各种最小二乘算法总结
基于FPGA的递归最小二乘算法的研究与实现
摘要 软件测试是保证软件质量和可靠性重要手段，在这方面发挥着其它方法不可替代的作用。然而，软件测试是一个复杂的过程，需要耗费巨大的人力、物力和时间，约占整个软件开发成本的40%～50%。因此，提高软件测试工具的自动化程度对于确保软件开发质量、降低软件开发成本非常重要。而提高测试用例生成的自动化程度又是提高测试工具乃至整个测试过程自动化程度的关键所在，本文主要针对这一问题进行了研究和设计。 本文在分析软件测试和算法基本概念的基础上，提出软件测试用例的设计是软件测试的难点之一。论文提出了基于算法的测试用例生成的内含是应用算法来求解一组优化的测试用例，其框架包括了测试环境构造、算法及测试运行环境三部分，论文给出了基于算法的测试用例生成的模型。最后以三角形分类程序为例应用算法进行测试用例生成的模拟，结果显示，应用算法进行测试用例生成可行。 关键词：软件测试测试用例算法
ABSTRACT Software test is the important means that guarantee software quality and reliability，and in this respect，it plays the role that other method cannot replace. However software test is a complex process , it needs to consume huge manpower，material resources and time，which takes the 40%~50% of entire software development cost approximately . Therefore，raising the automation level of software test tool is very important for ensure software development quality and reduction software development cost . And then，the most important is raising the automation level of the test case generation for raising the automation level of test tool and even entire test process，so this paper study and design mainly according to this problem. Based on the analysis of basic concepts of software testing and genetic algorithm, this article proposes that software test case design is one of the difficulties of software testing. Paper presents the inherent in software test case designing based on genetic algorithm is using genetic algorithm to solve a set of optimization test cases, and the framework includes three parts which are test environment construction, genetic algorithm and the environment for test . Paper presents the model of software test case generation based on genetic algorithm. Finally, we take the triangle categorizer as an example, simulate software test case generation based on genetic algorithm. The results display that software test case generation basing on genetic algorithm is possible. KEY WORDS: software test , test case , genetic algorithm
几种最小二乘法递推算法的小结
