2015届高考数学总复习 第十章 第十节二项分布、超几何分布、正态分布课时精练 理

2015届高考数学总复习 第十章 第十节二项分布、超几何分布、正态分布课时精练 理
2015届高考数学总复习 第十章 第十节二项分布、超几何分布、正态分布课时精练 理

第十节 二项分布、超几何分布、正态分布

1.(2013·大庆模拟)设ξ是服从二项分布B (n ,p )的随机变量,又E (ξ)=15,D (ξ)=45

4

,则n 与p 的值为 ( ) A .60,34 B .60,1

4数

C .50,34

D .50,1

4

解析:由ξ~B (n ,p ),有E (ξ)=np =15,D (ξ)=np (1-p )=454,所以p =1

4

,n =60.

答案:B

2.(2013·许昌模拟)设随机变量X ~N (1,52

),且P (X ≤0)=P (X ≥a -2),则实数a 的值为( )

A .4

B .6

C .8

D .10

解析:由正态分布的性质可知P (X ≤0)=P (X ≥2),所以a -2=2,所以a =4,选A. 答案:A

3.从一批含有13只正品,2只次品的产品中,不放回地任取3件,则取得次品数为1的概率是( )

A.3235

B.1235

C.335

D.235

解析:设随机变量X 表示取出次品的个数,则X 服从超几何分布,其中N =15,M =2,

n =3,它的可能的取值为0,1,2,相应的概率为P (X =1)=C 12C 2

13C 315=12

35

.故选B.

答案:B

4. 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位长度,移动的

方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是1

2

.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概

率为( )

A .? ????125

B .

C 25? ????125 C .C 35? ????123

D .C 25C 35? ??

?

?12 5

解析:质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次,因此质点P 移动5次后位于点

(2,3)的概率为P =C 25? ????122

×? ??

??1-123.故选B.

答案:B

5.一只袋内装有m 个白球,n -m 个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为

止,设此时取出了ξ个白球,下列概率等于(n -m )A 2

m

A n

的是( ) A .P (ξ=3) B .P (ξ≥2) C .P (ξ≤3) D .P (ξ=2)

解析:P (ξ=2)=A 2m C 1

n -m A 3n =(n -m )A 2

m

A 3

n

. 故选D. 答案:D

6.正态总体的概率密度函数为f ()x =18πe -x 2

8()x ∈R ,则总体的平均数和标准差分

别是( )

A .0和8

B .0和4

C .0和2

D .0和 2

答案:C 7.将1枚硬币连续抛掷5次,如果出现k 次正面的概率与出现k +1次正面的概率相同,则k 的值是________.

解析:由C k 5? ????12k ? ????125-k = C k +1

5×? ????12k +1? ??

??124-k ,得k =2.

答案:2

8.在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同,若事件A 至少发生一次的概率为65

81

则事件A 在1次试验中出现的概率为________.

解析:A 至少发生一次的概率为65

81

,则A 的对立事件A :事件A 都不发生的概率为1-

6581=1681=? ????234,所以,A 在一次试验中出现的概率为1-23=13

. 答案:1

3

9.(2013·揭阳二模)某个部件由两个电子元件按右图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,则部件正常工作,设两个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N (1

000,502

),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________.

解析:两个电子元件的使用寿命均服从正态分布N (1000,502

),

得:两个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为p =1

2,

则该部件使用寿命超过1 000小时的概率为:p 1=1-(1-p )2

=34

.

答案:3

4

10.某射手射击1次,击中目标的概率是0.9,他连续射击4次,且他各次射击是否击

中目标相互之间没有影响.有下列结论:

①他第3次击中目标的概率是0.9;

②他恰好击中目标3次的概率是0.93

× 0.1;

③他至少击中目标1次的概率是1-0.14

.

其中正确结论的序号是____________(写出所有正确结论的序号).

解析:“射手射击1次,击中目标的概率是0.9”是指射手每次射击击中目标的概率都是0.9,由于他各次射击是否击中目标相互之间没有影响,因此他在连续射击4次时,第1次、第2次、第3次、第4次击中目标的概率都是0.9,①正确;“他恰好击中目标3次”

是在4次独立重复试验中有3次发生,其概率是C 34×0.93

×0.1,②不正确;“他至少击中

目标1次”的反面是“1次也没有击中”,而“1次也没有击中”的概率是0.14

,故至少击

中目标1次的概率是1-0.14

,③正确.故选①③.

