非线性方程求根

第七章 非线性方程求根

教学目的与要求：

理解二分法求根的思想；掌握二分法求解过程；了解二分法的优点和缺点。了解迭代法的基本思想，迭代法的收敛条件以及局部收敛性的定义；理解基本迭代法的迭代思路，收敛条件的产生与求证过程；掌握基本迭代法的迭代格式，收敛条件的应用以及局部收敛定理。

重点和难点：迭代法的基本思想，迭代法的收敛性 ■ 教学内容：

基本概念： 的零点； 的m 重零点。

)(x f )(x f 非线性方程的求根通常分为两个步骤：一是对根的搜索，二是根的精确化，求得根的足够精确的近似值。 求方程的有根区间有如下方法：

(1)描图法。画出的简图，从曲线与)(x f y =x 轴交点的位置确定有根区间。

(2)解析法。根据函数的连续性、介值定理以及单调性等寻找有根区间。

§ 1 二分法

分析二分法的基本原理

例1 用二分法求方程的一个正根，要求误差不超过.

01)(6=??=x x x f 2105.0?ק 2 迭代法及其收敛性

一、迭代法的定义

二、基本迭代法

定义：将方程改写成以下等价形式() x x ?=取定初始值0x ，由迭代公式1()

(0,1,2,)n n x x n ?+==L 产生迭代序列{}n x 。显然，若{}n x 收敛于*x ,()x ?在*x 处连续，就有**

1lim lim ()()n n n n x x x ??+→∞→∞

===x 即*x 是方程() x x ?=的解，从而也是0)(=x f 的解。故当充分大时，可取作为方程根的近似值。用迭代格式求得方程近似根的方法称为基本迭代法，n n x )(x ?称为迭代函数。由于收敛点*x 满足*()*

x x ?=，故称*x 为)(x ?的不动点

例 求方程的一个实根，要求精确到六位小数。

032)(3

=??=x x x f 注意：把此方程转换成三种等价形式 ,32)(31+==x x x ?)3(2

1)(32?=

=x x x ?, 3)(33??==x x x x ?三、迭代法的收敛条件

定理1 （压缩映像原理）设函数()x ?在区间上满足条件：

],[b a （1）对任意[,]x a b ∈，都有()a x b ?≤≤；

（2）存在常数0

则（1）方程()x x ?=在内有唯一的根],[b a *x 。 （2） 对任何初值0[,]x a b ∈，迭代序列1() (0,1,)n n x x n ?+==L 均收敛于*x 。

（3）*

11n n L n x x x x L ??≤?? *101n n L x x x L x ?≤?? 注意：

(I) 定理1中的条件(2)不容易检验。如果函数)(x ?在区间上可导，那么条件(2)可用更强的条件

),(b a ),(,1)(b a x L x ∈?<≤′?代替。事实上，若此式成立，则由微分中值定理，对任何都有

],[,b a y x ∈()()()x y x y L x ???ξ′?=?≤?y

其中ξ在x 与y 之间，从而条件(2)成立。 如32'

1

)32(32)(?+=x x ?，在区间上，]2,1[1)('1

四、迭代法的局部收敛性

定理2 如果函数()?x 在的一邻域*x **(,)O x δ内连续可微，为方程（7-3）的根，且*x *()1x ?′<，则存在正数δ，*δδ≤，使得对任意**0[,x x x ]δδ∈?+，迭代序列1()

(0,1,2,)n n x x n ?+==L 收敛于。

*x 定理2给出了初值在根邻近时，基本迭代法收敛的充分条件，称为局部收敛性定理。这一定理表明，只要构造迭代函数，使其在根的邻近满足导数的绝对值有小于1的上界，即可保证基本迭代法收敛。因此,定理7.2对初值的要求较高。如果已知的大概位置,为的一个较好的近似值，则可用0x *x 0x *x 0()1x ?′<代替*()1x ?′<，然后用定理7.2判断迭代格式的局部敛散性。

小结：1. 二分法的思路和误差估计式

2. 基本迭代法：迭代的具体过程

3. 迭代收敛性分析

作业：习题7 第3，4，5，6题

§ 3 Newton 法与弦截法

教学目的与要求：

理解Newton 法的构造过程，了解Newton 法的几何意义，掌握用Newton 迭代法、重根法求根的具体过程以Newton 迭代法的局部收敛性分析；最后掌握弦截法的迭代格式、几何意义以及两种迭代法的优缺点的比较。简单的了解求解非线性方程组的Newton 法的思想。

