高考 解题策略 第2讲

第2讲参数法在解题中的应用

[方法精要]在解数学题的过程中，往往会遇到一些不能直接求解或直接求解困难，或较烦琐的变数问题，这时往往要通过引入条件中原来没有的辅助变量(参数)，并以此作为媒介，使问题转化从而解决问题，这种应用参数解决问题的方法称为参数法．

应用参数法的关键在于恰当的选取参数，只有参数引入恰当，问题才能迎刃而解，收到事半功倍的效果．使用参数法的原则是引进参数后，能使问题获解．其次还要考虑引进参数的合理性，除了要考虑条件和结论的特点外，还要注意某

些量的取值范围，任何变量都有取值范围，另外还要注意原问题并非关于参数的问题，参数并不是直接研究对象，它只是起“桥梁”和转化作用，所以当求得间接解后要倒回去确定原问题的解，这就可能要消去参数而用问题中原有的变数表示结果．

参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支．运用参数法解题已经比较普遍．参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题．

题型一参数法在函数问题中的应用

例1定义在R上的增函数y＝f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求f(0)；

(2)求证：f(x)为奇函数；

(3)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

破题切入点(1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，第(1)(2)两问可用赋值法解决．(2)将恒成立问题转化成函数最值问题．

(1)解令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，

即f(0)＝0.

(2)证明令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，

又f(0)＝0，则有0＝f(x)＋f(－x)，

即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立，

所以f(x)是奇函数．

(3)解方法一因为f(x)在R上是增函数，

又由(2)知f(x)是奇函数．

f(k·3x)<－f(3x－9x－2)＝f(－3x＋9x＋2)，

所以k·3x<－3x＋9x＋2，

32x－(1＋k)·3x＋2>0对任意x∈R成立．

令t ＝3x >0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立．

令f (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2，其对称轴为x ＝1＋k 2

， 当1＋k 2

<0即k <－1时，f (0)＝2>0，符合题意； 当1＋k 2≥0即k ≥－1时，对任意t >0，f (t )>0恒成立?????? 1＋k 2≥0，Δ＝(1＋k )2－4×2<0，

解得－1≤k <

－1＋2 2.

综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立．

方法二 由k ·3x <－3x ＋9x ＋2，得k <3x ＋23x －1. u ＝3x ＋23x －1≥22－1,3x ＝2时，取“＝”，即u 的最小值为22－1， 要使对x ∈R ，不等式k <3x ＋23x －1恒成立， 只要使k <22－1.

题型二 参数法在数列问题中的应用 例2 设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.

(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；

(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2

为数列{a n }中的项． 破题切入点 求特定量的取值，往往需要引入参数，根据题中的条件找出参数与所求量之间的数量关系，利用条件求参数的取值或取值范围，进而求出特定量．

解 (1)设公差为d ，则a 22－a 25＝a 24－a 23，

由性质得－3d (a 4＋a 3)＝d (a 4＋a 3)，

因为d ≠0，所以a 4＋a 3＝0，即2a 1＋5d ＝0，

又由S 7＝7得7a 1＋7×62

d ＝7， 解得a 1＝－5，d ＝2.

所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －7，

前n 项和S n ＝n 2－6n .

(2)因为a n ＝2n －7，

所以a m a m ＋1a m ＋2＝(2m －7)(2m －5)(2m －3)

， 设2m －3＝t ，则a m a m ＋1a m ＋2

＝(t －4)(t －2)t ＝t ＋8t －6，

所以t 为8的约数．

又因为t 是奇数，所以t 可取的值为±1，

当t ＝1时，m ＝2，t ＋8t

－6＝3,2×5－7＝3＝a 5是数列{a n }中的项； 当t ＝－1时，m ＝1，t ＋8t

－6＝－15， 数列{a n }中的最小项是－5，故不是数列中的项．

所以满足条件的正整数m 的值是m ＝2.

题型三 参数法在不等式中的应用

例3 已知2x ＝3y ＝5z ，试比较2x 、3y 、5z 的大小．

破题切入点 本题的解决需要引入中间变量t (参数)，必须使得x ，y ，z 都能用这个参数t 表示，而后通过作差即可进行大小的比较．

解 设2x ＝3y ＝5z ＝t (t >1)，

则x ＝log 2t ，y ＝log 3t ，z ＝log 5t ，

所以2x －3y ＝2log 2t －3log 3t

＝lg t 2lg2－lg t 3lg3＝lg t (2lg3－3lg2lg3×lg2

) ＝lg t (lg9－lg8lg3×lg2

)， 因为lg t >0，lg9－lg8lg3×lg2

>0， 所以lg t (lg9－lg8lg3×lg2

)>0， 所以2x >3y ；

同理5z －2x ＝lg t (lg32－lg25lg2×lg5

)>0， 所以5z >2x >3y .

