2013年中学第二十四届“希望杯”第一试试题

第二十四届 希望杯 全国数学邀请赛

初一一第1

试试题

2013年3月17日一一上午8:30至10:00

竞赛结束时,只交答题卡,试卷可带走三答案于今日10:00在以下网站和微博公布:

希望杯 官方网站:h t t p ://w w w.h o p e c u p .o r g 希望杯 微博:h t t p ://e .w e i b o .c o m /x i w a n g

b e i ‘数理天地“官,方网站:h t t p ://w w w.m p

w 91.c o m ‘数理天地“微博:h t t p

://e .w e i b o .c o m /s h u l i t i a n d i 未经 希望杯 组委会授权,任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷,也不准以任何形

式(包括网络)转载三

一二选择题(每小题4分,共40分.

)图1图2

1.计算:(-1)?(-1)3

-33-|-2|+1

=

()

(A )-1.

(B )1.(C )2.(D )3.

2.

已知图1是图2中正方体的表面的展开图,其中有五个面内标注了数字,则图2中涂有阴影的面在图1中标注的数字是(

)(A )2.

(B )3.

(C )4.

(D )5.

3.若a =9992011,b =10002012,c =1001

2013

,则()

(A )a

4.若x 2-3x +2=0,则x 3-x 2-4x +10的值是(

)(A )6.(B )8.(C )10.(D )12.

5.I f t h em i d d l e o n e o f t h r e e c o n s e c u t i v e o d dn u m b e r s i s n ,t h e n t h e i r p r o d u c t i s

()(A )6n 3-6n .(B )4n 3-n .(C )n 3-4n .(D )n 3-n .(英汉小词典:c o n s e c u t i v e 连续的;p

r o d u c t 乘积;m i d d l e 中间的;o d dn u m b e r 奇数)6.在?A B C 中,?A +?C =2?B ,2?A +?B =2?C ,则?A B C 是()

(A )锐角且不等边三角形.(B )直角三角形.(C )钝角三角形.(D )等边三角形.7.

图3是某市人口结构的扇形图,据此得到以下四个结论,其中正确的是(

)

图3

(A )2000年该市的人口数和1990年时一样.(B )2000年20岁以下年龄段的人口数量减少.(C )2000年20岁到40岁年龄段的人口数保持不变.(D )该市人口趋于老龄化.

8.有理数a ,b ,c ,d 满足a

并且|

b |<

c <|a |<

d ,则a +b +c +d 的值()(A )大于0.(B )等于0.

(C )小于0.(D )与0的大小关系不确定.

9.A ,B 两地相距60千米,甲二乙两人驾车(匀速)从A 驶向B ,甲的时速为120千米,乙的时速为90千

米,如果乙比甲早出发6分钟,则当甲追上乙以后,乙再经过()分钟可以到达B .

(A )25.(B )20.(C )16.

(D )10

.

图4

10.如图4,数轴上的六个点满足A B =B C =C D =D E =E F ,

则在点B 二C 二D 二E 对应的数中,最接近-10的点是()

(A )点B .(B )点C .

(C )点D .

(D )点E .

页

两共一页一第ˋ一初

二二A 组填空题(

每小题4分,共40分.

)图5

11.天文学中,1光年是光在一年内走过的距离.已知光速约为每秒30万千米,

一年按365天计算,

那么将1光年换成以米为长度单位,用科学记数法表示应为米.

(保留三位有效数字)12.从1到2013这2013个自然数中,与21互质的数共有个.13.已知2x -|y |=-7,3|x |+2y =0,则x y =.

14.如图5,A B C D 和D E F G 都是正方形,面积分别为9平方厘米和13平方厘米,点G 在线段A B 上.则?C D E 的面积是平方厘米

.

图6

15.I f t h e p r o d u c t o f a l l d i g i t so f as i x d i g i tn u m b e r i s1296,a m o n g s u c hs i x d i g

i t n u m b e r s ,t h e s m a l l e s t i s .

16.如图6,射线O C 二O D 二O E 二O F 分别平分?A O B 二?C O B 二?A O C 二?E O C .若?F O D =24?,则?A O B =

.

17.爸爸,妈妈,小慧,小弟,这四人今年的年龄之和是99岁,

爸爸比妈妈大4岁,小慧比小弟大3岁,9年前,他们的年龄之和为65岁,

由以上条件可知今年爸爸岁.

18.m 个连续自然数之和为35

(m >1),则m 的所有可能取的值之和为.

