）式代入（4.20）式得 * 1338 4* )()](5.0[x E l As E sl x += 代入（4.19）式有 * 1 338 4* 1 338 4*1 )()](5.0[)()](5.0[x E l As E sl b x E l As E sl b x +++= ， 求解可得 ()??? ? ??-=E B b x 11* 1， 代入（4.18）式得到 ()??? ? ??-=E B sb x 11* 2 ， ()???? ? ?-=E B sb x 11* 3， ()()???? ? ?-=E B b E l s x 1133 *4， 其中())()](5.0[338 4E l As E sl E B +=. 当1)(≤E B 时, 0*1≤x 即意味着捕捞过度，致使鱼群灭绝。当1)(=E B 时, 4.310=E 称之为过度捕捞力量，因此，可以在0E E <的范围内找最优捕捞策略。 在可持续性捕捞的条件下，第i 龄鱼的年捕捞量（条数）为 ()()() E q r x E l s E q Y i i i t i i +?? ? ??-= - *1, 4,3=i 。 整个鱼群的年捕捞量（重量）为 ()4433y w y w E Y += ()()()()???? ? ?-????? ? ??+??? ??-++??? ??-=- -E B b Es E r E sl E l s E r E l s w t i t 11142.0142.02343 即得到了年捕捞与努力量的关系，由计算机求解可得在可持续性捕捞的前提下有最大捕捞量为 36.17*≈E ，最大年捕捞量为87.38)(* * ≈=E Y Y 万吨。 各龄鱼的数量为 84025418 ,42414709473 ,55374034763 ,721196013431 * 4* 3* 2* 1====x x x x 各龄鱼的捕捞率为 () () () * * ** * 1E q r x E l s E q X Y c i i i t i i I i +?? ? ??-= = - ， 4,3=i ， 即%59.95%,70.89,0,443211=====c c c c c 。 4.4.4 模型的结果分析 （1）如果没有假设（6），或改为4龄以上的鱼仍算4龄鱼，则（4.2）式改为 ()()()114314+++=+++k x k x x k ，其讨论相同，但要复杂一些； （2）假设（4）关于产卵时间的分布问题，题中未给出这方面的信息，完全是为了简化， 入股假设产卵是在后4个月内均匀分布，则问题会复杂些，而且不大符合实际。 4.5 参考案例与参考文献 1. 参考案例 （1）人口的预测与控制问题——文献【1】：290-295 （2）最优捕鱼问题——文献【3】：106-108 （3）人口增长问题——文献【4】：28-36 （4）动物种群的管理问题——文献【4】：36-40 2. 参考文献 【1】姜启源.数学模型.第二版.北京：高等教育出版社，1993 【2】叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材（二）.长沙：湖南教育出版社，1997 【3】赵静，但琦等。数学建模与数学实验.北京：高等教育出版社，2002 【4】南京地区工科院校数学建模与工业数学讨论班.数学建模与实验.南京：河海大学出版社，1976 【5】王能超.数值分析简明教程.北京：高等教育出版社，2000 【6】刘承平.数学建模方法.北京：高等教育出版社，2002 【7】唐焕文，贺明峰.数学模型引论.第二版.北京：高等教育出版社，2001 【8】全国大学生数学建模竞赛组委会.全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编.北京：中国物价出版社，2002 习题10-1 1. 指出下列方程的阶数： (1)4620x y y x y '''''-+=． (2)2 2 d d 0d d Q Q Q L R t c t ++=． (3)2d cos d ρ ρθθ +=． (4)2()d 2d 0y x y x x y -+=． 解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶 2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解： (1)2x y y '=, 2y Cx =． (2)2(+1)d d x y y x =, +1y x =． (3)20y y y '''++=， x y x e -=． (4)22d 0.4d s t =-， 2120.2s t c t c =-++． 解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可； (3)是，因为 ,2x x x x y e xe y e xe ----'''=-=-+，满足20y y y '''++=； (4)是，代入，2 12d d 0.4,0.4d d s s t C t t =-+=-，显然满足. 3. 验证:函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程 222d 0d x k x t += 的通解. 解：221212()sin cos ,()cos sin ,x t C k kt C k kt x t C k kt C k kt '''=-+=--满足2 22 d 0d x k x t +=，所以是解，又因为含有两个任意常数12,C C ，且方程是二阶的，故是通解. 4. 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程222d 0d x k x t +=的通解,求满足初始条件 x | t 2 x | t 的特解. 解：上题可知是微分方程通解，且12()sin cos ,x t C k kt C k kt '=-+代入初值条件0|02,|0t t x x ='===，得122,0C C ==，所以特解为2cos (0).x kt k =≠ 习题10-2 1. 求下列微分方程的通解： (1)()2 310y y x '++=； (2) 2 +'=x y y ； (3) d d sin xcos y y sin y cos x x =； (4) 2 d d d d x xy y y x y y +=+； (5) 22 d d d d y y y x xy x x +=； (6) d d y x y x x y -= +； (7) 22 d d y y x xy x =+； (8) )2(tan 21 2y x y +='． 