安徽省“江淮十校协作体”2014届高三四月联考数学(理)

“江淮十校协作体”四月联考卷

数学试题（理）

本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟.请将答案写在答题卡上.

第I 卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项符合题意. 1. 在复平面上，复数

2i

i

+对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. “1x >”是“

1

1x

<”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则

22cos sin θθ-等于（ ）

A.4

5

-

B. 35-

C. 35

D. 45

4. 给出30个数：1，2,4,7，……其规律是：第1个数是1；

第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3；……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（）

A. 30;1i p p i ≤=+-

B. 29;1i p p i ≤=++

C. 31;i p p i ≤=+

D. 30;i p p i ≤=+

5. 已知,x y R +

∈，且11

5x y x y

++

+=，则x y +的最大值是（ ）

A. 3

B.

72 C. 4 D. 92

6．如图所示，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，

BD

AC O =，M 是线段1D O 上的动点，过点M 做

平面1ACD 的垂线交平面1111A B C D 于点N ，则点N 到点A 距离的最小值为（ ）

B

C .1

D 7. 一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种是为（ ） A.33!? B. 33(3!)? C. 4(3!) D. 9! 8. 如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为

(090)θθ<<的平面所截，截面是一个椭圆，当θ为

30

时，这个椭圆的离心率为（ ）

1.2A

B

C 2.3

D 9. 在ABC ?

中，AC =,2BC =,60B =，则BC 边上的高等于（ ）

A

B

C

D 10. 已知函数25,0()1,0

x x x x f x e x ?+≥=?-+

.(,0]A -∞ .(,5]B -∞ .(0,5]C .[0,5]D

第II 卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

第6题图

N

M

O

D 1

C 1

B 1

A 1

D

C

B

A

第8题图

11. 如图，已知点??

? ??41,0A ,点()0),(000>x y x P 在曲线2x y =上，若阴影部分面积与OAP ?面积相等，则

0x =________

12. 直线???

????--=+=t

y t x 5315

41（t 为参数）被曲线)4cos(2πθρ+=所截的弦长_____

13. 在ABC ?中，0=?

，DC BD 3

2

,105=

==，点P 满足()AC m AB m AP -+=1，则AD AP ?的值为______

14. 已知实数y x ,满足??

?

??≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，则42-+=y x z 的最大值是_____

15. 已知数列{}n a 满足()

10,<<∈?=*

k N n k n a n

n ，给出下列命题：

①当2

1

=k 时，数列{}n a 为递减数列 ②当

12

1

<

0<

④当k

k -1为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项

请写出正确的命题的序号____

三、简答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）已知函数()16cos sin 4-??

?

?

?-=πx x x f （1）求函数()x f 的最小正周期； （2）当??

?

???-

∈6,125ππx 时，求函数()x f 的取值范围

. 第11题图

17.（本小题满分12分）如图，ABCD 是边长为2的正方形，ABCD ED ⊥,ED=1，EF //BD ，且BD EF 2

1

=

. （1）求证：BF//平面ACE ； （2）求证：平面EAC ⊥平面BDEF; （3）求二面角B-AF-C 的大小.

第17题图

F

E

D

C

B

A

18.（本小题满分12分）前不久，社科院发布了2013年度“全国城市居民幸福排行榜”，北京市成为本年度最“幸福城”.随后，某师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后一位为叶）： （1）指出这组数据的众数和中位数；

（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）人选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望.

第18题图

89

77 6 5 56 6 6 6 7 7 8 8 9 93 0

幸福度

19.（本小题满分13分）设函数()()0cos 12

2

>+-=a x x a x f . （1)当1=a 时，求函数()x f 在???

??

?-

2,2ππ上的最大值和最小值； （2)若()x f 在()+∞,0上为增函数，求正数a 的取值范围.

20.（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x

轴上，离心率为2

，它的一个焦点恰好与抛物线2

4y x =的焦点重合. (1) 求椭圆C 的方程；

(2) 设椭圆的上顶点为A ，过点A 作椭圆C 的两条动弦,AB AC ，若直线,AB AC 斜率之积

为

1

4

，直线BC 是否一定经过一定点?若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.

21. (本小题满分13分)设满足以下两个条件得有穷数列123,,,,n a a a a ???为(2,3,4,)n n =???阶“期待数列”：①1230n a a a a +++???+=，②123||||||||1n a a a a +++???+=. （1）若等比数列{}n a 为2()k k N +

∈阶“期待数列”，求公比q ；

（2）若一个等差数列{}n a 既为2()k k N +

∈阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；

（3）记n 阶“期待数列”{}i a 的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =???.

（i ）求证：1||2

k S ≤

； （i i ）若存在{1,2,3,,}m n ∈???，使1

2

m S =

，试问数列{}i S (1,2,3,,)i n =???是否为n 阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.