广东省罗定市廷锴纪念中学2014-2015学年高二下学期数学(理)测试1
廷锴纪念中学高二第二学期理科数学测试题（1）
班别： 姓名： 座号： 成绩：
1．若实数a ，b 满足b >a >0，且a ＋b ＝1，则下列四个数最大的是( ) A ．a 2＋b 2
B ．2ab C.12
D ．a
2．把3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第六个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29
D ．30
3．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”.结论显然是错误的，这是因为( ) (A)大前提错误 (B)小前提错误 (C)推理形式错误 (D)非以上错
误
4．下面使用类比推理正确的是( )
A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”
B ．“(a ＋b )·c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )·c ＝ac ·bc ”
C ．“(a ＋b )·c ＝ac ＋bc ”类比推出“
a ＋
b
c ＝a c ＋b
c
(c ≠0)” D ．“(ab )n
＝a n b n
”类比推出“(a ＋b )n
＝a n
＋b n
”
5．已知函数f (x )＝2x 2
－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy
Δx
等于( )．
A ．4
B ．4x
C ．4＋2Δx
D ．4＋2(Δx )2
6．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1 ，且n >1)，由n ＝k (k >1)不等式成立， 推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数为( ) A ．2k －1 B ．2k ＋1C ．2 k －1 D ．2k 7．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是( ) A ．平行四边形的对角线相等 B ．正方形的对角线相等 C ．正方形是平行四边形 D ．以上都不是 8．把数列{}* 21()n n +∈N 依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个 数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…循环，分别为：(3)，(57)， ，(91113)，，， (15171921)，，，，(23)，(2527)，，(293133)，，，(35373941)，，，，…，则第104个括号内各数 之和为（ ） Ａ．2036 Ｂ．2048 Ｃ．2060 Ｄ．2072 ___________)(,2lim .90'000 ==?→?x f x x 则若 10．从1＝12 ， 2＋3＋4＝32 ，3＋4＋5＋6＋7＝52 中，可得到一般规律为___________________． 11. 将“函数f (x )＝4x 2 －2(p －2)x －2p 2 －p ＋1在区间上至少存在一个实数c ，使f (c )>0”反设，所得命题为“__________________________________________________________ 12．若数列{a n }是等差数列，则有数列{b n }? ? ? ?? b n ＝ a 1＋a 2＋…＋a n n 也是等差数列．类比上述性质， 相应地，若数列{c n }为等比数列，且c n >0(n ∈N * )，则d n ＝________时，{d n }也是等比数列． 13.一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 14．对于任意的两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定：(a ，b )＝(c ，d )当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“?”为：(a ，b )?(c ，d )＝(ac －bd ，bc ＋ad )；运算“⊕”为：(a ，b )⊕(c ，d )＝(a ＋c ， b ＋d )．设p ，q ∈R ，若(1,2)?(p ，q )＝(5,0)，则(1,2)⊕(p ，q )等于 15.已知0 1－a ≥9. 16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S 满足21234n n S na n n +=--，*n ∈N ，且3 15S =． （1）求123,,a a a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式． 15.证法1 (分析法) 要证1a ＋41－a ≥9，∵00，∴只需证1－a ＋4a ≥9a (1－a )， 即证1＋3a ≥9a (1－a )，即证9a 2 －6a ＋1≥0， 即证(3a －1)2 ≥0，上式显然成立．∴原命题成立． 证法2 (综合法) ∵(3a －1)2 ≥0，即9a 2 －6a ＋1≥0， ∴1＋3a ≥9a (1－a )．∵0 a 1－a ≥9， 即 1－a ＋4a a 1－a ≥9，即1a ＋4 1－a ≥9. 证法3 (反证法)假设1a ＋41－a <9，即1a ＋41－a －9<0，即1－a ＋4a －9a 1－a a 1－a <0， 即9a 2－6a ＋1a 1－a <0，即 3a －1 2 a 1－a <0， 而00，∴(3a －1)2 <0，与(3a －1)2 ≥0相矛盾，∴原命题成立． 16. 解：（1）当2n =时，2123420S a a a =+=-， 又 312315S a a a =++=，所以3342015a a -+=，解得37a =. 当1n =时，11227S a a ==-，又128a a +=，解得123,5a a ==. 所以 1233,5,7a a a ===. （2） 21234n n S na n n +=-- ① 当2n ≥时，2 1 2(1)3(1)4(1)n n S n a n n -=----- ② ①-②得 12(22)61n n n a na n a n +=----. 