解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得 () 2 31d =d y y x x +- 两端分别积分： 上海交通大学致远学院 《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法 课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时 适用专业：致远学院与数学系相关专业 先修课程：偏微分方程，数值分析 后续课程：相关课程 开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务 本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。 三、教学内容和基本要求 第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理 考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷4 (总分：58.00，做题时间：90分钟) 一、选择题(总题数：3，分数：6.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 2.设函数y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6．2)的解，C 1，C 2为任意常数，则该非齐次方程的通解是 （分数：2.00） A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3． B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3． C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3． D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3．√ 解析：解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 )，而且y 3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y 1 -y 3与y 2 -y 3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选(D)． 3.已知sin 2 x，cos 2 x是方程y""+P(x)y"+Q(x)y=0的解，C 1，C 2为任意常数，则该方程的通解不是（分数：2.00） A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x． B.C 1 +C 2 cos2x． C.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x．√ D.C 1 +C 2 cos 2 x． 解析：解析：容易验证sin 2 x与cos 2 x是线性无关的两个函数，从而依题设sin 2 x，cos 2 x为该方程的两个线性无关的解，故C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x为方程的通解．而(B)，(D)中的解析式均可由C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x恒等变换得到，因此，由排除法，仅C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x不能构成该方程的通解．事实上，sin 2 2x，tan 2 x都未必是方程的解，故选(C)． 二、填空题(总题数：1，分数：2.00) 4.当y＞0时的通解是y= 1． （分数：2.00） 填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析：将原方程改写成，然后令y=ux，则y"=u+xu"．代入后将会发现该变形计算量较大．于 是可转换思维方式，将原方程改写成分离变量，然后积分得 三、解答题(总题数：25，分数：50.00) 5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 6.求微分方程x(y 2 -1)dx+y(x 2 -1)dy=0的通解． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：用(x 2 -1)(y 2 -1)除方程的两端，则原方程化为由此可见这是一个变量可 分类号 学号密题 目 （中、英文） 作者姓名 指导教师 学科门类 提交论文日期专业名称 成绩评定 数学与应用数学 理 学 咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文） 摘要 微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。 关键字：差分方程；差分方程模型；平衡点；稳定性 差分方程模型的稳定性分析 Abstract Difference equation is also called recursive equation, it is to describe the relationship between the number of objective things of a kind of important mathematical model. And the use of the differential equation model of the solution can be found everywhere in life. Such as cobweb model in the free market economy is to use the difference equation analysis when the economic stability, and as the financial problem of pension insurance breed difference equation is used to analysis the actual investment value. This paper gives the judge the stability of difference equation to judge method, then in the same group of sheep and grass under the environment of interaction analysis for the model a process, the number of the population change, in turn, study the stability of the linear difference equation. In the end, one practical model to better explain the stability of difference equation. Key words:Difference equation;Difference equation model ; Balance point; Stability 师大学本科毕业论文（设计） 常微分方程的初等解法与求解技巧 姓名娟 院系数学与计算机科学学院 专业信息与计算科学 班级12510201 学号1251020126 指导教师王晓锋 答辩日期 成绩 常微分方程的初等解法与求解技巧 容摘要 常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧. 