一、 递推最小二乘法 递推最小二乘法的一般步骤： 1. 根据输入输出序列列出最小二乘法估计的观测矩阵?： ] )(u ... )1( )( ... )1([)(T b q n k k u n k y k y k ------=? 没有给出输出序列的还要先算出输出序列。 本例中， 2)]-u(k 1),-u(k 2),-1),-y(k -[-y(k )(T =k ?。 2. 给辨识参数θ和协方差阵P 赋初值。一般取0θ=0或者极小的数，取σσ,20I P =特别大，本例中取σ=100。 3. 按照下式计算增益矩阵G ： ) ()1()(1)()1()(k k P k k k P k G T ???-+-= 4. 按照下式计算要辨识的参数θ： )]1(?)()()[()1(?)(?--+-=k k k y k G k k T θ?θθ 5. 按照下式计算新的协方差阵P ： )1()()()1()(---=k P k k G k P k P T ? 6. 计算辨识参数的相对变化量，看是否满足停机准则。如满足，则不再递推；如不满足， 则从第三步开始进行下一次地推，直至满足要求为止。 停机准则：ε???<--) (?)1(?)(?max k k k i i i i 本例中由于递推次数只有三十次，故不需要停机准则。 7. 分离参数：将a 1….a na b 1….b nb 从辨识参数θ中分离出来。 8. 画出被辨识参数θ的各次递推估计值图形。 为了说明噪声对递推最小二乘法结果的影响，程序5-7-2在计算模拟观测值时不加噪 声， 辨识结果为a1 =1.6417，a2 = 0.7148，b1 = 0.3900，b2 =0.3499，与真实值a1 =1.642， a2 = 0.715， b1 = 0.3900，b2 =0.35相差无几。 程序5-7-2-1在计算模拟观测值时加入了均值为0，方差为0.1的白噪声序列，由于噪 声的影响，此时的结果为变值，但变化范围较小，现任取一组结果作为辨识结果。辨识结果为a1 =1.5371， a2 = 0.6874， b1 = 0.3756，b2 =0.3378。 程序5-7-2-2在计算模拟观测值时加入了有色噪声，有色噪声为 E(k)+1.642E(k-1)+0.715E(k-2)，E(k)是均值为0，方差为0.1的白噪声序列，由于有色噪声的影响，此时的辨识结果变动范围远比白噪声时大，任取一组结果作为辨识结果。辨识结果为a1 =1.6676， a2 = 0.7479， b1 = 0.4254，b2 =0.3965。 可以看出，基本的最小二乘法不适用于有色噪声的场合。
算法设计及分析递归算法典型例题
算法递归典型例题 实验一：递归策略运用练习 三、实验项目 1．运用递归策略设计算法实现下述题目的求解过程。 题目列表如下： （1）运动会开了N天，一共发出金牌M枚。第一天发金牌1枚加剩下的七分之一枚，第二天发金牌2枚加剩下的七分之一枚，第3天发金牌3枚加剩下的七分之一枚，以后每天都照此办理。到了第N天刚好还有金牌N枚，到此金牌全部发完。编程求N和M。 （2）国王分财产。某国王临终前给儿子们分财产。他把财产分为若干份，然后给第一个儿子一份，再加上剩余财产的1/10；给第二个儿子两份，再加上剩余财产的1/10；……；给第i 个儿子i份，再加上剩余财产的1/10。每个儿子都窃窃自喜。以为得到了父王的偏爱，孰不知国王是“一碗水端平”的。请用程序回答，老国王共有几个儿子？财产共分成了多少份？ 源程序： （3）出售金鱼问题：第一次卖出全部金鱼的一半加二分之一条金鱼；第二次卖出乘余金鱼的三分之一加三分之一条金鱼；第三次卖出剩余金鱼的四分之一加四分之一条金鱼；第四次卖出剩余金鱼的五分之一加五分之一条金鱼；现在还剩下11条金鱼，在出售金鱼时不能把金鱼切开或者有任何破损的。问这鱼缸里原有多少条金鱼？ （4）某路公共汽车，总共有八站，从一号站发轩时车上已有n位乘客，到了第二站先下一半乘客，再上来了六位乘客；到了第三站也先下一半乘客，再上来了五位乘客，以后每到一站都先下车上已有的一半乘客，再上来了乘客比前一站少一个……，到了终点站车上还有乘客六人，问发车时车上的乘客有多少？ （5）猴子吃桃。有一群猴子摘来了一批桃子，猴王规定每天只准吃一半加一只（即第二天吃剩下的一半加一只，以此类推），第九天正好吃完，问猴子们摘来了多少桃子？ （6）小华读书。第一天读了全书的一半加二页，第二天读了剩下的一半加二页，以后天天如此……，第六天读完了最后的三页，问全书有多少页？ （7）日本著名数学游戏专家中村义作教授提出这样一个问题：父亲将2520个桔子分给六个儿子。分完后父亲说：“老大将分给你的桔子的1/8给老二；老二拿到后连同原先的桔子分1/7给老三；老三拿到后连同原先的桔子分1/6给老四；老四拿到后连同原先的桔子分1/5给老五；老五拿到后连同原先的桔子分1/4给老六；老六拿到后连同原先的桔子分1/3给老大”。结果大家手中的桔子正好一样多。问六兄弟原来手中各有多少桔子？ 四、实验过程 （一）题目一：…… 1.题目分析 由已知可得，运动会最后一天剩余的金牌数gold等于运动会举行的天数由此可倒推每一 天的金牌剩余数，且每天的金牌数应为6的倍数。 2.算法构造 设运动会举行了N天， If(i==N)Gold[i]=N; Else gold[i]=gold[i+1]*7/6+i;
系统辨识最小二乘参数估计matlab
