2017届二轮复习 2.函数、不等式、导数专题卷 (全国通用)
高考小题专攻练
2.函数、不等式、导数
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一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设0 A.a3>b3 B.< C.a b>1 D.l g(b-a)<0 【解析】选D.因为0 >,所以B不正确; 由指数函数的图象与性质可知a b<1,所以C不正确; 由题意可知b-a∈(0,1),所以l g(b-a)<0,正确. 2.设f(x)=则f(f(2))的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选C.f(f(2))=f(l og3(22-1)) =f(1)=2e1-1=2. 3.若函数f(x)=e x-3-x+2a(a>0)有且只有两个零点，则实数a的取值范围是( ) A.[0，1] B.(0，1) C.(1，+∞) D.(0，+∞) 【解析】选B.因为f(x)=e x-3-x+2a(a>0)， 所以f′(x)=e x-3-1， 令f′(x)=e x-3-1>0，所以x>3； 令f′(x)=e x-3-1<0，所以x<3； 所以f(x)min=f(3)=-2+2a. 要使函数f(x)=e x-3-x+2a(a>0)有且只有两个零点，则-2+2a<0，所以a<1. 又因为a>0，所以0 4.函数y=ln的图象大致为( ) 【解析】选D.函数y=l n的定义域为>0,解得x<1,由此排除A和B; 当x增大时,也增大,y=l n随着增大, 即函数y=l n是增函数,由此排除C. 5.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x+1)=，若f(x)在[-1，0]上是减函数，记a=f(log0.52)，b=f(log24)，c=f(20.5)，则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c 【解析】选B.由f(x+1)=得：函数的周期为2. 因为f(x)在[-1，0]上是减函数，且f(x)是定义域为R的偶函数， 所以f(x)在[0，1]上是增函数，且图象关于y轴对称，a=f(log0.52)=f(-1)，b=f(log24)=f(2)=f(0)， c=f(20.5)=f()=f(-2).可知：a>c>b. 6.实数x,y,k满足z2=x2+y2,若z2的最大值为13,则k的值 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.由约束条件作出可行域如图, 联立解得:A(k,k+1), 由图可知,使z2=x2+y2取得最大值的最优解为A(k,k+1),由k2+(k+1)2=13,解得:k=2. 7.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( ) A. B. C.(1,2) D.(2,+∞) 【解析】选B.由题意可得函数f(x)的图象和函数g(x)的图象有两个交点, 如图所示: k OA=, 数形结合可得 8.若曲线y=x2与曲线y=a l nx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,则实数a= ( ) A.-2 B. C.1 D.2 【解题导引】求出两个函数的导数然后求出公共点的斜率,利用向量相等,由公共点解方程即可求出a的值. 【解析】选C.曲线y=x2的导数为: y′=,在P(s,t)处的斜率为:k=. 曲线y=a l nx的导数为:y′=,在P(s,t)处的斜率为:k=.曲线y=x2与曲线y=a l nx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线, 可得=,并且t=s2,t=a l ns, 即解得l ns=,解得s2=e. 可得a=1. 9.设z=x+y,其中x,y满足若z的最大值为2016,则k的值 为( ) A.2 016 B.2 018 C.1 007 D.1 008 【解析】选D.作出不等式组对应的平面区域如图: 由z=x+y得y=-x+z,则直线截距最大时,z也最大. 平移直线y=-x+z,由图象可知当直线y=-x+z经过点A时, 直线y=-x+z的截距最大,此时z最大,为2016, 即x+y=2016, 由得 所以k=1008. 10.设定义域为R的函数f(x)=若关于x的方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有五个不同的实数解,则a的取值范围是( ) A.(0,1) B.∪ C.(1,2) D.∪ 【解析】选D.因为题中原方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有且只有5个不同实数 解,即要求对应于f(x)等于某个常数有3个不同实数解,故先根据题意作出f(x)的简图: 由图可知,只有当f(x)=a时,它有三个根. 所以有:1 再根据2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有两个不等实根, 得:Δ=(2a+3)2-4×2×3a>0?a≠②. 结合①②得:1 11.设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,当x>0时,有<0恒成立,则不等式x2f(x)>0的解集是( ) A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-2,0)∪(0,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,2) 【解析】选D.