专升本定积分计算基本公式

基本积分公式

§5.3基本积分公式 重点与难点提示 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到,因此,导数运算的基础好坏直接影响积分的能力,应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式. (1) ( 5.6 ) (2) ( 5.7 ) (3) ( 5.8 ) (4) ( 5.9 ) (5) ( 5.10 ) (6) ( 5.11 ) (7) ( 5.12 ) (8) ( 5.13 ) (9) ( 5.14 )

(10) ( 5.15 ) (11) ( 5.16 ) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与. 当时,, 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当时,有. 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 ,故(,)式右边的是在分母,不在分子,应记清. 当时,有.

是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解: (为任意常数)

定积分的方法总结

定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容,其中定积分的计算是重点考查的考点之一,下面例析定积分计算的几种常用方法. 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? , (b a <) 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续,所以函数sin x 在],[b a 上可积,采用特殊的 方法作积分和.取h = n a b -,将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+

定积分的性质与计算方法

定积分的性质与计算方法 摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常 丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。 关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ],其中x 0=a ,x n =b 。可知各区间的长度依次是:△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ(1,2,...,n ),作和式1()n i i f x ι=ξ?∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }(即λ是 最大的区间长度),则当λ→0时,该和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分,记为: ()b a f x dx ?。 其中:a 叫做积分下限,b 叫做积分上限,区间[a, b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积表达式,∫ 叫做积分号。 对于定积分,有这样一个重要问题:函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件, ()f x 在[a,b]上一定可积?下面给出两个充分条件: 定理1: 设()f x 在区间[a,b]上连续,则()f x 在[a,b]上可积。 定理2: 设()f x 在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则 ()f x 在[a,b]上可积。 例:利用定义计算定积分1 20x dx ?. 解:因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续,而连续函数是可积的,所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此,为了 便于计算,不妨把区间[0,1]分成n 等份,分点为i i x n = ,1,2,,1i n =?-;这样,

定积分计算公式和性质

第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续,并且设x 为上的任一点, 于是, 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限,又是积分变量,由于定积分与积分变量无关,故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动,则对 于每一个取定的x 值,定积分有一个确定值与之对应,所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数,我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看,也很显然。因为X 是上一个动点, 从而以线段 为底的曲边梯形的面积,必然随着底数 端点的变化而变化,所以阴影部分的面积是端点x 的函数(见图5-10) 图 5-10

定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的,有时甚至无法计算。因此,必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道:如果物体以速度作直线运动,那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面,如果物体经过的路程s 是时间t 的函数,那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是(见图5-11) 即 由导数的物理意义可知:即 是 一个原函数,因此,为了求出定积分,应先求出被积函数 的原函数 , 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义,便可得出计算定积分的一般 方法: 设函数在闭区间上连续, 是 的一个原函数, 即 ,则 图 5-11

这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便,将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系,提供了计算定积分有效而简便的方法,从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续,利用前面学过的知识,可以 得到定积分以下几个简单性质: 图 5-12

定积分的基本公式

第三讲 定积分的基本公式 【教学内容】 1.变上限积分函数 2.牛顿-莱布尼兹公式 【教学目标】 1.掌握变上限积分函数 2.掌握牛顿-莱布尼兹公式 【教学重点与难点】 牛顿-莱布尼兹公式 【教学过程】 一、引例 一物体作变速直线运动时,其速度)(t v v =,则它从时刻a t =到时刻b t =所经过的路程S : dt t v S b a ? = )( 另一方面,如果物体运动时的路程函数)(t S S =,则它从时刻a t =到时刻b t =所经过的路程 S 等于函数)(t S S =在],[b a 上的增量 )()(a S b S - 同一物理量(路程)的两种不同数学表达式应该是相等的, ∴ dt t v S b a ? = )()()(a S b S -= ∵ )()(/ t v t S = ∴ ? ? = = b a b a dt t S dt t v S )()(/)()(a S b S -= 二、变上限积分函数 1.定义:如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续,那么对于区间],[b a 上的任一点x 来说,)(x f 在区间],[x a 上仍连续,所以函数)(x f 在],[x a 上的定积分 ? x a dx x f )( 存在。也就是说,对于每一个确定的x 值,这个积分将有一个确定的值与之对应,因此它是积分上限x 的函数,此函数定义在区间],[b a 上,把它叫做变上限积分函数,记为)(x Φ。即 )()()()(b x a dt t f dx x f x x a x a ≤≤==Φ?? 2.定理1 如果函数)(x f y =在区间],[b a 上连续,则变上限积分函数 )()()(b x a dt t f x x a ≤≤=Φ? 是函数)(x f y =的原函数,即

