曲线运动精讲

考点1：对曲线运动的认识

1．曲线运动的条件：质点所受合外力的方向（或加速度方向）跟它的速度方向不在同一直线上。 当物体受到的合力为恒力（大小恒定、方向不变）时，物体作匀变速曲线运动 ，如平抛运动。

当物体受到的合力大小恒定而方向总跟速度的方向垂直，则物体将做匀速率圆周运动．（这里的合力可以是万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力——绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力——锥摆、静摩擦力——水平转盘上的物体等．）

如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化——如小球被绳或杆约束着在竖直平面内运动，是变速率圆周运动．合力的方向并不总跟速度方向垂直．

2．曲线运动的特点：曲线运动的速度方向一定改变，所以是变速运动。需要重点掌握的两种情况：一是加速度大小、方向均不变的曲线运动，叫匀变速曲线运动，如平抛运动，另一是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动，如匀速圆周运动。

3．运动的性质和轨迹

物体运动的性质由加速度决定（加速度得零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。

物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动）。

两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动？ 决定于它们的合速度和合加速度方向是否共线（如图所示）。 常见的类型有：

⑴a =0：匀速直线运动或静止。

⑵a 恒定：性质为匀变速运动，分为：① v 、a 同向，匀加速直线运动；②v 、a 反向，匀减速直线运动；③v 、a 成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v 、a 之间，和速度v 的方向相切，方向逐渐向a 的方向接近，但不可能达到。）

⑶a 变化：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。 题型一：会用曲线运动的条件分析求解相关问题。

例(2007年广东卷).质点在一平面内沿曲线由P 运动到Q ，如果用v 、a 、F 分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合外力，下列图象可能正确的是（D ）

解析：做曲线运动物体的速度方向为曲线上该点的切线方向，F 与v 方向不在一条直线上，做圆周运动的物体加速度方向指向圆心，故D 正确。

例．如图所示，汽车在一段弯曲水平路面上匀速率行驶，关于它受到的水平方向的作用力方向的示意图（如图），可能正确的是（图中F 为地面对它的静摩擦力，F f 为它行驶时所受阻力） （ C ） 题型．．二．：如何确定合运动的轨迹和性质？．．．．．．．．．．．．．．． 例.一质点在xoy 平面内运动的轨迹如图所示.下面关于分运动的判断正确的是（A ）

A .若在x 方向始终匀速运动，则在y 方向先减速后加速运动

B .若在x 方向始终匀速运动，则在y 方向先加速后减速运动

C .若在y 方向始终匀速运动，则在x 方向一直加速运动

D .若在y 方向始终匀速运动，则在x 方向一直减速运动

例．关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下述说法正确的是（ ） A 、一定是直线运动 B 、一定是曲线运动 C 、可能是直线运动也可能是曲线运动

D 、一定是匀变速运动

例．一物体在三个共点力作用下做匀速直线运动，若突然撤去其中一个力，其余两个力不变，此物体可能做 （ ） A 、匀加速直线运动 B 、匀减速直线运动 C 、类似于平抛运动 D 、匀速圆周运动

例．如图所示，在一次救灾工作中，一架水平直线飞行的直升飞机A ，用悬索救护困在水中的伤员B ，在直升飞机A 和伤员B 以相同的水平速度匀速运动的同时，悬索将伤员吊起，在某一段时间内，A 、B 之间的距离以2l H t =-（式中H 为直升飞机A 离水面的高度）规律变化，则在这

段时间内：【D 】

A ．悬索的拉力等于伤员的重力

B ．悬索是倾斜的

C ．伤员做匀加速直线运动

D ．伤员做速度增大的匀变速曲线运动

考点2：运动的合成与分解

运动的合成与分解：包括位移、速度、加速度的合成和分解.它们与力的合成和分解一样都遵守平行四边形定则，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成，由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解，合运动和分运动具有等时性.研究运动合成和分解，目的在于把一些复杂的运动简化为比较简单的直线运动，这样就可以应用已经掌握的有关直线运动的规律，来研究一些复杂的曲线运动. 题型三:运动的合成与分解

例.苏北四市高三第三次调研试题14.如图甲所示，在一端封闭、长约lm 的玻璃管内注满清水，水中放一个蜡烛做的蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧．然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动．假设从某时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每1s 上升的距离都是10cm ，玻璃管向右匀加速平移，每1s 通过的水平位移依次是2.5cm 、7.5cm 、12.5cm 、17.5cm ．图乙中，y 表示蜡块竖直方向的位移，x 表示蜡块随玻璃管通过的水平位移，t =0时蜡块位于坐标原点． （1）请在图乙中画出蜡块4s 内的轨迹； （2）求出玻璃管向右平移的加速度； （3）求t =2s 时蜡块的速度v ．