重点：Newton 法与弦截法；

难点：非线性方程组的求解。

■ 教学内容：

一、Newton 迭代法

Newton 迭代法的基本思想：将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解。

1．定义

2．几何意义

例 用Newton 迭代法求方程在内的一个根，要求精度。

01)(2

3=??=x x x f ]6.1,4.1[510?=ε二、Newton 迭代法的局部收敛性

定理4 设函数()f x 在其零点*x 邻近二阶连续可微，且*()0f x ′≠，则存在0δ>，使得对任意**0[,x x x ]δδ∈?+，Newton 法所产生的序列{}n x 至少二阶收敛于*x 。

需要注意的是，Newton 法虽具有收敛快，形式简单等优点，但它对初值的要求较高。当初始值不够好时，Newton 法可能发散。一般可由问题的实际背景来预测或由二分法求得较好的初始值。另外当*x 是0)(=x f 的重根时也可用Newton 法求方程的近似解。

为了改善重根时Newton 法的收敛性，可将Newton 迭代格式做一些修改。*x 是的重根，则0)(=x f )2(≥m m *x 是0)]([1

=m x f 的单根，对此方程应用Newton 迭代法，则有L ,2,1,0,)

()(1=′?=+k x f x f m x x k k k k 三、弦截法

1．定义

2．几何意义

3．Newton 法与弦截法的比较

Newton 法和弦截法都是先将线性化再求根，但线性化的方式不同：Newton 法是作切线的方程，而弦截法是作弦线的方程；Newton 法只需一个初始值，而弦截法需要两个初始值。

)(x f

例2 用弦截法求方程在内的一个根，要求精度。

01)(2

3=??=x x x f ]6.1,4.1[510?=ε§ 4 解非线性方程组的Newton 法（略讲）

对于非线性方程组，也可以构造类似于一元方程的Newton 迭代法，而且同样具有二阶局部收敛性。

设有非线性方程组 11221212(,,,)0(,,,)0(,,,)0n n n n f x x x f x x x f x x x =??=????=?L L LL L 若记=x 12(,,,)T n x x x L ,12()((),(),,())=L T n F x f x f x f x ，则方程组可简记成向量形式()=F x 0，如果存在向量,使，则称为非线性方程组的解。

n R x ∈*0)(*

=x F *x 像单个方程的Newton 迭代法一样，采用逐次线性化的方法构造方程组的Newton 迭代法。在某个近似解处，将向量函数作泰勒(Taylor)展开，则有： )(k x )(x F ()())()()()()(k k k x x x F x F x F ?′+≈

从而得方程的近似方程()()0)()()()(=?′+k k k x x x F x F

即()()()()(′Δ=?k k k )F x x F x ，其中()()′=k F x ()11

112

1

2k n n n

n n x x f f f x x x f f f x x x =????????????????????????????L L L 称为向量函数()F x 的Jacobi 矩阵，。

线性方程组称为Newton 方程组。如果()()Δ=?k k x x x ()()1(,,)k k n x x =ΔΔL T ()F x 的Jacobi 矩阵在处非奇异，方程组（7-16）有唯一解，则为方程组（7-15）的第次近似解。按上述过程求方程组的近似解称为Newton 方法。可以证明，当初始值()k x ()Δk x (1)()()+=+Δk k x x x k 1+k (0)x 与解充分接近时，Newton 法是平方收敛的。

例3 求解方程组给定初值，用Newton 迭代法求解。 ?????=+?+=++?0

81008102122122121x x x x x x x T x )0,0()0(=小结： 1. 牛顿法的基本思想；2. 用牛顿法解非线性方程的具体方法；

3. 弦截法与牛顿法的区别；

4. 弦截法的定义及解题方法

作业：习题7 第7，8，9题

★ 数值实验：

1． 程序设计基础知识：

Solve 和FindRoot 都能求方程的根，Solve 主要用于多项式方程组的求根，FindRoot 计算非线性方程或方程组的一个数值解。下列FindRoot 的求解形式及其意义： 函数FindRoot

意义 FindRoot[方程，{x ，x0}] 从x=x0开始，计算方程的一个数值解

FindRoot[方程，{x ，{x0，x1}}]

以x0和x1为初始值，计算方程的一个数值

解．当找不出f 的显式的导数表示时使用

FindRoot[方程，{x ，xstart ，xmin ，xmax}]

在xmin ，xmax 范围内计算方程的一个数值

解

FindRoot[{方程组}，{x ，x0}，{y ，u0}，…] 计算联立方程组的数值解

2．编写一个非线性方程求解的Mathematica 程序：

用迭代法求方程在0543)(35=??=x x x f 10=x 附近的实根，要求精确到四位小数。

将方程改写成53)54(3

1)(+==x x x ?迭代格式为 521)54(31+=+n n x x L ,2,1,0=n

f[x_]:=3x^5-4x^3-5;

Plot[f[x],{x,-3,3}]

x[n_]:=((4x[n-1]^3+5)*(1/3))^(1/5)

x[0]=1.;

N[Table[x[n],{n,1,20}],10];

