等差等比数列性质
等差等比数列性质
补充：①数列{}n a 是等差数列2n n a an b S An Bn ?=+?=+
②数列{}n a 是等比数列n
n
n n a aq S Aq A ?=?=-
等差等比数列的性质总结
等差等比数列的性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
一、等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间 项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列和等比数列知识点梳理 第一节：等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈） 2、等差数列通项公式： 1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差 推导过程：叠加法 推广公式：()n m a a n m d =+- 变形推广：m n a a d m n --= 3、等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或 b a A +=2 （2）等差中项： 数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1) 2n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ 前N 相和的推导:当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=。（注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。
5、等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6、等差数列的证明方法 定义法或者等差中项发? {}n a 是等差数列． 7、等差数列相关技巧： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、 n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8、等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。
等差、等比数列以及数列求和专题(汇编)
§6.2 等差数列 一．课程目标 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数的关系. 二．知识梳理 1.定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数). 2.通项公式 若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 3.前n 项和公式 等差数列的前n 项和公式：2 2111)() (n n a a n d n n na S +=-+=其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项). 3.等差数列的常用性质 已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和.
(1)通项公式的推广：*),()(N m n d m n a a m n ∈-+= (2)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有q p n m a a a a +=+。特别的，当p n m 2=+时，p n m a a a 2=+ (3)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列. (4)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (5)若}{},{n n b a 是等差数列，则}{n n qb pa +仍是等差数列. 4.与等差数列各项和相关的性质 （1）若}{n a 是等差数列，则}{n S n 也是等差数列， 其首项与}{n a 的首项相同，公差为}{n a 的公差的 2 1。 （2）数列m m m m m S S S S S 232--,,…也是等差数列. （3）关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。 a .若项数为n 2，则1 +==-n n a a S S nd S S 偶奇奇偶, 。 b .若项数为12-n ，则n a n n S )(1-=偶，n na S =奇，1 += =-n n S S a S S n 偶奇奇偶, 。 （4）若两个等差数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为n n T S ,，则 1 21 2--=n n n n T S b a 5.等差数列的前n 项和公式与函数的关系： （1）n d a n d S )(2 212-+= ，数列{a n }是等差数列? S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数). （2）在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.
等差等比数列的性质总结
一、等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，
等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)
等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义：()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的n ，都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或 为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若 ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质： （2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。 （3）若* (,,,) m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=??? 等差和等比数列比较：
等差数列及等比数列的性质总结
等差数列与等比数列总结 一、等差数列： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示； 等差中项，如果2 b a A += ，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数； 等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=； 等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-； 等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n ）a a （n 1?+=d 2）1-n （n na 1?+ = 中12na n ）2d -a （n ）2d （=?+?； 【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n += 【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+ 【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+ 3、md 成等差数列，公差为、a 、a 、a m 2k m k k ??++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =??==+++ 4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ??成等差数列，公差为d n 2 【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+??+++??++=++， ） a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+??+++??++=++++??=，d n 2 5、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2，q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=?+