因为当x>0时,有<0恒成立,即′<0恒成立,所以在(0,+≦)内单调递减. 因为f(2)=0,所以在(0,2)内恒有f(x)>0; 在(2,+≦)内恒有f(x)<0. 又因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以在(-≦,-2)内恒有f(x)>0; 在(-2,0)内恒有f(x)<0. 又不等式x2f(x)>0的解集,即不等式f(x)>0的解集,所以答案为(-≦,-2)∪(0,2). 12.f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对?x∈(0,+∞),都有 f(f(x)-l nx)=e+1,则方程f(x)-f′(x)=e的实数解所在的区间是( ) A. B. C.(1,e) D.(e,3) 【解析】选C.因为f(x)是定义在(0,+≦)上的单调函数,且对?x∈(0,+≦),都有f(f(x)-l nx)=e+1,所以设f(x)-l nx=t,则f(t)=e+1, 即f(x)=l nx+t, 令x=t,则f(t)=l nt+t=e+1,则t=e, 即f(x)=l nx+e,函数的导数f′(x)=, 则由f(x)-f′(x)=e得l nx+e-=e, 即l nx-=0, 设h(x)=l nx-, 则h(1)=l n1-1=-1<0,h(e)=l ne-=1->0, 所以函数h(x)在(1,e)上存在一个零点,即方程f(x)-f′(x)=e的实数解所在的区间是(1,e). 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.dx+dx=__________. 【解析】因为dx=lnx=lne-ln1=1， dx的几何意义表示为y=对应上半圆的面积， 即dx=×π×22=2π， 即dx+dx=2π+1. 答案：2π+1 14.设f(x)=则不等式f(x)≥2的解集为__________. 【解析】当x≥0时,2e x-1≥2, 所以x-1≥0,x≥1;当x<0时,l og2|x-1|≥2, 所以|x-1|≥4,所以x≤-3. 综上可得:不等式f(x)≥2的解集为{x|x≤-3或x≥1}. 答案:{x|x≤-3或x≥1} 15.设函数f(x)=xα+1(α∈Q)的定义域为[-b,-a]∪[a,b],其中0 【解析】令g(x)=xα,定义域为[-b,-a]∪[a,b], 则因为函数f(x)=xα+1(α∈Q)在区间[a,b]上的最大值为6,最小值为3, 所以g(x)=xα在区间[a,b]上的最大值为5,最小值为2, 若g(x)=xα是偶函数, 则g(x)=xα在区间[-b,-a]上的最大值为5,最小值为2, 所以函数f(x)=xα+1(α∈Q)在区间[-b,-a]上的最大值为6,最小值为3,最大值与最小值的和为9; 若g(x)=xα是奇函数,则g(x)=xα在区间[-b,-a]上的最大值为-2,最小值为-5,所 以函数f(x)=xα+1(α∈Q)在区间[-b,-a]上的最大值为-1,最小值为-4,最大值与最小值的和为-5. 所以f(x)在区间[-b,-a]上的最大值与最小值的和为-5或9. 答案:-5或9 16.定义在R上的函数f(x)，如果存在函数g(x)=kx+b(k，b为常数)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数. ①对给定的函数f(x)，其承托函数可能不存在，也可能有无数个； ②g(x)=2x为函数f(x)=2x的一个承托函数； ③定义域和值域都是R的函数f(x)不存在承托函数. 以上命题正确的是__________. 【解题导引】对于①，若取f(x)=sinx， 则g(x)=B(B<-1)，都满足，且有无数个，故正确； 对于②，即x=时，②错； 对于③，如取f(x)=2x+3，即可看出其不符合，故错. 抽象的背后总有具体的模型，我们可以通过具体的函数的研究，进行合理地联想. 【解析】对于①，若f(x)=sinx，则g(x)=B(B<-1)，就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanx，y=lgx就没有承托函数，所以命题①正确； 对于②，因为当x=时，g=3，f=2， 所以f(x) 所以g(x)=2x不是f(x)=2x的一个承托函数，故错误； 对于③，如f(x)=2x+3存在一个承托函数y=2x+1，故错误. 答案：① 函数与导数解答题之数列型不等式证明 例1.已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈ (1)讨论函数)(x f 的单调性; (2)证明:*1111ln(1)()23n n N n + +++>+∈ (3)证明:()*ln 2ln 3ln 4ln 5ln 12,2345n n n N n n ???<≥∈ (4)证明:()*22222ln 2ln 3ln 4ln 5ln 112,23452n n n n n N n n +????? 例3．已知函数()x f x e ax a =--（其中,a R e ∈是自然对数的底数， 2.71828e =…）. （1）当a e =时，求函数()f x 的极值；（II ）当01a ≤≤时，求证()0f x ≥； （2）求证：对任意正整数n ，都有2111111222n e ??????+ +???+< ??? ???????. 例4.设函数()ln 1f x x px （1）求函数()f x 的极值点； （2）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围； （3）证明：).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n n n 例5.