答案:①③

11.(2013·汕头一模改编)广东省汕头市日前提出,要提升市民素质和城市文明程度,促进经济发展有大的提速,努力实现“幸福汕头”的共建共享.现随机抽取50位市民,对

(2)以这50人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数,若从全市市民(人数很多)任选3人,记ξ表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数.求ξ的分布列;

解析:(1)记E (x )表示这50位市民幸福指数的数学期望,

所以E (x )=1

50

(90×19+60×21+30×7+0×3)=63.6

(2)ξ的可能取值为0、1、2、3

P (ξ=0)=C 03? ????450? ????153=

1125,

P (ξ=1)=C 13? ????451? ???

?152=12125,

P (ξ=2)=C 23? ????452? ????151=

48125,

P (ξ=3)=C 33? ????453? ????150=

64125

ξ分布列为

12.(2013·新课标全国卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n 。如果n =3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n =4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。

假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为1

2

,且各件产品是

否为优质品相互独立

(1)求这批产品通过检验的概率;

(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质

超几何分布与二项分布的联系与区别

在苏教版《数学选修2-3》的课本中,第二章《概率》的2.2节和2.4节分别介绍了两种离散型随机变量的概率分布,超几何分布(hyper-geometric distribution)与二项分布(binomial distribution)。通过实例,让学生认识模型所刻画的随机变量的共同特点,从而建立新的模型,并能运用两模型解决一些实际问题。然而在教学过程中,却发现学生不能准确地辨别所要解决的问题是属于超几何分布还是二项分布,学生对这两模型的定义不能很好的理解,一遇到含“取”或“摸”的题型,就认为是超几何分布,不加分析,随便滥用公式。事实上,超几何分布和二项分布确实有着密切的联系,但也有明显的区别。 课本对于超几何分布的定义是这样的:一般的,若一个随机变量X的分布列为 ,其中,则称X服从超几何分 布,记为。其概率分布表为: 对于二项分布的定义是这样的:若随机变量X的分布列为 ,其中则称X服从参数为n,p的二项分布,记为。其概率分布表为: 超几何分布与二项分布都是取非负整数值的离散分布,表面上看,两种分布的概率求取有截然不同的表达式,但看它们的概率分布表,会发现构造上的相似点,如:随机变量 X的取值都从0连续变化到l,对应概率和N,n,l三个值密切相关……可见两种分布之间有着密切的联系。课本中对超几何分布的模型建立是这样的:若有N件产品,其中M件是废品,无返回地任意抽取n件,则其中恰有的废品件数X是服从超几何分布的。而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型。若将但超几何分布的概率模型改成:若有N件产品,其中M件是废品,有返回的任意抽取n件,则其中恰有的废品件数X是服从二项分布的。在这里,两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别,只要将概率模型中的“无”改为“有”,或将“有”改为“无”,就可以实现两种分布之间的转化。“返回”和“不返回”就是两种分布转换的关键。 如在2.2节有这样一个例题:高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏:在一个口袋中装有10个红球、20个白球,这些球除颜色外完全相同,一次从中摸出5个球,摸到4个红球

数学高考复习点拨:二项分布与超几何分布辨析

二项分布与超几何分布辨析 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型,实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决.在实际应用中,理解并区分两个概率模型是至关重要的.下面举例进行对比辨析. 例 袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.求: (1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列. 解:(1)有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又由于每次取到 黑球的概率均为,3次取球可以看成3次独立重复试验,则1~35X B ?? ???,. 3 03 1464(0)55125P X C ????==?= ? ?????∴;1 2 131448(1)55125 P X C ????==?= ? ? ????; 2123 1412(2)55125P X C ????==?= ? ?????;30 33141(3)55125 P X C ????==?= ? ? ????. 因此,X 的分布列为 2.不放回抽样时,取到的黑球数Y可能的取值为0,1,2,且有: 03283107 (0)15 C C P Y C ===;12283107(1)15C C P Y C ===;21283101(2)15C C P Y C ===. 因此,Y 的分布列为 辨析:通过此例可以看出:有放回抽样时,每次抽取时的总体没有改变,因而每次抽到某物的概率都是相同的,可以看成是独立重复试验,此种抽样是二项分布模型.而不放回抽样时,取出一个则总体中就少一个,因此每次取到某物的概率是不同的,此种抽样为超几何分布模型.因此,二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样. 超几何分布和二项分布都是离散型分布,超几何分布和二项分布的区别: 超几何分布需要知道总体的容量,而二项分布不需要; 超几何分布是不放回抽取,而二项分布是放回抽取(独立重复) 当总体的容量非常大时,超几何分布近似于二项分布........