经典等差数列性质练习题(含答案)
等差数列基础习题选（附有详细解答） 一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1B．3C．2D． 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣ 7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11 9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（） A．25 B．24 C．20 D．19 10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（） A．5B．3C．﹣1 D．1 11．（2005?黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（） A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1B．﹣1 C．2D．
等差等比数列的运用公式大全
第六讲：等差、等比数列的运用 1. 等差数列的定义与性质 定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列 m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； {}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； a d a a d -+，， n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= }n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项， 即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当 100a d <>，，由1 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. 项数为偶数n 2的等差数列{} n a ， 有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶 奇. 12-n 的等差数列{} n a ，有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-，
2.2.2 等差数列的性质及应用
2.2 等差数列 第2 课时：等差数列的性质及应用 编写：皮旭光 【学习目标】 1． 进一步学习等差数列的项与序号之间的关系，探索发现等差数列的性质，掌握其应用技巧； 2． 能够灵活利用等差数列的性质解决综合问题。 【知识线索】 1．等差数列中的设元技巧：一般地，若三项成等差数列，我们常记该三项分别为 d a a d a +-,,； 四个数时,设为：a －3d,a －d ，a ＋d ，a ＋3d 。 2．等差数列的项与序号的关系：设等差数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，则 ① d m n a a m n )(-+= （第二通项公式）； ② 若k q p n m a a a a a k q p n m 2,2=+=+=+=+则 ),,,(*∈N q p n m 。 3．等差数列的其它性质： (1)若}{n a 是公差为d 的等差数列，则下列数列： ①}{c a n +(c 为任一常数)是公差为_____的等差数列； ②}{n a c ?(c 为非零常数)是公差为_______的等差数列； ③}{k n n a a ++是公差为_____的等差数列； ④}{n k a ?(k 为常数且* ∈N k )是公差为_______的等差数列。 （2）设}{n a ，}{n b 的公差分别为1d ，2d ，则}{n n qb pa +是公差为_______的等差数列（q p ,为常数）。 【知识建构】 1．已知数列}{n a 的公差为d ，你能证明： d m n a a m n =--吗？由此你能得出哪些变形式子； 2．回答教材P39页第5题中的问题，你能归纳其中的结论吗，有什么特点呢？ 3．回答教材P39页第４题中的问题，请你尝试探讨等差数列的性质。 【典例透析】 例1．在等差数列}{n a 中,（1）若3773=+a a ，则8642a a a a +++＝________； (2)若815=a ，2060=a ，则75a ＝________； （3)若===+n m n m a m a n a 则,,________。 高一必修5：第二章 数列 课时目标呈现 课前自主预习 课中师生互动
等差数列性质、等比数列定义、等比中项概念①
等差数列性质、等比数列定义、等比中项概念① 姓名：___________班级：___________ 1.如果等差数列{}n a 中, 34512,a a a ++=则7S = ( ) A.14 B.21 C.28 D.35 解题过程： 2.在等差数列{}n a 中,已知4816a a +=,则该数列前11项和11S =( ) A.58 B.88 C.143 D.176 解题过程： 3.在数列{}n a 中() 11,2,221,n n a a a n N *+==+∈则101a 的值为( ) A.52 B.50 C.51 D.49 解题过程： 4.数列: 1,2,,8x -是等比数列,则实数x 的值是( ) A. 4± B. 4- C. 4 D.不存在 解题过程： 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且111a =-,46 6a a +=-,则当n S 取最小值时, n 等于__________. 解题过程： 6. 的等比中项为__________ 解题过程： 7. 若数列{}n a 的前n 项和为2133 n n S a = +,则数列{}n a 的通项公式是n a =__________. 解题过程：
8.在等差数列{}n a 中, 131,3a a ==-. （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）若数列{}n a 的前k 项和 35k S =-,求k 的值. 9.已知{}n a 为等差数列,且366,0a a =-= （1）求{}n a 的通项公式 （3）若等比数列{}n b 满足8b 1-=,2123b a a a =++,求数列{}n b 的通项公式 10.已知等比数列{}n a 中, 143,24a a == （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）设等差数列{}n b 中, 2295,b a b a ==,求数列{}n b 的前n 项和n S
等差数列与等比数列归纳
二轮专题复习：等差数列与等比数列 澄海实验高级中学 曦怀 一、教材分析： 数列知识是历年高考的重点容，是必考的热点。数列考查的重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差（比）中项及等比等差数列的性质的灵活运用。这一部分主要考查学生的运算能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，其中考查思维能力是支柱，运算能力是主体，应用是归宿．在选择题、填空题中突出了“小、巧、活”的三大特点，在解答题中以中等难度以上的综合题为主，涉及函数、方程、不等式等重要容，试题中往往体现了函数与方程，等价转化，分类讨论等重要的数学思想。 二、复习目的： 1．熟练掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式、等差（比）中项及等差（比）数列的相关性质． 2. 灵活运用等差（比）数列的相关性质解决相应问题.在解决数列综合性问题时，灌输方程思想、化归思想及分类讨论思想。培养学生运算能力、逻辑思维能力、分析问题以及解决问题的能力. 三、复习重点、难点： 重点：等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差（比）中项及等差（比） 数列的相关性质． 难点：灵活运用差（比）数列的相关性质结合函数思想、方程思想探求解题思路，分析问 题、解决问题． 复习容： 四、复习过程： （一）知识要点回顾： 1、重要公式： （1）数列通项公式n a 与前n 项和公式n S 之间的关系：1n 1 n 1 S n 2 n n S a S -=?=?-≥?. （2）等差数列： ①定义：1{}(n n n a a a d +? -=为等差数列常数）. ②通项公式：1(1)n a a n d =+- ， ()n m a a n m d =+- . ③前n 项和公式：11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-=+ = . ④等差中项:112n n n a a a -+=+ .
