2008年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准A

2008年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）

试题参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划

分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．

一、（本题满分50分）

如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠< ，P 是平面上的动点，令

()f P PA BC PD CA PC AB =?+?+?．

（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆；

（Ⅱ）设E 是ABC ?外接圆O 的 AB 上一点，满足

：AE AB =

，1BC EC =，1

2

ECB ECA ∠=

∠，又,DA DC 是O

的切线，AC =，求()f P 的最小值． [解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有

PA BC PC AB PB AC ?+?≥?． 因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =?+?+?

PB CA PD CA ≥?+?()PB PD CA =+?．

因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ?的外接圆且在 AC 上时，

()()f P PB PD CA =+?． …10分

又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ?的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值min ()f P AC BD =?．

故当()f P 达最小值时，,,,P A B C 四点共圆． …20分

（Ⅱ）记ECB α∠=，则2E C A

α∠=，由正弦定理

有sin 2sin 3AE AB αα==

，从

而s i n 32s i n 2αα=

34sin )4sin cos αααα-=，所以

2cos )4cos 0αα--=，

整理得24cos 0αα-=， …30分

解得cos α

cos α=， 故30α= ，60ACE ∠= ．

答一图

1

由已知1

BC

EC ==(

)0

sin 30sin EAC EAC

∠-∠,

有sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠

，即

1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠

，整理得1

cos 2

EAC EAC ∠=∠，

故tan 2EAC ∠=

=75EAC ∠=

， …40分 从而45E ∠= ，45DAC DCA E ∠=∠=∠= ，ADC ?

为等腰直角三角形．因AC 1CD =．

又ABC ?也是等腰直角三角形，

故BC =

，212215BD =+-?=

，

BD =

故min ()f P BD AC =?= …50分 [解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接BD 交ABC ?的外接圆O 于0P 点（因为D 在O 外，故0

P 在BD 上）． 过,,A C D 分别作000,,P A PC P D 的垂线，两两相交得111A B C ?，易知0P 在ACD ?内，从而在111A B C ?内，记ABC

?之三内角分别为x y z ，，，则0180APC y z x ∠=?-=+，又因11

0B C P A

⊥，110B A PC ⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z ∠=， 所以111A B C ?∽ABC ?． …10分

设11B C BC λ=，11C A CA λ=，11A B AB λ=，则对平面上任意点M ，有 0000()()f P P A BC P D CA PC AB λλ=?+?+? 011011011P A B C P D C A PC A B =?+?+? 111

2A B C S ?=

111111MA BC MD C A MC A B ≤?+?+? ()MA BC MD CA MC AB λ=?+?+? ()f M λ=， 从而 0()()

f P f M ≤． 由M 点的任意性，知0

P 点是使()f P 达最小值的点． 由点0

P 在O 上，故0,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）由（Ⅰ），()f P 的最小值 11102

()A B C f P S λ

?=

答一图

2

2ABC S λ?=，

记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==

2sin 2αα=，

34sin )4sin cos αααα-=，所以

2cos )4cos 0αα--=，

整理得24cos 0αα-=， …30分

解得cos

αcos α=，

故30α= ，60ACE ∠= ．

由已知1BC

EC ==

(

)

sin 30sin EAC EAC

∠-∠,有sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠ ，即

1

cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠，整理得1cos 2

EAC EAC ∠=∠，

故tan 2

EAC ∠=

=75EAC ∠=

， …40分

所以45E ∠=?，ABC ?为等腰直角三角形，AC =，1ABC S ?=，因为145AB C ∠=?，1B 点

在O 上，190AB B ∠=?，所以11B BDC 为矩形，11B C BD ==

故λ=min ()21f P == …50分

[解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数．

由三角形不等式，对于复数12,z z ，有 1212z z z z +≥+，

当且仅当1z 与2z （复向量）同向时取等号．

有 P A B C P C A B P A B C P C A B

?+?≥?+?

， 所以 ()()()()

A P C

B

C P B A --+-- ()()()()A P C B C P B A ≥--+-- （1） P C A B C B P A

=-?-?+?+? ()()B P C A P B A C =--=? ，

从而 P A B C P C A B P D C A ?+?+? PB AC PD AC ≥?+?

()PB PD AC =+?

BD AC ≥?

． （2） …10分

（1）式取等号的条件是

复数 ()()A P C B --与()()C P B A -- 同向，故存在实数0λ>，使得

()()()()A P C B C P B A λ--=--，

A P

B A

C P C B

λ

--=--， 所以 a r g ()a r g ()

A P

B A

C P C B

--=--， 向量PC 旋转到PA 所成的角等于BC

旋转到AB 所成的角，

从而,,,P A B C 四点共圆．

（2）式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上．

故当()f P 达最小值时P 点在ABC ?之外接圆上，,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知min ()f P BD AC =?． 以下同解法一．

二、（本题满分50分）

设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明： （Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使

1

p

是()f x 的周期； （Ⅱ）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>>

(1,2,)n =???，且每个(1,2,)n

a n =???都是()f x 的周期．

[证] （Ⅰ）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得n

T m

=且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得

1ma nb +=． 于是

11ma nb a bT a b T m m

+==+=?+? 是()f x 的周期． …10分 又因01T <<，从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而

11m p m

'=? 是()f x 的周期． …20分

（Ⅱ）若T 是无理数，令

111a T T ??=-????

， 则101a <<，且1a 是无理数，令

21111a a a ??

=-????

，

……

111n n n a a a +??

=-????

，

……． …30分

由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又

111n n a a ??

-

，即111n n n n a a a a +??

=-

???

．因此{}n a 是递减数列． …40分 最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故111a T T ??=-????

亦是()f x 的周期．假设k a 是()f x 的周期，则111k k k a a a +??

=-????

也是()f x 的周期．由数学归

纳法，已证得n a 均是()f x 的周期． …50分

三、（本题满分50分）

设0k a >，1,2,,2008k = ．证明：当且仅当2008

11k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：

（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n = ； （ⅱ）lim n n x →∞

存在；

（ⅲ）20082007

111

n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n = ．

[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii ）．注意到（ⅲ）中式子可化为 2008

111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑，n ∈*N ，

其中00x =．

将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得

111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++- ． …10分 由（ⅱ）可设lim n n b x →∞

=，将上式取极限得

112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++- 2008

1122200820081()k k b a a x a x a x ==?-+++∑

2008

1

k k b a =

因此2008

1

1k k a =>∑． …20分

充分性：假设2008

1

1k k a =>∑．定义多项式函数如下：

2008

1

()1k k k f s a s ==-+∑，[0,1]s ∈，

则()f s 在[0,1]上是递增函数，且

(0)10f =-<，2008

1

(1)10k k f a ==-+>∑．

因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =． …30分

下取数列{}n x 为01n

k

n k x s ==∑，1,2,n = ，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且

1

000

1

01n n

k

n k s s x s s +=-==-∑． 因001s <<，故10

lim 0n n s

+→∞

=，因此1

00

00

0lim lim 11n n n n s s s x s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满

足（ⅱ）． …40分

最后验证{}n x 满足（ⅲ），因0()0f s =，即2008

01

1k

k k a s ==∑，从而

20082008200810

11

1

1()()n

k n n k n n k k k n k n k k k k x x s a s s a s

a x x +-++-===-====-∑∑∑．

综上，存在数列{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． …50分