13-14-2 概率论与数理统计试卷(A)64学时参考答案

| | | | | | | |

装

| | | | |

订

|

| | | | |

线

| | | | | | | | |

防灾科技学院

2013~2014年 第二学期期末考试概率论与数理统计试卷（A ）

使用班级 本科64学时班级 答题时间120分钟

一 、

填空题（每题3分，共21分）

1、设A 、B 为随机事件，且4/3)(

=A P ，3/2)(=A B P ,5/4)(=B A P ,则

()P A B = 7/8 ；

2、设40名同学中有10名同学没来上课，老师完全随机点6个名字，设点到同学没来上课的人数为X ，则X 的分布律为{}P X k ==

66

103040/,0,1,2,3,4,5,6.k k C C C k -=；

3、某种即开型彩票中奖率为1/3，现有某同学买这种彩票直到中奖为止，记购买彩票的张数为X ，则X 的分布律为{}P X k == 1

(2/3)

(1/3),1,2,k k -=；

4、设随机变量~(,)X b n p ，() 1.2E X =，()0.96D X =，则6,0.2.n p == 5

、设随机变量128,,

,X X X 相互独立，且都服从正态分布(2,4)N ，

则()1281

8

X X X X =

+++服从 (2,1/2)N ；

6、设样本321,,X X X 服从标准正态分布，令()2

/23221

X X X Y +=，则Y 服从 (2)t ；

7、设,X Y 相互独立，且2

~(6)X χ，2

~(5)Y χ，

则~X Y + (11)χ 。

二、单项选择题（本大题共7小题，每题3分，共21分）

1、袋中有5个球（3个黑球，2个白球），每次取1个，无放回地抽取两次，则第二次取到黑球的概率为（ A ）

(A) 53； (B) 43； (C) 21； (D) 10

3；

2、设X 的分布律为{},0,1,2,(0)!

k

A P X k k k λλ===>，则参数=A （ D ）

(A) 0 ； (B) 1； (C) λe ； (D) λ-e ；

3、设随机变量X 的分布函数为,0()10,0

x

x F x x x ?≥?

=+??

(A) 1,0;()10,0.x f x x x ?≥?=+??

+=??

；

(C) 2

1,0,()10,0.x f x x x ?≥?=+??

；

4、设X 的概率密度为2

1

1

()1f x x π=

+，则{1}P X ≥=（ C ）

(A) 0 ； (B) 1； (C) 1/2； (D) 1/4；

5、若~(2,4)X N -，~(1,9)Y N ，相关系数为0.2XY ρ=,则()D X Y -=（ D ）

（A ） 4； （B ）9； （C ）13； （D ）11.8；

6、若总体~(1,4)X N ，

1234,,,X X X X 为来自总体X 的简单随机样本，则2

4

1(1)4i i X U =-=∑服从（ C ） （A ）(4,16)N ； （B ）2(3)χ； （C ）2(4)χ； （D ）(0,1)N ；

7、下列不是评价估计量三个常用标准的是（ D ）

（A ）有效性； （B ）相合性； （C ）无偏性； （D ）单调性。

（本大题共2小题，每题7分，共14分。）

三、

1

设这三家养牛场提供的牛奶在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。

(1)在仓库中随机地取一桶牛奶，求它是次品的概率；(2)在仓库中随机地取一桶牛奶，若已知取到的是次品，试分析此次品出自哪家养牛场的概率最大。

解：设A =“取到的一桶牛奶是次品”，i B =“所取到的产品是由第i 家养牛场提供的”，i=1,2,3. 则

12312015080005002 001 ().,().,().,().,().,P B P B P B P A B P A B ===== 3003()..P A B = ………（2分）

于是(1) 由全概率公式得

11223300125()()()()()()()..P A P A B P B P A B P B P A B P B =++=………（2分）

(2) 由贝叶斯公式得

11100201502400125

()()

..().,().P A B P B P B A P A ′=

==

222064()()

().,()

P A B P B P B A P A =

= 333012()()

()..()

P A B P B P B A P A =

=

故这只次品来自于第二家养牛场的概率最大。……………………（3分）

2、设随机变量X 具有概率密度?????<<=其它

,

040,8)(x x x f X ，

求随机变量28Y X =+的概率密度。

解： ?-∞

-=-≤

=≤+=≤=28)()2

8

()82()()(y X Y dx x f y X P y X P y Y P y F …（3分）

???

