数值分析课后习题答案
习 题 一 解 答
1．取3.14，3.15，
227，355113
作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:
e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差：
3()0.0016
()0.51103.14r e x e x x -==≈?
有效数字：
因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…
所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311
101022
--?=?
所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差:
e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差：
2()0.0085
()0.27103.15r e x e x x --==≈-?
有效数字：
因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…
所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1
＝11211101022
--?=?
所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:
22
() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-
相对误差：
3()0.0013
()0.4110227
r e x e x x
--=
=≈-?
有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 22
3.1428571430.3142857143107
==?，m=1。 而22
3.14159265 3.1428571430.0012644937π-=-=- 所以 2213
22 3.14159265 3.1428571430.0012644930.005
7
11
0.510101022
π----=-=≤=?=?=?
所以，22
7
作为π的近似值有3个有效数字。
（4）绝对误差:
355
() 3.14159265 3.141592920.00000027050.000000271
113e x π=-=-=-≈- 相对误差：
7()0.000000271
()0.86310355113
r e x e x x
--==≈-?
有效数字：
因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 355
3.141592920.31415929210113
==?，m=1。 而355
3.14159265 3.141592920.0000002705113
π-=-=- 所以
6617
355 3.14159265 3.141592920.00000027050.0000005
113
11
0.510101022π----=-=≤=?=?=?
所以，355
113
作为π的近似值有7个有效数字。
指出：
①实际上，本题所求得只能是绝对误差限和相对误差限，而不是绝对误差和相对误差。
②为简单计，本题相对误差没有化为百分数。
③在求出绝对误差后，按定义求有效数字是基本功，必须掌握。绝对不允许有了定理后就不会根据定义讨论。因此，本类问题的解答应当是两种方法都熟练掌握的。
实际上，根据基本概念分析讨论问题始终是最重要的方法，由于不同的作者会提出不同的定理系统，因此，掌握根据最本元的定义讨论问题的方法是非常重要的。
④ 祖冲之（公元429年─公元500年）是我国杰出的数学家，科学家。南北朝时期人，汉族人，字文远。生于宋文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县）。在世界上最早计算出π的真值在3.1415926（朒数）和3.1415927（盈数）之间，相当于精确到小数第7位，这一纪录直到15世纪才由阿拉伯数学家阿尔.卡西打破。祖冲之还给
出π的两个分数形式：227（约率）和355
113
（密率），其中密率精确到小数
第7位，在西方直到16世纪才由荷兰数学家奥托重新发现，比祖冲之晚了一千多年，数学史学界主张称“密率”为“祖率”。
⑤近似数的有效数字只能是有限位。
⑥近似数的误差分析中采用近似数x 而不是其准确数，准确数是未知的。
⑦常出现德错误是，第一，不进行具体计算，结果不可靠；第二，两个分数近似值（尤其第二个）取的数位不够，结果有效数位计算错误；第三，认为分数就是精确数，就有无穷多有效数字。
2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。 346．7854，7．000009，0．0001324580，0．600300
分析：本题实际上指出，按要求截取的近似数符合有效数字定义，相关数位上的数字都是有效数字。解答方法简单，直接写出就可以，不需要也不应该做形式转化（化为科学计数法形式）
解：346．7854≈346．79， 7．000009≈7．0000，
0．0001324580≈0．00013246， 0．600300≈0．60030。 指出： 注意0。
只要求写出不要求变形。
3、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。
12340.0315,0.3015,31.50,5000x x x x ====。
分析：首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。其次，应当先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数字个数。有效数字由定义可以直接得出。
解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是
1234()0.00005,()0.00005,()0.005,()0.5x x x x εεεε====
由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限分别是
111222
333
444
()0.00005
()0.16%,
0.0315
()
0.00005
()0.02%,
0.3015()
0.005
()0.002%,31.5()
0.5
()0.01%.5000
x x x x x x x x x x x x εδεδεδεδ==≈==≈==≈=
=
≈
有效数字分别有3位、4位、4位、4位。 指出：
本题显然是直接指出有效数位、直接写出绝对误差，用定义求出相对误差。
4.计算10的近似值，使其相对误差不超过0.1％。 解：设取n 个有效数字可使相对误差小于0.1％，则 111100.1%2n a -?<， 而3104≤≤，显然13a =，此时，
11111
10100.1%223n n a --?=?