超几何分布与项分布

10 超几何分布与二项分布 ?选择题(共9小题) 则p (!< i 今)的值为( 则 P ( 1^X €013)等于( A .—〔丄)2012 6. (2010?江西)一位国王的铸币大臣在每箱 100枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方 法来检测.方法一:在 10箱中各任意抽查一枚;方法二:在 5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至 少一枚劣币的概率分别记为 P 1和P 2.则( ) A . P 1=P 2 B . P 1V P 2 C . P 1> P 2 D .以上三种情况都有可能 1. (2004?辽宁)已知随机变量 E 的概率分布如下,则 P ( e =io )=( E 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P 2 2 |2 2 2 2 2 _2_ 1 ¥ 33 34 35 3 3s 2 B . 2 C . 1 310 39 m D.- 310 2. (2011?黄冈模拟)随机变量 2、3、4、 …),其中a 是常数, r=2 +1,贝y n 的期望值是( -1 L P 1 2 1 6 1 3 29 3& 4.设随机变量X 的概率分布为 (k=1 , 2, 3, 4, 5),则P 绪g) A .亠 Io 5.电子手表厂生产某批电子手表正品率为 上,次品率为「现对该批电子手表进行测试,设第 X 次首次测到正品, E 的概率分布规律为 (n=1、 A . 1 B . 3. (2008?石景山区一模)已知随机变量 E 的分布列为且设

A ■ J B ? _ C ? _ D ?; [16 24^ 243 245 8 (2012?衡阳模拟)已知随机变量严N (0, a2),且p (4 1)=p (M a-3)的值为() A . 2 B . - 2 C. 0 D . 1 9. 设随机变量匕N (0, 1),若P (E翱=p,则P (- 1 v M 0)=() A . 1- P B. P C. D ?丄—p 二?填空题(共5小题) 10. ________________________________________________________________________________________________ (2010?上海模拟)在10件产品中有2件次品,任意抽取3件,则抽到次品个数的数学期望的值是 _____________________________________ . 11?有一批产品,其中有6件正品和4件次品,从中任取3件,至少有2件次品的概率为___________________________________ . 12. ____________________________________________________________________________________ (2010?枣庄模拟)设随机变量X?B (n,0.5),且DX=2,则事件X=1 ”的概率为_______________________________________________ (作数字作答.) 13. 若随机变量X服从二项分布,且X?B (10,0.8 ),贝U EX、DX分别是___________________________,____________ . 14. (2011?浙江)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公 司面试的概率为丄,得到乙、丙公司面试的概率均为P,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生3 得到面试的公司个数.若P (X=0 )=—,则随机变量X的数学期望E (X)= . 12 -------------------------------------------------------- 三.解答题(共3小题) 15. (2009?朝阳区二模)在袋子中装有10个大小相同的小球,其中黑球有3个,白球有n ( 2《韦,且n希)个, 其余的球为红球. (I )若n=5,从袋中任取1个球,记下颜色后放回,连续取三次,求三次取出的球中恰有2个红球的概率; (H )从袋里任意取出2个球,如果这两个球的颜色相同的概率是,求红球的个数; |15| (川)在(n)的条件下,从袋里任意取出2个球.若取出1个白球记1分,取出1个黑球记2分,取出1个红球 记3分.用E表示取出的2个球所得分数的和,写出E的分布列,并求E的数学期望E E

【数学】高考复习点拨:二项分布与超几何分布辨析

二项分布与超几何分布辨析 山东 韩文文 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型,实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决.在实际应用中,理解并区分两个概率模型是至关重要的.下面举例进行对比辨析. 例 袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.求: (1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列. 解:(1)有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又由于每次取到 黑球的概率均为,3次取球可以看成3次独立重复试验,则1~35X B ?? ??? ,. 03 31464(0)55125P X C ????==?= ? ?????∴; 12 1 31448(1)55125P X C ????==?= ? ?????; 21 2 31412(2)55125P X C ????==?= ? ?????; 30 33141(3)55125P X C ????==?= ? ?????. 因此,X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 2.不放回抽样时,取到的黑球数Y可能的取值为0,1,2,且有: 03283107(0)15 C C P Y C ===;12283107(1)15C C P Y C ===;21283101(2)15C C P Y C ===. 因此,Y 的分布列为 Y 0 1 2 P 715 715 115 辨析:通过此例可以看出:有放回抽样时,每次抽取时的总体没有改变,因而每次抽到某物的概率都是相同的,可以看成是独立重复试验,此种抽样是二项分布模型.而不放回抽样时,取出一个则总体中就少一个,因此每次取到某物的概率是不同的,此种抽样为超几何分布模型.因此,二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.所以,在解有关二项分布和超几何分布问题时,仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的.