19.已知当x =1时,3a x 3+b x 2-2c x +4=8,并且a x 3+2b x 2-c x -15=-14,

那么,当x =-1时,5a x 3-5b x 2-4c x +2019的值是

.

图7

图8

20.

小光家的电话号码是八位数,它的前四位数字相同,后五位数字是连续的一位自然数,电话号码的数字和等于它的最后两位数.那么,这个电话号码是

.

三二B 组填空题(

每小题8分,共40分.)21.已知:直线A B 与直线C D 交于点O ,?B O C =45?,(1)如图7,若E O ?A B ,则?DO E =;

(2)如图8,若E O 平分?A O C ,则?DO E =

.

图9

22.如果四个不同的质数的和为37,那么这样的四个质数乘积的最大值是,最小值是

.

23.如图9,已知C 二D 是线段A B 上的两点,且A C =13A B ,B D =1

3B C ,

图中一共有

条线段;若所有线段的长度的总和为31,

则A D =

.

图10

24.如图10,在?A B C 中,A B 和A C 被四条平行于B C 的线段分成了五等份.

如果?A B C 的面积是S ,则阴影部分②与④的面积的和是;小三角形①与中间

的梯形③的面积的和是

.

25.若整数x ,y ,

z 满足方程组{

x y +z =9

4,x +y z =95,

则x y

z =或

.

附加题(每小题10分,共20分.

)z

y

12

18

x

27u

1.2013名同学在操场上排成一个长方阵,小明站在第一排的最左边,小聪站在最后一排的最右边.如果左右相邻或前后相邻的两名同学传递一张纸条需要5秒钟,那么,小明将手中的纸条传给小聪至少需要

秒.

2.

已知右表内每一横行中从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m ,各竖列中从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n ,则m +n =

,x y +

z u =.

页

两共一页二第ˋ一初

一页三第ˋ一初

共

两

页

第二十四届 希望杯 全国数学邀请赛

初二一第1试试题

2013年3月17日一一上午8:30至10:00

竞赛结束时,只交答题卡,试卷可带走三答案于今日10:00在以下网站和微博公布:

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一二选择题(每小题4分,共40分.)

1.有下列五个等式:

①y=3x+1;②y2=x2-1;③y=x;④y=|x|;⑤|y|=x.

其中,表示 y是x的函数 的有()

(A)1个.(B)2个.(C)3个.(D)4个.

2.点(-7,m)和点(-8,n)都在直线y=-2x-6上,则m和n的大小关系是()

(A)m>n.(B)m

3.下列命题中,正确的是()

(A)若a>0,则a>1a.(B)若a>a2,则a>1.

(C)若0a2.(D)若|a|=a,则a>0.

4.若定义运算 ☉ :a☉b=b a,如3☉2=23=8,则3☉12等于()

(A)18.(B)8.(C)16.(D)32.

5.以下关于平行四边形的判定中,不正确的是()

(A)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

(B)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

(C)对角线相等的四边形是平行四边形.

(D)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

6.用一根长为a,并且没有伸缩性的线围成面积为S的等边三角形.在这个等边三角形内任取一点P,则点P到等边三角形三条边的距离之和为()

(A)2S a.(B)4S a.(C)6S a.(D)8S a.

7.若-199

(A)100个.(B)101个.(C)201个.(D)203个.

8.已知x=2+3,且x8+1=x4(6y+8),则y的值是()

(A)10.(B)15.(C)20.(D)30.

9.I f a r i g h t t r i a n g l e h a s e d g e l e n g t h s a-b,a,a n d a+b(a a n d b a r eb o t h p o s i t i v e i n t e g e r s),t h e n t h e p e r i m e t e r o f t h e t r i a n g l em i g h tb e()

(A)60.(B)70.(C)80.(D)90.

(英汉词典:r i g h t t r i a n g l e直角三角形;p o s i t i v e i n t e g e r正整数;p e r i m e t e r周长) 10.小王与小李约定下午3点在学校门口见面,为此,他们在早上8点将自己的手表对准.小王于下午3点到达学校门口,可是小李还没到,原来小李的手表比正确时间每小时慢4分钟.如果小李按他自己的手表在3点到达,则小王还需要等()(正确时间)

(A)26分钟.(B)28分钟.(C)30分钟.(D)32分钟.

一页一第ˋ二初

共

两

页

二二A 组填空题(

每小题4分,共40分.)11.若52x +1=125,则(x -2)2012+

x =

.12.计算:22013-22012-22011- -22

-2-1=

.13.用边长为1c m 的小正方形在桌面上摆放成如图1所示的塔状图形,

则第n 次所摆图形的周长是c m .

