尺规作图 -作业

浅谈尺规作图在数学教学中的应用

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摘要：在中学数学里，尺规作图是占有非常重要的地位，学生是否能学好尺规作

图会对数学思维能力的培养产生至关重要影响。本文浅谈尺规作图在历史中的发

展和介绍几种常规的作图方法，分析尺规作图在初等平面几何中的应用，从而在

教学中培养学生的思维能力。

关键词：尺规作图、轨迹交点法、代数作图法、旋转法作图、位似法作图、面积割补法作图。

1.尺规作图：尺规作图是起源于古希腊的数学课题。规定只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。它们是由点、直线、圆三种基本图形复合而成,利用这些图形。用不带刻度的直尺和圆规，来作一些满足某些要求的几何图形。尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同：（1）、直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度；（2）、圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。

1.1最简单的尺规作图有如下三条：

⑴ 经过两已知点可以画一条直线；

⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；

⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；

以上三条，叫做作图公法。用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点。一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.

1.2历史上，最著名的尺规作图不能问题是：

⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；

⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；

⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。

这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔，首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1

r 时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题。

若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论。尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误

作法结集成书。

2.下面介绍几种常见的尺规作图方法： ⑴ 轨迹相交法：

有些作图题常归结到确定某一个点的位置，而一个点的确立，须有两个条件，于是可以分别做出符合其条件的点的轨迹，则这两个轨迹的交点就是所求的点。像这样利用轨迹相交来确定点的位置，从而做出符合条件的图形的作图方法叫做轨迹相交法。

【例1】电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、

B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？

m

【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，

一是在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.

【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；

⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置。

【例2】作一个已知三角形的内切圆。 已知：ΔABC 求作ΔABC 内切于⊙O

作法：（1）分别作∠ABC 和∠ACB 的平分线交于O （此时O 为交轨点）

(2)以O 为圆心、O 到BC 的距离OD 为半径作圆；则⊙O 为所求的圆。如图所示；

B

【分析】此题只要是一道作图题，只要是能找出半径，则可以作出所要的图形。利用角的平分线的性质，可以找到圆心。

⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤。用这种方法作图称为代数作图法。

代数法的一般解题步骤是：

a：用字母表示题中某些已知的和未知（欲求）的量；

b：依据给定条件和已知及定理，找出已知量和未知量之间的数量关系，列出方程或者方程组；

c：解此方程或者方程组，求出根的表达式，必要时，把根的表达式变形，使之与作图成法中的式子类似；

d：按根的表达式，做出根所对应的线段：

e：再进一步完成满足全部条件的图形。

【例3】：已知：ΔABC，作ΔABC的顶点A所对边BC的平行线EF，使得截成的两部分面积之比为1：3。

【分析】：如图，要作出EF，关键在于AB上求作点E,过E作BC的平行线则可。有题设可得：

S

△AEF ：S

△EBCF

=1：3,，即S

△AEF

：S

△ABC

=1：4，由于相似三角形面积之比于比的平方，

可得，AE=0.5AB.因此E是AB的终点，问题片可以解决。

A B

【例4】用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.

【分析】 设半径为1，

可算出其内接正方形边长为也就是说用这个长度去等分圆周。我们

的任务就是做出这个长度。

一直角边为1

.

【解析】 具体做法：

⑴ 随便画一个圆，设半径为1；

⑵ 先六等分圆周.

⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两

个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2

.

）

⑷ 以

⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.

【例2】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.

求作：正ABC ?，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.

c b

a D'D

C

B A

c

b

a

【分析】 假设ABC ?是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ，

将ABD ?绕A 点逆时针旋转60?后，置于'ACD ?的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=?，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.

【解析】 作法：

⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ； ⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ； ⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；

⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧). ⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ?.

ABC ?即为所求.

⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，

作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.

【例5】已知：一锐角ABC ?.

求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.

C B

A

G'

F'

E'

D'G F

E

D C

B

A

【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，

然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形

DEFG .

【解析】 作法：

⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D

⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上. ⑶ 作直线'BF 交AC 于F .

⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E . ⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D . 则四边形DEFG 即为所求.

⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三

角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.

【例6】如图，过ABC ?的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ?的面积.

【分析】 因为中线AM 平分ABC ?的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ?的面积，

在AMC ?中先割去AM P ?，再补上ANP ?.只要NM AP ∥，则A M P ?和AM P ?就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ?的面积.

【解析】 作法：

⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ; ⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ； ⑶ 过P 、N 作直线l . 直线l 即为所求.：

3.结束语

尺规作图是平面几何极其重要的一部分，是数学美的一种直观形式表现。在数学这门课程中，能够思维启发思维的一重要工具，它不仅对古人数学思想的发展有不可磨灭的推进作用， 而且对当代学生数学思维的启迪有极大的影响。我们要利用好这一重要的特点，不断地启发学生在解决尺规作图问题中增强创新力，提高分析数学问题的思维能力。 参考文献：

1. 朱德祥、朱维宗编的《初等几何研究》第二版【M 】.高等教育出版社.

2. 李路生编的《几何作图》【M 】. 湛江师范学院基础教育学院数学系出版.

N

M P C

B A

l