材料力学第七章

第七章 应力和应变分析、强度理论
§7. 1 应力状态的概念 §7. 2 平面应力状态分析——解析法 §7. 3 平面应力状态分析——图解法 §7. 4 梁的主应力及其主应力迹线 §7. 5 三向应力状态 §7. 6 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律） §7. 7 复杂应力状态下的应变能密度

第七章 应力和应变分析、强度理论
§7. 8 §7. 9 强度理论的概念 四个常用强度理论
§7. 10 莫尔强度理论和双切应力强度理论 §7. 11 强度理论的应用

§7. １ 应力状态的概念 一、引言 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ F 铸铁拉伸 M 低碳钢 铸铁压缩 F
铸铁
F F
2、组合变形杆将怎样破坏？ M

二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称 为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。 三、单元体： 单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质——a、平行面上，应力均布；
σy
y
b、平行面上，应力相等。
σz
z
τxy
σx
x
四、普遍状态下的应力表示

五、切应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点的两个正交面上，如果有与相交边垂直的切应力分 量，则两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或 相离。
证明 : 单元体平衡
σy
y
∑M
yx
z
=0
(τ xy d y d z ) d x ? (τ
d zd x )d y=0
σz
z
τxy
σx
x
∴τ xy =τ
yx

六、原始单元体（已知单元体）： 例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。 F A y B C z F M x F
σx
A
σx τ yx
σx
τzx
B
τxz
σx
C
τ xy

七、主单元体、主平面、主应力： y y
σy y σ σx σz z σ
主单元体(Principal bidy)： 各侧面上切应力均为零的单元体。
σx
主平面(Principal Plane)： 切应力为零的截面。
zz
xx
σ σ 22 σ1
主应力(Principal Stress ）： 主平面上的正应力。 主应力排列规定：按代数值大小，
σ1
σ3
σ3
σ 1 ≥σ 2 ≥σ 3

三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。 二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。 单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
σx
τzx
B
τxz
σx
σx
A
σx

§7. 2 平面应力状态分析——解析法
y
σy
等价
σy σx
y x O x
τxy
z
σx
τxy
应力的符号规定：正应力以拉为正，压为负； 切应力对单元体内任意点的矩为顺时针时 为正，反之为负。

σy σx
y O x
一、任意斜截面上的应力 规定： σα 截面外法线同向为正；
τxy
图1
τ α 绕研究对象顺时针转为正； α ：由x轴转向截面外法线方向，
逆时针为正。 设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：
σα σx
y O
σy
x
τxy
图2
α τα
∑ F =0
n
n
σ α dA ? σ x dA cos 2 α + τ xy dA cos α sin α
? σ y dA sin 2 α + τ yx dA sin α cos α = 0 τ

σy σx
y O x
考虑切应力互等和三角变换，得：
τxy
图1
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x ?σ y
2
cos 2α ? τ xy sin 2α
同理：
σα σx
y O
τα =
n
σ x ?σ y
2
sin 2α + τ xy cos 2α
σy
x
τxy
图2
α τα
τ

二、极值应力
令: dσ α = ? σ x ? σ y sin 2α 0 ? 2τ xy cos 2α 0 = 0 d α α =α 0
(
)
由此的两个驻点：
tg 2α 0 = ?
2τ xy
α 01、（ α 01 +
π
2
σ x ?σ y
）和两个极值：
σy σx
y O x
σx + σ y σx ? σ y 2 ?σm′ 2 ax = + τxy ±（ ? ） 2 2 ?σm′ in
τ α =0 ∴极值正应力就是主应力 ！
0
τxy

′ ′ ′ ′ σ 1 =σ max ; σ 2 =σ min
σ1′在切应力相对的象限内，
且偏向于σx 及σy 大的一侧。 y O x
σy
主 单元体
′ σ2
σx
τxy σ 1′
dτα 令: dα
=0
α =α1
σ x ?σ y tg 2α1 = 2τ xy
′ σx ?σy 2 2 ?τmax =± （ ? ）+τx y ′ 2 ?τmin
α 0 = α1 + π
4 , 即极值切应力面与主面 成 45 0

例2 分析受扭构件的破坏规律。
τ yx
C M C
解： 确定危险点并画其原 始单元体
τ xy
σ x =σ y =0
τ xy
T =τ = Wt
τxy τyx
y O x
求极值应力
′ σ x ?σ y 2 2 ?σ1 σ x +σ y ±（ ）+τ xy ? = ′ 2 2 ?σ 2
2 = ± τ xy = ±τ

σ 1 = τ ; σ 2 = 0; σ 3 = ?τ
tg 2α 0 = ?
2τ xy
σ x ?σ y σ x ?σ y
2τ xy
= ∞ ∴ α 0 = 45 o
′ σ x ?σ y 2 2 ?τ max ）+τ xy =±τ ? =± （ ′ 2 ?τ min
破坏分析
tg 2α 1 =
= 0 ∴ α1 = 0
低碳钢 : σ
s
= 240 MPa ; τ s = 200 MPa
低碳钢
灰口铸铁 : σ tb = 98 ~ 280 MPa
σ cb = 640 ~ 960 MPa ; τ b = 198 ~ 300 MPa
铸铁

§7. 3 平面应力状态分析——图解法
σy σx
y O x
一、应力圆（ Stress Circle）
τxy
σα
σ x +σ y σ x ?σ y ? cos2α ?τ xy sin2α + ?σ α = ? 2 2 ? ?τ =σ x ?σ y sin2α +τ cos2α xy ?α 2 ?
对上述方程消去参数（2α），得：
σx
y O
σy
x
τxy
α τα
σ x +σ y ? ? ? σ x ?σ y ? 2 2 ?σ α ? ? + τα = ? ? + τ xy ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? n
此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，
2
2
τ
由德国工程师：Otto Mohr引入）

σy σα τα
y x τα n D( σα , τα) 2α C O B(σy ,τyx) O
n
二、应力圆的画法 建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺） 在坐标系内画出点A(σ x，τxy) 和B(σy，τyx)
α
σx
τxy
x A(σx ,τxy)
AB与σα 轴的交点C便是圆心。 以C为圆心，以AC为半径画 圆——应力圆；
σα

σy σα τα
y
n
三、单元体与应力圆的对应关系
α
σx
α面上的应力(σ α，τ α)
应力圆上一点(σ α，τ α)
τxy
α面的法线
x τα n D( σα , τα) 2α C O B(σy ,τyx) O x A(σx ,τxy)
应力圆的半径
两面夹角α 且转向一致。
两半径夹角2α ；
σα

四、在应力圆上标出极值应力
τα
τ max
2α1 O C B(σy ,τyx) 2α0
x A(σx ,τxy)
?σ 1 ? =OC ± R半径 = ?σ 3
σ x +σ y
2
±（
σ x ?σ y
2
2 2 ）+τ xy
σ3 σ2
σ1
σα
τ min
?τ max σ max ?σ min ? =± R半径 =± 2 ?τ min ±（
σ x ?σ y
2
2 2 ）+τ xy