定积分基本公式

定积分基本公式 定积分是高等数学中一个重要的基本概念,在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念,讨论定积分性质和计算方法,举例说明定积分在实际问题中的具体运用等. 第二节 微积分基本公式 一、变上限的定积分 设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ,于是积分()d x a f x x ?是一个定数, 这种写法有一个不方便之处,就是 x 既表示积分上限,又表示积分变量.为避免 t ,于是这个积分就写成了 ()d x a f t t ? . x 值,积分()d x a f t t ?就有一个确定的的一个函数,记作 ()Φx =()d x a f t t ? ( a ≤x ≤ b )通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分,其几何意义如图所示. 定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续,则变上限积分 ()Φx =()d x a f t t ?在[,]a b 上可导,且其导数是 d ()()d ()d x a Φx f t t f x x '= =?( a ≤x ≤ b ). 推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d x a f t t ?即为其原函数.

例1 计算()Φx =2 0sin d x t t ?在x =0 ,处的导数. 解 因为2 d sin d d x t t x ?=2sin x ,故 2 (0)sin 00Φ'==; πsin 242Φ'==. 例2 求下列函数的导数: (1) e ln ()d (0)x a t Φx t a t =>? ; 解 这里()Φx 是x 的复合函数,其中中间变量e x u =,所以按复合函数求导 法则,有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t x x u t x ===?. (2) 2 1()(0) x Φx x θ=>? . 解 21d d d d x Φx x θ=-?2 2()x x ='=2sin 2sin 2x x x x x =- ?=-. 二、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式 定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,又 ()F x 是()f x 的任一个原函数,则有()d ()() b a f x x F b F a =-? . 证 由定理1知,变上限积分 ()()d x a Φx f t t =?也是()f x 的一个原函数,于 是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0 ()d ()x a f t t F x C =+?.

定积分常用公式

定积分常用公式 二、基本积分表(188页1—15,205页16—24) (1) (k是常数) kdxkxC,,, ,,1x,(2) xdxC,,,(1)u,,,,,1 1(3) dxxC,,ln||,x dx(4) ,,arlxCtan2,1,x dx(5) ,,arcsinxC,21,x (6)cossinxdxxC,, , (7)sincosxdxxC,,, , 1(8) dxxC,,tan2,cosx 1(9) dxxC,,,cot2,sinx sectansecxxdxxC,,(10) , csccotcscxxdxxC,,,(11) , xxedxeC,,(12) , xax(13), (0,1)aa,,且adxC,,,lna shxdxchxC,,(14) , chxdxshxC,,(15) , 11x(16) dxarcC,,tan22,axaa, 1 11xa,(17) dxC,,ln||22,xaaxa,,2 1x(18) dxarcC,,sin,22aax, 122(19) dxxaxC,,,,ln(),22ax, dx22(20) ,,,,ln||xxaC,22xa,

(21)tanln|cos|xdxxC,,, , (22)cotln|sin|xdxxC,, , )secln|sectan|xdxxxC,,, (23, cscln|csccot|xdxxxC,,,(24) , 注:1、从导数基本公式可得前15个积分公式,(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把换成仍成立,是以为自变量的函数。 xuux 3、复习三角函数公式: 1cos2,x22222, sincos1,tan1sec,sin22sincos,xxxxxxx,,,,,cosx,2 1cos2,x2。 sinx,2 fxxdxfxdx[()]'()[()](),,,,,注:由,此步为凑微分过程,所以第一,, 类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法,要运用自如,务必熟记基本积分表,并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。 2 小结: 1常用凑微分公式 积分类型换元公式11.f(ax,b)dx,f(ax,b)d(ax,b)(a,0)u,ax,b,,a u,x11,2.f(x)xdx,f(x)d(x)(,0),,,,,,,,,1u,lnx3.f(lnx),dx,f(lnx)d(lnx), ,x 4..f(e),edx,f(e)dexxxxu,ex,,第 1一5.f(a),adx,f(a)daxxxx,,lnau,ax换 6.f(sinx),cosxdx,f(sinx)dsinxu,sinx元,, u,cosx积7.f(cosx),sinxdx,,f(cosx)dcosx,,分 28.f(tanx)secxdx,f(tanx)dtanxu,tanx,,法 u,cotx29.f(cotx)cscxdx,,f(cotx)dcotx,,

