超经典介绍灰关联

一、灰关联方法

1.1、灰关联分析方法概述

灰色系统是既含有已知信息，又含有未知信息或非确知信息的系统。灰关联分析是依据灰数列间几何相似的序化分析与关联测度，来量化不同层次中多个序列相对某一级别的关联性，其实质为灰色系统中多个序列之间接近度的序列分析，这种接近度称为数据间的关联度。关联度愈高，说明该样本序列隶属的关系愈贴近，这是综合评价的信息和依据。在数学理论上，它反映了离散数列空间的接近度，所以是一种几何分析法。灰关联度分析的基本思想是根据离散数据之间几何相似程度来判断关联性大小，并进行排序。

在此，我们通过两个实例给出灰关联分析方法的过程

1.2、灰关联分析的步骤

应用灰关联分析，一般包括下列的计算和分析步骤： （1） 确定参考序列和比较序列； （2） 作原始数据变换； （3） 求绝对差序列； （4） 计算关联系数；

（5） 计算关联度； （6） 排关联序；

（7） 列关联矩阵进行优势分析。

1.2.1 数据变换技术

为了保证建模的质量与系统分析的正确结果，对收集来的原始数据必须进行数据变换处理，使其消除量纲和具有可比性。

定义1 设有序列

((1),(2),,())x x x x n =

称映射

:f x y →

(())(),1,2,,f x k y k k n ==

为序列x 到序列y 的数据变换。 （1） 初值化变换：()(())(),(1)0(1)

x k f x k y k x x =

=≠

（2） 均值化变换：1

()1

(())(),()n

k x k f x k y k x x k x

n

====

∑ （3） 百分比变换：()(())()max ()

k

x k f x k y k x k =

=

（4） 倍数变换：()(())(),min ()0min ()

k

k

x k f x k y k x k x k =

=≠

（5） 归一化变换： 00

()(())(),0x k f x k y k x x =

=>

（6） 极差最大化变换：()m in ()

(())()m ax ()

k

k

x k x k f x k y k x k -=

=

（7） 区间值化变换：()m in ()

(())()m ax ()m in ()

k

k

k

x k x k f x k y k x k x k -==-

1.2.2 变换的性质

上述变换满足

（1） 当()0,1,2,,,()0x k k n y k >=≥ ；

（2） 保序性：若()(),()();()(),()()x i x j y i y j x i x j y i y j <<>> （3） 保差异性：对任意的,,,i t l j ，有

()()()()()()

()()

x i x t y i y t x l x j y l y j --=--

1.2.3 多指标序列的数据变换

设有多指标序列

1111((1),(2),,())x x x x n = 2222((1),(2),,())x x x x n =

((1),(2),,())m m m m x x x x n =

称映射

:i i f x y →

(())(),1,2,,i i f x k y k k n ==

为序列i x 到序列i y 的数据变换。

多因素指标的数据变换主要依赖于指标的属性类型，常用的属性类型有效益型（指标值越大越好型）、成本型（指标值越小越好型）、固定型（指标值越接近某固定值越好型）、区间型（指标值越接近某固定区间越好）、偏离型（指标值越偏离某固定值越好）、偏离区间型（指标值越偏离某固定区间越好）等。

关联分析中常用的数据变换有 效益型：()m in ()

()m ax ()m in ()

i i i

i i i i

i

x k x k y k x k x k -=

-

成本型：m ax ()()

()m ax ()m in ()

i i i

i i i i

i

x k x k y k x k x k -=

-

固定型：max ()()()()

()max ()()min ()()

i i i

i i i i

i

x k a k x k a k y k x k a k x k a k ---=

---，()a k 为固定值

区间[(),()]b k b k 型：

m ax ()()

(),()m ax{()(),()()}m ax ()m in ()

i i i

i i i i i i i

i

k k y k k x k b k b k x k k k ?-?=

?=--?-?

偏离()c k 型：()()max ()()

()max ()()min ()()

i i i

i i i i

i

x k c k x k c k y k x k c k x k c k ---=

---

偏离区间[(),()]b k b k 型：

()m ax ()

(),()m ax{()(),()()}m ax ()m in ()

i i i

i i i i i i i

i

k k y k k b k x k x k b k k k ?-?=

?=--?-?