(用关于n 的代数式表示)14.有两个函数y =a x +b 和y =c x +5,学生甲求出它们图象的交点的正确坐标(3,-2

),学生乙因抄错c 而得出交点坐标

(34,1

4

)

,则函数y =a x +b 的解析式是

.

图1

图2图3

15.如图2,三个正比例函数的图象分别对应解析式:①y =a x ,②y =b x ,③y =

c x ,若将a ,b ,c 从小到大排列,则应当是.

16.如图3,在正方形A B C D 中,E 二G 二F 分别是A B 二A D 二B C 边上的点,若B E =2A E ,A G =1,B F =

2,?G E F =90?,则G F 的长是.17.一个三角形的三条边的长分别是3,5,7,另一个三角形的三条边的长分别是3,3x -2,2x -1.

若这两个三角形全等,则x 的值是.18.有甲二乙二丙三种商品,购甲3件,乙7件,丙1件,需3.15元;购甲4件,乙10件,丙1件,需4.20元.若购甲二乙二丙各1件,则需元.

19.设a ,b 是实数,且11+a -11+b =1b -a ,则1+b 1+a +

1+a

1+b

的值是.20.将不大于20的正偶数分成两组,使得第一组中数的乘积能被第二组中数的乘积整除.则商的最小值是

.

三二B 组填空题(

每小题8分,共40分.

)图4

21.数学老师用10道题作为一次课堂练习,课代表将全班同学的答题情况绘制成条形统计图,如图4所示.观察此图可知,每位同学答对的题的个数组成的样本众数是

,中位数是

.

22.方程|x -|2x +1||

=3的解是或

.

23.若关于x 的方程2x -2+m x x 2-4=

3

x +2有增根,则m =

或

.

24.L e t x (

y +

1

x

)

=2013,x a n d y a r eb o t h p o s i t i v e i n t e g e r s ,t h e nt h e l a r g

e s tv a l u eo

f x +y i s ,t h e s m a l l e s t v a l u e o f x +y i s

.

(英汉词典:v a l u e 值)

25.已知a +b +c =0,a ?b ?c ,a ?0,则c a

的最大值是

,最小值是

.

附加题(每小题10分,共20分.

)1.A 商品的单价是50元,B 商品的单价是60元,几所学校各付款1220元购买了这两种商品,任意2所学校购买的A 商品的数量都不同.则参加这次采购的学校最多有所.

2.十进制数中,右边的数码比左边的数码大的数叫做上升数,如134,258.

那么三位数中的上升数有个;在三位上升数中,3的倍数有

个.页

两共一页二第ˋ二初

第二十四届 希望杯 全国数学邀请赛

初三一第1

试试题

2013年3月17日一一上午8:30至10:00

竞赛结束时,只交答题卡,试卷可带走三答案于今日10:00在以下网站和微博公布:

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一二选择题(每小题4分,共40分.

)图1

1.若m ,n 是方程x 2-25x +1=0的两个根,

则n m -m

n

的值是()(A )?25.(B )?45.(C )?65.(D )?85.

2.设☉O 的半径是5,点P 不在☉O 外,若点O 与P 的距离|O P |=m 2

-2

m +2,则m 的取值范围是(

)(A )m <-1或m >3.(B )-1?m ?3.(C )m ?-1.(D )m ?3.3.如图1,☉O 内的点P 在弦A B 上,点C 在圆O 上,P C ?O P ,若B P =2,A P =6,

则C P 的长等于(

)(A )23.(B )4.(C )22.(D )32.

图24.

图2是类似 羊头 的图案,它左右对称,由正方形,等腰直角三角形构成,如果标有数字 13

的正方形的边长是2,那么标有数字 2

的等腰直角三角形斜边的长是()(A )4.(B )22.(C )2.(D )3

2

.

5.若m ,n 分别是20的整数部分和小数部分,则与(m +n )(n -m )的差的绝对值最小的整数是()(A )-55.(B )-5

6.(C )-16.(D )-15.6.如图3,铁路MN 和公路P Q 在点O 处交汇,?Q O N =

30?.点A 在O Q 上,A O =240(米).当火车行驶时,周围200米以内会受到噪音的影响,

现有一列火车沿MN 方向以72千米/时的速度行驶(火车的长度忽略不计),那么,A 处受噪音影响的时间为(

)

(

A

)12秒.(B )16秒.(C )20秒.(D )24秒.