最小二乘参数估计 摘要： 最小二乘的一次性完成辨识算法（也称批处理算法），他的特点是直接利用已经获得的所有（一批）观测数据进行运算处理。这种算法在使用时，占用内存大，离线辨识，观测被辨识对象获得的新数据往往是逐次补充到观测数据集合中去的。在应用一次完成算法时，如果要求在每次新增观测数据后，接着就估计出系统模型的参数，则需要每次新增数据后要重新求解矩阵方程()Z l T l l T l ΦΦΦ-∧=1θ。 最小二乘辩识方法在系统辩识领域中先应用上已相当普及，方法上相当完善，可以有效的用于系统的状态估计，参数估计以及自适应控制及其他方面。 关键词： 最小二乘（Least-squares ），系统辨识（System Identification ） 目录： 1.目的 (1) 2.设备 (1) 3引言 (1) 3.1 课题背景 (1) 4数学模型的结构辨识 (2) 5 程序 (3) 5.1 M 序列子函数 ................................................................................. 错误！未定义书签。 5.2主程序............................................................................................... 错误！未定义书签。 6实验结果： ................................................................................................................................... 3 7参考文献： ................................................................................................. 错误！未定义书签。 1.目的 1.1掌握系统辨识的理论、方法及应用 1.2熟练Matlab 下最小二乘法编程 1.3掌握M 序列产生方法 2.设备 PC 机1台（含Matlab 软件） 3引言 3.1 课题背景 最小二乘理论是有高斯（K.F.Gauss ）在1795年提出：“未知量的最大可能值是这样一个数值，它使各次实际观测值和计算值之间的差值的平方乘以度量其精度的数值以后的和最小。”这就是最小二乘法的最早思想。 最小二乘辨识方法提供一个估算方法，使之能得到一个在最小方差意义上与实验数据最
偏最小二乘法
偏最小二乘法 ( PLS)是光谱多元定量校正最常用的一种方法 , 已被广泛应用 于近红外 、 红外 、拉曼 、核磁和质谱等波谱定量模型的建立 , 几乎成为光谱分析中建立线性定量校正模型的通用方法 〔1, 2〕 。近年来 , 随着 PLS 方法在光谱分析尤其是分子光谱如近红外 、 红外和拉曼中应用 的深入开展 , PLS 方法还被用来解决模式识别 、定量校正模型适用性判断以及异常样本检测等定性分析问题 。 由于 PLS 方法同时从光谱阵和浓度阵中提取载荷和得分 , 克服主成分分析 ( PCA)方法没有利用浓度阵的缺点 , 可有效降维 , 并消除光谱间可能存在的复共线关系 , 因此取得令人非常满意的定性分析结果 〔3 ～ 5〕 。 本文主要介绍PLS 方法在光谱定性分析方面的原理及应用 实例 。 偏最小二乘方法(PLS-Partial Least Squares))是近年来发展起来的一种新的多元统计分析法, 现已成功地应用于分析化学, 如紫外光谱、气相色谱和电分析化学等等。该种方法，在化合物结构-活性/性质相关性研究中是一种非常有用的手段。如美国Tripos 公司用于化合物三维构效关系研究的CoMFA (Comparative Molecular Field Analysis)方法, 其中，数据统计处理部分主要是PLS 。在PLS 方法中用的是替潜变量，其数学基础是主成分分析。替潜变量的个数一般少于原自变量的个数，所以PLS 特别适用于自变量的个数多于试样个数的情况。在此种情况下，亦可运用主成分回归方法，但不能够运用一般的多元回归分析，因为一般多元回归分析要求试样的个数必须多于自变量的个数。 §§ 6.3.1 基本原理 6.3 偏最小二乘（PLS ） 为了叙述上的方便，我们首先引进“因子”的概念。一个因子为原来变量的线性组合，所以矩阵的某一主成分即为一因子，而某矩阵的诸主成分是彼此相互正交的，但因子不一定，因为一因子可由某一成分经坐标旋转而得。 在主成分回归中，第一步，在矩阵X 的本征矢量或因子数测试中，所处理的仅为X 矩阵，而对于矩阵Y 中信息并未考虑。事实上，Y 中亦可能包含非有用的信息。所以很自然的一种想法是，在矩阵X 因子的测试中应同时考虑矩阵Y 的作用。偏最小二乘正是基于这种思想的一种回归方法。 偏最小二乘和主成分分析很相似，其差别在于用于描述变量Y 中因子的同时也用于描述变量X 。为了实现这一点，在数学上是以矩阵Y 的列去计算矩阵X 的因子，与此同时，矩阵Y 的因子则由矩阵X 的列去预测。其数学模型为： E P T X +'=F Q U Y +'=
递归算法的优缺点