等差等比数列性质练习题
等差等比数列性质练习题 等差数列性质 1已知数列a n中，a n 0^ 1 2(n N ,n 2)，若a1 3,则此数列的第10项是 ___________________ 2、等差数列a n的前n项和为s n，若a4 18 a5，则s8等于______________ 3、在等差数列中，a i与an是方程2x2 3 x 7 0的两根，贝U a为___________ 4、等差数列a n共有2n 1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120,则n等于 ________________ 5、在x和y之间插入n个实数，使它们与x, y组成等差数列，则此数列的公差为 ______ 6、首相为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围 _____________ 7、已知等差数列a n中，前15项之和为05 90，则a8等于_______________ 1 &已知数列｛a n｝中，a3=2，a7=1，又数列｛——｝为等差数列，则a n= _________ a n 1 9、数列 a n 满足：a13, a26, a n+2a n+1 a n , a2004 = 10、在等差数列a n中，a m n , a n m (m,n € N+),则 a m n 11、等差数列a n中，已知a11,a2a 5 4,a n33,则n为 3 12、已知在数列｛a n｝中，a1 = —10，a n+1=a n+2，则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|等于_ 13、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15,偶数项之和为30,则其公差是 _______________ 14、设数列｛a n｝和｛b n｝都是等差数列，其中a1=24，一=75,且a2+b2=100,则数列｛a n+b n｝的第100项 2 若S^ 1, S 4，求 a17 a18 a19 a20的值； 3若已知首项a113，且S3 Sn，问此数列前多少项的和最大?
等差、等比数列性质总结
等差数列性质总结 1.等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +?=+≥∈212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间 项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、 d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???， （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等差数列
等差数列的一个特征性质及应用
等差数列第一个特征性质及应用 江西南昌市卫生学校 熊秋玲 内容提要：本文证明等差数列的一个重要性质：数列{a n }是等差数列的充要条件为：对于任意三个自然数q,p,r,恒有(q-r ）a p +(r-p)a q +(p-q)a r =0成立。并举实例说明其实用。 等差数列是中学数学的重要内容之一，有一个特征性质应用极为广泛，即 定理 数列{a n }是等差数列的充要条件为：对于任意三个自然数p,q,r,恒有(q-r ）a p +(r-p)a q +(p-q)a r =0 （1） 证明 必要性，设{a n }是一个等差数列，其首项为a 1,公差为d ，则 a p =a 1+(p-1)d,a q =a 1+(q-1)d, a r =a 1+(r-1)d,于是 （q-r ）a p +(r-p)a q +(p-q)a r =p(a r -a q )+q(a p -a r )+r(a q -a p ) =p(r-d)d+q(p-r)d+r(q-p)d =0。即(1)式成立。 充分性，若对任意三个自然数p,q,r,恒有（1）式成立。于是对任意的自然数n （n ≥2），取p=n-1,q=n,r=n+1,则由 （1）式，有 -a n-1+2a n -a n+1=0, 即a n-1+a n+1=2a n (n ≥2),这说明数列{a n }是一个等差数列。