MatrixForm[%]

N[Solve[f[x]==0,x],10][[5]]

运行结果为：

（1）图形

（2）迭代结果

1.24573094

1.335242178

1.370826848

… …

1.395303757

1.39530378

1.39530379

{x -> 1.395303796}

则取为方程在1附近的近似根。

39530.1≈x 或

Clear[f,x,xx]

f[x_]:=3x^5-4x^3-5

g[x_]:=x-f[x]/f'[x]

x=1;

xx=1.1;

Do[x=g[x];Print[k," ",x],{k,1,20}]

Abs[g'[xx]]-1//N

Clear[x]

FindRoot[f[x]==0,{x,2}]

3．生活实例：在研究购房贷款中有如下方程：])([n a a

p N ?+?=11，其中N 代表贷款总额，P 为贷款人每月最大偿还能力，a 是银行利率，n 是贷款年限，假定N ，P ，n 是已知的，研究贷款人所能承受的最高利率。 ★ 知识拓展及课题研究（适合研究生）：

课题1：探索一般方程组牛顿法收敛域的结构（与方程比较）。可对方程组用牛顿法求解，设计一个程序找出牛顿法的收敛域。

013

=?z ???=+=+1122y x y x cos sin 课题2：探讨估计迭代法收敛阶的方法，比较牛顿法对于单根、重根时的收敛性态。

课题3：研究几种常用迭代法的改进算法

要求阅读的文献：

【1】非线性方程求解的新算法 《江西师范大学学报》 2006

文章简介：采用黄金分割思想,构造了一种非线性代数方程求解的新算法. 该算法在迭代过程中不用计算导数,且至少二阶收敛. 实验表明,该算法比弦割法和抛物线法的收敛速度更快.

【2】对非线性方程（组）简单迭代法的改进 《海南师范大学学报 》 2007

文章简介：对非线性方程（组）的简单迭代法进行了改进，从而扩大了此方法的使用范围. 数值计算说明这种新的迭代序列是收敛的、可行的.

【3】对非线性方程(组) 简单迭代法的一种新改进 《安庆师范学院学报》 2008

文章简介： 在使用简单迭代法解非线性方程(组)时, 要求迭代函数必须满足)(,)(x F x f 1)(sup '<=x f q 1)(sup ''<=x F q 。如将迭代函数导数的最大模( 的J acobi 矩阵最大范数) 超出上述取值区间情况下的迭代函数 () 进行一系列恒等变形,建立一个新的迭代函数,让其导数的最大模(J acobi 矩阵最大范数) 落在上述取值区间内,再运用压缩映射原理逐步逼近求出非线性方程(组) 的近似解。这是一种新的改进,有更广的应用范围。两个数值计算实例表明,恒等变形得到这种新的迭代序列收敛,该方法可行。

)(x f )(x F )(x f )(x F 【4】非线性方程几种数值解法的Matlab 程序 《宁波职业技术学院学报》 2007

文章简介：为研究非线性方程数值解，给出了二分法、简单迭代法和牛顿迭代法的

Matlab 程序，并进行了近似计算。结果表明，牛顿迭代法收敛最快。

【5】非线性方程求解的一种新方法 《安庆师范学院学报 》 2006

文章简介： 给出一种基于连分式的非线性方程迭代求解新算法。该方法与M üller 方法相比, 无需进行根式计算, 在迭代过程中也无需进行符号判别; 在计算非线性方程组时与Newton 法相比, 该方法无需求解偏导数值以及计算逆矩阵; 数值例子说明本文方法计算量小, 迭代速度较快。

【6】解非线性方程的牛顿迭代法及其应用 《重庆工学院学报》 2007

文章简介：牛顿迭代法也称为牛顿切线法,是解非线性方程的一种方法,通过实例对该方法进行了介绍,包括其理论依据、误差估计、收敛阶数、迭代法初始值的选取规则等.

【7】求解高维非线性方程的一种简便方法 《《兰州交通大学学报》 2008

文章简介：将试探函数方法扩展应用于求解高维非线性偏微分方程. 通过引入变换和选准试探函数,把难于求解的高维非线性偏微分方程化为易于求解的代数方程,然后用待定系数法确定相应的常数,从而简洁地求得了方程的解析解.

【8】牛顿迭代法在非线性方程求重根中的应用 《科技信息》 2006

文章简介：牛顿迭代法是非线性方程根的一种常见的数值方法, 对于非线性方程的单重零点来说Newton 迭代法一般具有局部二阶收敛性, 但是当所求的根x* 是f(x)的m 重根时, m 是大于等于2 的整数, 此时Newton 迭代法只有一阶收敛性。本文结合两种修正的Newton 迭代法给出一种在不知道根的重数的情况下既可以提高收敛速度而又避免求f(x)的二阶导数可行的算法