○1优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。 ○2缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。 边界条件与递归方程是递归函数的二个要素 应用分治法的两个前提是问题的可分性和解的可归并性 以比较为基础的排序算法的最坏倩况时间复杂性下界为0(n·log2n)。 回溯法以深度优先的方式搜索解空间树T，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树T。 舍伍德算法设计的基本思想: 设A是一个确定性算法，当它的输入实例为x时所需的计算时间记为tA(x)。设Xn是算法A的输入规模为n的实例的全体，则当问题的输入规模为n时，算法A所需的平均时间为 这显然不能排除存在x∈Xn使得的可能性。希望获得一个随机化算法B，使得对问题的输入规模为n的每一个实例均有 拉斯维加斯( Las Vegas )算法的基本思想: 设p(x)是对输入x调用拉斯维加斯算法获得问题的一个解的概率。一个正确的拉斯维加斯算法应该对所有输入x均有p(x)>0。 设t(x)是算法obstinate找到具体实例x的一个解所需的平均时间 ,s(x)和e(x)分别是算法对于具体实例x求解成功或求解失败所需的平均时间，则有： 解此方程可得：
蒙特卡罗(Monte Carlo)算法的基本思想: 设p是一个实数，且1/2 递归算法的优缺点： ○ 1优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。 ○2缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。 边界条件与递归方程是递归函数的二个要素 应用分治法的两个前提是问题的可分性和解的可归并性 以比较为基础的排序算法的最坏倩况时间复杂性下界为0(n·log2n)。 回溯法以深度优先的方式搜索解空间树T ，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树T 。 舍伍德算法设计的基本思想: 设A 是一个确定性算法，当它的输入实例为x 时所需的计算时间记为tA(x)。设Xn 是算法A 的输入规模为n 的实例的全体，则当问题的输入规模为n 时，算法A 所需的平均时间为 这显然不能排除存在x ∈Xn B ，使得对问题的输入规模为n 拉斯维加斯( Las Vegas )算法的基本思想: 设p(x) 是对输入x 调用拉斯维加斯算法获得问题的一个解的概率。一个正确的拉斯维加斯算法应该对所有输入x 均有p(x)>0。 设t(x)是算法obstinate 找到具体实例x 的一个解所需的平均时间 ,s(x)和e(x)分别是算法对于具体实例x 蒙特卡罗(Monte Carlo)算法的基本思想: 设p 是一个实数，且1/2 普通最小二乘法（OLS ） 普通最小二乘法（Ordinary Least Square ，简称OLS ），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。 在已经获得样本观测值i i x y ,（i=1,2,…,n ）的情况下 （见图中的散点），假如模型（）的参数估计量已经求得到， 为^0β和^ 1β，并且是最合理的参数估计量，那么直线方程（见 图中的直线） i i x y ^ 1^0^ββ+= i=1,2,…,n 应该能够最 好地拟合样本数据。其中^i y 为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。 ),()(1022101ββββQ u x y Q i i n i i ==--=∑∑= ()()),(min ????1021 10212?,?1100ββββββββQ x y y y u Q n i i n i i i =--=-==∑∑∑== 为什么用平方和因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。这就是最小二乘原则。那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。 由于 2 1 ^1^012 ^ ))(()(∑∑+--=n i i n i i x y y y Q ββ＝ 是^0β、^1β的二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。根据罗彼塔法则，当Q 对^0β、^ 1β的一阶偏导数为0时，Q 达到最小。即 0011001100?,?1 ?,?0 =??=??====ββββββββββQ Q 容易推得特征方程： ()0)??(0?)??(1011 10==--==-=--∑∑∑∑∑==i i i i n i i i i i i n i i e x x y x e y y x y ββββ 解得： ∑∑∑∑∑+=+=2^ 1^0^1^0i i i i i i x x x y x n y ββββ （） 所以有：???? ?????-=---=--=∑∑∑∑∑∑∑=======x y x x y y x x x x n y x y x n n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i i 10121 21121111??)())(()()()(?βββ （） 于是得到了符合最小二乘原则的参数估计量。 为减少计算工作量，许多教科书介绍了采用样本值的离差形式的参数估计量的计算公式。由于现在计量经济学计算机软件被普遍采用，计算工作量已经不是什么问题。但离差形式的计算公式在其他方面也有应用，故在此写出有关公式，不作详细说明。