已知函数()ln 1f x x x =-+? (1)求()f x 的最大值; (2)证明不等式:()*121n n n n e n N n n n e ??????+++<∈ ? ? ?-???? ?? 构造函数法证明不等式的八种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<< -x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ， 即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-++ +=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-++ +x x ∴111) 1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要 证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 2 1)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方； 分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f =F 高考数学二轮复习专题 02：函数与导数 A. B. C. D. 1.函数2ln 2)(x x x f -=，求函数)(x f y =在]2,2 [上的最大值 2.. 已知f(x)=e x -ax- （1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围； （3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 3. 已知函数f(x)=x 2e -ax (a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值. 4.已知x ＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x 的一个极值点． (1)求a 的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若直线y ＝b 与函数y ＝f(x)的图象有3个交点，求b 的取值范围． 5. (2010年全国)已知函数 f(x)＝x3－3ax2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求 f(x)的单调区间； (2)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围． 不等式的证明： 一、函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式 ()()f x g x >（()()f x g x <） 的问题转化为证明 ()()0f x g x ->（()()0f x g x -<），进而构造辅助函数 ()()()h x f x g x =-，然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小 值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。 一、利用题目所给函数证明 【例1】 已知函数 x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有 x x x ≤+≤+- )1ln(1 1 1 【绿色通道】1 111)(+- =-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(m a x ==f x f ，因此，当1->x 时， 0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证） ， 现证左令11 1 )1ln()(-+++=x x x g ， 2 2)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011 1 )1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1 ,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、直接作差构造函数证明 【例2】已知函数 .ln 2 1)(2 x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数3 3 2)(x x g = 的图象的下方； 【绿色通道】设)()() (x f x g x F -=，即x x x x F ln 2 132)(2 3--= ， 利用导数证明不等式的两种通法 吉林省长春市东北师范大学附属实验学校 金钟植 岳海学 利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。 一、函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式()()f x g x >（()()f x g x <）的问 题转化为证明()()0f x g x ->（()()0f x g x -<），进而构造辅助函数 ()()()h x f x g x =-，然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小值（最 大值）大于或等于零（小于或等于零）。 例1 已知(0, )2 x π ∈，求证：sin tan x x x << 分析：欲证sin tan x x x <<，只需证函数()sin f x x x =-和()tan g x x x =-在(0,)2 π 上 单调递减即可。 