定理的等式（1）是循环对称，用数列中的任意三项来刻画等差数列的特征。应用它来处理与等差数列有关的一些问题时，显得相当灵活方便，兹举几例说明之。 例1.在等差数列{a n}中，已知a p=1 q ,a q=1 p ,求a p+q 解：由（1）式，有 q?(p+q)?1 q +p+q?p?1 p +p?q a p+q=0 即 -p q +q p +(p?q)a p+q=0 ∴(p-q)a p+q=p q ?q p =p?q(1 p +1 q ) 故 a p+q=1 p +1 q 。 例 2.在等差数列{a n}中，已知a m+n=A,a m-n=B(m>n),求a m,a n。 解：由（1）式，有 n?(m+n)a m-n+[(m+n)-(m-n)a n+[(m-n)-n]a m+n=0 即–mB+2na n+(m-2n)A=0 故 a n=A+m 2n (B?A)。 同理可得 a m=(A+B) 2 。 例3.设a p,a q,a r;b p,b q,b r分别是两个等差数列中的第p，q，r项，求证：（b q-b r）a p+(b r-b p)a q+(b p-b q)a r=0。 证明：设等差数列{b n}的公差为d，易知b q-b r=(q-r)d,b r-b p=(r-p)d,b p-b q=(p-q)d.于是由（1）式得： （b q-b r）a p+(b r-b p)a q+(b p-b q)a r =d[(q-r)a p+(r-p)a q+(p-q)a r]
等差数列与等比数列性质的比较
等差数列与等比数列性质的比较
一、填空题 1. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________ 2. 在等差数列中已知13 d =-，a 7=8，则a 1=_______________ 3. 2()a b +与2 ()a b -的等差中项是_______________ 4. 正整数前n 个数的和是___________ 5. 数列{}n a 的前n 项和2 3n S n n -＝，则n a ＝___________ 二、选择题 1. 在等差数列{}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+的值为（ ） A.84 B.72 C.60 D.48 2. 在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S = ，8a 为（ ） A.6 B.3 C.12 D.4 3. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20项的和等于 A.160 B.180 C.200 D.220 4. 在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（ ） A.45 B.75 C.180 D.300 三、计算题 1. 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的有关未知数： （1）151 ,,5,66 n a d S ==-=-求n 及n a ； （2）12,15,10,n n d n a a S ===-求及 2. 设等差数列{}n a 的前n 项和公式是2 53n S n n =+，求它的前3项，并求它的通项公式 3. 如果等差数列{}n a 的前4项的和是2，前9项的和是-6，求其前n 项和的公式。
等差数列前N项和的性质及其应用
肥东锦弘中学高一年级数学公开课教案 授课教师：吴晗 班级：高一（11） 时间：3月31号下午第一节课 课题：等差数列前n 项和的性质及其应用 教学目标： （1） 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一 些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前n 项和公式研究n S 的最值。 （2） 经历公式应用过程。 （3） 通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又 服务于生活的实用性，引导学生善于观察生活，从生活中发现问题，并用数学方法解决问题。 教学重点：熟练掌握等差数列求和公式。 教学难点：灵活应用求和公式解决问题。 教学方法：启发探究 学法指导：自主学习 教学用具：粉笔、黑板、PPT 教学过程： 一、复习回顾 （1） 等差数列的定义、通项公式、性质； （2） 等差数列前n 项和公式及其推导。 二、新课讲解 探究一：等差数列前n 项和公式可以转化为关于n 的一元二次方程， n d a n d d n n na S n )2 (22)1(121-+=-+=，反过来如果一个数列的前n 项和是关于n 的一元二次方程，那么这个数列一定是等差数列吗？ 例1、如果一个数列{}n a 的前n 项和为n n S n 2 1 2+=，求这个数列的通项公式， 这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？ 解：时，当2≥n 212)1(21)1(21221-=?? ? ???-+--+=-=-n n n n n S S a n n n 时，当1=n 2 3 11= =S a 也满足上式。 所以数列{} 2 12-=n a a n n 的通项公式为 由此可见，{}的等差数列，公差为是一个首项为数列22 3 n a 课堂练习