1.2.4 关联度

定义2：设{}01,,,m x x x 为灰关联因子集，0x 为参考序列，

i x 为比较序列，0(),()i x k x k 分别为0x 与i x 的第k 个点的数，

0000((1),(2),,())x x x x n = 1111((1),(2),,())x x x x n = 2222((1),(2),,())x x x x n =

((1),(2),,())m m m m x x x x n =

给定0((),())i r x k x k 为实数，k ω为k 点权重，满足01k ω≤≤， 1

1n

k k ω==∑。若实数

001

(,)((),())n

i k

i k r x x r x k x k ω

==

∑

满足

1） 规范性：

00(,)1i r x x ≤≤ 00(,)0,i i r x x x x =?∈Φ

00(,)1i i r x x x x =?=

2） 偶对称性：

,,x y X ∈ (,)(,){,r x y r y x X x y

=

?=

3） 整体性：

,,j i x x X ∈ (,)(,)j i j

i r x x r x x ≠ 4） 接近性：

0()()i x k x k -越小， 0((),())i r x k x k 越大

则称0(,)i r x x 为0x 对i x 的灰关联度。

定义3：定义

min max 00max

((),())()i i r x k x k k ρρ?+?=

?+?

为灰关联系数。其中00()()()i i k x k x k ?=-为绝对差，min 0min min ()i i

k

k ?=?为两极最小

差，max 0max max ()i i

k

k ?=?为两极最大差，(0,1)ρ∈为分辨系数

定义4：设k ω为指标k 的权重，满足01k ω≤≤，1

1n

k k ω==∑，定义

001

(,)((),())n

i k

i k r x x r x k x k ω

==

∑

为0x 对i x 的灰关联度，0(,)i r x x 是序列几何距离的一种度量。

1.3 实例

1.3.1 实例一：用灰关联分析的方法分析影响呼和浩特市大气污染的各主要因素的污染水平。

表1 1999-2003年城市大气污染监测数据

计算步骤：

（1）将城市区域大气污染值作为参考序列0(),1,,5x k k = ，其他各因素作为比较因素序列(),1,,8,1,,5i x k i k == ，对各因素初值化处理，得各标准化序列

(),1,,8,1,,5i y k i k ==

表2 标准化数据

（2）由上表求绝对差00()()()i i k y k y k ?=-。得序列

01(0,0.067,0.236,0.130,0.275)?= 02(0,0.007,0.015,0.006,0.616)?= 03(0,0.175,0.244,0.192,0.211)?= 04(0,0.248,0.446,0.770,1.162)?= 05(0,0.989,10744,2.655,4.437)?= 06(0,0.014,0.136,0.359,0.427)?= 07(0,0.116,0.175,0.759,2.107)?= 08(0,0.417,0.431,0.717,0.757)?= min max 0, 4.437?=?=

（3）计算关联系数如下：取0.5ρ=，0()000.5 4.4370.5 4.437

j k i ζ+?=

?+?

01(1,0.971,0.904,0.945,0.890)ζ= 02(1,0.997,0.993,0.997,0.783)ζ= 03(1,0.927,0.901,0.920,0.913)ζ= 04(1,0.899,0.833,0.742,0.656)ζ=

05(1,0.692,0.560,0.455,0.333)ζ= 06(1,0.994,0.942,0.861,0.839)ζ= 07(1,0.950,0.927,0.861,0.839)ζ= 08(1,0.842,0.837,0.756,0.746)ζ=

（4）计算关联度

取123450.2ωωωωω=====，比较因素和参考因素的关联度为

5

0101

1

1

()0.9425

k r k ζ==

=∑ 5

0202

1

1

()0.95

45

k r k ζ==

=∑ 5

0303

1

1

()0.93

55

k r k ζ===∑ 5

0404

11()0.8265k r k ζ

==

=∑ 5

0505

11()0.60

85k r k ζ

==

=∑ 5

0606

1

1()0.92

75

k r k ζ

===∑ 5

0707

1

1

()0.8275

k r k ζ==

=∑ 5

0808

1

1

()0.83

65

k r k ζ==

=∑ 从结果可以看出，直接因素（前3个）关联度的排序为020103r r r >>，说明在城市大气环境的影响因素中，TSP 是主要因素；在间接因素（后5个）中，关联度的排序为