整理得12(21)61n n na n a n +=-++，即 12161 22n n n n a a n n +-+= +. 猜想 21n a n =+，*n ∈N . 以下用数学归纳法证明： 当1n =时， 13a =，猜想成立； 假设当n k =时， 21k a k =+， 当1n k =+时， 121612161 (21)2222k k k k k k a a k k k k k +-+-+= +=++ 24161 232(1)1 2k k k k k -++==+=++，猜想也成立， 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n ∈N . 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b 2 ，n ＝lg a ＋b 2 ，则m ，n 的大小关系是________． 解析ab>0?ab>0?a＋b＋2ab>a＋b?(a＋b)2>(a＋b)2?a＋b>a＋b? a＋b 2> a＋b 2 ?lg a＋b 2 >lg a＋b 2 . 答案m>n 10．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为________． 解析等式左边从n项起共有(2n－1)项相加，右边为(2n－1)2，∴n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 答案n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 16．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_______________________________________”． 答案如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补 三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知0 a ＋ 4 1－a ≥9. 证法1 (分析法) 要证1 a ＋ 4 1－a ≥9， ∵0 ∴只需证1－a＋4a≥9a(1－a)，即证1＋3a≥9a(1－a)， 即证9a2－6a＋1≥0， 即证(3a－1)2≥0， 上式显然成立． ∴原命题成立． 证法2 (综合法) ∵(3a－1)2≥0， 即9a2－6a＋1≥0， ∴1＋3a≥9a(1－a)． ∵0 ∴ 1＋3a a 1－a ≥9， 即1－a＋4a a 1－a ≥9， 即1 a ＋ 4 1－a ≥9. 证法3 (反证法) 假设1 a ＋ 4 1－a <9， 即1 a ＋ 4 1－a －9<0， 即1－a＋4a－9a 1－a a 1－a <0， 即9a2－6a＋1 a 1－a <0， 即 3a－1 2 a 1－a <0， 而0 ∴(3a－1)2<0，与(3a－1)2≥0相矛盾， ∴原命题成立． 18．(12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处． (1) 求证：四边形的内角和等于360°. 证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°. (2) 已知2和3都是无理数，试证：2＋3也是无理数． 证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数． (3) 已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0无实数． 证明：假设方程x2＋2x＋5－m2＝0有实根．由已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)<0， 解得－2 2 ，而关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0的判别式Δ＝4(m2－4)，∵－2 1 2 ， ∴1 4 解(1) 犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形． (2) 使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理 数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定． (3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法． 19．(12分)已知数列{a n}和{b n}是公比不相等的两个等比数列，c n＝a n＋b n. 求证：数列{c n}不是等比数列． 证明假设{c n}是等比数列，则c1，c2，c3成等比数列．设{a n}，{b n}的公比分别为p和q， 且p≠q，则a2＝a1p，a3＝a1p2，b2＝b1q，b3＝b1q2. ∵c1，c2，c3成等比数列， ∴c22＝c1·c3， 即(a2＋b2)2＝(a1＋b1)(a3＋b3)． ∴(a1p＋b1q)2＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)． ∴2a1b1pq＝a1b1p2＋a1b1q2. ∴2pq＝p2＋q2，∴(p－q)2＝0. ∴p＝q与已知p≠q矛盾． ∴数列{c n}不是等比数列． 20．(12分)证明：若a>0，则a2＋1 a2 －2≥a＋ 1 a －2. 证明∵a>0，要证a2＋1 a2 －2≥a＋ 1 a －2， 只需证a2＋1 a2 ＋2≥a＋ 1 a ＋2， 只需证( a2＋1 a2 ＋2)2≥(a＋ 1 a ＋2)2， 即证a2＋1 a2 ＋4＋4 a2＋ 1 a2 ≥a2＋ 1 a2 ＋4＋22(a＋ 1 a )， 即证a2＋1 a2≥ 2 2 (a＋ 1 a )， 即证a2＋1 a2 ≥ 1 2 (a2＋ 1 a2 ＋2)， 即证a2＋1 a2 ≥2， 即证(a－1 a )2≥0， 该不等式显然成立． ∴a2＋1 a2 －2≥a＋ 1 a －2. 21．(12分)如右图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ， Q 分别为AE ，AB 的中点． (1)证明：PQ ∥平面ACD ； (2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值． 