解;（1）如图 （3分） （2）Δx =at 2 （2分）

2

22m/s 105-?=?=

t

x a （2分） （3）m/s 10.t y

v y == （1分） m/s 10.at v x ==

（1分）

m/s 21022.v v v y

x

=+=

（2分）

例．一物体在光滑水平面上运动，它的x 方向和y 方向的两个分运动的速度

图象如图所示。

（1）、判定物体的运动性质，简述你的理由？ （2）、计算物体的初速度；

（3）、计算物体在前3s 内和前6s 内的位移。 针对训练 甲

乙

10

y /cm 10

1．某人骑自行车以10米/秒的速度在大风中向东行驶，他感到风正以相对车10m/s 的速度从北方吹来，则风的实际速度为（ ） A 、14米/秒，方向南偏西； B 、14米/秒，方向东偏南； C 、10米/秒，方向为正北；D 、10米/秒，方向为正南；

2.细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在竖直面内做圆周运动，关于小球运动到P 点时的加速度方向，下图可能的（ ）

3.红蜡块在玻璃管的水中以V =0.4m/s 匀速上升的同时把玻璃管水平向右以V x =0.3m/s 作匀速直线运动。如图所示，以红蜡块在某处时开始计时并以此处为坐标原点建立如图所示坐标则2s 内红蜡块的位移大小及2s 末时的速度大小分别是 （ ）

A. 0.8m 0.4m/s

B. 0.6m 0.3m/s

C. 1.4m 0.5m/s

D. 1m 0.5m/s

4.如图所示，红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在 A 点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右作匀加速直线运动，

则红蜡块实际运动的轨迹是图中的 （ ） A ．直线p B ．曲线Q C ．曲线R D ．无法确定

思考：若使玻璃管水平向右作减速或匀速速直线运动，结果又如何？

5．在封闭且足够长的玻璃管中注满清水，水中放一蜡球（直径略小于玻璃管内径），将玻璃管竖直放置，蜡球在玻璃管内每1s 上升的距离都是5cm ，从t=0开始，在蜡球上升的同时，将玻璃管由静止水平向右

匀加速平移，每1s 通过的水平位移依次是4cm ，12cm ，20cm ，28cm ，…试分析、计算（1）、蜡球做直线运动还是曲线运动，简述你的理由（2）、蜡球在t=2s 时的运动速度。

题型四：船过河．．．．．．．

例、一条宽度为L 的河流，水流速度为V s ,已知船在静水中的速度为V c ，那么： （1）怎样渡河时间最短？

（2）若V c >V s ,怎样渡河位移最小？ （3）若V c

分析与解：（1）如图2甲所示，设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V 1=V c sin θ,渡河所需时间为：θ

sin c V L

t

=

.

可以看出：L 、V c 一定时，t 随sin θ增大而减小；当θ=900时，sin θ=1,所以，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，

c

V L t =

min .

(2)如图2乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L ，必须使船的合速度V 的方向与河岸垂直。这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。根据三角函数关系有：V c cos θ─V s =0.

所以θ=arccosV s /V c ,因为0≤cos θ≤1,所以只有在V c >V s 时，船才有可能垂直于河岸横渡。

A

C

2

图2甲

图2乙

图2丙

（3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？如图2丙所示，设船头V c 与河岸成θ角，合速度V 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以V s 的矢尖为圆心，以V c 为半径画圆，当V 与圆相切时，α角最大，根据cos θ=V c /V s ,船头与河岸的夹角应为：θ=arccosV c /V s .

船漂的最短距离为：θ

θsin )

cos (min

c c s V L V V x -=.

此时渡河的最短位移为：L V V

L s c

s ==θcos .

例:甲乙两船在静水中的速度分别是v 甲的v 乙，两船从同一渡口的河对岸划去，已知甲船以最短时间过河，乙船以最短航程过河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，求甲、乙两船渡河所用的时间之比.