0608070405r r r r r >>>>，机动车数量是主要的间接影响因素。

1.3.2 实例二：基于灰度关联的多传感器融合目标识别方法

目标识别的基本任务就是利用样本的特征和目标库中已知目标的特征的比较，将待识别样本划分为相应的目标类型。目标识别技术是军用指挥自动化系统的关键技术之一，一直是该领域的研究重点和热点。 3.2.1单传感器灰色识别原理

设目标库X 中有m 个目标，每个目标有n 个属性。记i x ((1),(2),())i i i x x x n =

，(1,2,,)i x i m = 表示第i 个目标，()i x k (1,2,,)k n = 表示第 i 个目标的第 k 个属性。在

灰色关联分析理论中，目标库中的每一个目标i x 称为比较序列。传感器收到的待识别的目标记为0x ，称为参考序列，0x ＝000((1),(2),,())x x x n 。经过数据处理后计算

0((),())i r x k x k ，用于反映了待识别目标的第k 个属性与第i 个目标类的第k 个属性的匹配

程度。然后计算0x 对i x 的灰关联度0(,)i r x x ，反映了待识别目标与第i 个目标的相似程度。

基于灰关联分析的识别原理为计算待识别目标与目标库中各目标的灰关联度，按照灰

色系统分辨原理，对关联度进行排序，若0

00max{(,)}i i i

r r x x =，则判断认为目标的类型为0

i 所对应的目标类型。

3.2.1多传感器融合灰色识别原理

设有N 个传感器在同一时间内对同一个目标进行监测，第j 个传感器收到的待识别目标信息记为0j x 000((1),(2),,())j j j x x x n = ，多传感器灰色识别融合原理可叙述如下：

对1,2,,j N =

1）计算第j 个传感器收到的待识别目标的第k 个指标与目标库中0((),())j i r x k x k ； 2）计算0(,)j i r x x (1,2,,)i m = ，得向量j r ＝（0(,)j i r x x ）1m ?

3）设第j 个传感器的权重为j λ，),(0i j ji x x r r =求矩阵R ＝（ji r ）m N ?的加权1范数

i R ＝1

R

＝∑=≤≤N

j ji j

m

i r 1

1max

λ

，则断定多传感器融合识别的结果为目标属于第0i 类。

1.3.3 应用

根据不同目标类型在空中飞行时地面防空系统雷达所能探测的指标和雷达系统校飞中所采用的指标,我们选取空中飞行器的速度v 、高度H 、机动能力α（加速度）、雷达波形大小1P 、雷达回波强弱2P 这5项指标，建立目标类型的参数模板。设有两个传感器在同一时刻对同一目标进行观察，观测值如表3所示。

表3 目标类型的参数模板及待识别的目标参数

v H

α 1P 2P

战略轰炸机B52 1x

250 10000 1 0.8 0.8 歼击机F －16 2x 280 10000 2.5 0.5 0.5 武装直升机 3x

100 6400 2.0 0.2 0.2 隐形战斗机F －117A 4x 220 10000 1.0 0.1 0.1 传感器1的观测数据01x 238 10000 1 0.8 0.7 传感器2的观测数据02x

240

10000

1.02

0.8

0.72

将各传感器的观测数据作为参考序列，各机型参数作为比较序列，对各参数值进行初值化处理，得到无量纲序列表2。

由上表计算绝对差，取分辨系数ρ＝0.5，各指标的权重相同， 由式（1）计算灰关联系数，由式（2）计算灰关联度得1r ＝（0.9690，0.9269，0.8663，0.9523），2r ＝（0.9740，0.9303，0.8663，0.9493），灰关联度矩阵为

??

????=21r r R ＝??

?

?

