福建省宁德二中2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析
福建省宁德二中2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷（理科）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）
1．（5分）在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（）
A．11 B．12 C．13 D．14
2．（5分）若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）
A．s inA B．c osA C．t anA D．
3．（5分）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1
4．（5分）等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为30°，则底边长为（）
A．2B．C．3D．2
5．（5分）在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）
A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°6．（5分）在△ABC中，若，则最大角的余弦是（）
A．B．C．D．
7．（5分）等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．297
8．（5分）等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，{a n}的前4项和为（）
A．81 B．120 C．168 D．192
9．（5分）+1与﹣1，两数的等比中项是（）
A．1B．﹣1 C．±1 D．
10．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）
A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
11．（4分）等差数列{a n}中，a2=9，a5=33，{a n}的公差为．
12．（4分）在△ABC中，若sinA＞sinB则A一定大于B，对吗？填（对或错）．13．（4分）数列{a n}是等差数列，a4=7，则S7=．
14．（4分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=7：8：13，则C=度．
15．（4分）在△ABC中，若a2=b2+bc+c2，则A=°．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（12分）在△ABC中，求证：﹣=c（﹣）．
17．（12分）在等差数列{a n}中，a5=0.3，a12=3.1，求a18+a19+a20+a21+a22的值．18．（14分）成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数．19．（12分）在△ABC中，，求b，c．20．（14分）求和：（a﹣1）+（a2﹣2）+…+（a n﹣n），（a≠0）
21．（16分）求和：S n=1+2x+3x2+…+nx n﹣1．
福建省宁德二中2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）
1．（5分）在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（）
A．11 B．12 C．13 D．14
考点：数列的概念及简单表示法．
专题：计算题．
分析：从已知数列观察出特点：从第三项开始每一项是前两项的和即可求解
解答：解：∵数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55 设数列为{a n}
∴a n=a n﹣1+a n﹣2（n＞3）
∴x=a7=a5+a6=5+8=13
故选C
点评：本题考查了数列的概念及简单表示法，是斐波那契数列，属于基础题．
2．（5分）若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）
A．s inA B．c osA C．t anA D．
考点：三角函数值的符号．
分析：三角形内角的范围（0，π），依题意可以推出答案．
解答：解：A为△ABC的内角，则A∈（0，π），显然sinA＞0
故选A．
点评：本题考查三角函数值的符号，是基础题．
3．（5分）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1
考点：正弦定理．
专题：计算题；解三角形．
分析：利用三角形的内角和求出三角形的内角，然后利用正弦定理求出结果．
解答：解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π
所以∠A=，∠B=，∠C=．
由正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin：sin：sin=1：：2．
故选：C．
点评：本题考查正弦定理的应用，三角形的解法，属于基本知识的考查．
4．（5分）等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为30°，则底边长为（）
A．2B．C．3D．2
考点：三角形中的几何计算．
专题：计算题．
分析：先画出简图，然后确定AB=AC和CD、∠BCD的值，再由BC=可得答
案．
解答：解：由题意知，AB=AC，CD=，∠BCD=30°，
∴BC=，
故选A．
点评：本题主要考查三角形中的几何计算．解直角三角形，属基础题．
5．（5分）在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）
A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°