记 ∑=-i x n x 1 ∑=-i y n y 1 y y y x x x i i i i -=-= （）的参数估计量可以写成 偏最小二乘法 1.1 基本原理 偏最小二乘法（PLS ）是基于因子分析的多变量校正方法，其数学基础为主成分分析。但它相对于主成分回归（PCR ）更进了一步，两者的区别在于PLS 法将浓度矩阵Y 和相应的量测响应矩阵X 同时进行主成分分解： X=TP+E Y=UQ+F 式中T 和U 分别为X 和Y 的得分矩阵，而P 和Q 分别为X 和Y 的载荷矩阵，E 和F 分别为运用偏最小二乘法去拟合矩阵X 和Y 时所引进的误差。 偏最小二乘法和主成分回归很相似，其差别在于用于描述变量Y 中因子的同时也用于描述变量X 。为了实现这一点，数学中是以矩阵Y 的列去计算矩阵X 的因子。同时，矩阵Y 的因子则由矩阵X 的列去预测。分解得到的T 和U 矩阵分别是除去了大部分测量误差的响应和浓度的信息。偏最小二乘法就是利用各列向量相互正交的特征响应矩阵T 和特征浓度矩阵U 进行回归： U=TB 得到回归系数矩阵，又称关联矩阵B ： B=(T T T -1)T T U 因此，偏最小二乘法的校正步骤包括对矩阵Y 和矩阵X 的主成分分解以及对关联矩阵B 的计算。 1.2主成分分析 主成分分析的中心目的是将数据降维，以排除众多化学信息共存中相互重叠的信息。他是将原变量进行转换，即把原变量的线性组合成几个新变量。同时这些新变量要尽可能多的表征原变量的数据结构特征而不丢失信息。新变量是一组正交的，即互不相关的变量。这种新变量又称为主成分。 如何寻找主成分，在数学上讲，求数据矩阵的主成分就是求解该矩阵的特征值和特征矢量问题。下面以多组分混合物的量测光谱来加以说明。假设有n 个样本包含p 个组分，在m 个波长下测定其光谱数据，根据比尔定律和加和定理有： A n×m =C n×p B p×m 如果混合物只有一种组分，则该光谱矢量与纯光谱矢量应该是方向一致，而大小不同。换句话说，光谱A 表示在由p 个波长构成的p 维变量空间的一组点（n 个），而这一组点一定在一条通过坐标原点的直线上。这条直线其实就是纯光谱b 。因此由m 个波长描述的原始数据可以用一条直线，即一个新坐标或新变量来表示。如果一个混合物由2个组分组成，各组分的纯光谱用b1，b2表示，则有： 1122 T T T i i i a c b c b =+ 有上式看出，不管混合物如何变化，其光谱总可以用两个新坐标轴b1,b2来表示。因此可以 推出，如果混合物由p 个组分组成，那么混合物的光谱就可由p 个主成分轴的线性组合表示。 基于最小二乘法的系统参数辨识 吴令红，熊晓燕，张涛 太原理工大学机械电子研究所，太原 (030024) E-mail lhwu0818@https://www.360docs.net/doc/1912971066.html, 摘要：系统辨识是自动控制学科的一个重要分支，由于其特殊作用，已经广泛应用于各种领域，尤其是复杂系统或参数不容易确定的系统的建模。过去，系统辨识主要用于线性系统的建模，经过多年的研究，已经形成成熟的理论。但随着社会、科学的发展，非线性系统越来越受到人们的关注，其控制与模型之间的矛盾越来越明显，因而非线性系统的辨识问题也越来越受到重视，其辨识理论不断发展和完善本。文重点介绍了系统参数辨识中最小二乘法的基本原理，并通过悬臂梁模型的辨识实例，具体说明了基于最小二乘法参数辨识在Matlab 中的实现方法。结果表明基于最小二乘法具有算法简单、精度较高等优点。 关键词：系统辨识；参数辨识；滑动平均模型(ARX)；最小二乘法；Matlab 中图分类号：TH-9 1. 引言 所谓辨识就是通过测取研究对象在人为输入作用下的输出响应，或正常运行时的输入输出数据记录，加以必要的数据处理和数学计算，估计出对象的数学模型。这是因为对象的动态特性被认为必然表现在它的变化着的输入输出数据之中，辨识只不过是利用数学的方法从数据序列中提炼出对象的数学模型而已[1]。 最小二乘法是系统参数辨识中最基本最常用的方法。最小二乘法因其算法简单、理论成熟和通用性强而广泛应用于系统参数辨识中。本文基于悬臂梁的实测数据，介绍了最小二乘法的参数辨识在Matlab中的实现。 2. 系统辨识 一般而言，建立系统的数学模型有两种方法：激励分析法和系统辨识法。前者是按照系统所遵循的物化（或社会、经济等）规律分析推导出模型。后者则是从实际系统运行和实验数据处理获得模型。如图1所示，系统辨识就是从系统的输入输出数据测算系统数学模型的理论和方法。更进一步的定义是L.A.Zadeh曾经与1962年给出的，即“系统辨识是在输入和输出的基础上，从系统的一类系统范围内，确立一个与所实验系统等价的系统”。另外，系统辨识还应该具有3个基本要素，即模型类、数据和准则[5]。被辨识系统模型根据模型形式可分为参数模型和非参数模型两大类。所谓参数模型是指微分方程、差分方程、状态方程等形式的数学模型；而非参数模型是指频率响应、脉冲响应、传递函数等隐含参数的数学模型。在辨识工程中，模型的确定主要根据经验对实际对象的特性进行一定程度上的假设，如对象的模型是线性的还是非线性的、是参数模型还是非参数模型等。在模型确定之后，就可以根据对象的输入输出数据，按照一定的辨识算法确定模型的参数[4]。 