解：设河水速度为v 水，由题信息可知，

两船在河水的合速度方向相同且水乙

v v <，如图所示，

则有：水

乙

v v =

αcos ①

两船在河对岸同一点靠岸则有：乙乙水甲水t v v t v )cos (α-=

②

联立方程①和②解得：

2

2

2

水

乙

水乙

甲v v v t t -=

③

由图中几何关系可得：2

2

cos 水

甲甲水

乙

v v v v v +==α

两边平方整理得：

2

22222v v v v v v 水

乙甲乙水甲＋＝

即：

2

22

2

2甲

乙水

乙

水v v v v v =

- ④

联立方程③和④解得：2

2::甲

乙乙甲v v t t =

所以，甲、乙两船渡河所用的时间之比为2

2

::甲

乙乙甲

v v t t =

针对训练

1.一船在静水中的速度为6 m/s ，要横渡流速为8 m/s 的河，下面说法正确的是（C ）

A.船不能渡过此河

B.船能行驶到正对岸

C.若河宽60 m ，过河的最少时间为10 s

D.船在最短时间内过河时，船对地的速度为6 m/s

2.一条船沿垂直河岸的方向航行，它在静水中航行速度大小一定，当船行驶到河中心时，河水流速突然增大，这使得该船（BCD ）

A.渡河时间增大

B.到达对岸时的速度增大

水

C.渡河通过的路程增大

D.渡河通过的路程比位移大

3(2001年全国高考综合能力试题).在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人。假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2。战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d 。如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为（C ）

A. B.0 C. D.

4有一小船正在渡河，如图4—1—4所示，在离对岸30 m 时，其下游40 m 处有一危险水域.假若水流速度为5 m/s ，为了使小船在危险水域之前到达对岸，那么，小船从现在起相对于静水的最小速度应是_______.3 m/s

5．河宽300m ，水流速度为3m/s ，小船在静水中的速度为5m/s ，问(1)以最短时间渡河，时间为多少?可达对岸的什么位置?(2)以最短航程渡河，船头应向何处?渡河时间又为多少?

6．小船在200米宽的河中横渡，水流速度是2米/秒，船在静水中的航速是4米/秒，求；①当小船的船头始终正对岸时，它将在何时、何处到达对岸？②要使小船到达正对岸，应如何行使？耗时多少？③若船在静水中的航速是1米/秒，它能否到达正对岸？渡河的最短位移是多少？

7一船在静水中的速度为6 m/s ，要横渡流速为8 m/s 河宽为120m 的河，如船头垂直河岸向对岸驶去，则： （1）此船参入了那两个运动； （2）要经过多长时间才能到达河对岸；

（3）此船过河的整个位移是多少？

思考：①如何渡河时间最短？②如何渡河位移最小？③最小位移一定为河宽吗？④（选讲）该题中最小位移为多大？

题型五．根据运动的合成与分解求解绳（杆）联物体的速度问题。

指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。

例:如图2所示,重物A 、B 由刚性绳拴接,跨过定滑轮处于图中实际位置,此时绳恰好拉紧,重物静止在水平面上,用外力水平向左推A,当A 的水平速度为v A 时,如图中虚线所示,则此时B 的速度为( C )

Ａ.3/3A v Ｂ.4/3A v Ｃ.A v 3 Ｄ.

2/3A v

【例】 两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。上面分别穿有一个小球。小球a 、b 间用一细直棒相连如图。当细直棒与竖直杆夹角为α时，求两小球实际速度之比v a ∶v b

解析：a 、b 沿杆的分速度分别为v a cos α和v b sin α ∴v a ∶v b = tan α∶1

题型六:根据运动的合成与分解求解面接触物体的速度问题。

求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。

图2

b

例、一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度V 0匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图7所示。当杆与半圆柱体接触点P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求竖直杆运动的速度。

分析与解：设竖直杆运动的速度为V 1，方向竖直向上，由于弹力方向沿OP

方

向，所以

V 0、V 1

在

OP

方向的投影相等，即有

θ

θcos sin 10V V =，解得V 1=V 0.tgθ.

拓展应用

图5-7

［例］（★★★★★）一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图5-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）.

命题意图：考查综合分析及推理能力.B 级要求.

错解分析：①不能恰当选取连结点B 来分析，题目无法切入.②无法判断B 点参与的分运动方向.

解题方法与技巧：选取物与棒接触点B 为连结点.（不直接选A 点，因为A 点与物块速度的v 的关系不明显）.因为B 点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B 点的合速度（实际速度）也就是物块速度v ；B 点又在棒上，参与沿棒向A 点滑动的速度v 1和绕O 点转动的线速度v 2.因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v 2=v sin θ.

设此时OB 长度为a ，则a =h /sin θ.

令棒绕O 点转动角速度为ω，则：ω=v 2/a =v sin 2θ/h . 故A 的线速度v A =ωL =vL sin 2θ/h . 难点训练 一、选择题

1.（★★★）如图5-8所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C 点，再绕过B 、D.BC 段水平，当以速度v 0拉绳子自由端时，A 沿水平面前进，求：当跨过B 的两段绳子夹角为α时A 的运动速度v .

2.（★★★★★）如图5-9所示，均匀直杆上连着两个小球A 、B ，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B 球水平速度为v B ，加速度为a B ，杆与竖直夹角为α，求此时A 球速度和加速度大小.