考点：正弦定理的应用．
专题：计算题．
分析：结合已知及正弦定理可求sinA，进而可根据特殊角的三角形函数值可求A
解答：解：∵b=2asinB，
由正弦定理可得，sinB=2sinAsinB
∵sinB≠0
∴sinA=
∴A=30°或150°
故选D
点评：本题主要考查了正弦定理及特殊角的三角函数值的简单应用，属于基础试题6．（5分）在△ABC中，若，则最大角的余弦是（）
A．B．C．D．
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：计算题；解三角形．
分析：利用余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC的式子，结合题意算出c=3，从而得到b为最大边，算出cosB的值即可得到最大角的余弦之值．
解答：解：∵在△ABC中，，
∴c2=a2+b2﹣2abcosC=49+64﹣2×7×8×=9，得c=3
∵b＞a＞c，∴最大边为b，可得B为最大角
因此，cosB==，即最大角的余弦值为
故选：C
点评：本题给出三角形的两边和夹角，求最大角的余弦．着重考查了三角形中大边对大角、利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题．
7．（5分）等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）
A．66 B．99 C．144 D．297
考点：等差数列的前n项和．
专题：计算题．
分析：根据等差数列的通项公式化简a1+a4+a7=39和a3+a6+a9=27，分别得到①和②，用②﹣①得到d的值，把d的值代入①即可求出a1，根据首项和公差即可求出前9项的和S9的值．
解答：解：由a1+a4+a7=3a1+9d=39，得a1+3d=13①，
由a3+a6+a9=3a1+15d=27，得a1+5d=9②，
②﹣①得d=﹣2，把d=﹣2代入①得到a1=19，
则前9项的和S9=9×19+×（﹣2）=99．
故选B．
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．
8．（5分）等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，{a n}的前4项和为（）
A．81 B．120 C．168 D．192
考点：等比数列的性质．
专题：计算题．
分析：根据等比数列的性质可知等于q3，列出方程即可求出q的值，利用即可求出
a1的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出{a n}的前4项和．
解答：解：因为==q3=27，解得q=3
又a1===3，则等比数列{a n}的前4项和S4==120
故选B
点评：此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．
9．（5分）+1与﹣1，两数的等比中项是（）
A．1B．﹣1 C．±1 D．
考点：等比数列的性质．
专题：计算题．
分析：设出两数的等比中项为x，根据等比中项的定义可知，x的平方等于两数之积，得到一个关于x的方程，求出方程的解即可得到两数的等比中项．
解答：解：设两数的等比中项为x，根据题意可知：
x2=（+1）（﹣1），即x2=1，
解得x=±1．
故选C
点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，是一道基础题．学生做题时应注意等比中项有两个．
10．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）
A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
考点：等差数列；等比数列．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2．
解答：解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，
∴a32=a1?a4，
即（a1+4）2=a1×（a1+6），
解得a1=﹣8，
∴a2=a1+2=﹣6．
故选B．
点评：本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的定义，比较简单．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
11．（4分）等差数列{a n}中，a2=9，a5=33，{a n}的公差为8．
考点：等差数列．
专题：计算题．
分析：由题设知，由此能求出公差d的值．
解答：解：∵等差数列{a n}中，a2=9，a5=33，
∴，
解得a1=1，d=8．
故答案为：8．
点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意等差数列通项公式的合理运用．
12．（4分）在△ABC中，若sinA＞sinB则A一定大于B，对吗？填对（对或错）．
考点：正弦函数的单调性．
专题：计算题．
分析：应用正弦定理得到a＞b，再根据三角形中大边对大角，可得结论．
解答：解：在△ABC中，若sinA＞sinB，则由正弦定理可得a＞b，再根据△ABC中大边对大角可得，
A＞B，
故答案为对．
点评：本题考查正弦定理的应用，三角形中大边对大角，应用正弦定理得到a＞b是解题的关键．
13．（4分）数列{a n}是等差数列，a4=7，则S7=49．
考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由等差数列的求和公式和性质可得S7=7a4，代值计算可得．
解答：解：∵数列{a n}是等差数列，a4=7，
∴S7===7a4=49
故答案为：49
点评：本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．
14．（4分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=7：8：13，则C=120度．