解 (1)证明：∵P ，Q 分别为AE ，AB 的中点， ∴PQ ∥EB ，又DC ∥EB . ∴PQ ∥DC ，而PQ ?平面ACD ， DC ?平面ACD ，∴PQ ∥平面ACD . (2)如图，连接CQ ，DP ， ∵Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ， ∴CQ ⊥AB . ∵DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，∴EB ⊥平面ABC . ∴CQ ⊥EB ，故CQ ⊥平面ABE . 由(1)知，PQ ∥DC ，又PQ ＝1 2 EB ＝DC ， ∴四边形CQPD 为平行四边形． ∴DP ⊥平面ABE . 故∠DAP 为AD 与平面ABE 所成角． 在Rt △DAP 中，AD ＝5，DP ＝1， ∴sin ∠DAP ＝ 55 . 因此AD 与平面ABE 所成角的正弦值为55 . 22．(12分)已知f (x )＝ bx ＋1 ax ＋1 2(x ≠－1 a ，a >0)，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1. (1)求函数f (x )的表达式； (2)已知数列{x n }的项满足x n ＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (n ))，试求x 1，x 2，x 3，x 4； (3)猜想{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明． 解 (1) 把f (1)＝log 162＝1 4 ，f (－2)＝1，代入函数表达式得 ???? ? b ＋1 a ＋1 2 ＝1 4 ，－2b ＋1 1－2a 2＝1， 即????? 4b ＋4＝a 2 ＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2 －4a ＋1， 解得? ?? ?? a ＝1， b ＝0，(舍去a ＝－1 3 <0)， ∴f (x )＝1 x ＋1 2(x ≠－1)． (2) x 1＝1－f (1)＝1－14＝3 4 ， x 2＝(1－f (1))(1－f (2)) ＝34×(1－19)＝23 ， x 3＝23(1－f (3))＝23×(1－116)＝58 ， x 4＝5 8 ×(1－125 )＝35 . (3) 由(2)知，x 1＝34，x 2＝23＝46，x 3＝58，x 4＝35＝610，…，由此可以猜想x n ＝n ＋22n ＋2 . 证明：①当n＝1时，∵x1＝3 4 ，而 1＋2 2 1＋1 ＝ 3 4 ，∴猜想成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，x n＝ n＋2 2 n＋1 成立， 即x k＝ k＋2 2 k＋1 ，则n＝k＋1时， x k＋1＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(k))·(1－f(k＋1)) ＝x k·(1－f(k＋1)) ＝ k＋2 2 k＋1 · ＝ k＋2 2 k＋1 · k＋1 k＋3 k＋2 2 ＝1 2 · k＋3 k＋2 ＝ k＋1 ＋2 2[ k＋1 ＋1] . ∴当n＝k＋1时，猜想也成立，根据①②可知，对一切n∈N*，猜想x n＝ n＋2 2 n＋1 都成 立． 1．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( ) A ．f (x ) B ．－f (x ) C ．g (x ) D ．－g (x ) 2．把3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第六个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2 ·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( ) A.2 n ＋1 B. 2n n ＋1 C.22－1 D.2 2n －1 4．观察按下列顺序排列的等式：9011?+=，91211?+=，92321?+=，93431?+=，…， 猜想第*()n n ∈N 个等式应为（ ） Ａ．9(1)109n n n ++=+ Ｂ．9(1)109n n n -+=- Ｃ．9(1)101n n n +-=- Ｄ．9(1)(1)1010n n n -+-=- 5．平面内有n 个圆两两相交于两点，且无三个圆交于一点，若n 个圆把平面分成()f n 个区域，则(1)()f n f n +=+ （ ） A ．n B ．1n + C ．2(1)n - D ．2n 6．已知f (x )是R 上的偶函数，对任意的x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，若f (1)＝2， f (2)＝1，f (3)＝3，则f (2005)等于( ) A ．2005 B ．2 C ．1 D ．0 7．一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）．令()P n 表示第n 秒时机器人所在位置的坐标，且记 (0)0P =，则下列结论中错误的是（ ） Ａ．(3)3P = Ｂ．(5)1P = Ｃ．(2007)(2006)P P > Ｄ．(2003)(2006)P P < 9．在平面上，若两个正三角形的边长比为1︰2，则它们的面积比为1︰4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1︰2，则它们的体积比为________． 10.一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 . 11. 如图所示小正方形边长为1,渐开线形成的螺旋曲线, 是由半径分别为1、2、3、???、n 的四分之一圆弧 形成的螺线图案,并且圆心逆时针以正方形的各个 顶点为圆心,则第n 个图形的圆弧长度的通项公式 为___________. 12. 观察以下各等式： 2 2 3 sin 30cos 60sin 30cos 60 4++= 202000 3sin 20cos 50sin 20cos504 ++= 202000 3sin 15cos 45sin15cos 454 ++= 1 2 3 4 5 分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式为 ________________________________________________________ 13．