图3F i g .4图5图6

7.I n ?A B C a s s h o w n i n f i g .4,A B =A C ,B D =E C ,B E =C F ,i f?A =50?,t h e n t h e d e g

r e e o f ?D E F i s ()(A )60?.(B )65?.(C )70?.(D )75?.8.如图5,☉O 1的半径是1,正方形A B C D 的边长是6,点O 2是正方形A B C D 的中心,O 1O 2垂直

A D 于P 点,O 1O 2=8.若将☉O 1绕点P 按顺时针方向旋转360?,在旋转过程中,☉O 1与正方形A

B

C D

的边只有一个公共点的情况一共出现(

)(A )3次.(B )5次.(C )6次.(D )7次.

9.如图6,在同一个坐标系内,二次函数y 1=a x 2+b x +c (a ?0)和一次函数y 2=d x +e (

d ?0)的图象相交于点A (m ,n )和点B (p ,q ).当y 1

则是()(A )m p .(D )x >m .

页

两共一页一第ˋ三初

图7

10.如图7,在正方形A B C D 中,点M 二N 分别在边A B 二B C 上运动(

不与正方形的顶点重合),且B N =2AM ,

若图中的三个阴影三角形中至少有两个相似,则这样的点M 有()(A )1个.(B )2个.(C )3个.(D )4个.

二二A 组填空题(

每小题4分,共40分.)11.已知实数a ,b 不相等,并且a 2+1=5a ,b 2

+1=5

b ,则1a 2+1b

2=.12.I f a 1=1-1m ,a 2=1-1a 1,a 3=1-1

a 2

, ,t h e n a 2013i

nt e r m so f m i s .13.

如图8,在3?2的方格纸上,以某三个格点为顶点的三角形中,等腰三角形共有个.14.若实数x ,y ,z 使2x +y +z =0和3x +2y +5z =0成立,并且z ?0,则2x 2-y 2+2z 2-4x y

x 2-5z 2

+7x z

的值是.

15.若一个三角形的三边的长是2,13,17,则此三角形的面积是.

16.已知抛物线y =a x 2+b x +c (a ?0)x 轴的交点坐标为(-1,0),(3,0),当-2?x ?5时,y

的最大值为12,

则该抛物线的解析式为

.

图8图9图10图11

17.如图9,直角梯形纸片A B C D 中,A D ?B C ,A B ?B C ,A B =10,B C =25,A D =15,以B D 为折痕,将?A B D 折起,旋转180?后,点A 到点A 1,则凹五边形B D C E A 1的面积为.

18.如图10,将边长为a 的正方形A B C D 绕其顶点C 顺时针旋转45?,得四边形A ?B ?C D ?,

则图中阴影部分的面积是.

19.I f (a +4)2-(a -3)2=7,t h e n t h e v a l u e r a n g

e o

f r e a l n u m b e r a i s .20.如图11,从边长为5的正方形纸片A B C D 中剪去直角?E B F (点E 在边A B 上,点F 在边B C 上).

若E B +B F =15,则五边形A E F C D 的面积的最小值是.

三二B 组填空题(

每小题8分,共40分.)21.图12是由若干个棱长为1厘米的正方体堆成的几何体,

它的三视图中,面积最大的是平方厘米,这个几何体的体积是立方厘米.

22.如图13,在?A B C 中,?A =30?,A B =A C =2,B D

是边

A C

上的高,利用此图可求得t a n 15?=

,B C =.23.

在直角坐标系内,如果一个点的横坐标和纵坐标都是整数,则称该点为整点.若凸n 边形的顶点都是整点,并且多边形内部及其边上没有其它整点,则n =.

图12图13图14图15

24.如图14,直角梯形A B C D 中,A B =1.5,C D =2,A F =1,A D =3,A B ?E F ?C D ,?A =90?

,分别以A D ,F E 所在的直线为x 轴,y 轴建立坐标系(

A D ,F E 为正方向),若抛物线y =a x 2+b x +c 过点

B 二

C ,并且它的顶点M 在线段E F 上,则a =,b =,c =.

25.如图15,?A B C 中,?B =90?,?A =60?,A B =A D =2,点M 在D C 上,

以M 为圆心,以DM 为半径的半圆切边B C 于点N ,交M C 于点P ,则DM =,曲边?N C P 的面积=.

附加题(每小题10分,共20分.

)1.若f (x )=6x 3-11x 2

+a x -6可以被g (x )=2x -3整除,则a =,当f (x )>0时,

x 的取值范围是.

2.

有一堆黑,白围棋子,如果从中每次取出3枚黑子和2枚白子,当黑子被取完或剩下1枚或2枚时,则还剩35枚白子,如果每次取出5枚黑子和7枚白子,当白子被取完或剩下不足7枚时,则还剩下35枚黑

页

两共一页二第ˋ三初

子,那么这堆棋子中,原有黑子枚,白子枚.