定积分公式

二、基本积分表(188页1—15,205页16—24) (1)kdx kx C =+? (k 是常数) (2)1 ,1 x x dx C μμ μ+=++? (1)u ≠- (3)1ln ||dx x C x =+? (4)2 tan 1dx arl x C x =++? (5) arcsin x C =+? (6)cos sin xdx x C =+? (7)sin cos xdx x C =-+? (8)2 1 tan cos dx x C x =+? (9)2 1 cot sin dx x C x =-+? (10)sec tan sec x xdx x C =+? (11)csc cot csc x xdx x C =-+? (12)x x e dx e C =+? (13)ln x x a a dx C a = +?,(0,1)a a >≠且 (14)shxdx chx C =+? (15)chxdx shx C =+? (16)2 2 11tan x dx arc C a x a a = ++?

(17)2 2 11ln | |2x a dx C x a a x a -= +-+? (18) sin x arc C a =+? (19) ln(x C =++? (20) ln |x C =++? (21)tan ln |cos |xdx x C =-+? (22)cot ln |sin |xdx x C =+? (23)sec ln |sec tan |xdx x x C =++? (24)csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注:1、从导数基本公式可得前15个积分公式,(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立,u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式: 2 2 2 2 sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==2 1cos 2cos 2 x x += , 2 1cos 2sin 2 x x -= 。 注:由[()]'()[()]() f x x dx f x d x ????= ?? ,此步为凑微分过程,所以第一 类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法,要运用自如,务必熟记基本积分表,并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。

定积分计算的总结论文

定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要:本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种:(1)定义法、(2)牛顿—莱布尼茨公式、(3)定积分的分部积分法、(4)定积分的换元积分法. 关键词:定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期,出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程,则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么,究竟什么是定积分呢?我们给定积分下一个定义:设函数()f x 在[],a b 有定义,任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=,有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑,若当()0l T →时,积分和(,)T σξ存在有限极限,设 ()0 ()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑,且数I 与分法T 无关,也与k ξ在[] 1,k k x x -的取法无关,即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>?

[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]

高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容,也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础,所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种: (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:

樂,Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分

分析: 1-3 ? - IK )-忑.旦r x 二)祝成);网><可久切 二2氐化如(長)寸 a 花不直押、朱 J 、 解: 2少弋協“尤十C__

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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时[使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型: ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等,方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r :解:arctan f xdx等,方法是把疋; Jx" arcsm11xdx

不定积分的基本公式和运算法则直接积分法

?复习1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ?引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上,我们进一步来讨论不定积分的计算 问题,不定积分的计算方法主要有三种:直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ?讲授新课 第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法 一基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算,所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下:

以函 数的的形式。 求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1?求下列不定积分.(1) AdX ( 2) XdX _ 1 丄+ 彳 解:(1 ) . 2 dx = x'dx C=-1C X -2 1 X 3 2 5 (2 ).XXdX = χ2 dx = 2 X 2 C J 5 此例表明,对某些分式或根式函数求不定积分时,可先把它们化为 数的积分公式求积分。 不定积分的基本运算法则 X 〉的形式,然后应用幕函

法则1 两个函数代数和的积分,等于各函数积分的代数和,即 [f (X) — g (x)]dx = f (x)dx — g (x)dx 法则1对于有限多个函数的和也成立的. 法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外,即 kf (x)dx = k f (x)dx ( k = O ) 3 X 例 2 求(2x 1 -e )dx 解 (2x 3 1-e" )d )=2 x 3dx + dx - e x dx 1 4 X =X X —e C 。 2 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数, 但是这里并不需要在每一项后面加上 一个积分常数,因为任意常数之和还是任意常数,所以这里只把它的和 C 写在末尾,以后仿此。 注 检验解放的结果是否正确,只把结果求导,看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例 由于(-X 4 ^e X C) = 2X 3 ^e X ,所以结果是正确的。 2 三直接积分法 在求积分的问题中,可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果(如上例)但有时,被 积函数常需要经过适当的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形)再利用积分的性质和公式求出结 果,这样的积分方法叫直接积分法。 例3 求下列不定积分 解: (1)首先把被积函数^x - I 1 化为和式,然后再逐项积分得 VX 1 √X (1)J (V Σ+1)( X -^^=)dx (2)J x 2 dx )dx