证明： 令()sin f x x x =- ，其中(0,)2 x π ∈ 则/ ()cos 1f x x =-，而(0,)cos 1cos 102 x x x π ∈? 用导数证明函数不等式的四种常用方法 本文将介绍用导数证明函数不等式的四种常用方法. 例1 证明不等式：)0)1ln(>+>x x x （. 证明 设)0)(1ln()(>+-=x x x x f ，可得欲证结论即()(0)(0)f x f x >>，所以只需证明函数()f x 是增函数. 而这用导数易证： 1()10(0)1 f x x x '=- >>+ 所以欲证结论成立. 注 欲证函数不等式()()()f x g x x a >>(或()()()f x g x x a ≥≥)，只需证明()()0()f x g x x a ->>(或()()0()f x g x x a -≥≥). 设()()()()h x f x g x x a =->(或()()()()h x f x g x x a =-≥)，即证()0()h x x a >>(或()0()h x x a ≥≥). 若()0h a =，则即证()()()h x h a x a >>(或()()()h x h a x a ≥≥). 接下来，若能证得函数()h x 是增函数即可，这往往用导数容易解决. 例2 证明不等式：)1ln(+≥x x . 证明 设()ln(1)(1)f x x x x =-+>-，可得欲证结论即()0(1)f x x >>-. 显然，本题不能用例1的单调性法来证，但可以这样证明：即证)1)(1ln()(->+-=x x x x f 的最小值是0，而这用导数易证： 1()1(1)11 x f x x x x '=-=>-++ 所以函数()f x 在(1,0],[0,)-+∞上分别是减函数、增函数，进而可得 min ()(1)0(1)f x f x =-=>- 所以欲证结论成立. 注 欲证函数不等式()()()(,f x g x x I I >≥∈是区间)，只需证明()()()0(f x g x x I ->≥∈. 第三课时函数与导数的应用 1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 2.已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系 式为y ＝－13 x 3 ＋81x －234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件 3：由直线x ＝－π3，x ＝π 3 ，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.12 B ．1 C.3 2 D.3 4．若函数 y ＝f (x )在R 上可导，且满足不等式xf ′(x )>－f (x )恒成 立，且常数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．af (a )>bf (b ) B ．af (a ) 函数、导数和不等式 1i.(北京卷8)某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高.m值为（） A.5 B.7 C.9 D.11 由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可 分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答 案． 解答：解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点 则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率 由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大 即前9年的年平均产量最高， 故选C 2ii(北京卷14) 已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2．若同时满足条件： ①x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0； ②x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)＜0． 则m的取值范围是________． iii 3(全国卷10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝（） （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 求导函数可得y′=3（x+1)(x-1） 令y′＞0，可得x＞1或x＜-1；令y′＜0，可得-1＜x＜1； ∴函数在（-∞，-1），（1，+∞）上单调增，（-1，1）上单调减 ∴函数在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值 ∵函数y=x^3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点 ∴极大值等于0或极小值等于0 ∴1-3+c=0或-1+3+c=0 ∴c=-2或2 4iv (福建卷9)若函数y=2x 图像上存在点（x ，y ）满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤??--≤??≥? ，则实数m 的最大值为（ ）A ． 12 B.1 C. 32 D.2 解：约束条件 x +y ?3≤0 x ?2y ?3≤0 x ≥m 确定的区域为如图阴影部分，即△ABC 的边与其内部区域， 分析可得函数y=2x 与边界直线x+y=3交与点（1，2）， 若函数y=2x 图象上存在点（x ，y ）满足约束条件， 即y=2x 图象上存在点在阴影部分内部， 则必有m≤1，即实数m 的最大值为1， 故选B ． 