一页三第ˋ三初

共

两

页

第二十四届 希望杯 全国数学邀请赛

初三(特)一第1

试试题

2013年3月17日一一上午8:30至10:00

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一二选择题(每小题4分,共40分.

)1.方程(x 2+x -1)x +3

=1的所有整数解的个数是(

)

(A )2.(B )3.(C )4.

(D )5.

2.甲二乙二丙二丁四个人参加4?100米接力比赛,

任意安排四个人的出场顺序,恰是甲交棒给乙的概率是(

)(A )5

12

.

(B )1

8

.

(C )16

.

(D )14.

3.如果a 2-3a +1=0,那么4a 2-9a -2+

9

1+a 2的值是(

)

图1

(A )3.

(B )6.

(C )35.

(D )65.

4.如图1,A B 为半圆O 的直径,点D 是弧B C 的中点,则A C +A B 与2A D 的大小关系是(

)

(A )A C +A B >2A D .(B )A C +A B =2A D .

(C )A C +A B <2A D .

(D )与点C 的位置有关

.

图2

5.若实数a ,b ,c 互不相等,平面直角坐标系内有三点A (a +b ,c ),B (b +c ,a ),C (c +a ,b )

,则这三点()

(A )组成锐角三角形.(B )组成直角三角形.(C )组成钝角三角形.

(D )在同一直线上.

6.如图2,在菱形A B C D 中,?A =110?,E 二F 分别是边A B 和B C 的中点,E P ?C D 于

点P ,则?F P C =(

)

(A )35?.

(B )55?.

(C )50?.

(D )45?.

7.设函数y =3a x 2-2b x +c (a ,b ,c 都为正整数且a -b +c =0),当x =1时,y >0.

则a +b +c

的最图3

小值为(

)

(A )7.(B )4.(C )6.(D )10.

8.如图3,在?A B C 中,高A D 二B E 交于点F ,B C =6,A F =4.则?A B C 外接圆的

半径是(

)

页

两共一页一第ˋ)特(三初

(A )13.(B )23.(C )5.

(D )9

2

.

9.三个关于x 的方程:x 2+4k x +4k 2+2k +3=0,x 2+(2k +1)x +k 2=0,(k -1)x 2+2k x +k -1=0,

其中至少有一个方程有实数根,则k 的取值范围是()(A )k ?-32或k ?-1

4

.(B )k ?-32或k ?1

2

.(C )-14

2

.(D )-32

4

.10.

一名退休工人每年获得一笔退休金,退休金的平方与他工作的年数成正比;如果他多工作a 年,每年的退休金将比现在的多p 元;如果他多工作b 年(a ?b ),每年的退休金将比现在的多q 元.那么他现在的退休金是(

)

(A )

p 2-q 2

2(a -b )

元.(B )

(p -q )2

2a b

元.(C )

a p 2-

b q 2

2(a p -b q )

元.(D )a q 2

-b p 22(b p -a q )

元.二二A 组填空题(

每小题4分,共40分.)11.若169m =a ,430n

=

1a

,那么(36m +60n -1)2013

=.

图4

12.在直角坐标系中有点A (-2,

2),B (3,2),点C 是坐标轴上的点,且?A B C 是直角三角形,则满足条件的点C 有

个.

13.在?A B C 中,?C =90?,?B =15?,B C =1,则A C =

.

14.如图4,已知矩形A B C D 的长A B =16,宽A D =4,点E 二F 分别在C D 二A B 上,

则A E +E F +F C 的最小值是

.

15.若α,β是方程x 2-x -1=0的两个实数根,则α2+α(β2

-2

)

的值是.

图5

16.若x ,y ,z 均为非负实数,且3x +2y +z =5,x +y -z =2,则代数式2x +y -z 的最大值是

.

17.如图5,正方形A B C D 的边长为4,M 二N 分别是B C 二C D 边上的动点,MN ?AM ,则四边形A B C N 的面积的最大值等于

.

18.等边?A B C 的边长为1,将?A B C 绕其中心O 点顺时针旋转60?,得?A ?B ?C ?,

则?A B C 和?A ?B ?C ?重叠部分的面积是.19.将2013分拆成9个不同的自然数之和,

使其中最大数减去最小数的差最小,则所拆成的数中,最小数与最大数的和是

.

20.方程3

10-2x +3

2x -1=3的解是

.