常用的求导和定积分公式

一.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =,)(x v v =都可导,则 (1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 是常数) (3) v u v u uv '+'=')( (4) 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则

若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?,则它的反函数) (x f y =在对应区间 x I 内也可导,且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1 = 复合函数求导法则 设)(u f y =,而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导,则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 二、基本积分表 (1)kdx kx C =+? (k 是常数) (2)1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- (3)1 ln ||dx x C x =+? (4)2 tan 1dx arl x C x =++? (5) arcsin x C =+?

积分基本公式

2.基本积分公式表 (1)∫0d x=C (2)=ln|x|+C (3)(m≠-1,x>0) (4)(a>0,a≠1) (5) (6)∫cos x d x=sin x+C (7)∫sin x d x=-cos x+C (8)∫sec2x d x=tan x+C (9)∫csc2x d x=-cot x+C (10)∫sec x tan x d x=sec x+C (11)∫csc x cot x d x=-csc x+C (12)=arcsin x+C (13)=arctan x+C 注.(1)不是在m=-1的特例. (2)=ln|x|+C,ln后面真数x要加绝对值,原因是(ln|x|)' =1/x. 事实上,对x>0,(ln|x|)' =1/x;若x<0,则 (ln|x|)' =(ln(-x))' =. (3)要特别注意与的区别:前者是幂函数的积分,后者是指数函数的积分. 下面我们要学习不定积分的计算方法,首先是四则运算.

6. 复合函数的导数与微分 大量初等函数含有复合函数的成分,它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义. 定理.(链锁法则)设z=f(y),y=?(x)分别在点y0=?(x0)与x0可导,则复合函数z=f[?(x)]在x0可导,且 或(f o?)' (x0)=f '(y0)??'(x0). 证.对应于自变量x0处的改变量?x,有中间变量y在y0=?(x0)处的改变量?y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量?z,(注意?y可能为0).现 ?z=f'(y0)??y+v,?y='?(x0)?x+u, 且令,则v=?αy,(注意,当?y=0时,v=?αy仍成立).y在x 0可导又蕴含y在x0连续,即?y=0.于是 =f '(y0)?? '(x0)+0??'(x0)=f'(y0)??'(x0) 为理解与记忆链锁法则,我们作几点说明: (1) 略去法则中的x=x0与y=y0,法则成为公式 , 其右端似乎约去d y后即得左端,事实上,由前面定理的证明可知,这里并不是一个简单的约分过程. (2) 计算复合函数的过程:x→?y →?z 复合函数求导的过程:z→?y →?x :各导数相乘 例2.3.15求y=sin5x的导数. 解.令u=5x,则y=sin u.于是

定积分计算公式和性质

定积分计算公式和性质第二节 一、变上限函数 上的任一点,于是,x在区间设函数为在区间上连续,并且设 上的定积分为 这里x既是积分上限,又是积分变量,由于定积分与积分变量无关,故可将此改为 在区x如果上限间上任意变动,则对于每一个取定的 上定义了一个以xx为自变量的函值,定积分有一个确定值与之对应,所以定积分在 上变上限函数在区间数,我们把称为函数 记为图 5-10

上一个动点,从而以线段为底的曲边梯是从几何上看,也很显然。因为X形的面积,必然随着底数端点的变化而变化,所以阴影部分的面积是端点x的函数(见图5-10) 定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的,有时甚至无法计算。因此,必须寻求计算定积分的简便方法。 作直线运动,那么在时间区间我们知道:如果物体以速度上所经过的 s为路程5-11 图 的函数,那么物体从t=at到t=b另一方面,如果物体经过的路程s是时间 5-11)所经过的路程应该是(见图 即 为了求出定积分即是由导数的物理意义可知:一个原函数,因此,