等差等比数列下标性质及应用
等差等比数列下标性质及应用 戎国华 一． 教学目标： （一）知识与技能：等比等差数列的下标性质； ????? ?? ??与实际应用列下标性质的灵活应用教学难点：等比等差数列的下标性质教学重点：等差等比数学生的猜想能力能力训练：进一步培养 方法推导比数列的下标性质及其教学目标：掌握等差等 （二）过程能力与方法（三）态度情感与价值观：培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维， 追求新知的创新意识；通过对等差等比数列的研究，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点 （四）教学模式：多媒体，师生互动 一.新课引入 {}1524,n a a a a a ++等差数列中与的关系？{}3856,n a a a a a ++等差数列中与的关系？1524 a a a a ++答：=3856 a a a a ++答： ={},,,,n m n p q a a a a 1.等差数列中有a 二. 等差数列下标性质： 111111(1)(1)2(2)(1)(1)2(2)m n p q m n p q a a a m d a n d a m n d a a a p d a q d a p q d a a a a +=+-++-=++-?? ?+=+-++-=++-???+=+证明：111(1)(1)2(2)(1)(1)2(2)m n p q m n p q a a a m d a n d a m n d a a a p d a q d a p q d a a a a +=+-++-=++-??? +=+-++-=++-???+=+证明：{}2.(,,,n m n p a a a 变形)等差数列中有 a
等差数列的概念及性质
等差数列的概念及性质 一．选择题（共12 小题） 1．等差数列 { a n} 中， a2＝7， a6＝ 23，则 a4＝（） A ．11 B ．13C． 15D． 17 2．在等差数列 { a n} 中， a4＝ 6， a3+a5＝ a10，则公差 d＝（） A．﹣1 B ．0C． 1D． 2 3．等差数列 { a n} 的前 n 项和为S n，且 a8﹣ a5＝ 9， S8﹣S5＝ 66，则 a33＝（） A ．82 B ．97C． 100D． 115 4．在等差数列 { a n} 中，已知 a2+a5+a12+a15＝ 36，则 S16＝（） A ．288 B ．144C． 572D． 72 5．已知 { a n} 为递增的等差数列，a4+a7＝ 2， a5?a6＝﹣ 8，则公差 d＝（） A ．6B．﹣ 6C．﹣ 2D． 4 n1与 a11的等差中项是 15， a123＝9，则a9＝（）6．在等差数列 { a } 中，已知a+a +a A ．24 B ．18C． 12D． 6 7．已知等差数列 n n，且a18 12＝12，则S13＝（）{ a } 的前 n 项和为 S+a +a A ．104 B ．78C． 52D． 39 8．等差数列 { a n} 的前 n 项和为S n，若 a1＝ 3，S5＝ 35，则数列 { a n} 的公差为（）A．﹣2 B ．2C． 4D． 7 9．在等差数列 { a n} 中，若 a3+a5+2 a10＝4，则 S13＝（） A ．13 B ．14C． 15D． 16 10．在等差数列 { a n} 中，若2a8＝ 6+a11，则 a4+a6＝（） A ．6 B ．9C． 12D． 18 11．等差数列 { a n} 中， a2与 a4是方程 x 2 ﹣ 4x+3 ＝ 0 的两根，则a1+a2+a3+a4+a5＝（） A ．6 B ．8C． 10D． 12 12．等差数列 { a n} 满足 4a3+a11﹣ 3a5＝ 10，则 a4＝（） A．﹣5 B ．0C． 5D． 10二．填空题（共 5 小题） 13．数列 { a n} 中，若 a n+1＝ a n+3， a2+a8＝ 26，则 a12＝． 14．在等差数列 { a n} 中， a1+3a8+a15＝120，则 3a9﹣ a11的值为．