三二B 组填空题(

每小题8分,共40分.)21.在一张长方形纸片A B C D 中,A B =3,B C =4.如果以B C 为底边,

把纸卷成底面积最大的圆柱,其体积为V 1,加两个盖后表面积为S 1;再以A B 为底边,把纸片卷成底面积最大的圆柱,其体积为V 2,加两个盖后表面积为S 2.则V 1?V 2=

;S 1?S 2?.

(π取3)22.从1,2,3, ,9这9个数中任取2个,

则这2个数的和为奇数的概率为;若从9个数中任

取3个数,则这3个数的和为奇数的概率为

.

23.若不等式1?a x 2-2x -3?2的解集中只有一个元素,则实数a 的值为;若不等

式1?a x 2-2x -3?2

无解,

则实数a 的值为.

图6

24.如图6,已知平行四边形A B C D 中,点E 二F 分别在边A B 二B C 上.

(1)若A B =10,A B 与C D 之间的距离等于8,且E 二F 为A B 二B C 的中点,

则S ?D E F =

;(2)若S ?A D E =5,S ?B E F =3,S ?C D F =4,

则S ?D E F =.

页

两共一页二第ˋ)特(三初

25.已知关于x的方程x3+(a+17)x2+(38-a)x-56=0(x?0,1).若a为正整数,且该方程的所有根都是整数,则a的值是,方程的根是.

一页三第ˋ)特(三初

共

页

两

第二十四届 希望杯 全国数学邀请赛

高一一第1

试试题

2013年3月17日一一上午8:30至10:00

竞赛结束时,只交答题卡,试卷可带走三答案于今日10:00在以下网站和微博公布:

希望杯 官方网站:h t t p://w w w.h o p e c u p.o r g 希望杯 微博:h t t p://e.w e i b o.c o m/x i w a n g b e i

‘数理天地“官方网站:h t t p://w w w.m p w91.c o m‘数理天地“微博:h t t p://e.w e i b o.c o m/s h u l i t i a n d i 未经 希望杯 组委会授权,任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷,也不准以任何形式(包括网络)转载三

一二选择题(每小题4分,共40分.)

1.给出以下五个函数:

①y=|x|;②y=l o g2|x|;③y=3|x|;④y=x12;⑤y=3x.

其中,值域是一切实数的是()

(A)②,④.(B)①,②.(C)③.(D)②.

2.已知p,q,a,b,c?R,并且2a=p+q,b c=p q?0,则关于x的方程b x2-2a x+c=0的根的情况是()

(A)无实根.(B)有两个相等实根.(C)有两个不等实根.(D)有两个实根.

3.I f p o l y n o m i a l2x3-5x2+1w a s d i v i d e db y x-2,t h e r e m a i n d e rw i l lb e()

(A)3.(B)-3.(C)5.(D)-5.

4.在平面直角坐标系x O y中,半径为2的圆的圆心从原点O连续地向右平移到点A(1,0),在这过程中,圆面内(含边界)包含的整点(横二纵坐标都是整数的点)的个数不可能是()

(A)6.(B)7.(C)8.(D)9.

5.当0-l o g1a(2+x)的解是()

(A)x>12.(B)-2

6.要想得到函数y=3s i n(2x-π3)的图象,只需将函数y=3c o s(2x+π6)的图象()

(A)向左平移π2个单位.(B)向右平移π2个单位.

(C)向左平移π4个单位.(D)向右平移π4个单位.

7.I n t h e t r i a n g l e A B C,i f t h e i n t e r i o r a n g l e s s a t i s f y s i n(A-B)=35s i n C,t h e n t a n A

t a n B=()

(A)2.(B)4.(C)1.(D)5.

8.函数y=x3-3x2+3x+1的图象关于()

(A)点(1,2)成中心对称.(B)点(-1,2)成中心对称.

(C)直线x=1成轴对称.(D)直线x=-1成轴对称.

9.在锐角?A B C中,下列结论中一定成立的是()

页

两

共

一页一第ˋ一高

(A)l o g s i n C s i n A

c o s B>0.(B)l o g s i n C s i n A

s i n B>0.(C)l o g c o s C

c o s A

c o s B>0.(D)l o g c o s C

c o s A

s i n B>0.

页

两

共

一页二第ˋ一高

图1

10.如图1,A B C D G H E F 是棱长为a 的正方体,点M 和N 分别是?B E H 和

?H E G 的内心,

则线段MN 的长是()

(A )1

2

a .

(B )25

a .

(C )(2-1)a .

(D )(2-2)a .

