全国中学生数学竞赛加试模拟训练题(14)

加试模拟训练题（14）

1、非等腰ABC ?的内切圆圆心为I ，其与,,BC CA AB 分别相切于点111,,A B C ，

11,AA BB 分别交圆于22,A B ， 111A B C ?中111111,C A B C B A ∠∠的角平分线分别交1111

,B C AC 于点33,A B ，证明（1）23A A 是121B A C ∠的角平分线；（2）如果 ,P Q 是123A A A ?和123B B B ?的两个外接圆的交点，则点I 在直线 PQ 上。

2、对任意实数z y x ,,， 试证：).9(6

19132)9(6191222

222z y x yz xz xy z y x +++≤++≤++-

3、设n 是正整数，我们说集合{1，2，…，2n }的一个排列（n x x x 221,, ）具有性质P ，是指在{1，2，…，2n －1}当中至少有一个i ，使得.||1n x x i i =-+求证，对于任何n ，具有性质P 的排列比不具有性质P 的排列的个数多.

4、求方程||1r

s

p q -=的整数解，其中q p ,是质数，s r ,是大于1的正整数，并证明你所得到的解是全部解.

加试模拟训练题（14）

1、非等腰ABC ?的内切圆圆心为I ，其与,,BC CA AB 分别相切于点111,,A B C ，

11,AA BB 分别交圆于22,A B ， 111A B C ?中111111,C A B C B A ∠∠的角平分线分别交1111

,B C AC 于点33,A B ，证明（1）23A A 是121B A C ∠的角平分线；（2）如果 ,P Q 是123A A A ?和123B B B ?的两个外接圆的交点，则点I 在直线 PQ 上。

证明 （1）因为12AC A ?∽11AA C ?，12AB A ?∽11AA B ?，所以有

12

2

212

11

1111C A A A A A

B A

C A A C A B

B A ===，从而有

13

1211121113

C A C A C A B A B A B A ==，即23A A 是121B A C ∠的角平分线。

（2）设123A A A ?的外心为O ，连221,,,OI IA OA OA ，则12OI A A ⊥。由于132A A A ∠=

()1121231131121211111121

902

AC A C A A C A A AC A C A B C A B AC A ∠+∠+∠=∠+

∠+∠=?+∠，所以2211321122

1

18090902

A O I A O A A A A A C A

A I O ∠=

∠=?-∠=?-∠=?-∠，于是有290IA O ∠=?，即2IA 与O 相切于2A 。同理2IB 与123B B B ?的外接圆相切于2B ，从而I

在O 与123B B B ?的外接圆的根轴上，即 ,,I P Q 三点共线。 2、对任意实数z y x ,,， 试证：

).9(6

19132)9(6191222

222z y x yz xz xy z y x +++≤++≤++- 证明：当z y x ==时，所证不等式显然成立.

当z y x ,,不全为零时，,092

2

2

>++z y x 将所证不等式可变形为

.619

193261912

22+≤++++≤-z

y x yz xz xy

令

k z

y x yz

xz xy =++++2

22932 ① ①式中的z y x ,,均可取一切实数（z y x ,,不同时为零即可）. 不妨取变量z 作为考查对象. （1）当0=z 时，22y x xy k +=

，由||22

2xy y x ≥+，得,21||2

2≤+y

x xy 即.2

1

21≤≤-

k （2）当0≠z 时，将①式整理，得,03)9()2(2

2

2

=-+++-yz z y k x z y kx k 可以为0，当0=k 时，不等式显然成立；

当0≠k 时，因R x ∈，0≥∴?，即0>?或.0=? 由0=?得)39(4)2(2

2

2

yz kz ky k z y -+-+=? .0)91(4)124()41(2

2

2

2

=-+++-=k z y kz z y k 当21±

=k 时，不等式显然成立； 当2

1

±≠k 时，.0,≥'∴∈?R y .0)91(4)41(4)124(2

2

2

2

≥---+='k z k kz z ?

即,0)]31)(31)(41()31[(162

2

2

≥-+--+k k k k z ,0162

>z 0)]31)(31)(41()31(2

2

≥-+--+∴k k k k

即.0)6191)(6191()31(≤+---

+k k k k 解得：，k 3

1

6191-≤≤-或.6

19

10+≤

≤k 同理，由0>?，得0)91(4)124()41(2

2

2

2

>-+++-k z y kz z y k ，对任意实数y 都满

足的充要条件是：?????<---+=''>-.

0)91(4)41(4)124(,

0412

2222

k z k kz z k ?解得.031<<-k 综合以上，可得k 的取值范围是：

.6

19

16191+≤≤-k 由此可得

.619

193261912

22+≤++++≤-z y x yz xz xy 即所证不等式成立.

3、设n 是正整数，我们说集合{1，2，…，2n }的一个排列（n x x x 221,, ）具有

性质P ，是指在{1，2，…，2n －1}当中至少有一个i ，使得.||1n x x i i =-+求证，对于任何

n ，具有性质P 的排列比不具有性质P 的排列的个数多.

（1989，第30届IMO 试题6）

【证明】设A 为不具有性质P 的排列的集合，B 为具有性质P 的排列的集合，显然

)!.2(||||n B A =+为了证明||||B A <，只要得到)!2(2

1

||n B >

就够了.使作容斥原理. 设(n x x x 221,,, )中,k 与n k +相邻的排列的集合为.,,2,1,n k A k =则

,)!12(2||-=n x A k ,1,)!22(2||2n j k n x A A j k ≤<≤-=?由容斥原理得

)!22(4)!12(2||||||2

11-??--??=?-

=∑∑≤<≤=n C n n A A

A B n n

j k j k

n

k k

=)!22(2)!22()1(2)!2(-??=-?--n n n n n n n )!2(2

1

)!22(2122n n n n =-?-?

> 4、（普特南竞赛题）求方程||1r

s

p q -=的整数解，其中q p ,是质数，s r ,是大于1的正整数，并证明你所得到的解是全部解.

解析：容易看到两个质数中肯定有一个为2，不妨假设2p =，|2|1r s q -=，即21r s

q -=±。若21r

s

q =+，从余数去讨论，3(mod 4)q ≡，s 为奇数。

1

2

21(1)(1)r s s s q q q

q

--=+=+-++ ，所以1

212

1212

r r s s q q q --?+=?

?-++=?? ， ()1111(1)2211222s

r sr s r r r s s -=-+=-++ ，

提取公因数，有()

1111

(1)(2)2211222s

r r s r s r r s s --??=-+=-++?? ，从奇偶性可以看出这种

情形方程无解。21r s q =-为偶数，注意到1

221(1)(1)r s s s q q q

q --=-=-+++ 。

1212

1212

r r s s q q q --?-=??+++=?? ，()

11111(1)21221122(1)22s r sr s r r r r

s s s s --=+-=+++-+ ， 令2u

s v =，()

11111(1)21221122(1)22s

r sr s r r u r r u s v s v --++=+-=+++-+ ，观察最后两项，

只能11r =， 3q =， 2s =，从而3r =

综上，考察到对称性，原方程恰有两组解： 3,

2,

2,3,2,3,3. 2.

p p q q or r r s s ==????==?

?

?

?==????==??