5v .（湖北卷9）函数f （x ）=xcosx 2在区间[0,4]上的零点个数为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 f(x)=xcosx2，0<=x<=4，0<=x2<=16<5.5π x=0是零点之一 cos2x=0，cosx=0，x=π/2或者x=3π/2或者x=5π/2或者x=7π/2或者x=9π/2 所以：零点共有6个 6vi （江苏卷13）已知函数2 ()(,)f x x ax b a b R =++∈的值域为[)0,+∞，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(,6)m m +，则实数c 的值为 高考专题训练二十三 函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题 班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：72分 总得分________ 1．(12分)(2011·成都市高中毕业班第二次诊断性检测)设△ABC 的三内角A 、B 、C 所对应的边长分别为a 、b 、c ，平面向量m ＝(cos A ，cos C )，n ＝(c ，a )，p ＝(2b,0)，且m ·(n －p )＝0. (1)求角A 的大小； (2)当|x |≤A 时，求函数f (x )＝sin x cos x ＋sin x sin ? ?? ?? x －π6的值域． 解：(1)m ·(n －p )＝(cos A ，cos C )·(c －2b ，a ) ＝(c －2b )cos A ＋a cos C ＝0 ?(sin C －2sin B )cos A ＋sin A cos C ＝0?－2sin B cos A ＋sin B ＝0. ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12?A ＝π3 . (2)f (x )＝sin x cos x ＋sin x sin ? ????x －π6＝1 2 sin x cos x ＋32sin 2x ＝14sin2x ＋32·1－cos2x 2＝34＋1 4sin2x － 34cos2x ＝34＋12sin ? ?? ?? 2x －π3. ∵|x |≤A ，A ＝π3，∴－π3≤x ≤π3－π≤2x －π3≤π3∴－1≤sin ? ????2x －π3≤32?3－24≤34＋12sin ? ????2x －π3≤3 2. ∴函数f (x )的值域为[3－24，3 2 ]． 导数大题中不等式的证明 1.使用前面结论求证（主要） 2.使用常用的不等关系证明，有三种：()ln 1x x +<，sin ,x x 恒成立，求实数λ的最小值． 3、已知,ln 2)(),0()(bx x x g a x a x x f +=>- =且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切． （1）若对),1[+∞内的一切实数x ，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a=1时，求最大的正整数 k ，使得对Λ71828.2](3,[=e e 是自然对数的底数）内的任意 k 个实数k x x x x ,,,,321Λ都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤++-Λ成立； （3）求证：)12ln(1 4412 +>-∑ =n i i n i )(* ∈N n 导数与不等式的证明 1.【2013湖南文科】已知函数f （x ）= x e x 2 1x 1+-. （Ⅰ）求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）证明：当f （x 1）=f （x 2）(x 1≠x 2)时，x 1+x 2＜0. 【解析】 (Ⅰ) .)123)12)1()1)11()('2 22 222x x x xe x x e x x e x x f x x x ++--?=+?--+?-+-=（（（ ; )(,0)(']0-02422单调递增时，，（当x f y x f x =>∞∈∴0时f(x) < f(-x)即可。 ]1)1[(11111)()(22 22x e x x e e x x e x x x f x f x x x x ---+=++-+-=----。 1)21()('0,1)1()(22--=?>---=x x e x x g x x e x x g 令。 ,04)21()('1)21()(222<-=-=?--=x x x xe e x x h e x x h 令 0)0()(0)(=0, 存在唯一的s , 使. (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为, 证明: 当时, 有. (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)，令f ′(x )＝0 ，得x = 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： 2 l ()n f x x x =()t f s =()s g t =2>e t 2ln ()15ln 2 g t t << 用导数证明和式不等式-典型 （1）若护（工）=『J 上再減睛It求宾畫以杓取恒范 寵 (町证明车等式t 2n 1 L 1 I lii J J 1H^ In 4 hi(” +1) n , 1 1 1 < —+ l + - + —— 2 2 3 n 解析： :郭问圖利斛出 来看第二问? 