八年级(上册)第7讲勾股定理的应用
第七讲勾股定理的应用
一、【本讲知识点】
勾股定理的应用（重点）：能够运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。
二、【本讲经典例题】
【例1】“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，你能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【随堂练习】如图所示，MN为我国领海线，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C正以每小时13海里的速度偷偷向我国领海驶来，便立即通知距其5海里、正在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，
则该艇最早在什么时间进入我国领海？
一问教育
一问教育
【例2】（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图（1）所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积是13，每个直角三角形两条直角边的和是5，求中间的小正方形的面积；
（2）现有一张长为6.5㎝，宽为2㎝的纸片，如图（2）所示，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形。（要求：先在图中画出分割线，再画出拼成的正方形，并标明相应数据）
【随堂练习】如图所示的是从长为40㎝，宽为30㎝的长方形钢板的左上角截取一块长20㎝，宽为10㎝的长方形后剩下的一块下脚料，工人师傅要将它作适当的切割，重新拼接成后焊接成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件:
(1) 请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的几种不同的拼接方
案（在如图（1）、（2）所示的图形中分别画出切割时的虚线，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕迹）
(2) 比较（1）中的方案，哪种更好一些？说说你的看法和理由
【例3】如图所示，长方体的长为15㎝，宽为10㎝，高为20㎝，点B 距点C 为5㎝，一只蚂蚁如果沿着长方体表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短路程是多
少？
一问教育
【随堂练习】李老师让同学们讨论这样一个问题：如图所示，有一个长方体盒子，底面正方形的边长为2㎝，高位3㎝，在长方体盒子下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面的F 点处的食物，则它怎样爬行路程最短？最短路程是多少？
过了一会儿，李老师问同学们答案，甲同学说：先由A 点到B 点，再走对角线BF 。乙同学说：我认为应由A 先走对角线AC ，再由C 到F 点。丙同学说：将长方形ABCD 与长方形BEFC 展开成长方形AEFD ，利用勾股定理求AF 的长。丁同学说：将长方形ABCD 与正方形CFGD 展开成长方形ABFG ，利用勾股定理求AF 的长。你认为那位同学的说法正确？（参考数据：29≈5.392）
【例4】如图所示，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN=30°，点A 处有一所中学，AP=160米，假设一拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶，周围100米以内会受到噪音的影响，那么学校是否会受到噪音的影响？并说明理由。若受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，则学校受到影响的时间有多长？（提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）
【随堂练习】某市规定：小汽车在城镇街道路上行驶时速度不得超过70千米/时，如图所示，一辆小汽车在一条街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30米处，过2秒后，测得小汽车与车速检测仪距离AB 为50米，问这辆小汽车是否超速？（提示：1米/时=3.6千米/时）
一问教育
【例5】某周日，小敏去数学老师家玩。老师出示了如下一道数学题：如图所示，正方形ABCD 的边长为3㎝，从一个顶点A 引出两条射线AM ，AN ，分别交BC ，CD 于点M ，N ，且线段AM ，AN 正好把正方形的面积三等分。要求小敏在5分钟内AM 和AN 的长度。结果小敏刚读完题，就脱口而出是13㎝，你知道小敏是怎么想的吗？
【随堂练习】如图所示，在△DEF 中，DE=17㎝，EF=30㎝，EF 边上的中线DG=8㎝，试说明△DEF 是等腰三角形？
【例6】如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°,CD 为为AB 上的高，试证明
222111
CD AC BC =+
【随堂练习】如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，P 是BC 上任意一点，连接AP ，试说明BP CP AP AC ?+=22
一问教育
三、【本讲巩固练习】
1、如图所示，在两墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点，当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点，已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D 到地面的垂直距离DE=23㎝，求点B 到地面的垂直距离BC 。（提示：在直角三角形中，30°角所对的直角三角边等于斜边的一半）
2、如图（1）（2）所示的是两块形状各异的硬纸板，它们均可用两刀截成三块，然后拼成一个正方形，试试看，你能办到呢？
3、如图所示的是圆柱形无盖玻璃容器，高为18㎝，底面周长为60㎝，在外测距下底1㎝的点C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1㎝的F 处有一苍蝇，试急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度。
4、一隧道的横截面如图所示，其中四边形ABCD 是长方形，上部是以AB 为直径的半圆，且AD=2.8㎝，AB =2㎝ ，则这条隧道能够通过宽为1.6m 的卡车的最高高度为多少米？
一问教育
5、如图所示，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离了欲到达点B ，结果离欲到达点B 240米，已知他在水中游了510米，求该河的宽度。
6、阅读下列解题过程。
已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足442222b a c b c a -=-，试判断△ABC 的形状。 解：)(442222第一步b a c b c a -=-
)()
)()(()(2222222222第三步第二步b a c b a b a b a c +=∴-+=-∴
∴△ABC 为直角三角形。
（1）上述解题的过程中，从第 步开始出现错误；
（2）错误的原因是什么？请给出正确结论。