??<<-=?????<-<

-='--=.0168,328

0428

0,2

1

)28(

81)28)(28()(其它，，其它，

，

，y y y y y y f y f X Y …（4分）

四、（本大题共2小题，每题7分，共14分。） 1、设),(Y X 的联合分布律为

求（1）max(,)U X Y =，（2）min(,)V X Y =，（3）W X Y =+的分布律。

解：（

1）

……（2分）（2） ……（2分） （3）

……………（3分）

2、设随机变量(,)X Y 在由曲线2y x =，2/2y x =和1x =所围成的区域G 上服从均匀

分布，（1）求(,)X Y 的联合概率密度；（2）求边缘概率密度()X f x ，()Y f y 。

解：（1）设,(,)(,)0,c x y G f x y ∈?=??其他.

，:G 2201,/2x x y x <<<<，

2

21

120/20

1/2/6x x c dx dy c x dx c ===???，所以6c =，6,(,)(,)0,x y G

f x y ∈?=?

?其他.

…（3分） （2）2

22/263,01,

()(,)0,x x X dy x x f x f x y dy +∞

-∞

?=<

=?????其他.

………（2分） 21

101/2,()(,)6(1/21,

0,y y Y y

dx y f y f x y dx dx y +∞

-∞

?

=<

==-<

???

??

?其他.………（2分）

五、

（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

1、设随机变量~(0,1)X N ，求2Y X =的分布密度函数)(y f Y 。 解：因为20Y X =≥，故当0y <时，(){}0Y F y P Y y =≤=， 当0y >

时，2(){}{}{Y F y P Y y P X y P X =≤=≤=≤

((X X X X F F =-=Φ-Φ

2(,0,0,()0,00,0y

Y y y f y y y ??-???+>>??==≤≤??

2、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为???+∞<≤+∞≤≤=--.

,0.

0,0,),(2其他y x Ce y x f y x

试求（1）常数C ；（2）求 {}P X Y >

解：（1）20

12

x y C

C e dx e dy +∞+∞

--==??

，所以2C =，

（2）

2200

{}(,)22(1)1/3x y

x

x

y

x x P X Y f x y dxdy

e

dx e dy e e dx >+∞

+∞

---->===-=?????

六、（本小题9分）：

某银行服务大厅中工作人员服务每位顾客的服务时间为随机变量X ，每位顾客之间的服务时间i X 相互独立同分布，且期望值2)(=i X E ，方差() 1.69i D X =. 试估计100名顾客的总服务时间在180到220之间的概率。注：9382.0)54.1(=Φ.

解：

七、（本小题9分）：设总体X 概率密度函数为

23,0,

(;)0,.x e x f x x

θ

θθ-?>?=???

其他，其中(0)θθ>为未知参数, 设12,,,n X X X 为来自总体X 的一个容量为n 的样本，其中0θ>为未知参数，试求θ的

矩估计量与极大似然估计量。 解：（1）由2

13

()x E X x e dx x

θ

θμθ-

∞==

?

=?

，所以1θμ=，以样本矩X 代替总体矩1μ，

得?X μ

=；

（2）设样本的一组观测值为12,,

,n x x x ，似然函数为

1

1

222

31

1()n

i

i

i n

n

x x n

i i

i i L e

e

x

x θ

θ

θ

θ

θ=--

==∑==

??

???

∏

∏

取自然对数为

1

1

1ln ()2ln 3ln n

n

i i i i

L n x x θθθ===--∑∑

关于θ求导，并令为0，可得

12?1

n

i i

n x θ==∑， 得θ的最大似然估计量为

12?1n

i i

n

X θ

==∑。