【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧 Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve. 【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques 第7章 差分方程模型 7.1 市场经济中的蛛网模型 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长 §7.1 市场经济中的蛛网模型 例1 蛛网模型问题 [问题的提出] 蛛网模型现象 供大于求 -> 价格下降 -> 减少产量 ↑ 数量与价格在振荡 ↓ 增加产量 <- 价格上涨 <- 供不应求 提出的问题 1.描述商品数量与价格的变化规律 2.商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 3.当不稳定时政府能采 取什么干预手段使之稳定 [模型分析与假设] 蛛网模型 设 k x ~第k 时段商品数量； k y ~第k 时段商品价格 消费者的需求关系 → 需求函数 ) (k k x f y = → 减函数 生产者的供应关系 → 供应函数 ) (1k k y h x =+ → 增函数 ↓ ) (1+=k k x g y f 与 g 的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0 xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0 y x0 y0 方程模型 在P0点附近用直线近似曲线 ) (k k x f y =→ ) 0()(00>--=-ααx x y y k k ) (1k k y h x =+→ ) 0()(001>-=-+ββy y x x k k )(001x x x x k k --=-+αβ )()(0101x x x x k k --=-+αβ 1<αβ )/1(βα< → 0x x k → P0稳定 g f K K < 1>αβ )/1(βα> → ∞→k x P0不稳定 g f K K > 方程模型与蛛网模型的一致 f K =α g K =β/1 [模型的求解] 考察α ,β 的含义 xk~第k 时段商品数量；yk~第k 时段商品价格 ) (00x x y y k k --=-α α~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 ) (001y y x x k k -=-+β β~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量 α~ 消费者对需求的敏感程度 α小, 有利于经济稳定 β~ 生产者对价格的敏感程度 β小, 有利于经济稳定 → 1<αβ 经济稳定 经济不稳定时政府的干预办法 1. 使α尽量小，如α=0 → 需求曲线变为水平 → 以行政手段控制价格不变 2. 使β尽量小，如β =0 → 供应曲线变为竖直 → 靠经济实力控制数量不变 x y 0 y0 g f x y 0 x0 g f 常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半，课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来，如何将零散的知识点有机地结合起来，而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆，使知识自成体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴，他强调读 书要 “由薄到厚、由厚到薄 ”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 dy P ( x)dx P ( x) dx Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx 伯努利方程解法：令 dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1） 代入得到dx —u y1 n，有 du(1 n) y n dy ， du(1 n) P(x)u(1 n)Q(x) dx 求解特征方程： 2pq 0三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根： 1 ,2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2)两个相等实根：12 通解： y c1c2 x e x (3)一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x] 当i不是特征值时，令 欢迎下载2 第八章 常微分方程 【教学要求】 一、了解微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、特解、通解、初始条件和初值问题，线性微分方程。 二、熟练掌握一阶可分离变量微分方程的解法。 三、熟练掌握一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+' 的解法——常数变易法和公式法。 四、理解线性微分方程解的性质和解的结构。 五、熟练掌握二阶线性常系数齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的解法——特征根法。 会根据特征根的三种情况，熟练地写出方程的通解，并根据定解的条件写出方程特解。 六、熟练掌握二阶线性常系数非齐次微分方程qy y p y +'+'' )(x f =，当自由项f (x )为某些特殊情况时的解法——待定系数法。 所谓f (x )为某些特殊情况是指f (x )为多项式函数，指数函数 或它们的和或乘积形式、三角函数x x x ββαsin cos ,e 。 