超几何分布与二项分布

超几何分布与二项分布 一.选择题(共9小题) 1.(2004?辽宁)已知随机变量ξ的概率分布如下,则P(ξ=10)=() ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P m A.B.C.D. 2.(2011?黄冈模拟)随机变量ξ的概率分布规律为(n=1、2、3、4、…),其中a是常数,则的值为() A.B.C.D. 3.(2008?石景山区一模)已知随机变量ξ的分布列为且设η=2ξ+1,则η的期望值是() A.1B.C.D. 4.设随机变量X的概率分布为P(X=k)=(k=1,2,3,4,5),则=()A.B.C.D. 5.电子手表厂生产某批电子手表正品率为,次品率为,现对该批电子手表进行测试,设第X次首次测到正品, 则P(1≤X≤2013)等于() A.B.C.D. 6.(2010?江西)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:在10箱中各任意抽查一枚;方法二:在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P1和P2.则() A.P1=P2B.P1<P2 C.P1>P2D.以上三种情况都有可能 7.(2011?潍坊二模)设X为随机变量,X~B,若随机变量X的数学期望EX=2,则P(X=2)等于()

A.B.C.D. 8.(2012?衡阳模拟)已知随机变量ξ~N(0,a2),且p(ξ>1)=p(ξ<a﹣3)的值为()A.2B.﹣2 C.0D.1 9.设随机变量ξ~N(0,1),若P(ξ≥1)=p,则P(﹣1<ξ<0)=() A.1﹣p B.p C. +p D. ﹣P 二.填空题(共5小题) 10.(2010?上海模拟)在10件产品中有2件次品,任意抽取3件,则抽到次品个数的数学期望的值是_________.11.有一批产品,其中有6件正品和4件次品,从中任取3件,至少有2件次品的概率为_________.12.(2010?枣庄模拟)设随机变量X~B(n,0.5),且DX=2,则事件“X=1”的概率为_________(作数字作答.)13.若随机变量X服从二项分布,且X~B(10,0.8),则EX、DX分别是_________,_________.14.(2011?浙江)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙公司面试的概率均为P,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=,则随机变量X的数学期望E(X)=_________. 三.解答题(共3小题) 15.(2009?朝阳区二模)在袋子中装有10个大小相同的小球,其中黑球有3个,白球有n(2≤n≤5,且n≠3)个,其余的球为红球. (Ⅰ)若n=5,从袋中任取1个球,记下颜色后放回,连续取三次,求三次取出的球中恰有2个红球的概率;(Ⅱ)从袋里任意取出2个球,如果这两个球的颜色相同的概率是,求红球的个数; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从袋里任意取出2个球.若取出1个白球记1分,取出1个黑球记2分,取出1个红球记3分.用ξ表示取出的2个球所得分数的和,写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望Eξ.

高考复习点拨:二项分布与超几何分布辨析

二项分布与超几何分布辨析 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型,实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决.在实际应用中,理解并区分两个概率模型是至关重要的.下面举例进行对比辨析. 例 袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.求: (1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列. 解:(1)有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又由于每次取到 黑球的概率均为,3次取球可以看成3次独立重复试验,则1~35X B ?? ??? ,. 03 31464(0)55125P X C ????==?= ? ?????∴; 12 131448(1)55125 P X C ????==?= ? ?????; 212 31412(2)55125P X C ????==?= ? ?????; 30 3 3141(3)55125P X C ????==?= ? ?????. 因此,X 的分布列为 2.不放回抽样时,取到的黑球数Y可能的取值为0,1,2,且有: 03283107(0)15C C P Y C ===;12283107(1)15C C P Y C ===;21283101(2)15 C C P Y C ===. 因此,Y 的分布列为 到某物的概率都是相同的,可以看成是独立重复试验,此种抽样是二项分布模型.而不放回抽样时,取出一个则总体中就少一个,因此每次取到某物的概率是不同的,此种抽样为超几何分布模型.因此,二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.所以,在解有关二项分布和超几何分布问题时,仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的.

超几何分布和二项分布的联系和区别精编版

超几何分布和二项分布的联系和区别 开滦一中 张智民 在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢? 好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释. 诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处! 一、两者的定义是不同的 教材中的定义: (一)超几何分布的定义 在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k) =n N k -n M -N k M C C C , ,2,1,0k =, m,其中m=min{M,n},且n ≤N,M ≤N,n,M,N ∈N,称随机变量X 服从超几何分布 (二)独立重复试验和二项分布的定义 1)独立重复试验:在相同条件下重复做的n 次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n 次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则 P(A1A2A3…An)=P(A 1)P(A2)P(A3)…P(An) 2)二项分布 在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率 为P,则P(X=k)=k n k p p --)1(C k n (k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p),并称P 为成功概率。 1.本质区别 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题; (2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题 2.计算公式 超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)

二项分布和超几何分布(含答案)

超几何分布和二项分布 一、两者的定义是不同的 1超几何分布的定义 2独立重复试验与二项分布的定义 (1)独立重复试验. (2)二项分布. 本质区别 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,而二项分布描述的是放回抽样问题. (2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题. 二、两者之间是有联系的 人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3题:

例1某批n件产品的次品率为2%,现从中任意地依次抽出3件进行检验,问: (1)当n=500,5000,500000时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到1件产品的概率各是多少?(2)根据(1)你对超几何分布与二项分布的关系有何认识?