题型四 参数法在解析几何中的应用

例4 (2013·浙江)已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)．

(1)求抛物线C 的方程；

(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO 、BO 分别交直线

l ：y ＝x －2于M 、N 两点，求|MN |的最小值．

破题切入点 (1)已知抛物线焦点坐标为F (0,1)，可直接写出抛物线方程；

(2)利用根与系数的关系和函数的单调性求最值．

解 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p 2

＝1， 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.

由?????

y ＝kx ＋1，x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.

从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.

由????? y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，

解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214

＝84－x 1. 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2

. 所以|MN |＝2|x M －x N | ＝2???

?84－x 1－84－x 2 ＝82????

??x 1－x 2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16 ＝82k 2＋1|4k －3|

. 令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34

. 当t >0时，|MN |＝22

25t 2＋6t ＋1>2 2. 当t <0时，|MN |＝22????5t ＋352＋1625≥85

2. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时， |MN |的最小值是85

2. 总结提高 数学问题中参数的选取、消去、确定、讨论很普遍，而且在解题中，参数的选取多种多样，设参数而不求参数，只是利用其作为中间变量辅助计算，是常见的形式．其综合性强，知识面广，一般都需要根据问题的条件作出透彻分析，才能恰当的选取参数，然后利用参数提供的信息，顺利解答问题．

1．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案 B

解析 ∵x >0，y >0，

∴x ＋2y ≥22xy (当且仅当x ＝2y 时取等号)．

又由x ＋22xy ≤λ(x ＋y )可得λ≥

x ＋22xy x ＋y

， 而x ＋22xy x ＋y ≤x ＋(x ＋2y )x ＋y ＝2， ∴当且仅当x ＝2y 时，?

????x ＋22xy x ＋y max

＝2. ∴λ的最小值为2. 2．在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组??? 0≤x ≤

2，y ≤2，x ≤2y 构成，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值是( )

A ．42

B ．32

C ．4

D ．3

答案 C 解析 如图作出区域D ，目标函数z ＝2x ＋y 过点(2，2)时取最大值，故z 的最大值为2×2＋2＝4，故选C.

3．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )

A.π12

B.π6

C.π3

D.5π6

答案 B

解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3

＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3

＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2

，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6

，k ∈Z ，

∵m >0，∴m 的最小值为π6

. 4．已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，则x 的取值范围为( )

A ．(－∞，－1)

B ．(2，＋∞)

C ．(－1,2)

D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 答案 D

解析 ∵t ∈[2，8]，

∴f (t )∈????12，3.

原题转化为当m ∈???

?12，3时，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，即m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立．

令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈????12，3，

问题转化为g (m )在m ∈????12，3上恒大于0，

则错误! 即错误!

解得x >2或x <－1.

5．设函数f (x )＝e x ＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若曲线y ＝sin x 上存在(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则a 的取值范围是( )

A ．[1，e]

B ．[e －1－1,1]

C ．[1，e ＋1]

D ．[e －

1－1，e ＋1] 答案 A

解析 曲线y ＝sin x 上存在点(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则y 0∈[－1,1]，考查四个选项，B ，D 两个选项中参数值都可取0，C ，D 两个选项中参数都可取e ＋1，A ，B ，C ，D 四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e ＋1时是否符合题意，即可得出正确选项，当a ＝0时，f (x )＝e x ＋x ，此时是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y 0∈[0,1]时f (f (y 0))＝y 0是否成立，由于f (x )＝e x ＋x 是一个增函数，可得出f (y 0)≥f (0)＝1，而f (1)＝e ＋1>1，故a ＝0不合题意，由此知B ，D 两个选项不正确．当a ＝e ＋1时，f (x )＝e x ＋x －e －1此函数是一个增函数，f (1)＝e ＋1－e －1＝0，而f (0)没有意义，故a ＝e ＋1不合题意，故C ，D 两个选项不正确．综上讨论知，可确定B ，C ，D 三个选项不正确．

6．已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (x ∈R )，若f [g (1)]＝1，则a ＝________.

答案 1

解析 因为f [g (1)]＝1＝50，

所以g (1)＝0，即a －1＝0，所以a ＝1.

7．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A 、B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.

