特殊树结构及其应用

特殊树结构及其应用

一、二叉排序树

我们已经很熟悉各种排序算法了，现在的问题是：是否可以利用二叉树的有序性进行快速排序和插入、查找操作呢？答案是肯定的，这样的二叉树就称为二叉排序树（或二叉查找树）。二叉排序树具有这样的性质：任何结点的值都大于它左子树上结点的值，小于右子树上结点的值，然后采用中序遍历就可以生成一个有序序列。

图1所示的二叉排序树，中序遍历结果为：5，6，8，9，10，11，13，14，15，17。

如何生成这样的一棵二叉树呢？

图1

例1、编程输入一组不同的整数（约定大于等于0，输入负数表示结束），用二叉排序树排序后按从小到大输出。

[问题分析]

先生成一个结点，再根据大小决定这个结点是插在左子树上还是右子树上，如此重复直到输入一个负数。

[参考程序]

Program p1(Input, Output)；

Type tree=^node；

node=Record

data:Integer；

lchild,rchild:tree；

End；

Var bt:tree；

n:Integer；

Procedure creat_order_tree(Var btx:tree；nx:Integer)； {排序二叉树的插入} Var p,s,f:tree；

flag:Boolean；{标识要插入的数是否在树中出现过，防止同一个数重复出现在树中} Begin

New(s)；s^.data:=nx；s^.lchild:=Nil；s^.rchild:=Nil； {新建一个结点s}

flag:=True； {假设没出现过}

p:=btx； {P指向根结点}

While (p<>Nil) And flag Do {为结点S找插入位置、同时判断是否出现过} Begin

f:=p；

If s^.data=p^.data Then flag:=False {出现过做标记}

Else If s^.data

Else p:=p^.rchild； {沿由子树方向找} End；

If flag Then Begin

{没出现过、且p=Nil说明已找到叶结点了，那么插入到叶结点的左右孩子中} If btx=Nil Then btx:=s； {作为根结点}

If s^.data

If s^.data>f^.data Then f^.rchild:=s； {右孩子}

End；

End；

Procedure inorder_print(btx:tree)； {递归中序输出}

Begin

If btx<>Nil Then

Begin

inorder_print(btx^.lchild)； {从小到大输出，如果要求从大到小，

Write(btx^.data,’‘)；只要先右再左就可以了 } inorder_print(btx^.rchild)；

End；

End；

Begin {主程序}

bt:=Nil； { 根结点初始化，不指向任何结点}

Writeln(‘input data(if <0 then over!):’)；

Repeat {不断输入正数，不断插入}

Read(n)；If n>=0 Then creat_order_tree(bt,n)；

Until n<0；

Write(‘output sorted data:’)；

inorder_print(bt)；

Writeln；

End.

注：以上creat_order_tree过程也可改成递归过程，方法如下：

Procedure insert(Var btx:tree；nx:Integer)；

Begin

New(s)； s^.data:=nx ； s^.lchild:=Nil ； s^.rchild:=Nil ；

If btx=Nil Then btx:=s {作为根结点}

Else If s^.data

Then insert(btx^.lchild,nx) {插到左子树}

Else If s^.data>btx^.data Then insert(btx^.rchild,nx)；

{插到右子树；再否则，即相等则什么也不做，跳过}

End ；

二、哈夫曼树

哈夫曼树（Huffman Tree ），又称最优树，是一类带权路径长度最短的树，有着广泛的应用，在这里我们将要讨论哈夫曼二叉树（最优二叉树）的概念及其算法。

我们知道，从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点之间的路径，路径上的分支数目称做路径长度。树的路径长度是从树根到每一个结点的路径长度之和。带权二叉树是指每个结点都带有一个权值的二叉树。

可以证明：路径长度最短的二叉树一定是一棵完全二叉树。

若将路径长度的概念推广到一般情况，考虑带权的结点。结点的带权路径长度为从该结点到树根之间的路径长度与结点上权的乘积。树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带权路径长度之和，通常记作： WPL=

∑=n

k k

k

L

W 1

（W k 、L k 分别为第k 个结点的权值和路径长度）。

找到一个使WPL 最小的二叉树，是解决最优问题的关键。

假设有n 个权值（w 1,w 2,…,w n ）,试构造一棵有n 个叶子结点的二叉树，每个叶子结点权值为w i ，则其中带权路径长度WPL 最小的二叉树就是“最优二叉树或哈夫曼二叉树”。哈夫曼二叉树最主要的特点是，叶子的权越大就应该越靠近根结点，权越小就应该越远离根结点，因此哈夫曼树又称为最优叶子二叉树。