y 图1 被研究的动态系统 ---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 基于最小二乘法的系统辨识的设计与开发（整理版）课程（论文）题目： 基于最小二乘法的系统辨识摘要： 最小二乘法是一种经典的数据处理方法。 最小二乘的一次性完成辨识算法（也称批处理算法），他的特点是直接利用已经获得的所有（一批）观测数据进行运算处理。 在系统辨识领域中, 最小二乘法是一种得到广泛应用的估计方法, 可用于动态系统, 静态系统, 线性系统, 非线性系统。 在随机的环境下，利用最小二乘法时，并不要求观测数据提供其概率统计方面的信息，而其估计结果，却有相当好的统计特性。 关键词： 最小二乘法；系统辨识；参数估计 1 引言最小二乘理论是有高斯（ K.F.Gauss）在 1795 年提出： 未知量的最大可能值是这样一个数值，它使各次实际观测值和计算值之间的差值的平方乘以度量其精度的数值以后的和最小。 这就是最小二乘法的最早思想。 最小二乘辨识方法提供一个估算方法，使之能得到一个在最小方差意义上与实验数据最好拟合的数学模型。 递推最小二乘法是在最小二乘法得到的观测数据的基础上，用新引入的数据对上一次估计的结果进行修正递推出下一个参数估计值，直到估计值达到满意的精确度为止。 1 / 10 对工程实践中测得的数据进行理论分析，用恰当的函数去模拟数据原型是一类十分重要的问题，最常用的逼近原则是让实测数据和估计数据之间的距离平方和最小，这即是最小二乘法。 最小二乘法是一种经典的数据处理方法。 在随机的环境下，利用最小二乘法时，并不要求观测数据提供其概率统计方面的信息，而其估计结果，却有相当好的统计特性。 2 最小二乘法的系统辨识设单输入单输出线性定常系统的差分方程为： 1),()()() 1()(01knkubkubnkxakxakxnn （ 1）上式中： )(ku为输入信号；)(kx为理论上的输出值。 )(kx只有通过观测才能得到，在观测过程中往往附加有随机干扰。 )(kx的观测值)(ky可表示为 （ 2）将式（ 2）代入式（ 1）得 1()()() 1()(101kubkubnkyakyakyn (3) 我们可能不知道)(kn的统计特性，在这种情况下，往往把)(kn看做均值为 0 的白噪声。 设 （ 4）则式（ 3）可以写成 (5) 在测量)(ku时也有测量误差，系统内部也可能有噪声，应当 偏最小二乘法（PLS）简介 偏最小二乘法（PLS ）简介 偏最小二乘法（PLS ）简介 简介 偏最小二乘法是一种新型的多元统计数据分析方法，它于1983年由伍德（S.Wold）和阿巴诺（C.Albano）等人首次提出。近几十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。 偏最小二乘法 长期以来，模型式的方法和认识性的方法之间的界限分得十分清楚。而偏最小二乘法则把它们有机的结合起来了，在一个算法下，可以同时实现回归建模（多元线性回归）、数据结构简化（主成分分析）以及两组变量之间的相关性分析（典型相关分析）。这是多元统计数据分析中 的一个飞跃。 偏最小二乘法在统计应用中的重要性体现在以下几个方面： 偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。偏最小二乘法可以较好的解决许多以往用 普通多元回归无法解决的问题。 偏最小二乘法之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。 主成分回归的主要目的是要提取隐藏在矩阵X 中的相关信息，然后用于预测变量Y 的值。 这种做法可以保证让我们只使用那些独立变量，噪音将被消除，从而达到改善预测模型质量的目的。但是，主成分回归仍然有一定的缺陷，当一些有用变量的相关性很小时，我们在选取主成分时就很容易把它们漏掉，使得最终的预测模型可靠性下降，如果我们对每一个成分 进行挑选，那样又太困难了。 偏最小二乘回归可以解决这个问题。它采用对变量X 和Y 都进行分解的方法，从变量X 和Y 中同时提取成分（通常称为因子），再将因子按照它们之间的相关性从大到小排列。现在，我们要建立一个模型，我们只要决定选择几个因子参与建模就可以了 基本概念 偏最小二乘回归是对多元线性回归模型的一种扩展，在其最简单的形式中，只用一个线性模 型来描述独立变量Y 与预测变量组X 之间的关系: 偏最小二乘法(PLS) 简介 通常,一个函数在调用另一个函数之前,要作如下的事情:a)将实在参数,返回地址等信息传递给被调用函数保存; b)为被调用函数的局部变量分配存储区;c)将控制转移到被调函数的入口. 从被调用函数返回调用函数之前,也要做三件事情:a)保存被调函数的计算结果;b)释放被调函数的数据区;c)依照被调函数保存的返回地址将控制转移到调用函数.所有的这些,不论是变量还是地址,本质上来说都是"数据",都是保存在系统所分配的栈中的. ok,到这里已经解决了第一个问题:递归调用时数据都是保存在栈中的,有多少个数据需要保存就要设置多少个栈,而且最重要的一点是:控制所有这些栈的栈顶指针都是相同的,否则无法实现同步. 下面来解决第二个问题:在非递归中,程序如何知道到底要转移到哪个部分继续执行?回到上面说的树的三种遍历方式,抽象出来只有三种操作:访问当前结点,访问左子树,访问右子树.