答案 4±15

解析 根据题意，圆心到直线ax ＋y －2＝0的距离为3， 所以|a ＋a －2|a 2＋1

＝3，解得a ＝4±15. 8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．

(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；

(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．

解 (1)由????? y ＝2x －4，y ＝x －1得圆心C 为(3,2)，

∵圆C 的半径为1，

∴圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1，

显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，

即kx －y ＋3＝0， ∴|3k －2＋3|

k 2＋1＝1，∴|3k ＋1|＝k 2＋1，

∴2k (4k ＋3)＝0，∴k ＝0或k ＝－3

4，

∴所求圆C 的切线方程为y ＝3或y ＝－3

4x ＋3，

即y ＝3或者3x ＋4y －12＝0.

(2)∵圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上，

所以，设圆心C 为(a,2a －4)，

则圆C 的方程为(x －a )2＋[y －(2a －4)]2＝1，

又∵MA ＝2MO ，∴设M 为(x ，y )， 则x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，

整理得：x 2＋(y ＋1)2＝4.

此圆设为圆D ，∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上，

即圆C 和圆D 有交点，

∴|2－1|≤a 2＋[(2a －4)－(－1)]2≤|2＋1|，

由5a 2－12a ＋8≥0得a ∈R ；

由5a 2－12a ≤0得0≤a ≤12

5.

综上所述，a 的取值范围为[0，125

]． 9．已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m

≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由．

解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，

则由已知可得?????

a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10， 解得????? a 1＝53，q ＝3或?????

a 1＝－5，q ＝－1. 故a n ＝53

·3n －1或a n ＝(－5)·(－1)n －1. (2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35???

?13n －1， 故数列????

??1a n 是首项为35，公比为13的等比数列． 从而n ＝1m 1a n ＝35????1－????13m 1－13

＝910·????1－????13m <910<1. 若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则1a n ＝－15

(－1)n －1， 故数列????

??1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列， 从而n ＝1m 1a n ＝????? －15，m ＝2k －1(k ∈N *)，0，m ＝2k (k ∈N *).

故n ＝1m

1a n <1. 综上，对任何正整数m ，总有n ＝1m

1a n <1. 故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m

≥1成立． 10．已知函数f (x )＝x 4－3x 2＋6.

(1)讨论f (x )的单调性；

(2)设点P 在曲线y ＝f (x )上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程．

解 (1)f ′(x )＝4x 3－6x ＝4x (x ＋

62)(x －62)， 令f ′(x )>0得－6262

； 令f ′(x )<0得x <－62或0

. 因此，f (x )在区间(－

62，0)和(62，＋∞)为增函数； 在区间(－∞，－62)和(0，62

)为减函数． (2)设点P (x 0，f (x 0))，由l 过原点知，

l 的方程为y ＝f ′(x 0)x ，

因此f (x 0)＝f ′(x 0)x 0，

即x 40－3x 20＋6－x 0(4x 30－6x 0)＝0，

整理得(x 20＋1)(x 20－2)＝0，

解得x 0＝－2或x 0＝ 2.

所以所求的方程为y ＝－2x 或y ＝2x .

11．设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx 8

＋1. (1)求f (x )的最小正周期．

(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43

]时y ＝g (x )的最大值． 解 (1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4

x ＝32sin π4x －32cos π4

x ＝3sin(π4x －π3

) 故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ

4

＝8. (2)在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，

它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．

由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，

从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3] ＝3sin[π2－π4x －π3] ＝3cos(π4x ＋π3

)，

当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3

， 因此y ＝g (x )在区间[0，43

]上的最大值为 g (x )max ＝3cos π3＝32

. 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33

，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．

(1)求椭圆方程；

(2)设该椭圆的左，右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2与l 1交于点P ，求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．

解 (1)由于e ＝33，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝13

， ∴b 2a 2＝23

， 又b ＝21＋1

＝2， 所以a 2＝3，b 2＝2，

所以所求的椭圆方程为x 23＋y 2

2

＝1. (2)由(1)知F 1和F 2两点的坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，

由题意可设P (1，t )(t ≠0)．

那么线段PF 1中点为N (0，t 2

)， 设M (x ，y )是所求轨迹上的任意点．

由于MN →＝(－x ，t 2

－y )，PF 1→＝(－2，－t )， 则?????

MN →·PF 1→＝2x ＋t (y －t 2)＝0，y ＝t ，

消去参数t 得y 2＝－4x (x ≠0)．

所以点M 的轨迹方程为y 2＝－4x (x ≠0)，其轨迹为抛物线(除原点)．