即131
10106n --?<， 也即461010n ?> 所以，n=4。 此时，10 3.162≈。
5、在计算机数系F(10,4,-77,77)中，对
31120.14281100.31415910x x =?=-?与，试求它们的机器浮点数()(1,2)i fl x i =及其相对误差。
解：
333311111111
2222()0.142810,(())()0.14281100.1428100.0000110,()0.314210,(())()0.31415910(0.314210)0.0004110fl x e fl x x fl x fl x e fl x x fl x =?=-=?-?=?=-?=-=-?--?=?其相对误差分别是
31
1231
0.00001100.000041100.007%,0.013%0.1428100.314210e e ??=≈=≈-?-?。
6、在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数
4220.2337125810,0.3367842910,0.3367781110x y z -=?=?=-?，试按
(),()x y z x y z ++++两种算法计算x y z ++的值，并将结果与精确结果比较。
解：
4222222
2
2
(())(0.23371258100.3367842910)0.3367781110(0.00000023100.3367842910)0.33677811100.33678452100.33677811100.0000064110fl x y z -++=?+?-?=?+?-?=?-?=?
422422
2
2
(())0.2337125810(0.33678429100.3367781110)0.23371258100.00000618100.00000023100.00000618100.0000064110fl x y z --++=?+?-?=?+?=?+?=?
精确计算得：
4222222
2
2
0.23371258100.33678429100.3367781110(0.00000023371258100.3367842910)0.33677811100.33678452371258100.33677811100.000064137125810x y z -++=?+?-?=?+?-?=?-?=?
第一种算法按从小到大计算,但出现了两个数量级相差较大的数相加,
容易出现大数吃小数.而第二种算法则出现了两个相近的数相减,容易导致有效数位的减少。计算结果证明，两者精度水平是相同的。
***
在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数
4220.2337125810,0.3367842910,0.3367781110x y z --=?=?=-?，试按
(),()x y z x y z ++++两种算法计算x y z ++的值，并将结果与精确结果比较。
解：
42222222222
(())(0.23371258100.3367842910)0.3367781110(0.00233713100.3367842910)0.33677811100.33912142100.33677811100.00003391100.33677811100.336744210fl x y z -----++=?+?-?=?+?-?=?-?=?-?=-?
42242242222
(())0.2337125810(0.33678429100.3367781110)0.2337125810(0.00003368100.3367781110)0.23371258100.33674742100.00000023100.33674742100.3367471910fl x y z ----++=?+?-?=?+?-?=?-?=?-?=-?
第一种算法是按从小到大的顺序计算的，防止了大数吃小数，计算更精确。
精确计算得：
4222
0.23371258100.33678429100.33677811100.0000233712580.003367842933.6778110.00339121415833.67781133.6744197858420.3367441978584210x y z --++=?+?-?=+-=-=-=-?
显然，也是第一种算法求出的结果和精确结果更接近。
7、某计算机的机器数系为F(10,2,L,U)，用浮点运算分别从左到右计算及从右到左计算
10.40.30.20.040.030.020.01+++++++
试比较所得结果。 解：从左到右计算得
10.40.30.20.040.030.020.01
0.1100.04100.03100.02100.00100.00100.00100.0010
0.19101.9
+++++++=?+?+?+?+?+?+?+?=?=
从右到左计算得
111110.40.30.20.040.030.020.010.010.020.030.040.20.30.41
0.1100.2100.3100.4100.20.30.410.10.20.30.410.11010.1100.1100.210
2
----+++++++=+++++++=?+?+?+?++++=++++=?+=?+?=?=
从右到左计算避免了大数吃小数，比从左到右计算精确。
8、对于有效数1233.105,0.001,0.100x x x =-==，估计下列算式的相对误差限
2
1123212333
,,x y x x x y x x x y x =++==
分析：求和差的相对误差限采取先求出和差的绝对误差限再求相对误差限的方法。求积商的相对误差限采取先求每一个数的相对误差限再求和的方法。
解：因为1233.105,0.001,0.100x x x =-==都是有效数， 所以123()0.0005,()0.0005,()
0.0005
x x x εεε=== 1230.00050.00050.0005
()0.16%,()50%,()0.5%3.1050.0010.100
x x x δδδ=
===== 则123123()()()()0.00050.00050.00050.0015x x x x x x εεεε++=++=++=
4123123123
()
0.00150.0015
() 4.99100.05%
3.1050.0010.100 3.004
x x x x x x x x x εδ-++++=
=
=≈?=++-++
123123()()()()0.16%50%0.5%50.66%x x x x x x δδδδ=++=++= 2233
()()()50%0.5%50.5%x x x x δδδ=+=+=
指出:
如果简单地用有效数字与误差的关系计算,则不够精确。
注意是相对误差限的讨论。符号要正确，商的误差限是误差限的和而不是差。
9、试改变下列表达式，使其计算结果比较精确（其中1x 表示x 充分接近0，1x 表示x 充分大）。
(1)1212ln ln ,x x x x -≈； (2)
11,111x x x x
---+ ； (3)11
,1x x x x x
+-- ； (4)
1cos ,01x
x x x -≠ 且; (5)1
cot ,01x x x x
-≠ 且。
分析：根据算法设计的原则进行变形即可。当没有简单有效的方法时就采用泰勒展开的方法。
解：(1)1
122
ln ln ln x x x x -=； (2)
2
2
2
111(1)11(1)(1)1(12)3(1)(1)(1)(1)
x x x x x x x x x x x x
x x x x -+---=
-+-++--+-=
=
-+-+；
(3)
2222221111
11
2(11)
x x x x x x x x
x x x x x x +-+--=-+--==++-
或
2222221111()()1111112()()
1111
2
(11)2
(11)
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x
x
x x x
x x x +
--++-+
--=++-+--=
=+-++-+=++-=
++- (4)
2422421321
11(1(1))
1cos 2!4!(2)!