如何构造哈夫曼二叉树呢？D ·A ·Huffman 给出了一个简单而又漂亮的算法，这个算法称为哈夫曼算法，它的基本思想就是让权大的叶子离根最近，具体做法是：

（1）根据给定的n 个权值｛w 1,w 2,…,w n ｝，构造n 棵二叉树的集合F ＝｛T 1,T 2,…,T n ｝，其

中每棵二叉树中均只含一个带权值为w i 的根结点，其左、右子树为空树； （2）在F 中选取其根结点的权值为最小的两棵二叉树，分别作为左、右子树构造一棵新的

二叉树，并置这棵新的二叉树根结点的权值为其左、右子树根结点的权值之和； （3）从F 中删去这两棵树，同时加入刚生成的新树； （4）重复（2）和（3）两步，直到F 中只含一棵树为止。

从上述算法中可以看出，F 实际上是森林，算法的目的是不断地对森林中的二叉树进行“合并”，最终得到哈夫曼二叉树。

如何从程序实现哈夫曼算法呢？这与实际问题所采用的存储结构有关，现假设用数组F

来存储哈夫曼二叉树，其中第i个数组元素F[i]是哈夫曼二叉树中的一个结点，其地址为i，有3个域，Data域存放该结点的权值，lChild域和rChild域分别存放该结点左、右子树的根结点的地址（下标）。在初始状态下：

F[i].Data=W i ；F[i].lChild=0；F[i].rChild=0 （i=1,2,…,n）即先构造好n个叶子结点，以后每步构造一棵新的二叉树时，都对森林中所有二叉树的根结点进行排序，因此可用数组a作为排序暂存空间，其中第i个数组元素a[i]是森林中第i棵二叉树的根结点，有2个域，Data是根结点所对应的权值，Addr是根结点在F中的地址（下标），在初始状态下：

a[i].Data=W i ；a[i].Addr=I （i=1,2,…n）

下面给出建立哈夫曼二叉树的过程：

Procedure createhuffmantree(f,t,a,n) { 已知n个权值a[i]，构造哈夫曼树f，Var i:Integer；且根结点地址为t } Begin

For i:=1 To n Do Begin {初始化}

f[i].data:=a[i].data；

f[i].lchild:=0；

f[i].rchild:=0；

a[i].addr:=i

End；

t:=n+1；｛t指向下一个可利用单元｝

i:=n；｛当前森林中的二叉树是i｝

While i>=2 Do Begin

insert(a,i)；｛对a的前i个元素按data域进行排序｝

f[t].data:=a[1].data+a[2].data；｛生成新的二叉树｝

f[t].lchild:=a[1].addr；

f[t].rchild:=a[2].addr；

a[1].data:=f[t].data；｛修改森林｝

a[1].addr:=t；

a[2].data:=a[i].data；｛修改森林｝

a[2].addr:=a[i].add；

i:=i-1；｛二叉树数目减一｝

t:=t+1；

End；

End；

三、堆结构

堆结构是一种数组对象，它可以被视为一棵完全二叉树，树中每个结点与数组中存放该结点中值的那个元素相对应，如图2：

图2

左边的图（a）是一棵典型的完全二叉树，结点上方为编号，结点的值在圆圈当中。右

边的图(b)是我们非常熟悉的一维数组，当又不是一般意义上的数组，因为这个数组存储了左

边的二叉树结构。表示一个堆的数组具有以下一些属性：设数组A的长度为len，二叉树的

结点个数为size，size≤len，则A[i]存储二叉树中编号为i的结点值（1≤i≤size），而

A[size]以后的元素并不属于相应的堆，树的根为A[1]，并且利用完全二叉树的性质，我们

很容易求第i个结点的父结点（parent(i)）、左孩子结点(left(i))、右孩子结点(right(i))