??9493.08663

.09303

.09740.09523.08663.09269.09609.0

由单传感器识别原理，可判定传感器1和传感器2观测到的目标为战略轰炸机，但由于传感器1的灰关联度中，最大值和次大值之间仅差0.01左右，所以由传感器1判定为战略轰炸机的可信度并不高，现设传感器2的观测精度高，取其权重为3

2

，传感器1的权重为3

1，由多传

表4 参数的无量纲值

v

H

α

1P 2P

战略轰炸机B52 1x

1 40 0.004 0.003

2 0.0032 歼击机F －16 2x 1 35.71 0.0089 0.0018 0.0018 武装直升机 3x

1 64 0.0

2 0.002 0.002 隐形战斗机F －117A 4x 1 45.45 0.0045 0.00045 0.00045 传感器1的观测数据01x 1 42.017 0.0042 0.0034 0.0029 传感器2的观测数据02x

1

41.67

0.00425

0.0033

0.003

感器融合识别原理，计算矩阵R 的列加权和得=c R （0.972，0.9292，0.8663，0.9503），故R 的加权1范数为1R ＝1R ＝0.972，即多传感器融合识别的结果为战略轰炸机。

二、灰色模型

2.1 灰色模型概述

从灰色系统中抽象出来的模型。灰色系统是既含有已知信息，又含有未知信息或非确知信息的系统，这样的系统普遍存在。研究灰色系统的重要内容之一是如何从一个不甚明确的、整体信息不足的系统中抽象并建立起一个模型，该模型能使灰色系统的因素由不明确到明确，由知之甚少发展到知之较多提供研究基础。灰色系统理论是控制论的观点和方法延伸到社会、经济领域的产物，也是自动控制科学与运筹学数学方法相结合的结果。

如果一个系统具有层次、结构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数据的不完备或不确定性，则称这些特为灰色性。具有灰色性的系统称为灰色系统。在灰色系统理论中，利用较少的或不确切的表示灰色系统行为特征的原始数据序列作生成变换后建立的，用以描述灰色系统内部事物连续变化过程的模型，称为灰色模型，简称GM 模型

2.2 GM （1,1）模型

2.2.1GM （1,1）建立

灰色系统理论的实质是将无规律的原始数据进行累加生成，得到规律性较强的生成数列后再重新建模。由生成模型得到的数据再通过累加生成的逆运算——累减生成得到还原模型，再还原模型作为预测模型。灰色模型是预测工作的基础模型。

记))(),2(),1(()

0()

0()

0()

0(n x

x

x

x

=为原始序列，))(),2(),1(()

1()

1()

1()

1(n x

x

x

x

=为

由)

0(x 经过一次累加生成的序列，其中∑==

k

i i x

k x

1

)

0()

1()()(，n k ,2,1=，

))(),2(),1(()

1()

1()

1()

1(n z

z z z =表示)

1(x 的均值生成序列，

))()1((2

1)()

1()

1()

1(k x

k x

k z

+-=

，n k ,3,2=

命题1： 序列)0(x 的GM （1,1）模型定义为

b k az

k x

=+)()()

1()

0( n k ,3,2=

则参数b a ,的表达式为

1()T T

a B B B Y

b -??= ???

(1)(1)(1)(2)1(3)1()1z z B z n ??

- ?-

?= ? ? ?-?

? ，(0)(0)(0)(2)(3)()x x Y x n ?? ?

?= ? ? ???

若令∑==

n

k k z

C 2

)

1()(，∑==

n

k k x

D 2

)

0()(，)()()

0(2

)

1(k x

k z

E n

k ∑==

，2

2

)

1())((∑==

n

k k z

F ，则参

数b a ,的表达式为2

)1()1(C

F n E n CD a ----=

2

)1(C

F n CE DF b ---=

2.2.2新息改进GM （1,1）模型

设))1(),2(),1(()0()0()0()0(-=n x x x x ，其参数为b a ,的GM （1,1）模型为

?

??==+)1()1(?)()()

1()1()1()0(x x b k az k x 1

3,2-=n k （Ⅰ） )()

0(n x

为系统最新信息，由于它与预测时间最为接近，因而对系统特征的研究更具价值，

记)}({)

0()

0()

0(1

n x

x

x ?=，由)

0(1x 建立的GM （1,1）模型称为新息GM （1,1）模型，该模

型的边界条件为)1()1()1(?)