考点：正弦定理．
专题：计算题；转化思想．
分析：利用正弦定理可将sinA：sinB：sinC转化为三边之比，进而利用余弦定理求得cosC，故∠C可求．
解答：解：∵由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=a：b：c，
∴a：b：c=7：8：13，
令a=7k，b=8k，c=13k（k＞0），
利用余弦定理有cosC===，
∵0°＜C＜180°，
∴C=120°．
故答案为120．
点评：此题在求解过程中，先用正弦定理求边，再用余弦定理求角，体现了正、余弦定理的综合运用．
15．（4分）在△ABC中，若a2=b2+bc+c2，则A=120°．
考点：余弦定理．
专题：计算题．
分析：先根据a2=b2+bc+c2，求得bc=﹣（b2+c2﹣a2）代入余弦定理中可求得cosA，进而求得A．
解答：解：根据余弦定理可知cosA=
∵a2=b2+bc+c2，
∴bc=﹣（b2+c2﹣a2）
∴cosA=﹣
∴A=120°
故答案为120°
点评：本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（12分）在△ABC中，求证：﹣=c（﹣）．
考点：余弦定理的应用．
专题：证明题．
分析：根据余弦定理分别求出cosB，和cosA，代入求证等式的右边，化简得出求证等式的左边．
解答：证明：根据余弦定理将cosB=，cosA=代入右边
得右边c（﹣）====左边，
∴﹣=c（﹣）．
点评：本题主要考查了余弦定理的应用．余弦定理常用来解三角形中边角问题，是2015届高考常考的地方．
17．（12分）在等差数列{a n}中，a5=0.3，a12=3.1，求a18+a19+a20+a21+a22的值．
考点：等差数列的前n项和．
专题：计算题．
分析：解法1，由条件建立方程组可得数列的首项为a1，公差为d，由数列项与公差的关系代入可得答案；
解法2，由题意可得公差，进而可得a20，而a18+a19+a20+a21+a22等于5a1+95d，代入可得答案．
解答：解：设数列的首项为a1，公差为d
则，解得
∴a18+a19+a20+a21+a22=5a1+17d+18d+19d+20d+21d=5a1+95d=31.5
法2：设数列的公差为d，则，
∴a20=a12+8d=3.1+8×0.4=6.3，
a由等差数列的性质可得：18+a19+a20+a21+a22=5a20=5×6.3=31.5
点评：本题考查等差数列的性质和基本运算，属基础题
18．（14分）成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数．
考点：等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：设出成等差数列的四个数，利用和为26，第二数与第三数之积为40，列出关于a 与d的关系式，即可求出a和d，分两种情况讨论得到这四个数．
解答：解：设四数为a﹣3d，a﹣d，a+d，a+3d，则4a=26，a2﹣d2=40
即a=，d=或﹣
当d=时，四数为2，5，8，11
当d=﹣时，四数为11，8，5，2
点评：考查学生灵活运用等差数列性质的能力，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．
19．（12分）在△ABC中，，求b，c．
考点：解三角形；正弦定理；余弦定理．
专题：计算题．
分析：由A的度数求出sinA的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，使面积等于，把sinA的值代入可得bc的值，然后再求出cosA的值，由a的值及cosA 的值，利用余弦定理表示出a2，配方变形后，把bc及cosA的值代入，开方可得b+c的值，联立bc的值与b+c的值，即可求出b和c的值．
解答：解：∵，sinA=sin120°=，
∴bc=4①，（4分）又cosA=cos120°=﹣，且a=，
根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：21=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，
即（b+c）2=25，开方得：b+c=5②，（8分）
而c＞b，联立①②，求得b=1，c=4．（10分）
点评：此题考查了三角形的面积公式，余弦定理以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键，学生在求出b和c值时注意利用c＞b 这个条件．
20．（14分）求和：（a﹣1）+（a2﹣2）+…+（a n﹣n），（a≠0）
考点：数列的求和．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：利用分组求和可得（a+a2+…+a n）﹣（1+2+…+n），然后结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解
解答：解：原式=（a+a2+…+a n）﹣（1+2+…+n）
=（a+a2+…+a n）﹣
=
点评：本题主要考查了分组求和及等比数列与等差是数列的求和公式的应用，属于基础试题
21．（16分）求和：S n=1+2x+3x2+…+nx n﹣1．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：当x=0时，S n=1；当x=1时，S n=1+2+3+…+n=；当x≠1时，
S n=1+2x+3x2+…+nx n﹣1，利用错位相减求和法求解．
解答：解：当x=0时，S n=1；
当x=1时，S n=1+2+3+…+n=；
当x≠1，且x≠0时，S n=1+2x+3x2+…+nx n﹣1，①
xS n=x+2x2+3x3+…+nx n．②
（1﹣x）S n=1+x+x2+x3+…+x n﹣1﹣nx n
=，
x=0时，上式也成立，
∴．x≠1．
∴S n=．
点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．