的下标了,分别为：trunc(i/2)、2i、2i+1；

更重要的是，堆具有这样一个性质，对除根以外的每个结点i，A[parent(i)]≥A[i]。

即除根结点以外，所有结点的值都不得超过其父结点的值，这样就推出，堆中的最大元素存

放在根结点中，且每一结点的子树中的结点值都小于等于该结点的值，这种堆又称为“大根

堆”；反之，对除根以外的每个结点i，A[parent(i)]≤A[i]的堆，称为“小根堆”。

如何构建一个初始（大根）堆？首先所有叶结点（编号为trunc(N/2)+1到N）都各自成

堆，我们只要从最后一个分支结点（编号为trunc(N/2)）开始，不断“调整”每个分支结点

与孩子结点的值，使它们满足堆的要求，直到根结点为止，这样一定能确保根（堆顶元素）

“调整”的思想如下：即如果当前结点编号为i, 则它的左孩子为2*i, 右孩子2*i+1,的值最大。

首先比较A[i]与MAX（A[2*i]，A[2*i+1]）；如果A[i]大，说明以结点i为根的子树已经是

堆，不用再调整。否则将结点i和左右孩子中值大的那个结点j互换位置，互换后可能破坏

以j为根的堆，所以必须再比较A[j] 与MAX（A[2*j]，A[2*j+1]）,依此类推，直到父结点

的值大于等于两个孩子或出现叶结点为止。这样，以i为根的子树就被调整成为一个堆。

编写的子程序如下：

Procedure heap(Var r:arrtype；nn,ii:Integer)；

Var x,i,j:Integer；

Begin

i:=ii；

x:=r[ii]； {把待调整的结点值暂存起来}

j:=2*ii； {j为ii的左孩子编号，初始时假设它比右孩子的值大}

While j<=nn Do

Begin

If (j

If x

Else j:=nn+1； {故意让j超出范围，终止循环}

End；

r[i]:=x； {调整到最终位置}

End；

有时需要在建好的一个堆（设关键码值为h[1],h[2],……h[n-1]）中再插入一个结点（关键码值为h[n]），变成一个新的堆（关键码值为h[1],h[2],……h[n]）。插入的方法如下：设大根堆中的每个结点编号为：根结点编号为1，编号为i的结点其左右子女的编号为2i和2i+1。因为堆中的任何一个非叶结点的关键码都大于或等于它的子女结点的关键码，所以对新插入的结点h[n]，只需将它与父结点h[n div 2]进行比较，如果大于父结点的关键码，则交换两个结点的位置。对新结点的当前位置，再将它与父结点比较，……，重复这一过程，直至到达根或找到一个较大的结点为止。用这种方法也可以边输入数据，边调整建堆。

有时需要在建好的一个堆（设关键码值为h[1],h[2],……h[n]）中删除某一个结点(设关键码值为h[i])，变成一个新的堆（关键码值为h[1],h[2],……h[n-1]）。删除的方法如下：首先用关键码值h[n]代替h[i]的值，然后用上述不断调整的方法使得h[1],h[2],……h[n-1]形成一个新的堆。

四、作业（只要交源程序，每题每个测试点的时限都是1秒)

题1、小球（满分5分，10个测试点）

源程序名 drop.???(pas,c,cpp)

输入文件名 drop.in

输出文件名 drop.out

问题描述

许多的小球一个一个的从一棵满二叉树上掉下来组成FBT（Full Binary Tree，满二叉树），每一时间，一个正在下降的球第一个访问的是非叶子节点。然后继续下降时，或者走右子树，或者走左子树，直到访问到叶子节点。决定球运动方向的是每个节点的布尔值。最初，所有的节点都是FALSE，当访问到一个节点时，如果这个节点是FALSE，则这个球把它变成TRUE，然后从左子树走，继续它的旅程。如果节点是TRUE，则球也会改变它为FALSE，而接下来从右子树走。满二叉树的标记方法如图1。

图1

因为所有的节点最初为FALSE，所以第一个球将会访问节点1，节点2和节点4，转变节点的布尔值后在在节点8停止。第二个球将会访问节点1、3、6,在节点12停止。明显地，

第三个球在它停止之前，会访问节点1、2、5，在节点10停止。

现在你的任务是，给定FBT的深度D，和I，表示第I个小球下落，你可以假定I不超过给定的FBT的叶子数，写一个程序求小球停止时的叶子序号。

输入

输入文件仅一行，包含两个用空格隔开的整数D和I。其中2<=D<=20，1<=I<=524288。

输出

输出文件仅一行，对应输出第I个小球下落停止时的叶子序号。

样例

DROP.IN

4 2

DROP.OUT

12

题2、合成陨石（满分5分，10个测试点）

源程序名 aerolite.??? (pas,c,cpp)