(1)2!4!(2)!
(1)2!4!(2)!
n
n n
n n n x x x x n x x
x x x n x
x x x n +-+--+-+-+-=--+-+=
=--+-+ (5)
23
212321n 211111cot ()345(2)!211345(2)!B n n n n n n B x x x x x x x n B x x x n ---=------=++++ （是贝努利数）
指出：
①采用等价无穷小代换的方法一般不可行。近似计算中的误差并不是无穷小量，利用无穷小量等价代换，两个量的差别可能恰恰是影响精度的因素。采用等价无穷小代换，可能只会得到精度水平比较低的结论。
例如
22
2sin 2()1cos 222
x x x x x x x -=≈= 11cos sin cos cot sin sin cos (1,sin )
sin 1cos sin 11(1,cos 1)sin 0
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=-≈<<≈-=-≈<<≈= 试与上例比较。
有时候这种方法可以使用，例如
因为cos()cos cos
sin sin x x x δδδ+=-， 当1δ<<时，cos 1,sin 0δδ≈≈
cos()cos cos sin sin cos sin x x x x x δδδδ+=-≈-
在这个计算中，由于x 是常数，x 的函数值实际上放大了每一项的计算结果，使得相近的数相减的问题不很突出。
而利用一阶的泰勒展开()()()()f x f x f x x δδξξδ'+≈+<<+，当1δ 时，就有()()()f x f x f x δδ'+≈+，因此
cos()cos sin x x x δδ+≈-
和上面的结果一样。但显然，用泰勒展开的方法具有一般性并能得到精度更高的结果，而且不会有方法上出错的可能。
②采用洛必达法则也是不可以的。实际上，无论是等价无穷小还是洛必达法则都是极限方法，而因为近似计算中的误差虽然可以近似地看作是微分，但本质上却是一个确定的可能极小的小数而不是无穷小（趋于零的变量），因此近似计算是不能采用极限方法的。
③转化的结果要化简，比如化繁分式为简分式，但不能取极限。取极限就违背的了数值计算的本意。
所以， 11110110111010x x x ---≈-=-=-+-+ 是错误的。
④极小的数做除数，实际上是0
型的不定型，要转化为非不定型。
10、用4位三角函数表，怎样算才能保证1cos 2- 有较高的精度？ 解：根据21cos 22sin 1-= ，先查表求出sin1 再计算出要求的结果精度较高。
指出：
用度数就可以。不必化为弧度。
11、利用78327.982≈求方程25610x x -+=的两个根，使它们至少具有4位有效数字。
解：
由方程的求根公式，本方程的根为
221,2565645622812878322
x ±-±-===±
因为78327.982≈，则
1287832827.98255.982x =+≈+=
如果直接根据求根公式计算第二个根，则因为两个相近的数相减会造成有效数字的减少，误差增大。因此
根据韦达定理121x x =，在求出155.982x ≈后这样计算2x ：
1211155.982
x x =
≈?＝0.01786=0.178610 这样就保证了求出的根有四位有效数字。 12、试给出一种计算积分
1
1
(0,1,2,3,...)n x n I e
x e dx n -==?， 近似值的稳定算法。
解：当n ＝0时，1
1
011
00
(1)1x I e
x e dx e e e ---==-=-?。 (1
1
1x x e dx e e ==-?)。
对I n 运用分部积分法(b
b
b
a a
a
udv uv vdu =-??)得
1
1
1
1
1
1
11
10
()(0)n x n x n x
n x n I e
x e dx e x e
n x e dx e e n x e dx -----==-=--???