图5-9 图5—10

3.（★★★★）一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m 1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m 2连接.已知定滑轮到杆的距离为3m.物体m 2由静止从AB 连线为水平位置开始下滑1 m 时，m 1、m 2恰受力平衡如图5-10所示.试求：

（1）m 2在下滑过程中的最大速度.

（2）m 2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离. 4.（★★★★）如图5-11所示，S 为一点光源，M 为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO 是垂直照射在M 上的光线，已知SO =L ，若M 以角速度ω绕O 点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点 S ′在屏上移动的瞬时速度v 为多大？

5.（★★★★★）一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体，如图5-12所示.绳的P 端拴在车后的挂钩上，Q 端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑图5-8

轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A 点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H .提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A 经B 驶向C.设A 到B 的距离也为H ，车过B 点时的速度为v B .求在车由A 移到B 的过程中，绳Q 端的拉力对物体做的功.

6.（★★★★★）如图5-13所示，斜劈B 的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r 的球A 放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中

（1）斜劈的最大速度.

（2）球触地后弹起的最大高度。（球与地面作用中机械能的损失忽略不计） 参考答案： ［难点训练］

1.v =αcos 10

+v

2.v A =v B tan α;a A =a B tan α

3.（1）由图可知，随m 2的下滑，绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的，m 2在C 点受力恰好平衡，因此m 2从B 到C 是加速过程，以后将做减速运动，所以m 2的最大速度即出现在图示位置.对m 1、m 2组成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械能守恒.ΔE 增=ΔE 减，即

2

1m 1v 12+2

1m 22v 2+m 1g （A C -A B ）sin30°=m 2g ·B C

又由图示位置m 1、m 2受力平衡，应有： T cos ∠ACB =m 2g ,T =m 1g sin30°

又由速度分解知识知v 1=v 2cos ∠ACB ，代入数值可解得v 2=2.15 m/s,

（2）m 2下滑距离最大时m 1、m 2速度为零，在整个过程中应用机械能守恒定律，得： ΔE 增′=ΔE 减′ 即:m 1g （

AB AB H -+22）sin30°=m 2gH

利用（1）中质量关系可求得m 2下滑的最大距离H =3

4

3m=2.31 m

4.由几何光学知识可知：当平面镜绕O 逆时针转过30°时，则：∠SOS ′=60°， OS ′=L /cos60°.

选取光点S ′为连结点，因为光点 S ′在屏上，该点运动方向不变，故该点实际速度（合速度）就是在光屏上移动速度v ；光点S ′又在反射光线OS ′上，它参与沿光线OS ′的运动.速度v 1和绕O 点转动，线速度v 2；因此将这个合速度沿光线OS ′及垂直于光线 OS ′的两个方向分解，由速度矢量分解图5′—1可得：

v 1=v sin60°,v 2=v cos60°

又由圆周运动知识可得：当线OS ′绕O 转动角速度为2ω. 则：v 2=2ωL /cos60°

vc os60°=2ωL /cos60°,v =8ωL .

5.以物体为研究对象，开始时其动能E k1=0.随着车的加速运动，重物上升，同时速度也不断增加.当车子运动到B 点时，重物获得一定的上升速度v Q ，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量，如图5′-2，即

v Q =v B 1=v B c os45°=

2

2v B

于是重物的动能增为 E k2 =21

mv Q 2=4

1mv B 2

在这个提升过程中，重物受到绳的拉力T 、重力mg ，物体上升的高度和重力做的功分别为

h =

2H-H=（2-1）H

W G =-mgh =-mg （2-1）H

于是由动能定理得 W T +W G =ΔE k =E k2-E k1

即WT -mg （

2-1）H =4

1

mv B 2-0

所以绳子拉力对物体做功W T =4

1

mv B 2+mg （

2-1）H

图5′—1

图5′—2

图5-12

图5-13

6.（1）A加速下落，B加速后退，当A落地时，B速度最大，整大过程中，斜面与球之间弹力对球和斜面做功代数和为零，所以系统机械能守恒.

mg（h-r）=2mv A2+2mv B2 ①

由图中几何知识知：h=cot30°·r=

3r②

A、B的运动均可分解为沿斜面和垂直斜面的运动，如图5′

—3所示。

图5′—3

由于两物体在垂直斜面方向不发生相对运动，所以v A2=v B2

即v A cos30°=v B sin30°③

解得v A=2)1

3

(gr

-

v B=2)1

3

(3gr

-

（2）A球落地后反弹速度v A′=v A

做竖直上抛运动的最大高度：H m=

4

)1

3

(

2

2

r g

v

A

-

=

'