【说明】由于数字比较大,可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外,本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系: 第一,n次试验中,某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时,X服从二项分布;当这n次试验是不放回摸球问题,事件A为摸到某种特性(如某种颜色)的球时,X服从超几何分布 第二,在不放回n次摸球试验中,摸到某种颜色的次数X服从超几何分布,但是当袋子中的球的数目N 很大时,X的分布列近似于二项分布,并且随着N的增加,这种近似的精度也增加. 从以上分析可以看出两者之间的联系: 当调查研究的样本容量非常大时,在有放回地抽取与无放回地抽取条件下,计算得到的概率非常接近,可以近似把超几何分布认为是二项分布. 例2袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取一个球,求(1)又放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列;(2)无放回地抽样时,取到黑球的个数Y的分布列.

超几何分布与二项分布的区别与联系

二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型,实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。在实际应用中,如何理解它们的关联性同时又能区分两个概率模型呢?本文笔者就此问题予以阐述。 一、超几何分布与二项分布的定义 1.一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{X=k}发生的概率为 P (X=k)= C M k C n-m n-k C N ,k=0,1,2,…,m 其中m=min {M,n},且n ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ∈N*。其分布列为超几何分布列。如果随机变量X 的分布列为超几何分布列,则称随机变量X 服从超几何分布。 2.一般地,在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次 独立重复试验。在n 次独立重复试验中,设事件A 发生的次数X ,在每次试验事件A 发生的概率为p,那么在n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为 P (X=k)=C n k P k (1-p ) n-k ,k=0,1,2,…,n 。此时 称随机变量X 服从二项分布,记作X ~B (n ,p),并称p 为成功概率。 二、超几何分布与二项分布的区别 从它们的定义不难看出超几何分布研究的是试验后的结果(不研究试验中先后取的顺序),并且是无放回的抽取;二项分布研究的是既有研究先后发生的顺序又有试验结果,并且是有放回的抽取。超几何分布是无放回的抽取,即每做一次试验,下一次再发生同一事件A 的概率已经发生了变化,即每次发生的概率都不相等。实质上,超几何分布是古典概型的一种特例。二项分布是有放回的抽取,每做一次试验,发生同一事件A 的概率都相同。这就是二者之间的区别。本文笔者举例说明: 例1:在装有4个黑球6个白球的袋子中,任取2个,试求:(1)不放回地抽取,取到黑球数X 的分布列;(2)有放回地抽取,取到黑球数的分布列。 解:(1)是不放回地抽取,X 服从超几何分布。从10个球中任取2球的结果数为C 102 ,从10个球中任取2 个,其中恰有k 个黑球的结果数为C 4k C 62-k ,那么从10个球中任取2个,其中恰有k 个黑球的概率为 P (X=k )= C 4k C 62-k C 10 2 ,k=0,1,2。 所以随机变量X 的分布列是 (2)是有放回地抽取,每次抽到黑球的概率相同,X ~B (2,0.4)。那么从10个球中任取2个,其中恰有k 个黑球的概率为 P (X=k )=C 2K ·0.4K ·0.62-K ,k=0,1,2。所以随机变量X 的分布列是 三、超几何分布与二项分布的联系 例2某批n 件产品的次品率为2%,现从中任意地抽出3件进行检验。问:当n=500,5000,50000时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到1件次品的概率各是多少? 解:(1)当有放回地抽取时,次品数X ~B (3,0.02) P (X=1)=C 3 1 ·0.02·(1-0.02)2≈0.057624(2)无放回地抽取时,X 服从超几何分布 n=500时,P (X=1)= C 101C 4902 C 500 3 ≈0.057853n=5000时,P (X=1)= C 1001 C 49002C 5000 3≈0.057647n=50000时,P (X=1)= C 10001 C 49000 2 C 50000 3 ≈0.057626 说明:当产品总数很大而抽出的产品较少时,每次抽出产品后,次品率近似不变,这样就可以近似看成每次抽样的结果是相互独立的,抽出产品中的次品件数近似服从二项分布。 总之,在教学过程中,教师要让学生深刻体会超几何分布与二项分布的区别与联系,引导学生发掘题中所给的隐含条件,抓住实质,从而能够正确解题,并能利用所学知识解决一些实际问题。 超几何分布与二项分布的区别与联系 X 012P 0.36 0.48 0.16