输入文件名 aerolite.in

输出文件名 aerolite.out

问题描述

czyz大学化学系的学生们最近发现了一种奇怪的陨石，这些陨石通过化学反应合成，会放出惊人的破坏力量。为了储存方便，化学系的学生们决定把这些陨石碎块合成一个大的陨石块。每一次合并，可以把两个陨石合成一个，放出的破坏能量是两个陨石的质量之和，而新产生的陨石质量是这两个陨石的质量之和。

为了将这次试验的破坏效果减少到最低，他们想请你帮忙，计算一下可以达到的最小破坏能量值。

例如有3个陨石碎片，质量依次为1，2，9。可以先将1、2合并，新陨石为3，放出的破坏能量为3。接着，将新陨石与原先的3合并，又得到新的陨石，质量为12，放出的破坏能量为12。所以总共放出的破坏能量=3+12=15。可以证明15为最小的破坏能量值。

输入

输入文件包括两行，第一行是一个整数n(1<=n<=10000)，表示陨石的个数。第二行包含n个整数，用一个空格分隔，第i个整数ai(1<=ai<=20000)是第i个陨石的质量。

输出

输出文件只有一行一个整数，也就是最小的破坏能量值。输入数据保证这个值小于2^31。

样例输入

3

1 2 9

样例输出

15

数据限制

保证30%数据，n<=1000；

保证50%数据，n<=5000；

保证100%数据，n<=10000；

题3、排序二叉树（满分10分，10个测试点）

源程序名tree.??? (pas,c,cpp)

输入文件名 tree.in

输出文件名 tree.out

问题描述

一个边长为n的正三角形可以被划分成若干个小的边长为1的正三角

形，称为单位三角形。如右图，边长为3的正三角形被分成三层共９个小

的正三角形，我们把它们从顶到底，从左到右以1~9编号(见右图)。同理，

边长为n的正三角形可以划分成n2个单位三角形。

四个这样的边长为n的正三角形可以组成一个三棱锥。我们将

正三棱锥的三个侧面依顺时针次序(从顶向底视角)编号为A, B, C，

底面编号为D。侧面的A, B, C号三角形以三棱锥的顶点为顶，底

面的D号三角形以它与A, B三角形的交点为顶。左图为三棱锥展开

后的平面图，每个面上标有圆点的是该面的顶，该图中侧面A,B,C 分别向纸内方向折叠即可还原成三棱锥。我们把这A、B、C、D四个面各自划分成n2个单位三角形。

对于任意两个单位三角形，如有一条边相邻，则称它们为相邻的单位三角形，显然，每个单位三角形有三个相邻的单位三角形。现在，把1~4n2分别随机填入四个面总共4n2个单位三角形中。

现在要求你编程求由单位三角形组成的最大排序二叉树。所谓最大排序二叉树，是指在所有由单位三角形组成的排序二叉树中节点最多的一棵树。对于任一单位三角形，可选它三个相邻的单位三角形中任意一个作为父节点，其余两个分别作为左孩子和右孩子。当然，做根节点的单位三角形不需要父节点，而左孩子和右孩子对于二叉树中的任意节点来说并不是都必须的。

输入

输入文件第一行是一个整数n(1<=n<=18)，随后4n2行，依次为三棱锥四个面上所填的数字。

输出

输出文件仅包含一个整数，表示最大的排序二叉树所含的节点数目。

样例

输入文件对应下图：

A面 B面 C面 D面

作业说明：

1、请在5月 10日之前提交作业，否则按“未交”处理；

2、本次作业只要交3个源程序，请严格按照题目规定的程序名、输入输出文件名、输入输出格式要求做，只要交源程序即可。

3、提交作业时，要把自己的3个源程序放在一个文件夹里（文件夹的名字为“市+学生姓名”），压缩成一个压缩文件后通过JSOI网站上的“上传作业”提交。如常州市正衡中学邹晨同学，提交的压缩文件应该是：常州邹晨.rar，解压后得到的文件夹应该是“常州邹晨”，里面有drop.pas、aerolite.pas和tree.pas三个文件。

4、作业要独立完成，一旦发现雷同，则雷同的人全部按0分处理。可以在JSOI论坛上讨论、交流，方法思路一样没什么，但程序必须要自己独立完成。

5、本次作业满分20分。