上的增量,再求应先求出被积函数在区间的原函数,即可。 的一般方法:如果抛开上面物理意义,便可得出计算定积分 ,在闭区间上连续,是的一个原函数,即设函数则 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。为了使用方便,将公式写成 莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函牛顿-提供它揭示了定积分和不定积分的内在联系,数的原函数在积分上、下限处函数值之差。了计算定积分有效而简便的方法,从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 的一个原函数所以因为是

所围成y=0及x=、x=0和直线求曲线2 例 A(5-12)

常用积分公式

常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1. d x ax b +?=1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ +? = 11 ()(1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3. d x x ax b +?=21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +? =22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5. d ()x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6. 2 d () x x ax b +? =21ln a ax b C bx b x +-++ 7. 2 d ()x x ax b +?=21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22 d ()x x ax b +?=2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9. 2d ()x x ax b +? = 2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10. x C + 11.x ?=2 2(3215ax b C a - 12.x x ?=2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13. x ? =22 (23ax b C a -

14 . 2x ? =2223 2 (34815a x abx b C a -+ 15 .? (0) (0) C b C b ?+>< 16 . ? 2a b - 17. d x x ? =b ?18. 2d x x ? =2a + (三)含有2 2 x a ±的积分 19. 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20. 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21. 22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ (四)含有2 (0)ax b a +>的积分 22.2d x ax b +? =(0) (0) C b C b ?+>+< 23. 2d x x ax b +?=2 1ln 2ax b C a ++

几种定积分的数值计算方法

几种定积分的数值计算方法 摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid

1. 引言 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 )(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ?-1 02 , ? 1 0sin dx x x 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较. 2.几何意义上的数值算法 s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计 算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间 ,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n a b h -= 表示小区间的长度. 2.1矩形法 矩形法就是用小矩形面积近似代替各个小曲边梯形面积,从面积得到S 的近似值.若 取小区间左端点的函数值为小矩形的高,如图1中所示,则∑=-=n i i x f n a b A 1 ).(

不定积分的基本公式和直接积分法

第二节 不定积分的基本公式和直接积分法(Basic Formula of Undefined Integral and Direct Integral ) 课 题:1. 不定积分的基本公式 2. 不定积分的直接积分法 课堂类型:讲授 教学目的:熟练掌握不定积分的基本公式,对简单的函数能用直接积分法进行积分。 教学重点:不定积分的基本公式 教学难点: 直接积分法 教 具:多媒体课件 教学方法: 教学内容: 一、不定积分的基本公式 由于不定积分是求导的逆运算,所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。 导数的基本公式 ( )1222()01 ()1()()ln 1(ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )1 (arctan )1(arccos )1 (cot )1x x x x C x x x e e a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x ααα+'='='=+'='='='='=-'='=-'='=-'= '= +'='=- +21 (log )ln a x x x a '= 不定积分的基本公式 ( ) 1 22 2011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin arctan 1x x x x dx C dx x C x x dx C a e dx e C a a dx C a dx x C x xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x C x C dx x C x αα α+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+=++????????????? ?2arccos arc cot 11 log ln a x C dx x C x dx x C x a =-+=-++=+???

定积分的计算方法

定积分的计算方法 摘要 定积分是积分学中的一个基本问题,计算方法有很多,常用的计算方法有四种:(1) 定义法、(2)牛顿—莱布尼茨公式、(3)定积分的分部积分法、(4)定积分的换元积分 法。以及其他特殊方法和技巧。本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法,并在系 统总结中简化计算方法!并注重在解题中用的方法和技巧。 关键字:定积分,定义法,莱布尼茨公式,换元法 Calculation method of definite integral Abstract the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention to problem in using the methods and skills. Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method

微积分公式与定积分计算练习

微积分公式与定积分计算练习(附加三角函数公式) 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1 ln x x '= ⑿ () 1log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂ ()21arctan 1x x '=+ ⒃() 21arccot 1x x '=-+⒄()1 x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v ''' -??= ??? 三、高阶导数的运算法则 (1)()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±??? ? (2)()() ()() n n cu x cu x =??? ? (3)()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+??? ? (4) ()()() () ()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 (1) () () ! n n x n = (2) () () n ax b n ax b e a e ++=? (3) () () ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ? ?? ? ?(5) ()() cos cos 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ? ?? ? ?