《超几何分布与二项分布型概率题》参考答案

【湖南省历年高考试题】 (2010年湖南17)下图是某城市通过样本得到的居民某年的月均用水量(单位:吨)的频率分布直方图. (1)求直方图中x 的值; (2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取3 位居民(看作有放回的抽样),求月均用水量在3 至4吨的居民数X 的分布列和数学期望. 解析:(1)依题意及频率分布直方图知, 0.020.10.370.391,x ++++=解得0.12.x = (2)由题意知, ~(3,0.1)X B ,因此 033(0)C 0.90.729, P X ==?=1 23(1)C 0.10.90.243,P X ==??= 223(2)C 0.10.90.027,P X ==??=333 (3)C 0.10.001.P X ==?= 【备考要点】 超几何分布和二项分布是随机变量的分布列与数学期望中的两大模型.两大模型的共同特点是从总体中抽取若干元素,但超几何分布是不放回抽取,而二项分布是有放回抽取或者总体容量很大可视为有放回抽样.掌握两大模型,是概率与统计解答题最基本的要求.二项分布在近七年的湖南理科数学试题中出现过两次.湖南省的概率与统计解答题往往是与生活生产上的实际问题相结合,从这个角度上看,超几何分布模型似乎先天不足,近七年没有命题. 【高考仿真试题】 1.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布图,如图所示. 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续3天里,有连续2天日销售量都不 低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率; (2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个 的天数,求随机变量X 的分布列,期望EX 及方差 .DX 解析:(1)设1A 表示事件“日销售量不低于100个”, 2A 表示事件“日销售量低于50个”. B 表示事件 “在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100 个且另一天销售量低于50个”. 因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++?=, 2()0.003500.15,P A =?=故()0.60.60.1520.108.P B =???= (2)因为~(3,0.6),X B 故033(0)C 0.40.064,P X ==?= 123(1)C 0.60.40.288,P X ==??=223 (2)C 0.60.40.432,P X ==??= 3 33(3)C 0.60.216.P X ==?=

《二项分布与超几何分布》复习课程

二项分布与超几何分布 ★ 知 识 梳理 ★ 1.条件概率:称)()()|(A P AB P A B P = 为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率。 特别提醒: ①0≤P (B|A )≤1; ②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 2. 相互独立事件:如果事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。 特别提醒: ①如果事件A 、B 是相互独立事件,那么,A 与_B 、_A 与B 、_A 与_ B 都是相互独立事件 ②两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积。我们把两个事件A 、B 同时发生记作A ·B ,则有P (A ·B )= P (A )·P (B ) 推广:如果事件A 1,A 2,…A n 相互独立,那么这n 个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积。即:P (A 1·A 2·…·A n )= P (A 1)·P (A 2)·…·P(A n ) 3.独立重复试验: 在同样的条件下,重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中发生的概率都是一样的. 4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P ,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率计算公式: P n (k )=C k n P k (1-P ) n -k ,其中,k =0,1,2,…,n 5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是P ,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 k n k k n n q p C k P -==)(ξ,(k =0,1,2,…,n ,p q -=1). 于是得到随机变量ξ 0 1 … k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - … 0q p C n n n 由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式 011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--ΛΛ 中的各项的值,所以称这样的随机变量ξ服从二项分布, 记作ξ~B (n ,p ),其中n ,p 为参数,并记k n k k n q p C -=b (k ;n ,p ). 6. 两点分布: X 0 1 P 1-p p 特别提醒: 若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率. 7. 超几何分布: 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则

二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳与练习

二项分布?还是超几何分布 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型,实际中的许多问题都可以利用 这两个概率模型来解决.在实际应用中,理解并区分两个概率模型是至关重要的.下面举例进行对比辨析.例 1 袋中有 8 个白球、 2 个黑球,从中随机地连续抽取 3 次,每次取 1 个球.求:( 1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列; ( 2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列. 解:( 1)有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1, 2, 3.又由于每次取到黑球的概率 均为1 , 3 次取球可以看成 3 次独立重复试验,则 1 ,.5X~B 35 0312 ∴ P(X 0) C301 464 ;P(X 1)C31 1 448 ; 5512555125 21 P(X 3) C33 130 P(X 2) C321 412 ;4 1 .5512555125 因此, X 的分布列为 X0123 P 6448121 125125125125 (2)不放回抽样时,取到的黑球数Y可能的取值为0, 1,2,且有: P(Y 0)C20C837 ;P(Y1)C21C82 7 ;P(Y2)C22C81 1 . C10315C10315C10315 因此, Y 的分布列为 Y012 771 P 1515 15 例 2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(490,495] , (495,500] ,,, ,(510,515] ,由此得到样本的频率分布直方图,如图4 ( 1)根据频率分布直方图,求重量超过505 克的产品数量 , ( 2)在上述抽取的40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重量超过505 克 的产品数量,求Y 的分布列; ( 3)从该流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品的重量超过505 克的概率。