1
1110
11n x n ne x e dx nI ---=-=-?
由此得到带初值的递推关系式
1
0111(1,2,3,...)n
n I e
I nI n --?=-??
=-=?? 由递推公式I n ＝1－nI n －1 解得11
(1)n n I I n
-=-，这是逆向的递推公式，对I n 的值作估计，有
1
1
1
11
1
1
n x
n
n I e
x e dx e e x dx n --=≤=+?? 另有
1
1
111
11
n x n n I e x e dx e x dx e n ---=≥=+?? (取e 的指数为最小值0，将e x 取作 e 0 ＝1作为常数即可简化公式）。
则 11111
n e I n n -≤≤++。 那么，我们可以取其上下限的平均值作为其近似值。即取
111
(1)21
n I e n -=
++ 可以看出，n 越大，这个近似值越精确地接近于准确值。
(n 越大，I n 的上限和下限就越接近，近似值区间的长度就越短，近似值和精确值就越接近)
此时，e n －1=I n －1*－I n －1=－1n (I n *－I n )＝1n e n ，│e 0│= 1
!
n │e n │，计算是稳
定的。
实际上，如果我们要求I 9，可以先求出I 20，这样求出的I 9的误差是比I 20
的误差小得多的，而I 20的误差本身也并不大。实际上，这样求出的I 9比直接计算出来的精确得多。
习 题 二 解 答
1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误
差不超过31
102
-?。
分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。
解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。 由
34311
*1022222
n n n n n n b a b a x x -----≤
===
n a n b n x n f(x n )的符号
1 3 4 3.500 －
2 3.500 4 3.750 ＋
3 3.500 3.750 3.625 －
4 3.62
5 3.750 3.688 ＋ 5 3.625 3.688 3.657 ＋
6 3.625 3.65
7 3.641 ＋ 7 3.625 3.641 3.633 ＋
8 3.625 3.633 3.62
9 － 9 3.629 3.633 3.631 － 10 3.631 3.633 3.632 ＋ 11
3.631
3.632
3.632
－
x *≈x 11=3.632。
指出：
（1）注意精确度的不同表述。精确到10-3和误差不超过10-3是不同的。 （2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。 如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表：
n a n b n x n f(x n )的符号
1 3 4 3.5000 －
2 3.5000 4 3.7500 ＋
3 3.5000 3.7500 3.6250 －
4 3.6250 3.7500 3.687
5 ＋ 5 3.6250 3.6875 3.6563 ＋
6 3.6250 3.6563 3.640
7 ＋ 7 3.6250 3.6407 3.6329 ＋
8 3.6250 3.632
9 3.6290 － 9 3.6290 3.6329 3.6310 － 10 3.6310 3.6329 3.6320 ＋ 11
3.6310
3.6320
3.6315
－
（3）用秦九韶算法计算f(x n )比较简单。 1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。 解：令32247y x x x =---， 则2344322()()y x x x x '=--=+-
当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有122
23
,x x =-=。
函数单调区间列表分析如下：
x (-∞,23-)
23
- 223(,)- 2 (2,+∞) y ／ + 0 － 0 + y
149
27
-
－15
因为2149
02150327
(),()y y -=-
<=-<，所以方程在区间223(,)-上无根； 因为21490327()y -=-
<，而函数在2
3
(,)-∞-上单调增，函数值不可能变号，所以方程在该区间上无根；
因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，
而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。 所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。
2．证明1sin 0x x --=在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于4
1
102
-?的根，需要迭代多少次？
分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。
解：令()1sin f x x x =--，
因为(0)10sin 010,(1)11sin1sin10f f =--=>=--=-<， 则(0)(1)0f f <，
由零点定理，函数f(x)在[0,1]区间有一个根。 由
41011
*1022222
n n n n n n b a b a x x -----≤
===10000 所以n ＝15，即需要二分15次。
指出：
要证明的是有一个解而不是唯一解，因此不必讨论单调性。 3．试用迭代公式102
20,1210
k k k x x x x +==++，求方程32
210200x x x ++-=的根，要求精确到510-。
分析：精确到510-即误差不超过51
102
-?
解：令32()21020f x x x x =++- 列表进行迭代如下：
k
x
()k f x 0 1
-7
1 1.53846 3.75964
2 1.29502 -1.52380
3 1.40182 0.70311 4
1.35421
-0.30667
5 1.37530 0.13721
6 1.36593 -0.0606
7 7 1.37009 0.02705
8 1.36824 -0.01198
9 1.36906 0.00531 10 1.36870 -0.00228 11 1.36886 0.00110 12 1.36879 -0.00038 13 1.36882 0.00025
14 1.36881 5399210.-? 15
1.36881
5399210.-?
