2015届高三数学(艺术)一轮复习教案 第二章 函数、导数及其应用 第6讲 指数与指数函数(人教A版)
第二章 函数、导数及其应用 第6讲 指数与指数函数
一、必记3个知识点
1．根式的性质
(1)(n
a )n
＝a .(2)当n 为奇数时n
a n
＝a ；当n 为偶数时n
a n
＝?
????
a (a ≥0)，－a (a <0).
2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：
①正分数指数幂：a m n
＝n
a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a
m n -＝
1m
n
a
＝
1n a m
(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质：
①a r a s ＝a r ＋
s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．
3．指数函数的图像与性质
二、必明1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．
2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0 1．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(a 2x ＋b ·a x ＋c ≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决． 2．指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按01进行分类讨论． 求值与化简： (1)????2350＋2－2·??? ?2141 2 -－(0.01)0.5； (2)56 a 13· b － 2·(－3a 12 -b － 1)÷(4a 2 3·b －3)12 ； 2 1111 3 3 2 2- - -解：(1)原式＝1＋14×????491 2－????11001 2＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝16 15. (2)原式＝－52 a 1 6-b －3÷(4a 2 3·b －3) 12 ＝－54a 1 6-b －3÷(a 1 3b 23 -)＝－54a 12-·b 3 2-.＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2 . (3)原式＝ 111133 2 21 56 6 ·a b a b a b - - ＝a 111326 ---·b 115 236 +-＝1a . [类题通法] 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. [典例] (1)(2012· (2)已知实数a ，b 满足等式????12a ＝????13b ，下列五个关系式： ①0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [解析] (1)当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0，∴函数y ＝a x －a 的图像过定点(1,0)，结合图像可知选C. (2)函数y 1＝?? ??12x 与y 2 ＝??? ?13x 的图像如图所示． 由????12a ＝????13b 得，a [类题通法] 指数函数图像的画法及应用 (1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，? ???－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像． (3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解． [针对训练] 1．(2014·北京模拟)在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝????12x 的图像之间的关系是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y ＝x 对称 解析：选A ∵y ＝???12x ＝2－x ，∴它与函数y ＝2x 的图像关于y 轴对称． 2．方程2x ＝2－x 的解的个数是________． 解析：方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)． 由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．答案：1 [典例] 已知f (x )＝ a a 2 －1 (a x －a － x )(a >0，且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)讨论f (x )的单调性． [解] (1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．又因为f (－x )＝a a 2－1(a － x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． (2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a － x 为减函数，从而y ＝a x －a － x 为增函数． 所以f (x )为增函数．当0 x 为增函数， 从而y ＝a x －a － x 为减函数．所以f (x )为增函数．故当a >0且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． 解：由所以f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a － 1－a )＝a a 2－1·1－a 2 a ＝－1. 所以要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1.故b 的取值范围是(－∞，－1]． [类题通法] 利用指数函数的性质解决问题的方法 求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决． 课后作业 [试一试] 1．化简[(－2)6]12 －(－1)0的结果为( B ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9 2．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知0 1．函数y ＝ 1－????12x 的定义域为________．答案：[0，＋∞) 2．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 解析：当a >1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数，则a 2－1＝2，∴a ＝±3.又∵a >1，∴a ＝ 3. 当0 1．已知f (x )＝2x ＋2－ x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 解析：选B 由f (a )＝3得2a ＋2－ a ＝3，两边平方得22a ＋2 －2a ＋2＝9，即22a ＋2 －2a ＝7，故f (2a )s ＝7. 2．已知f (x )＝3x － b (2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (x )的值域( ) A ．[9,81] B ．[3,9] C ．[1,9] D ．[1，＋∞) 解析：选C 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x －2 在[2,4]上是增函数，f min (x )＝f (2)＝1，f max (x )＝f (4)＝ 9.可知C 正确． 3．(2014·南昌一模)函数y ＝8－23－ x (x ≥0)的值域是________． 解析：∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3，∴23－ x ≤23＝8，∴8－23－ x ≥0， ∴函数y ＝8－23－ x 的值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞) 4．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________． 解析：∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n .答案：m >n 5．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值． 解：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a 2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝3 2