二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习

二项分布与超几何分布辨析 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型,实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决.在实际应用中,理解并区分两个概率模型是至关重要的.下面举例进行对比辨析. 例 袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.求: (1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列. 解:(1)有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均 为,3次取球可以看成3次独立重复试验,则1~35X B ?? ???,. 3 03 1464(0)55125P X C ???? ==?= ? ????? ∴; 12 13 1448(1)55125 P X C ???? ==?= ? ?????; 21 231412(2)55125P X C ???? ==?= ? ?????; 3 33 141(3)55125 P X C ???? ==?= ? ?????. 因此,X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 2.不放回抽样时,取到的黑球数Y可能的取值为0,1,2,且有: 03283107(0)15C C P Y C ===;12283107(1)15C C P Y C ===;21283101 (2)15 C C P Y C ===. 因此,Y 的分布列为 Y 0 1 2 P 715 715 115 辨析:通过此例可以看出:有放回抽样时,每次抽取时的总体没有改变,因而每次抽到某物的概率都是相同的,可以看成是独立重复试验,此种抽样是二项分布模型.而不放回抽样时,取出一个则总体中就少一个,因此每次取到某物的概率是不同的,此种抽样为超几何分布模型.因此,二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.所以,在解有关二项分布和超几何分布问题时,仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的. 超几何分布和二项分布都是离散型分布

二项分布和超几何分布的区别(含答案)复习过程

二项分布和超几何分布的区别(含答案)

超几何分布和二项分布 一、两者的定义是不同的 1超几何分布的定义 2独立重复试验与二项分布的定义 (1)独立重复试验. (2)二项分布. 本质区别 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,而二项分布描述的是放回抽样问题. (2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题. 二、两者之间是有联系的 人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3题:

例1某批n件产品的次品率为2%,现从中任意地依次抽出3件进行检验,问: (1)当n=500,5000,500000时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到1件产品的概率各是多少?(2)根据(1)你对超几何分布与二项分布的关系有何认识?

【说明】由于数字比较大,可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外,本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系: 第一,n次试验中,某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时,X服从二项分布;当这n次试验是不放回摸球问题,事件A为摸到某种特性(如某种颜色)的球时,X服从超几何分布 第二,在不放回n次摸球试验中,摸到某种颜色的次数X服从超几何分布,但是当袋子中的球的数目N 很大时,X的分布列近似于二项分布,并且随着N的增加,这种近似的精度也增加. 从以上分析可以看出两者之间的联系: 当调查研究的样本容量非常大时,在有放回地抽取与无放回地抽取条件下,计算得到的概率非常接近,可以近似把超几何分布认为是二项分布. 例2袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取一个球,求(1)又放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列;(2)无放回地抽样时,取到黑球的个数Y的分布列.

超几何分布与二项分布

超几何分布 一.超几何分布的两个特点 (1)超几何分布是不放回抽样问题. (2)随机变量为抽到的某类个体的个数. 二.超几何分布的应用条件 (1)考察对象分两类. (2)已知各类对象的个数. (3)从中抽取若干个个体,考察某类个体个数ξ的概率分布. 1.已知10件产品中有3件次品,从中任取2件,取到次品的件数为随机变量ξ,那么ξ服从_______分布.ξ的可能取值为________.次品数少于2件的概率是________. 2.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,则所选3人中女生人数的人数X服从_______分布.X的可能取值为________ .不超过1人的概率是________.

3.10个排球中有6个正品。从10个排球中抽取4个,求正品数比次品数少的概率. 4.从含有2个红球和4个黑球的盒子中任意摸出4个球,假设每个球被摸到的可能性相同,记摸出的4个球中黑球数与红球数的差的绝对值为ξ,求ξ的分布列.