二二A 组填空题(

每小题4分,共40分.)11.设a =14,b =l o g 95

3

,c =l o g 83,

用 > 连结a ,b ,c ,则是.

12.

函数y =2x -1与y =21-x 的图象关于直线对称.

13.若M 二N 二P 二Q 分别是正方体A B C D A 1B 1C 1D 1的棱D 1C 1二B C 二A 1D 1二D C 的中点,

则MN 与P Q 所成角的正弦值是

.

14.

若函数f (1x )=1x 2

+1

,则f (12013)+f (12012)+f (12011)+ +f (1

2)+f (1)+f (2)+ +f (

2011)+f (2012)+f (2013)的值是.

15.已知s i n θ=m 2+14|m |,则c o s (θ+

π6

)

的取值范围是.

16.已知f (x )=3

3x +3,则f (-1)+f (0)+f (1)+f (2)+f (l g 2)+f (l g

5)=.

17.G i v e n s e t A ={x |x 2+2x +3+a 2=0,x ?R },s e t B ={x |2

x

2

+

2x +3?a ,

x ?R }.I f A ?B =R ,t h e n t h e v a l u e r a n g

e o

f t h e r e a l n u m b e r a i s .

18.已知点C (3,1),点A 在直线y =x 上,点B 在x 轴上,则?A B C 的周长的最小值是

.19.在?A B C 中,a ,b ,c 分别是角A

二B 二C 的对边,若a +c =2b ,B =30?,并且?A B C 的面积为3

2

,图2

则?A B C 的外接圆半径的长是.

20.若不等式4x -1-m 四2x

+m >0对一切x ?[

2,4]都成立,则实数m 的取值范围是

.

三二B 组填空题(

每小题8分,共40分.)21.如图2所示,圆O 的直径A B =6,C 为圆周上一点,B C =3,过C 作圆O 的切线l ,

从A 作l 的垂线A D ,垂足为D ,交圆O 于E ,则A E =

,C D =

.

22.函数f (x )=(s i n x +c o s x )2

+2

(s i n x +c o s x )的最小值是,最大值是

.23.已知函数f (x )=-(1

2

)

|x -1|

,g (

x )=x 2-6x +7,则这两个函数的值域的交集是.

若在集合A 中,对任意a ?A ,总存在b 使得g (a )=f (

b )成立,则A =.

24.已知x O y 坐标平面内的点A (

1,1)二B 二C 二D 二E ,若B 在曲线y =x 上,C 二D 二E 在正x 轴上,并且O C

,点B 的横坐标是

.

25.侧棱长都是6的三棱锥P A B C 中,P A ?P B ,P A ?P C ,?B P C =60?,M 二N 分别是P A 二B C 的

中点,则MN =

,三棱锥A B MN 的体积是

.

附加题(每小题10分,共20分.

)1.若点P (-3,1),Q (3,4)是某正方形的两个顶点,点R (x ,y )

是这个正方形的另一个顶点并且在直线P Q 的下方,

则点R 的坐标是.

2.设x ,y ,z ?R +,且x +y +z =1,若x 2+y 2+z 2+λx y

z ?1恒成立,则实数λ的最大值为页

两共一页三第ˋ一高

.

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共

两

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第二十四届 希望杯 全国数学邀请赛

高二一第1试试题

2013年3月17日一一上午8:30至10:00

竞赛结束时,只交答题卡,试卷可带走三答案于今日10:00在以下网站和微博公布:

希望杯 官方网站:h t t p://w w w.h o p e c u p.o r g 希望杯 微博:h t t p://e.w e i b o.c o m/x i w a n g b e i

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一二选择题(每小题4分,共40分.)

1.将函数y=x+2的图象沿向量(2,1)平移,得到的图象所对应的函数的解析式是()

(A)y=x+3.(B)y=x+1.(C)y=2x+2.(D)y=-x-2.

2.设x,y,z>0,x y z+y+z=12,则l o g4x+l o g2y+l o g2z的最大值是()

(A)3.(B)4.(C)5.(D)6.

3.已知集合A={x?R|x2-2a x+2a2+2=0},B={x?R|l o g2(x2-2x+5)?a},若A??R B不是A??R B的真子集,则实数a的取值范围是()

(A)(-2,2).(B)(-2,2].(C)(-?,2).(D)(-?,2].

4.若不等式|a x+b|<3的解集是-1

(A)-2.(B)-1.(C)1.(D)2.

5.当a,b,c均为正实数时,给出以下三个不等式:

(1)a2-a b+b2

(2)a2-a b+b2

(3)a2-a b+b2

其中,一定成立的不等式的个数是()

(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.