1. 读者朋友们一起来思考这样一个命题逻辑：第二问单独出一道证明题行不行？ 当然行? 2. 为什么不那样出呢？ 因为那样出的话，难度太大. 3. 为什么出在本题的第二问的位置？ 因为这样命题使得学生解题相对容易一些. 4. 为什么会容易一些呢？ 因为题干和第一问，为我们顺利解决第二问提供帮助.这些内容可作为梯子，为我们搭桥、铺路. 5. 从第1问能得到什么结论呢？ '"|加 < 数特（打=—■—luz 在［人炖）上対城函 6. 这个结论对解决第 2问有什么帮助呢？ 第2问是证明不等式，我们希望能够通过第 1问得到不等式? 通过函数的单调性，我们可以得到什么样的不等式呢？ di 沿-1） 小如取= 2,则鸭（.工）= -- - Inx 凶为卩（工）在仏是内诚函数， 所以貯（1）=山 即——-hi^ 第5讲 导数与函数零点、不等式证明、恒成立问题 高考定位 在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题. 真 题 感 悟 1.(2016·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1 解得x0＝ln c－1 ln c ln c. 当x 函数与导数 1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏． 对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同． [问题1] 函数y 的定义域是________． 答案 ??? ?0，14 2．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题． [问题2] 已知f (cos x )＝sin 2x ，则f (x )＝________. 答案 1－x 2(x ∈[－1,1]) 3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数． [问题3] 已知函数f (x )＝????? e x ，x <0，ln x ，x >0， 则f ????f ????1e ＝________. 答案 1e 4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响． [问题4] f (x )＝lg (1－x 2) |x －2|－2是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)． 答案 奇 解析 由? ???? 1－x 2>0， |x －2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)， f (x )＝l g (1－x 2) －(x －2)－2＝lg (1－x 2) －x . ∴f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数． 5．弄清函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． (2)若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． (3)若奇函数f (x )的定义域中含有0，则必有f (0)＝0. 故“f (0)＝0”是“f (x )为奇函数”的既不充分也不必要条件． [问题5] 设f (x )＝lg ????21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( ) A ．(－∞，＋∞)上的减函数 B ．(－∞，＋∞)上的增函数 C ．(－1,1)上的减函数 D ．(－1,1)上的增函数 答案 D 解析 由题意可知f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0， 解得a ＝－1， 故f (x )＝lg 1＋x 1－x ，函数f (x )的定义域是(－1,1)， 在此定义域内f (x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg(1＋x )－lg(1－x )， 函数y 1＝lg(1＋x )是增函数，函数y 2＝lg(1－x )是减函数，故f (x )＝y 1－y 2是增函数．选D. 6．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替． [问题6] 函数f (x )＝1 x 的减区间为________． 答案 (－∞，0)，(0，＋∞) 7．求函数最值(值域)常用的方法： (1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数． 函数与导数二轮复习建议 金陵中学 朱骏 函数是高中数学的核心内容，因而在历年的江苏高考中，函数一直是考查的重点和热点．高考既注重单独考查函数的基础知识，也会突出考查函数与其它知识的综合应用；既考查具体函数的图象与性质，也考查函数思想方法的应用． 下表列出的是《考试说明》对函数部分具体考查要求及2019年~2019年四年江苏高考 基本题型一：函数性质的研究 例1（2019年江西理改）若f (x )＝ 1log(2x ＋1) ，则f (x )的定义域为____________． 【解析】由???2x ＋1＞0log(2x ＋1)＞0 ，解得?????x ＞－12x ＜0 ，故－12＜x ＜0，答案为（－1 2，0）． 说明：以函数定义域为载体，考查对数函数的图象与性质． 例2（2019年江苏）设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )（x ∈R ）是偶函数，则实数a ＝_______． 