0()

1()

1(x

x x

==。若将含系统最新信息的条件作为边界条件，即

)()(?)1()1(n x n x

=，得到如下模型 定义2.1： 称?

??==+)()(?)()()

1()1(1)1(1)0(n x n x b k z a k x n

k 3,2= （Ⅱ） 为新息改进GM （1,1）模型。

命题2： 新息改进GM （1,1）模型的参数估计为

∑=--=

n

k k z

n k x

D a 2)

1(1)

0(1

1)]()1()[(1β ∑=-=

n

k k z

k x

D b 2

1)

1(1)

0(1

1])()[(1βα （2）

其中2

2

)

1(1)]([∑==

n

k k z

α，∑==

n

k k z

2

)

1(1)(β，2

111)1(βα--=n D 。

旧模型（Ⅰ）和新模型（Ⅱ）间的参数关系如下

命题3：2

1

2

)

1()

1(1)]()([∑-=-+

=n k k z

n z

D D

)])()([)]()([(1)

1()

1(1

2)

0()

0(11k z

n z

n x

k x

a D D a n k --+

=

∑-=

)])()()()()][()([(1)

1()

0()

0()

1()

1()

1(1

2

1

1k z

n x

k x

n z

k z

n z

b D D b n k --+

=

∑

-=

2.2.3累积法新息改进GM （1,1）模型的参数空间

累积法是一种基于累加生成技术的新的曲线拟合技术。本节将累积法引入新息改进 GM （1,1）模型的参数估计中，给出新的参数估计公式。

定义2.2：对任意的自然数r ，数列}{t x n t ,2,1=的r 阶累积算子为

∑∑

∑

==-==

n

t t

l l r n

t t r x x 11)

1(1)

(

通常记1≡t x 时的r 阶累积算子∑

=n

t r 1

)

(1为∑

=n

t r 1

)

(。

关于r 阶累积算子的计算有如下定理

定理1：

)()()

0(1

1

1

1)

0()

(k x

C

k x

n

k r r k n n

k r ∑∑

=--+-==

r

r n n

k r C 11

)

(-+==∑

下面给出新息改进GM （1,1）模型中参数的累积法估计。首先对模型（Ⅱ）的第一个方程施加累积算子，假设累积法算子的最高阶数为r ，由于模型的参数有2个，故r 一定不小于2。

∑

∑

∑

====+n

k n

k n

k b k z

a k x

2)

1(1)

1()

1(21)

0()

1(2)()(

∑

∑

∑

====+n

k n

k n

k b k z

a k x

2

)

2(1)

1()

2(2

1)

0()

2(2

)()(

… … … … … … … … …

∑

∑

∑

====+n

k r r n

k r n k b k z

a k x

2

)

(1)

1()

(2

1)

0()

(2

)()(

记????????????????????---=∑∑∑

∑∑∑======n k r n k r n

k n k n

k n k r

k z

k z k z X 2)

(2

)

1()

(2)2(2

)

1()2(2)

1(2)

1()

1()

()

()(

，??

?

???

?

?

?

?

??????????

---=∑∑∑===n

k r n

k n

k r k x k x k x

Y 2

)

0()(2)0()2(2

)

0()

1()()()(

，??????=11???b a a ，则上述方程组的矩阵形式为r r Y a

X =?，易知参数a ?的解析解为 r r Y X a

1?-= 或 r T r r T r Y X X X a 1)(?-= 实际应用过程中，一般1-r X 是存在的，可直接取2=r ，此时由Cramer 法则，易解出参数的表达式为

定理2：模型（Ⅱ）累积法的参数表达式为

])()([12

)

0()

2(2

)

1(2)

0()

1(2

)

2(1

1∑

∑∑

∑

====-

=

n k n

k n k n

k k x

k x

B a

])()()()([12

)

0()

2(2

)

1()

1(2

)

1()

2(2

)

0()