关键是依据f (x )的形式及特征根的情况，设出特解y *,代入原方程，定出y *的系数。 【教学重点】 一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性常系数微分方程的解法。 【典型例题】 。的阶数是微分方程例)(e )(12x y y y =-'+'' 2.1.B A 4. 3.D C 解：B 。的特解形式是微分方程例)( e 232x x y y y +=+'-'' x x x b ax B b ax A e )(.e ).(++ x x c b ax D cx b ax C e ).(e ).(++++ 解：C 是一阶线性微分方程。下列方程中例)( ,3 x x y y x B y A y x cos sin 1.e .2=+'='+ y x y D y y x y C ='=+'+''.0 . 解：B ???=='++1)1(0)1(4y y x y y 求解初值问题例 ??-=+x x y y y d )1(d 解：由变量可分离法得 c x y y ln ln 1ln +-=+∴ 代入上式得通解为由21ln ln 1)1(=?=c y x y y 211=+ 的特解。满足求解微分方程例1)0(e 252==-'y x y y x 解：由公式法得 ]d e e 2[e d 12d 1c x x y x x x +???=---? For personal use only in study and research; not for commercial use 2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题 第六章 For personal use only in study and research; not for commercial use 一、选择题 1. 微分方程xy y 2='的通解为 （ ） A. C e y x +=2 ； B. 2 x Ce y =； For personal use only in study and research; not for commercial use C. 2 C x y e =； D. x Ce y =. 2. 函数221x c y c e +=是微分方程20y y y '''--=的 （ ） A. 通解； B. 特解； C. 不是解； D. 是解, 但既不是通解, 也不是特解. 3. 设线性无关的函数321,,y y y 都是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解， 21,C C 是任意常数，则该方程的通解是 （ ） A. 32211y y C y C ++； B. 3212211)(y C C y C y C +-+； C. 3212211)1(y C C y C y C ---+； D. 3212211)1(y C C y C y C --++. 4. 微分方程22y x y y x += +'是 （ ） A. 可分离变量的微分方程； B. 齐次微分方程； C. 一阶线性齐次微分方程； D. 一阶线性非齐次微分方程. 二、填空题 1. 微分方程y y y x ln ='的通解是 . 2. 方程x y y sin 2='的奇解为_______________. 差分方程的解法分析及MATLAB 实现（程序） 摘自：张登奇,彭仕玉.差分方程的解法分析及其MATLAB 实现[J]. 湖南理工学院学报.2014(03) 引言 线性常系数差分方程是描述线性时不变离散时间系统的数学模型,求解差分方程是分析离散时间系统的重要内容.在《信号与系统》课程中介绍的求解方法主要有迭代法、时域经典法、双零法和变换域 法[1]. 1 迭代法 例1 已知离散系统的差分方程为)1(3 1)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y ,激励信号为)()4 3()(n u n x n =,初始状态为21)2(4)1(=-=-y y ，.求系统响应. 根据激励信号和初始状态,手工依次迭代可算出24 59)1(,25)0(==y y . 利用MATLAB 中的filter 函数实现迭代过程的m 程序如下: clc;clear;format compact; a=[1,-3/4,1/8],b=[1,1/3,0], %输入差分方程系数向量,不足补0对齐 n=0:10;xn=(3/4).^n, %输入激励信号 zx=[0,0],zy=[4,12], %输入初始状态 zi=filtic(b,a,zy,zx),%计算等效初始条件 [yn,zf]=filter(b,a,xn,zi),%迭代计算输出和后段等效初始条件 2 时域经典法 用时域经典法求解差分方程:先求齐次解；再将激励信号代入方程右端化简得自由项,根据自由项形 式求特解；然后根据边界条件求完全解[3].用时域经典法求解例1的基本步骤如下. （1）求齐次解.特征方程为081432=+-αα,可算出4 1 , 2121==αα.高阶特征根可用MATLAB 的roots 函数计算.齐次解为. 0 , )4 1()21()(21≥+=n C C n y n n h （2）求方程的特解.将)()4 3()(n u n x n =代入差分方程右端得自由项为 ?????≥?==-?+-1,)4 3(9130 ,1)1()43(31)()43(1n n n u n u n n n 当1≥n 时,特解可设为n p D n y )4 3()(=,代入差分方程求得213=D . （3）利用边界条件求完全解.当n =0时迭代求出25)0(=y ,当n ≥1时,完全解的形式为 ,)4 3(213 )41()21()(21n n n C C n y ?++=选择求完全解系数的边界条件可参考文[4]选)1(),0(-y y .根据边界条件求得35,31721=-=C C .注意完全解的表达式只适于特解成立的n 取值范围,其他点要用 )(n δ及其延迟表示,如果其值符合表达式则可合并处理.差分方程的完全解为 第七章 差分方程模型 教学目的：通过经济学中蛛网模型的实例讨论，介绍一类动态离散模型------差分方程模型的 建模方法. 教学要求：1 让学生学会运用差分思想建立数学模型的基本方法，进一步熟悉数学建模的基 本过程. 2使学生掌握运用解析方法或数学软件求解差分方程模型. 3帮助学生运用差分方程的平衡点及其稳定性有关理论来分析实际问题. 教学重点：1蛛网模型的图形描述，并通过建立差分方程模型对其进行理论解释. 2运用差分思想建立数学模型和求出模型解析表达式或数值解. 教学难点：1差分方程在稳定点附近有关稳定条件的实际意义. 2差分方程在稳定点附近有关稳定条件的推广. 离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具.下面我们对差分方程作一简单的介绍. §7.1 差分方程 1.1 差分方程简介 规定t 只取非负整数.