【解析】 由g (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，得g (0)＝0，解得a =－1；也可以由奇函数的定义解得． 说明：1．函数奇偶性的定义中应关注两点：①定义域关于数0对称是函数具有奇偶性的必要条件；②f (0)＝0是定义域包含0的函数f (x )是奇函数的必要条件．2．利用特殊与一般的关系解题是一种非常重要的方法． 变式：若函数f (x )＝k －2x 1＋k ·2 x （k 为常数）在定义域上为奇函数，则k 的值是_______． 答案：±1． 例3 设a (0＜a ＜1)是给定的常数，f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f (1 2 )＝0，f (log a t )＞0，则t 的取值范围是________． 【解析】 因为f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故f (x )在区间(－∞，0)上也是增函数．画出函数f (x )的草图． 由图得－12＜log a t ＜0或log a t ＞12，解得t (0，a ) ∪(1，a a )． 说明：1．单调性是函数的局部性质，奇偶性是函数的整体 性质，单调性和奇偶性常常结合到一起考查． 2．函数图象是函数性质的直观载体，“以形辅数”是数形结合思想的重要体现． 例4（2019年江苏卷）已知函数f (x )＝???x 2 ＋1，x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2 )＞f (2x ) 的x 的范围是 ． 【解析】画出函数f (x )的图象，根据单调性，得???1－x 2 ＞2x ， 1－x 2 ＞0． ，解得 x ∈(－1，2－1)． 说明：1．函数单调性是比较大小和解不等式的重要依据，如果把式f (1－x 2 )＞f (2x )具体化，需要分类，情形比较复杂，本题对能力要求较高．2．分段函数是高考常考的内容之一，解决相关问题时，应注意数形结合、分类讨论思想的运用． 变式：设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________________________． 答案：f (a ＋1)＞f (b ＋2)． 例5（2019年江苏）设a 为实数，函数f (x )＝2x 2 ＋(x －a )|x －a |．（1）若f (0)≥1，求a 的取值范围；（2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a , +∞)，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集．【解析】（1）因为f (0)＝－a |－a |≥1，所以，－a ＞0，即a ＜0．由a 2 ≥1，得a ≤－1． （2）记f (x )的最小值为g (a )， f (x )＝2x 2 ＋(x －a )|x －a |＝? ????3(x － a 3)2＋2a 2 3，x ＞a ， ①(x ＋a )2－2a 2 ， x ≤a ， ② （ⅰ）当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2 ，由①②知f (x )≥－2a 2 ，此时，g (a )＝－2a 2 ． （ⅱ）当a ＜0时，f (a 3)＝23a 2．若x ＞a ，则由①知f (x )≥23 a 2 ；若x ≤a ，则x ＋a ≤2a ＜0，由②知f (x )≥2a 2 ＞23a 2．此时，g (a )＝23 a 2． 导数与不等式证明 作差证明不等式 1. （优质试题湖南，最值、作差构造函数） 已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)若，求证：≤≤x ． 解：(1)函数f (x )的定义域为(－1，+∞),， 由 得：，∴x ＞0,∴f (x )的单调递减区间 为(0，+∞). (2)证明：由(1)得x ∈(－1，0)时，， 当x ∈(0，+∞)时，，且 ∴x ＞－1时，f (x )≤f (0)，∴≤0，≤x 令 ，则 ， ∴－1＜x ＜0时，，x ＞0时，，且 ∴x ＞－1时，g (x )≥g (0)，即≥0 ∴≥ ，∴x ＞－1时， ≤≤x ． 2. （优质试题湖北20，转换变量，作差构造函数，较容易） 已知定义在正实数集上的函数 ，x x x f -+=)1ln()()(x f 1->x 11 1+-x )1ln(+x 1 111)(+-=-+= 'x x x x f 0)(<'x f ????? -><+- 1 01x x x 0)(>'x f 0)(<'x f (0)0f '=x x -+)1ln()1ln(+x 111 )1ln()(-++ +=x x x g 2 2)1()1(111)(+=+-+= 'x x x x x g 0)(<'x g 0)(>'x g 0)0(='g 11 1 )1ln(-+++x x ) 1ln(+x 1 11+- x 1 11+- x )1ln(+x 2 1()22 f x x ax = + ，其中．设两曲线，有公 共点，且在该点处的切线相同． ⑴用表示，并求的最大值； ⑵求证：当时，． 解：⑴设与在公共点处的切线相 同． ，，由题意，． 即由得：，或（舍 去）． 即有． 令，则．于是 当，即时，； 当，即 时，． 故在为增函数，在为减函数， 于是在的最大值为． ⑵设， 则． 2()3ln g x a x b =+0a >()y f x =()y g x =a b b 0x >()()f x g x ≥()y f x =()(0)y g x x =>0 ()x y ，()2f x x a '=+∵23()a g x x '=0 ()()f x g x =0 ()()f x g x ''=2 2000200123ln 2 32x ax a x b a x a x ?