二项分布 判断某概率模型是否服从二项分布P n(X=k)=C k n p k(1-p)n-k的三个条件 (1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p. (2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且每次试验的结果是相互独立的. (3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率. 1.小王通过英语听力测试的概率是1 3 ,他连续测试3次,那么其中恰有1次 获得通过的概率是________. 2.若同时抛掷两枚骰子,当至少有5点或6点出现时,就说这次试验成功,则在3次试验中至少有1次成功的概率是()

3.抛掷一枚质地均匀的硬币3次. (1)写出正面向上次数X的分布列; (2)求至少出现两次正面向上的概率.解(1)X的可能取值为0,1,2,3. P(X=0)=C03 23 =1 8 ;P(X=1)=C13 23 =3 8 ;P(X=2)=C23 23 =3 8 ;P(X=3)=C33 23 =1 8. 所以X的分布列如下. (2)至少出现两次正面向上的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=3 8 +1 8 =1 2. 阅读理解 为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得1 -分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得1 -分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.求X的分布列;

二项分布和超几何分布(含答案)讲课教案

二项分布和超几何分布(含答案)

超几何分布和二项分布一、两者的定义是不同的 1超几何分布的定义 2独立重复试验与二项分布的定义 (1)独立重复试验. (2)二项分布. 本质区别

(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,而二项分布描述的是放回抽样问题. (2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题. 二、两者之间是有联系的 人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3题: 例1某批n件产品的次品率为2%,现从中任意地依次抽出3件进行检验,问: (1)当n=500,5000,500000时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到1件产品的概率各是多少? (2)根据(1)你对超几何分布与二项分布的关系有何认识?

【说明】由于数字比较大,可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外,本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系: 第一,n次试验中,某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时,X服从二项分布;当这n次试验是不放回摸球问题,事件A为摸到某种特性(如某种颜色)的球时,X服从超几何分布 第二,在不放回n次摸球试验中,摸到某种颜色的次数X服从超几何分布,但是当袋子中的球的数目N 很大时,X的分布列近似于二项分布,并且随着N的增加,这种近似的精度也增加. 从以上分析可以看出两者之间的联系: 当调查研究的样本容量非常大时,在有放回地抽取与无放回地抽取条件下,计算得到的概率非常接近,可以近似把超几何分布认为是二项分布. 例2袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取一个球,求(1)又放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列;(2)无放回地抽样时,取到黑球的个数Y的分布列.

最新二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习讲解学习

二项分布?还是超几何分布 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型,实际中的许多问题都可以利用 这两个概率模型来解决.在实际应用中,理解并区分两个概率模型是至关重要的.下面举例进行对比辨析. 例1袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.求: (1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列. 解:(1)有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率 均为 5 1,3次取球可以看成3次独立重复试验,则1~35X B ?? ???,. 3 3 1464(0)55125P X C ????==?= ? ?????∴; 1 2 131448(1)55125P X C ????==?= ? ?????; 2 1 23 1412(2)55125P X C ????==?= ? ?????; 3 33141(3)55125 P X C ????==?= ? ?????. 因此,X 的分布列为 (2)不放回抽样时,取到的黑球数Y可能的取值为0,1,2,且有: 03283107(0)15C C P Y C ===;12283107(1)15C C P Y C ===;21283101 (2)15 C C P Y C ===. 因此,Y 的分布列为 Y 0 1 2 P 715 715 1 15 例2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本 称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(490,495],(495,500],……,(510,515],由此 得到样本的频率分布直方图,如图4 (1)根据频率分布直方图,求重量超过505克的产品数量, (2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y 为重量超过505克 的产品数量,求Y 的分布列; (3)从该流水线上任取5件产品,求恰有2件产品的重量超过505 克的概率。 X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1 125

关于超几何分布和二项分布的小题目

关于超几何分布和二项分布的小题目 徐峰 在教学过程中发现学生在学习完超几何分布和二项分布以后,学生不能正确的理解好什么是超几何分布(古典概型利用组合数计数)、什么是二项分布(利用独立性,互斥性)及其区别.下面我通过几个例子说明一下两者的区别 超几何分布:在产品质量的不放回抽检中,若N 件产品中有M 件次品,抽检n 件时所得次品数X=k 则P(X=k) 此时我们称随机变量X 服从超几何分布(hypergeometric distribution ) 1)超几何分布的模型是不放回抽样 2)超几何分布中的参数是M,N,n 上述超几何分布记作X~H(n ,M ,N)。 二项分布:二项分布(Binomial Distribution ),即重复n 次的伯努力试验(Bernoulli Experiment ), 用ξ表示随机试验的结果. 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p ,N 次独立重 复试验中发生k 次的概率是k n k k n q p k P C -= =)(ξ 上述二项分布记作),(~p n B ξ 下面我通过几个例子说明一下两者的区别 【例1】某人参加一次英语考试,已知在备选题的10道试题中能答出其中的4道题,规定每次考试从备选题中随机抽取3题进行测试,求答对题数ξ的分布列? 解:由题意得0=ξ,1,2,3.ξ服从参数为10=N ,4=M ,3=n 的超几何分布. 6112020)0(3103 6=== =C C P ξ 2112060)1(3102 61 4 ==?==C C C P ξ 103 12036)2(3101624 ==?==C C C P ξ 301 1204)3(310 34====C C P ξ 故ξ的分布列

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