记t y 为变量y 在t 点的取值，则称t t t y y y -=?+1为t y 的一阶向前差分，简称差分，称t t t t t t t y y y y y y y +-=?-?=??=?+++1212 2)(为t y 的二阶差分.类似地， 可以定义t y 的n 阶差分t n y ?. 由t y t 、及t y 的差分给出的方程称为t y 的差分方程，其中含t y 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶.差分方程也可以写成不显含差分的形式.例如，二阶差分方程 02=+?+?t t t y y y 也可改写成012=+-++t t t y y y . 满足一差分方程的序列t y 称为差分方程的解.类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解.若解中不含任意常数，则称此 解为满足某些初值条件的特解. 称如下形式的差分方程 )(110t b y a y a y a t n t n t n =+++-++ （1） 为n 阶常系数线性差分方程，其中n a a a ,,,10 是常数，00≠a .其对应的齐次方程为 0110=+++-++t n t n t n y a y a y a （2） 容易证明，若序列) 1(t y 与) 2(t y 均为（2）的解，则) 2(2) 1(1t t t y c y c y +=也是方程（2）的解，其 中21,c c 为任意常数.若)1(t y 是方程（2）的解，) 2(t y 是方程（1）的解，则)2()1(t t t y y y +=也是 第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)； (3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=< 常微分方程解法归纳 1. 一阶微分方程部分 ① 可分离变量方程（分离变量法） 如果一阶微分方程),(y x f dx dy =中的二元函数),(y x f 可表示为) ()(),(y h x g y x f =的形式，我们称)()(y h x g dx dy =为可分离变量的方程。 对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为 dx x g y h dy )() (=的形式，再对此式两边积分得到 C dx x g y h dy +=??)()(从而解出)()(y h x g dx dy =的解，其中C 为任意常数。 具体例子可参考书本P10—P11的例题。 ②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法） 如果一阶微分方程),(y x f dx dy =中的二元函数),(y x f 可表示为 y x P x Q y x f )()(),(-=的形式，我们称由此形成的微分方程)()(x Q y x P dx dy =+为一阶线 性微分方程，特别地，当0)(≡x Q 时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。 对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程 0)(=+y x P dx dy ，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到?=-dx x P Ce y )(，其中C 为任意常数。这也是一阶线性 非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设)(x C 来替换C ，于是一阶线性 非齐次微分方程存在着形如?=-dx x P e x C y )()(的解。将其代入)()(x Q y x P dx dy =+我们就可 得到)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =?+?-?'---这其实也就是 ? ='dx x P e x Q x C )()()(，再对其两边积分得C dx e x Q x C dx x P +? =? )()()(，于是将其回代入 ? =-dx x P e x C y )()(即得一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy =+的通解? ? ? ??+??=?-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(。 具体例子可参照书本P16—P17的例题。 第一章 差分方程 差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。 §1.1 一阶差分方程 假设利用变量t y 表示随着时间变量t 变化的某种事件的属性或者结构，则t y 便是在时间t 可以观测到的数据。假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的影响，并满足下述方程： t t t w y y ++=-110φφ (1.1) 在上述方程当中，由于t y 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。如果变量t w 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量t w 是随机变量，则此方程是随机差分方程。在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。 例1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，则可以估计出美国货币需求函数为： ct bt t t t r r I m m 019.0045.019.072.027.01--++=- 上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。 1.1.1 差分方程求解：递归替代法 差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。 由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程： 0=t ：01100w y y ++=-φφ 1=t ：10101w y y ++=φφ t t =：t t t w y y ++=-110φφ 依次进行叠代可以得到： 1011211010110101)()1()(w w y w w y y ++++=++++=--φφφφφφφφ 0111122113121102)1(w w w y y φφφφφφφ++++++=- i t i i t t i i t w y y ∑∑=-=++=0 111 1 0φφφφ (1.2) 上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将 t y 表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出t y 对这些变量取值的依赖性和动态变化 过程。 