1(1

1∑

∑

∑

∑

====-

=

n

k n

k n

k n k k x

k z

k z

k x

B b

其中∑

∑

∑

∑====-

=

n k n k n k n k k z

k z

B 2

)

1()

1(2

)

2(2

)

1()

2(2

)

1(1)()(

同理易知模型（Ⅰ）累积法的参数表达式为 定理3：])()([112

)

0()

2(1

2

)

1(12)

0()

1(1

2

)

2(∑

∑∑

∑

-=-=-=-=-

=

n k n k n k n k k x

k x

B

a

])()()()([11

2

)

0()

2(12)

1()

1(1

2

)

1()

2(12

)

0()

1(∑

∑

∑

∑

-=-=-=-=-

=

n k n k n k n k k x

k z

k z

k x

B

b

其中∑

∑

∑

∑-=-=-=-=-

=

1

2

)

1()

1(1

2

)

2(12

)

1()

2(12

)

1()()(n k n k n k n k k z

k z

B

2.2.4灰色模型的建模步骤

（1）级比检验、建模可行性分析。

对给定序列(0)

x

，能否建立高精度的GM （1,1）模型，一般可用(0)

x

的级比0

()k σ的大

小与所属区间来判断。

设))(),2(),1(()

0()

0()

0()

0(n x

x

x

x

=，0(0)

(0)

()(1)()k x

k x

k σ=-，若

22

1

1()[,]n n k e

e σ-

++∈，则可GM （1,1）建模。

（2）数据变换处理。对级比检验不合格的序列，经过平移变换、对数变换、方根变换等进行变换。

（3）建立GM （1,1）模型 （4）模型检验。

1）残差检验：(0)?()x

k 为由模型得到的估计值 (0)

(0)(0)

?()()()100%()

x

k x k k x

k ε-=

?，2

1

()()1

n

k avg k n εε==

-∑，0

(1())100%p avg ε=-?

一般要求()20%k ε<，最好()10%k ε<；一般要求080%p >，最好090%p >。

2）后验差检验：设(0)x 为原始序列，(0)?x

为模型序列，(0)(0)(0)?()()(),q k x k x k q =-为残差序列，(0)

x

的均值和方差分别为(0)

2

(0)

2

1

1

1

1

1

(),(())n

n

k k x x k S x k x n

n

===

=

-∑∑，(0)

q

的均

值和方差分别为'

'

22

'

2

1

1

1

1

(),(()),n

n

k k q q k S

q k q n n n

n

===

=

-<∑∑。后验差比值和小误差频率分

别为21

S C S =

，1{()0.6745}P P q k q S =-<

（5）预报

2.2.5实例

1.GM （1.1）模型

某城市道路交通噪声平均级数数据为)0(x ＝（71.1，72.4，72.4，72.1，71.4，72.0，71.6） （1）求级比：0

(0)

(0)

()(1)()k x k x

k σ=-，

(0.9820,1.0000,1.0042,1.0098,0.9917,1.0059)σ

=，所有0

()[0.7788,1.2840]k σ∈，

可作GM （1,1）建模 （2）对原始数据)

0(x

作一次累加

(1)

(0)

(1)(1)71.1x x

==，(1)

(1)

(0)

(2)(1)(2)143.5x x

x

=+=，

(1)

(1)

(0)

(3)(2)(3)215.9x x x =+=， (1)

(1)

(0)

(4)(3)(4)288x x x =+=，(1)(1)(0)(5)(4)(5)359.4x x x =+=， (1)(1)(0)

(6)(5)(6)431.4x x

x

=+=，

(1)(1)(0)

(7)(6)(7)503x

x

x

=+=

构造数据矩阵,B Y

(1)

(1)

(1)

1(2)[(1)(2)]107.32z x x =+=， (1)

(1)

(1)

1

(3)[(2)(3)]179.72z

x

x

=+= (1)(1)(1)

1(4)[(3)(4)]251.952z x x

=+=，(1)

(1)

(1)

1(5)[(4)(5)]323.72

z x x =+= (1)(1)

(1)1(6)[(5)(6)]394.42

z

x

x

=

+=， (1)(1)(1)

1(7)[(6)(7)]467.22

z

x

x

=

+=

107.31179.71251.951323.71359.41467.21B -??