6.若s i n2θ和c o s4θ是函数f(x)=x2-2a2-4a-3的两个零点,则θ的值是()

(A)12kπ+π4(k?Z).(B)2kπ+3π4(k?Z).

(C)14kπ+3π8(k?Z).(D)kπ+π4(k?Z).

7.G i v e n t h e s e q u e n c e{a n}s a t i s f i e s a n+a m=a n+m(n a n d m a r e p o s i t i v e i n t e g e r s),a n d a1=12013,t h e n t h e s u mo f t h e f i r s t2013t e r m s i s()

(A)12013.(B)1.(C)1007.(D)2013.

8.已知平面直角坐标系内的点A(1,2)和B(-2,4),及坐标原点O,若点P满足O P?=mO A?+n O B?,其中m,n?R,并且m2-4n2=1,则点P的轨迹方程是()

(A)x-2y=1.(B)2x-y=0.(C)x2-4y2=1.(D)x y=2.

9.方程x2+2x+2y2=2的整数解(x,y)的个数是()

(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.

10.三棱锥S A B C的底面A B C是正三角形,侧棱长都是1,则此棱锥的体积的最大值是()

一页一第ˋ二高

共

两

页

(A )13.(B )14

.

(C )1

5.

(D )16

.

二二A 组填空题(每小题4分,共40分.)11.

函数y =x 2+24-x 2的值域是.

12.若2?2x +y ?4,则函数f (x ,y )=x 2-y 2

+x y -2y 的最大值是

.

13.非零向量a 和b 满足条件|a |=|b |=|

a +

b |,则向量a 和b 的夹角等于度.

14.已知不等式组x ?0x +3y ?33x +2y ?6

ì

?í所表示的平面区域被直线y =

k x +2分成面积比是1?3的两部分,则k 的值是.

15.已知函数f (x )=l o g a (2x 2+x )(a >0,a ?1),且x ?(0,1

2)

时,f (

x )>0恒成立,则函数f (x )的单调递增区间是

.

16.I f t h e s t r a i g h t l i n e l :m x +n y -2=0t a n g e n t s t o c i r c l e C :x 2+y 2-4x -4y -8=0,

t h e n t h e

m i n i m u mv a l u e o f m +n +m n i s .

17.记数列{a n }的前n 项和为S n ,若4S n =a n +1-

3n +1

-3,a 1=0,则用n 表示数列通项a n ,

是.

18.方程8s i n 3x -6s i n x +1=0(

0

π

2

)的解是

.

19.如图,四棱锥V A B C D 中,底面A B C D 是正方形,V D ?面A B C D ,

如果A D =D V =2,那么面V A C 与面V C D 的夹角的正弦值等于

.

20.已知椭圆:x 29+y 2

4

=1的左焦点为F 1,右焦点为F 2,点P 在椭圆周上,则P F 1?四P F 2?的取值范围是

.

三二B 组填空题(

每小题8分,共40分.)21.

函数y =1

x -1+2x -x 2

的定义域是,值域是

.

22.当-π2?θ?0,t ?R 时,函数f (t ,θ)=(t -c o s θ)2+(

t -s i n θ)2

的最大值是,最小

值是

.

23.若将数列1,1+3,3+5+7,5+7+9+11,7+9+11+13+15, ,记为{a n },则数列{a n }的通项公式a n =

,数列{a n }

的前n 项的和S n =.

24.将边长为1的正方形A B C D 沿对角线A C 折起,使D 点变到D ?点,得到三棱锥D ?A B C .若D ?A

=D

?B ,则三棱锥D ?A B C 的体积是,侧面A B D ?与B C D ?的夹角的余弦值是

.

25.双曲线x 2a 2-y 2

b

2=1(a ,b >0)的左二右焦点分别是F 1二F 2,

过F 2的直线交双曲线的右支于点M 和N .又点A 二B 分别是?M F 1F 2二?N F 1F 2的内心.当离心率e =2,|A B |=9

2

,直线MN 倾斜角的正弦值为

8

9

时,a =,双曲线的方程是

.

附加题(每小题10分,共20分.

)1.已知矩形A B C D 中,A B =2,A D =1,E 点在A B 上,A E =a (0

小明从E 点出发在矩形内页

两共一页二第ˋ二高

行进,依次经过矩形三边A D,D C,C B上的一点(不含顶点)后,回到E点,则小明行进的路程最短是.

2.曲线C:x29+(|y|-1)2

4=1所围成的图形的面积是.

一页三第ˋ二高

共

两

页