在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝ a n 2＋a n ，n∈N＋，猜想数列的通项公式并证明． {a n }中a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝2 5 ，…，所以猜想{a n }的通项公式a n ＝ 2 n ＋1 (n ∈N ＋)． 证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，所以1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋1 2 ， 即 1 a n ＋1－1a n ＝12，所以数列???? ??1a n 是以1a 1＝1为首项，公差为12的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)1 2＝n 2＋12，即通项公式为a n ＝2n ＋1 (n ∈N ＋)． 答案 sin 2α＋cos 2 (α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34 1．若实数a ，b 满足b >a >0，且a ＋b ＝1，则下列四个数最大的是( ) A ．a 2 ＋b 2 B ．2ab C.12 D ．a 答案 A 2．下面用“三段论”形式写出的演练推理：因为指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数，y ＝(12)x 是指数函数，所以y ＝(12 )x 在(0，＋∞)上是增函数． 该结论显然是错误的，其原因是( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．以上都可能 解析 大前提是：指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数，这是错误的． 答案 A 3．已知c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a >b B ．a C ．a ＝b D ．a ，b 大小不定 解析 a ＝c ＋1－c ＝ 1 c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝ 1 c ＋c －1 ，∵c ＋1＋c >c ＋ c －1，∴a 答案 B 4．下面使用类比推理正确的是( ) A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ” B ．“(a ＋b )·c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )·c ＝ac ·bc ” C ．“(a ＋b )·c ＝ac ＋bc ”类比推出“ a ＋ b c ＝a c ＋b c (c ≠0)” D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ” 解析 由类比出的结果应正确知选C. 答案 C 5．函数y ＝ax 2 ＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.1 8 B.14 C.12 D ．1 解析 ∵y ＝ax 2 ＋1，∴y ′＝2ax ，设切点为(x 0，y 0)，则????? 2ax 0＝1，y 0＝x 0， y 0＝ax 20＋1，?a ＝1 4 . 答案 B 6．已知f (x )＝sin(x ＋1)π3－3cos(x ＋1)π 3 ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2011)＝( ) A ．2 3 B. 3 C ．－ 3 D ．0 解析 f (x )＝2[12sin(x ＋1)π3－32cos(x ＋1)π3]＝2sin π 3x ，∴周期T ＝6，且f (1)＋f (2) ＋…＋f (6)＝2(32＋32＋0－32－32＋0)＝0，∴f (2011)＝f (6×335＋1)＝f (1)＝2sin π 3 ＝3. 答案 B 7．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1 ，且n >1)，由n ＝k (k >1)不等式成立， 推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数为( ) A ．2k －1 B ．2k ＋1 C ．2 k －1 D ．2k 解析 当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋1 2k ＋1－1，所以增加的 项数为(2 k ＋1 －1)－2k ＋1＝2 k ＋1 －2k ＝2k . 答案 D 8．若数列{a n}是等比数列，则数列{a n＋a n＋1}( ) A．一定是等比数列 B．一定是等差数列 C．可能是等比数列也可能是等差数列 D．一定不是等比数列 解析设等比数列{a n}的公比为q，则 a n＋a n＋1＝a n(1＋q)． ∴当q≠－1时，{a n＋a n＋1}一定是等比数列； 当q＝－1时，a n＋a n＋1＝0，此时为等差数列． 答案 C 9．已知数列{a n}，{b n}的通项公式分别为：a n＝an＋2，b n＝bn＋1(a，b是常数，且a>b)，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是( ) A．0个B．1个 C．2个D．无穷多个 解析假设存在相同的项是第n项，即an＋2＝bn＋1，∴(a－b)n＝－1(a>b，n∈N*)，矛盾． 答案 A 10．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是( ) A．平行四边形的对角线相等 B．正方形的对角线相等 C．正方形是平行四边形 D．以上都不是 解析大前提②，小前提③，结论①. 答案 B 11．观察下表： 1 2 3 4……第一行 2 3 4 5……第二行 3 4 5 6……第三行 4 5 6 7……第四行 ???? ???? 第一列第二列第三列第四列 根据数表所反映的规律，第n 行第n 列交叉点上的数应为( ) A ．2n －1 B ．2n ＋1 C ．