1.1. 2. 差分方程的动态分析：动态乘子(dynamic multiplier) 在差分方程的解当中，可以分析外生变量，例如0w 的变化对t 阶段以后的t y 的影响。假设初始值1-y 和t w w ,,1 不受到影响，则有： 1. 一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%， 他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？ 分析：(1) 假设k 个月后尚有k A 元，每月取款b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款，根据题意，建立如下的差分方程： 1k k A aA b +=-，其中a = 1 + r (1) 每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出k A 的值。 (2) 多少岁时将基金用完，何时0k A =由（1）可得： 01k k k a A A a b r -=- 若0n A =，01 n n A ra b a = - (3) 若想用到 80 岁，即 n ＝(80-60)*12=240 时，2400A =，240 0240 1 A ra b a =- 利用 MA TLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clc x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)'; y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1']) function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)-b; end (2)用MA TLAB 计算： A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240 思考与深入： (2) 结论：128个月即70岁8个月时将基金用完 (3) A0 = 1.5409e+005 结论：若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。 2. 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，他每月还1000元。建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要10年还清，每月需还多少？ 分析：记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。则第k+1个月末欠银行的钱为 x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2… 在r=0.005 及x0=100000 代入，用MA TLAB 计算得结果。 编写M 文件如下: function x=exf11(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; end MA TLAB计算并作图: k=(1:140)'; y=exf11(100000,140,0.0005,-1000); 所以如果每月还1000元，则需要11年7个月还清。 如果要10年即n=120 还清，则模型为： r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] 用MA TLAB 计算如下： >> x0=100000; >> r=0.005; >> n=120; >> b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] b= 1.1102e+003 所以如果要10年还清，则每年返还1110.2元。 3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为1r，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为1a；猫头鹰的年平均减少率为 第七章线性差分方程模型的辨识 根据对过程的初步分析，可以是先提出一个结构已定的参数模型来描述过程的动态特性，而模型中有一些参数需要通过辨识来加以确定，像这样的辨识问题称为参数估计问题，最小二乘法是很常用的估计方法。 线性差分方程模型的最小二乘估计 首先讨论一种较简单的情况，即无噪声或噪声较小的情况，这样可以应用一般最小二乘估计模型参数，但是对于噪声较大的情况，采用一般最小二乘法估计通常是有偏差的，需要应用更加复杂的算法，如广义最小二乘法。 辨识问题的提法 设被辨识的动态系统，可用如下n阶常系数线性差分方程描述： y(k) + a^y(Jc—1) + ?? - a n y(k— n) = bju(k) + biu(k— 1) ---------- 卜b n u(k— n) 系统方程也写成如下算子形式： A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k), 其中， = 14- fliQ-1 + a2q~2+ …+ 如厂"，B(q_1) = 14- bq_1 + ①厂？H ------------- F bq~n, 辨识问题的提法，已知： (1)由方程描述的系统都是稳定的。 (2)系统的阶是n阶。 (3)输入输出观测数据{u (k) },{y(k)}(k“,2,...,N+n), 要求根据上述己知条件来估计差分方程的参数： a】, b](i = 1,2, ???N + n), 参数最小二乘估计的慕本思根是，选择 b x(i = 1,2, ...N + n), 使得系统方程尽可能好的与观测数据拟合，考虑到模型误差测最误差，模型方程改为： A(q")y(k) = B(q_1)u(k) + e(k), 其中，e(約称为模型残差，乂称方程误差。 现在的问题就是决定A(q"), B(g")的系数，是e2最小 最小二乘估计 将下式 A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k) + e(k\ 改成以下形式习题详解-第10章微分方程与差分方程初步
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