这三种操作的顺序不同,遍历方式也不同.如果我们再抽象一点,对这三种操作再进行一个概括,可以得到:a)访问当前结点:对目前的数据进行一些处理;b)访问左子树:变换当前的数据以进行下一次处理;c)访问右子树:再次变换当前的数据以进行下一次处理(与访问左子树所不同的方式). 下面以先序遍历来说明: void preorder_recursive(Bitree T) /* 先序遍历二叉树的递归算法*/ { if (T) { visit(T); /* 访问当前结点*/ preorder_recursive(T->lchild); /* 访问左子树*/ preorder_recursive(T->rchild); /* 访问右子树*/ } } visit(T)这个操作就是对当前数据进行的处理, preorder_recursive(T->lchild)就是把当前数据变换为它的左子树,访问右子树的操作可以同样理解了. 现在回到我们提出的第二个问题:如何确定转移到哪里继续执行?关键在于一下三个地方:a)确定对当前数据的访问顺序,简单一点说就是确定这个递归程序可以转换为哪种方式遍历的树结构;b)确定这个递归函数转换为递归调用树时的分支是如何划分的,即确定什么是这个递归调用树的"左子树"和"右子树"c)确定这个递归调用树何时返回,即确定什么结点是这个递归调用树的"叶子结点". 自动化专业综合设计报告 设计题目：最小二乘递推算法辨识系统参数所在实验室：自动化系统仿真实验室 指导教师： 学生姓名 班级计082-2 班 学号 撰写时间：2012-3-1 成绩评定： 一．设计目的 1、学会用Matlab实现最小二乘法辨识系统参数。 2、进一步熟悉Matlab的界面及基本操作； 3、了解并掌握Matlab中一些函数的作用与使用； 二．设计要求 最小二乘递推算法辨识系统参数，利用matlab编程实现，设初始参数为零。z(k)-1.5*z(k-1)+0.7*z(k-2)=1*u(k-1)+0.5*u(k-2)+v(k); 选择如下形式的辨识模型： z(k)+a1*z(k-1)+a2*z(k-2)=b1*u(k-1)+b2*u(k-2)+v(k); 三．实验程序 m= 3; N=100; uk=rand(1,N); for i=1:N uk(i)=uk(i)*(-1)^(i-1); end yk=zeros(1,N); for k=3:N yk(k)=1.5*yk(k-1)-0.7*yk(k-2)+uk(k-1)+0.5*uk(k-2); end %j=100;kn=0; %y=yk(m:j)'; %psi=[yk(m-1:j-1);yk(m-2:j-2);uk(m-1:j-1);uk(m-2:j-2)]'; %pn=inv(psi'*psi); %theta=(inv(psi'*psi)*psi'*y); theta=[0;0;0;0]; pn=10^6*eye(4); for t=3:N ps=([yk(t-1);yk(t-2);uk(t-1);uk(t-2)]); pn=pn-pn*ps*ps'*pn*(inv(1+ps'*pn*ps)); theta=theta+pn*ps*(yk(t)-ps'*theta); thet=theta'; a1=thet(1); a2=thet(2); b1=thet(3); b2=thet(4); a1t(t)=a1; a2t(t)=a2;b1t(t)=b1;b2t(t)=b2; end t=1:N; plot(t,a1t(t),t,a2t(t),t,b1t(t),t,b2t(t)); 系统辨识最小二乘法大作业 系统辨识大作业最小二乘法及其相关估值方法应用 学院:自动化学院 专业:信息工程 学号:2007302171 姓名:马志强 日期:2010.11.14 基于最小二乘法的多种系统辨识方法研究 1. 最小二乘法的引出 在系统辨识中用得最广泛的估计方法是最小二乘法(LS)。 设单输入-单输出线性定长系统的差分方程为 (5.1.1) 式中:为随机干扰;为理论上的输出值。只有通过观测才能得到，在观测过程中往往附加有随机干扰。的观测值可表示为 (5.1.2) 式中:为随机干扰。由式(5.1.2)得 (5.1.3) 将式(5.1.3)带入式(5.1.1)得 (5.1.4) 我们可能不知道的统计特性，在这种情况下，往往把看做均值为0的白噪声。 设 (5.1.5) 则式(5.1.4)可写成 (5.1.6) 在观测时也有测量误差，系统内部也可能有噪声，应当考虑它们的影响。因此假定不仅包含了的测量误差，而且包含了的测量误差和系统内部噪声。假定是不相关随机序列(实际上是相关随机序列)。 现分别测出个随机输入值，则可写成个方程，即 上述个方程可写成向量-矩阵形式 (5.1.7) 设 则式(5.1.7)可写为 (5.1.8) 式中:为维输出向量;为维噪声向量;为维参数向量;为测量矩阵。因此式(5.1.8)是一个含有个未知参数，由个方程组成的联立方程组。如果，方程数少于未知数数目，则方程组的解是不定的，不能唯一地确定参数向量。如果，方程组正好与未知数数目相等，当噪声时，就能准确地解出 (5.1.9) 如果噪声，则 (5.1.10) 从上式可以看出噪声对参数估计是有影响的，为了尽量较小噪声对估值的影响。