n 2 －1 D ．n 2 解析 观察数表可知，第n 行第n 列交叉点上的数依次为1,3,5,7，…，2n －1. 答案 A 12．对于任意的两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定：(a ，b )＝(c ，d )当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“?”为：(a ，b )?(c ，d )＝(ac －bd ，bc ＋ad )；运算“⊕”为：(a ，b )⊕(c ，d )＝(a ＋c ，b ＋d )．设p ，q ∈R ，若(1,2)?(p ，q )＝(5,0)，则(1,2)⊕(p ，q )等于( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0，－4) 解析 由(1,2)?(p ，q )＝(5,0)，得 ? ?? ?? p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，?? ?? ?? p ＝1， q ＝－2. 所以(1,2)⊕(p ，q )＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)． 答案 B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b 2 ，n ＝lg a ＋b 2 ，则m ，n 的大小关系是________． 解析 ab >0?ab >0?a ＋b ＋2ab >a ＋b ?(a ＋b )2 >(a ＋b )2 ?a ＋b >a ＋b ? a ＋b 2 > a ＋b 2 ?lg a ＋b 2 >lg a ＋b 2 . 答案 m >n 14．从1＝12, 2＋3＋4＝32, 3＋4＋5＋6＋7＝52 中，可得到一般规律为________． 解析 等式左边从n 项起共有(2n －1)项相加，右边为(2n －1)2 ，∴n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 . 答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 15．若数列{a n }是等差数列，则有数列 {b n }? ? ? ?? b n ＝ a 1＋a 2＋…＋a n n 也是等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{c n }为等比数列，且c n >0(n ∈N * )，则d n ＝________时，{d n }也是等比数列． 答案 n c 1c 2…c n 16．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_______________________________________”． 答案 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补 三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知0 1－a ≥9. 证法1 (分析法) 要证1a ＋41－a ≥9， ∵00， ∴只需证1－a ＋4a ≥9a (1－a )， 即证1＋3a ≥9a (1－a )， 即证9a 2 －6a ＋1≥0， 即证(3a －1)2 ≥0， 上式显然成立． ∴原命题成立． 证法2 (综合法) ∵(3a －1)2≥0， 即9a 2 －6a ＋1≥0， ∴1＋3a ≥9a (1－a )． ∵0 a 1－a ≥9， 即 1－a ＋4a a 1－a ≥9， 即1a ＋41－a ≥9. 证法3 (反证法) 假设1a ＋41－a <9， 即1a ＋41－a －9<0， 即 1－a ＋4a －9a 1－a a 1－a <0， 即9a 2 －6a ＋1a 1－a <0， 即 3a －1 2 a 1－a <0， 而00， ∴(3a －1)2<0，与(3a －1)2 ≥0相矛盾， ∴原命题成立． 18．(12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处． (1) 求证：四边形的内角和等于360°. 证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°. (2) 已知2和3都是无理数，试证：2＋3也是无理数． 证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数． (3) 已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2 ＋2x ＋5－m 2 ＝0无实数． 证明：假设方程x 2 ＋2x ＋5－m 2 ＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，解得－2 －4)，∵－2 ∴14 ＝0无实根． 解 (1) 犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形． (2) 使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定． (3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法． 19．(12分)已知数列{a n }和{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n . 求证：数列{c n }不是等比数列． 证明 假设{c n }是等比数列，则c 1，c 2，c 3成等比数列．设{a n }，{b n }的公比分别为p 和q ，且p ≠q ，则a 2＝a 1p ，a 3＝a 1p 2 ，b 2＝b 1q ，b 3＝b 1q 2 . ∵c 1，c 2，c 3成等比数列， ∴c 22＝c 1·c 3， 即(a 2＋b 2)2 ＝(a 1＋b 1)(a 3＋b 3)． ∴(a 1p ＋b 1q )2 ＝(a 1＋b 1)(a 1p 2 ＋b 1q 2 )． ∴2a 1b 1pq ＝a 1b 1p 2 ＋a 1b 1q 2 . ∴2pq ＝p 2 ＋q 2 ，∴(p －q )2 ＝0. ∴p ＝q 与已知p ≠q 矛盾． ∴数列{c n }不是等比数列． 20．(12分)证明：若a >0，则 a 2＋1a 2－2≥a ＋1 a －2.