?-

? ?-=

?- ? ?

- ? ?-??，72.472.472.171.472.071.6Y ?? ? ?

?= ? ? ? ? ???

，172.6572696()0.00234379T T

a B B B Y

b -????== ? ???

??

（3）建立模型

(0)

(1)

()0.00234379()72.6572696x

k z

k +=

白化方程为

(1)

(1)

0.0023437972.6572696dx

x

dt

+=

取(1)

(0)

(0)(1)71.4x

x

==，得时间响应函数

(1)?(1)x

k +=(1)((0))ak

b b x e

a

a

--+

＝-30928.852590.00234379k e -+30999.95259

（4）求生成序列(1)?(1)x

k +及模型还原值(0)?(1)x k + 令5,4,3,2,1=k ，6，由上面的时间响应函数计算(1)

?x

，取(1)

(0)(0)??(1)(1)(1)71.4x

x

x ===再由(0)

?()x

k =)1(?)(?)1(1)1(1--k x k x

，取6,5,4,3,2=k ，7，得 (0)?(71.1,72.4,72.2,72.1,71.9,71.7,71.6)x

= （5）模型检验见表5

2.新息改进GM （1.1）模型

设系统特征数据序列)

0(x

＝（2.874，3.278，3.337，3.39，3.679），新息为)6()

0(x

＝3.85，

)}6({)

0()

0()

0(1

x

x

x ?=＝（2.874，3.278，3.337，3.39，3.679，3.85），则

)

1(1x ＝（2.874，6.152，9.489，12.879，16.558，20.4080） )

1(1z ＝（4.513，7.8205，11.184，14.7185，18.483）

表5 GM （1,1）模型检验表

该模型的精度较高，不需要修正，可进行预测和预报。

?????

???????-

-=∑

∑∑

∑====n

k k k k k z k z

X

2

)2(6

2

)

1(1)

2(6

2)

1(62)

1(1

)

1(2

)

()(＝??

?

???--20319.1355719.56 ?????

???????-=∑∑==62)0(1)2(62

)0(1)1(2)()(k k k x k x Y ＝??????--116.51534.17

21

211Y X b a -=??

????＝??????-0229.30427.0

建立模型为

0229.3)(0427.0)()

1(1)

0(1=-k z k x

白化方程为

0229.3)(0427.0)

1(1)

1(1=-k z dt

dx

取4080.20)6()6(?)

1(1)

1(1==x x

，得时间响应函数 =)()1(1k x 1

1)

(1

1)

1(11))((a b e

a b n x n k a +

-

--＝91.2019)

6(0427.0-k e

－70.7939

令5,4,3,2,1=k ，由上面的时间响应函数计算)1(1?x

，再由=)(?)0(1k x )1(?)(?)

1(1)1(1--k x k x ，取6,5,4,3,2=k ，得

)0(1?x

（2.8746，3.2138，3.354，3.5003，3.6548，3.8213） 表6列出3个模型得预测值及误差

表6预测及误差

k

)()0(1

k x

GM(1,1)

新息改进GM(1,1)

新模型

)(?)0(k x

误差/℅ )(?)0(1k x

误差/℅ )(?)0(1k x

误差/℅ 1 2.874 2.874 0 2.874 0 2.8746 0 2 3.278

3.236 1.402 3.2119 2.013 3.2138 1.9585 3 3.337 3.3545 0.524 3.3526 0.467 3.354 0.509 4 3.39 3.4817 2.705 3.4996 3.232 3.5003 3.253 5 3.679

3.6136 1.778 3.653 0.707 3.6548 0.6578 6

3.85

3.8131

0.957 3.8213

0.7454 原点误差 平均误差

1.778

1.602 0.957

1.475 0.7454

1.425

由上表可知，累积法新息改进GM （1,1）模型的原点误差和平均误差比新息改进GM （1,1）模型和GM （1,1）模型都小，而且3个模型中累积法新息改进GM （1,1）模型的误差最小，预测较近点的精度最高，模型精度也最高。