【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章 微积分基本定理 第一课时参考教案

微积分基本定理

第一课时

一、教学目标：了解牛顿-莱布尼兹公式

二、教学重难点：牛顿-莱布尼兹公式

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、复习：定积分的概念及计算

（二）、探究新课

我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2

1()T T v t dt ?。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即

2

1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 且()()S t v t '=。

对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()b

a f x dx F

b F a =-?

若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值

差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。

定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b

a f x dx F

b F a =-?

证明：因为()x Φ=()x

a f t dt ?与()F x 都是()f x 的原函数，故()F x -()x Φ=C

（a x b ≤≤）

其中C 为某一常数。令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=()a

a f t dt ?=0

即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x

a f t dt ? 令x

b =，有()()()b

a f x dx F

b F a =-? 为了方便起见，还常用()|b

a F x 表示()()F

b F a -，即

()()|()()b

b a a f x dx F x F b F a ==-?

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。

例1 计算1

20x dx ? 解：由于313

x 是2x 的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 120x dx ?=3101|3x =33111033?-?=13

例2 求2

0?

解 因为22

1222===11222212(1)(1)2x C x C ++=++ 即 1

2220(1)1x +=有一个原函数为12

2(1)x +，所以 2

0?=12220(1)1x +=

例3 汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？

解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度0v =32公里/小时=3210003600

?米/秒≈8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8t v v a -当汽车停住时,速度(t)=0v ,故从(t)=8.88-1.8t=0v 解得8.88t= 4.931.8

≈秒 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是

4.93

4.9300(t)(8.88 1.8t)s v dt dt ==-??= 4.93201(8.88 1.8t )21.902-?≈米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.

（三）、小结：本节课学习了牛顿-莱布尼兹公式.

（四）、课堂练习：

（五）、课后作业：

五、教后反思：