+=+????+=?? ，， 20032a x a x +=0 x a =03x a =-2222215 23ln 3ln 22 b a a a a a a a = +-=-2 25()3ln (0)2 h t t t t t =->()2(13ln )h t t t '=-(13ln )0t t ->13 0t e <<()0h t '>(13ln )0t t -<1 3 t e >()0h t '<()h t 1 3(0)e ，1 3()e ∞,+()h t (0)+， ∞123 33()2 h e e =2 21()()()23ln (0)2 F x f x g x x ax a x b x =-= +-->()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x -+=+-=> 二轮专题 （十一） 导数与不等式证明 【学习目标】 1. 会利用导数证明不等式. 2. 掌握常用的证明方法. 【知识回顾】 一级排查：应知应会 1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对任意∈x [b a ,]都有)()(x g x f ≤，可设)()()(x g x f x h -=，只要利用导数说明)(x h 在[b a ,]上的最小值为0即可． 二级排查：知识积累 利用导数证明不等式，解题技巧总结如下： （1）利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式. （2）多用分析法思考. （3）对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式. （4）常用方法还有隔离函数法，max min )()(x g x f ≥，放缩法（常与数列和基本不等式一起考查），换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精髓还是构造辅助函数，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题. （5）建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式，有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来. 三极排查：易错易混 用导数证明数列时注意定义域. 【课堂探究】 一、作差（商）法 例1、证明下列不等式： ①1+≥x e x ②1ln -≤x x ③x x 1-1ln ≥ ④1x 1)-2(x ln +≥ x )1(≥x ⑤)2 ,0(,2sin ππ∈>x x x 二、利用max min )()(x g x f ≥证明不等式 例2、已知函数.2 2)(),,(,ln )1(1)(e x e x g R b a x a b x ax x f +-=∈+-+-= （1）若函数2)(=x x f 在处取得极小值0，求b a ,的值； （2）在（1）的条件下，求证：对任意的],[,221e e x x ∈，总有)()(21x g x f >.导数之数列型不等式证明
构造函数法证明导数不等式的八种方法Word版
高考数学二轮复习专题02：函数与导数
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 17 题；共 34 分)
1. （2 分） (2016 高一上·厦门期中) 已知函数 f（x）=xln（x﹣1）﹣a，下列说法正确的是（ ）
A . 当 a=0 时，f（x）没有零点
B . 当 a＜0 时，f（x）有零点 x0 ， 且 x0∈（2，+∞）
C . 当 a＞0 时，f（x）有零点 x0 ， 且 x0∈（1，2）
D . 当 a＞0 时，f（x）有零点 x0 ， 且 x0∈（2，+∞）
2. （2 分） (2018 高二下·沈阳期中) 函数 A. B. C. D.
恰有一个零点，则实数 的值为（ ）
3. （2 分） 已知函数 f(x)＝ －cosx，若 A . f（a）＞f（b） B . f(a)
， 则（ ）
4. （ 2 分 ） (2019 高 二 上 · 浙 江 期 中 ) 已 知
的两个相邻的零点，且
，则
，且
，
，
是函数
的值为（ ）
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5. （2 分） 定义在 R 上的奇函数 f（x），当 x≥0 时，f（x）= =f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（ ）
A . 3a﹣1 B . 1﹣3a C . 3﹣a﹣1 D . 1﹣3﹣a
， 则关于 x 的函数 F（x）
6. （2 分） 已知函数 取值范围是（ ）
A. B.
的图像为曲线 C，若曲线 C 存在与直线
垂直的切线，则实数 m 的
C.
D.
7. （2 分） (2016 高一上·沈阳期中) 已知函数 f（x）满足：当 f（x）= （）
A.
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，则 f（2+log23）=导数不等式证明
利用导数证明不等式的两种通法
3 用导数证明函数不等式的四种常用方法
高三二轮复习函数与导数
函数导数不等式(含答案)
2-3-23函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题
导数大题中不等式的证明题
导数与不等式的证明(高考真题)【含答案】
导数证明和不等式综合典型
导数与函数零点、不等式证明、恒成立问题
二轮复习-函数与导数
函数与导数二轮复习建议
导数与不等式证明
(完整版)导数与不等式证明(绝对精华)