在给定输出向量和测量矩阵的条件下求系统参数的估值，这就是系统辨识问题。可用最小二乘法来求的估值，以下讨论最小二乘法估计。 2. 最小二乘法估计算法 设表示的最优估值，表示的最优估值，则有 (5.1.11) 写出式(5.1.11)的某一行，则有 (5.1.12) 设表示与之差，即 - (5.1.13) 式中 成为残差。把分别代入式(5.1.13)可得残差。设 则有 (5.1.14) 最小二乘估计要求残差的平方和为最小，即按照指数函数 (5.1.15) 为最小来确定估值。求对的偏导数并令其等于0可得 (5.1.16) (5.1.17) 由式(5.1.17)可得的最小二乘估计 (5.1.18) 3.递推最小二乘法 为了实现实时控制，必须采用递推算法，这种辨识方法主要用于在线辨识。 设已获得的观测数据长度为，将式(5.1.8)中的和分别用来代替， 即 (5.3.1) 用的最小二乘估计，则 (5.3.2) 最小二乘法及其应用 1． 引言 最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Stigler)所说,“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。最小二乘法是参数回归的最基本得方法所以研究最小二乘法原理及其应用对于统计的学习有很重要的意义。 2. 最小二乘法 所谓最小二乘法就是：选择参数10,b b ,使得全部观测的残差平方和最小. 用数学公式表示为： 21022)()(m in i i i i i x b b Y Y Y e --=-=∑∑∑∧ 为了说明这个方法，先解释一下最小二乘原理，以一元线性回归方程为例. i i i x B B Y μ++=10 （一元线性回归方程） 第3章 线性动态模型参数辨识－最小二乘法 3.1 辨识方法分类 根据不同的辨识原理，参数模型辨识方法可归纳成三类： ① 最小二乘类参数辨识方法，其基本思想是通过极小化如下准则函数来估计模型参数： min )()? (?== ∑=θ θL k k J 1 2ε 其中)(k ε代表模型输出与系统输出的偏差。典型的方法有最小二乘法、增广最小二乘法、辅助变量法、广义最小二乘法等。 ② 梯度校正参数辨识方法，其基本思想是沿着准则函数负梯度方向逐步修正模型参数，使准则函数达到最小，如随机逼近法。 ③ 概率密度逼近参数辨识方法，其基本思想是使输出z 的条件概率密度)|(θz p 最大限度地逼近条件0θ下的概率密度)|(0θz p ，即 )|()?|(0m a x θθz p z p ??→?。典型的方法是极大似然法。 3.2 最小二乘法的基本概念 ● 两种算法形式 ① 批处理算法：利用一批观测数据，一次计算或经反复迭代，以获得模型参数的估计值。 ② 递推算法：在上次模型参数估计值)(? 1-k θ的基础上，根据当前 获得的数据提出修正，进而获得本次模型参数估计值)(? k θ，广泛采用的递推算法形式为 () ()()()~()θθk k k k d z k =-+-1K h 其中)(? k θ表示k 时刻的模型参数估计值，K (k )为算法的增益，h (k -d ) 是由 观测数据组成的输入数据向量，d 为整数，)(~k z 表示新息。 ● 最小二乘原理 定义：设一个随机序列)},,,(),({L k k z 21∈的均值是参数θ 的线性函数 E{()}()T z k k θ=h 其中h (k )是可测的数据向量，那么利用随机序列的一个实现，使准则函数 21 ()[()()]L T k J z k k θθ==-∑h 达到极小的参数估计值θ? 称作θ的最小二乘估计。 ● 最小二乘原理表明，未知参数估计问题，就是求参数估计值θ? ，使序列的估计值尽可能地接近实际序列，两者的接近程度用实际序列与序列估计值之差的平方和来度量。 ● 如果系统的输入输出关系可以描述成如下的最小二乘格式 ()()()T z k k e k θ=+h 式中z (k )为模型输出变量，h (k )为输入数据向量，θ为模型参数向量，e (k )为零均值随机噪声。为了求此模型的参数估计值，可以利用上述最小二乘原理。根据观测到的已知数据序列)}({k z 和)}({k h ，极小化下列准则函数 21()[()()]L T k J z k k θθ==-∑h 即可求得模型参数的最小二乘估计值θ? 。 ● 最小二乘估计值应在观测值与估计值之累次误差的平方和达到最小值处，所得到的模型输出能最好地逼近实际系统的输出。 3.3 最小二乘问题的描述 (1) 考虑模型 )()()()()(11k e k u z B k z z A +=-- 式中u (k )和z (k ) 分别为过程的输入和输出变量，e (k )是均值为零、方差为2 n σ的随机噪声，)(1-z A 和)(1-z B 为迟延算子多项式，写成 A z a z a z a z B z b z b z b z n n n n a a b b ()()--------=++++=+++?????11122111221 (2) 假定模型阶次n a 和n b 为已知，且有b a n n ≥，也可设n n n b a ==, 并定义递归算法的优缺点
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