指出：
精确到510-可以从两个方面判定。第一，计算过程中取小数到510-位，最后两个计算结果相同，终止计算。第二，计算过程中取小数到610-，当
511
102
k k x x -+-
本题采用第一种方法。
4．将一元非线性方程20cos x x e -=写成收敛的迭代公式，并求其在005.x =附近的根，要求精确到210-。
解：20cos x x e -=改写为222110cos cos cos x x x
x x
x e e e =?
=?-=，则 21cos x
x
x x e
=+
-，设 21cos ()x
x
g x x e
=+- 有 2222224111sin()
sin cos (sin cos )()()x
x
x x x
x xe xe x x g x e e e
π
+--+'=+=-=- 在005.x =处，因为
05
22054051096151.sin(.)
(.).g e π
+
'=-
=<
所以迭代法121cos ()k
k
k k x x g x x e +=+-在005.x =的邻域内收敛。 列表迭代如下：
k x 0 0．5 1 0．71 2 0．69 3
0．69
此时0692069000614.cos ..e -=。
5．为求方程3210x x --=在015.x =附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
1221
3
2
2312112
11
1112111
131
1(),;
(),();(),.
()
k k
k k
k k x x x x x x x x x x x x +++=+=+=+=+=
=--迭代公式迭代公式迭代公式
试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似值。
解：（1）因为211x x =+，所以迭代函数为21
1()g x x
=+，则
23212()()()g x x x x --'''===-，3322
152151153375(.)...g -'=-?==<满足局部
收敛性条件，所以迭代公式121
1k k
x x +=+
具有局部收敛性。 （2）因为1
23
1()x x =+,所以迭代函数为123
1()()g x x =+,则
1212233
2
23
12212133
31()()()()
x g x x x x x x --'=+=+=
+,
223
21515045613115.(.).(.)
g ?'=
=<+满足局部收敛性条件,所以迭代公式
12311()k k
x x +=+具有收敛性。
（3）因为12
11()
x x =
-，所以迭代函数为12
11()()
g x x =
-，则
1312211
1122
()()()g x x x ---'=--=--，
3
232
1
115151141412
205
(.)(.)..g -'=-=
=>?不满足收敛性条件，所以迭代公式
112
11()
k k x x +=
-不具有收敛性。
用迭代公式121
1k k
x x +=+列表计算如下：
k x 0 1．5 1 1．444 2 1．480 3 1．457 4 1．471 5 1．462 6 1．468 7 1．464 8 1．467 9 1．465 10 1．466 11
1．465
所以，方程的近似根为1465*.x ≈。
6．设23()()x x C x ?=+-，应如何取C 才能使迭代公式1()k k x x ?+=具有局部收敛性？
解：设C 为常数，因为23()()x x C x ?=+-，所以12()x Cx ?'=+，要使迭代公式具有局部收敛性，需00121()x Cx ?'=+<，此时即有01121Cx -<+<，也即
010Cx -<<。即只要C 去满足如上条件的常数，就可以使得迭代公式具有局部收敛性。
指出：
下面的讨论是不合适的：
因为23()()x x C x ?=+-，所以2(3)x x C x =+-，所以2(3)0C x -=，所以
3x =±，由此确定方程的准确值。
要明确的是，方程的准确值时不知道并难以获得的，因此才需要迭代法。用解析法确定公式解在讨论在逻辑上是不通的。同时，这里强调的是一类方程的迭代解法的收敛性，也不应局限在具体的求解，关键是确定C 的范围。
7．用牛顿法求方程3310x x --=在初始值02x =邻近的一个正根，要求
3110k k x x -+-<。
解: 因为3310x x --=
所以有3()31f x x x =--，相应的迭代公式为
33122
3121
3333
k k k k k k k x x x x x x x +--+=-=-- 取x 0=2为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下：
k 0 1 2 3 x k
2
1.8889
1.8795
1.8794
因为3321
0.0001102
x x --=
*3 1.8794x x ≈=。
8．用牛顿法解方程1
0c x
-=，导出计算数c 的倒数而不用除法的一种简单
的迭代公式。用此公式求0.324的倒数，设初始值03x =，要求计算有5位有效数字。
解：对于方程10c x -=，有1
()f x c x =-，相应的迭代公式为
212121k
k k k k k
c x x x x cx x +-=-=--。
应用该迭代公式求0.324的倒数，列表计算如下
k x 0 3 1 3．084 2 3．0864 3
3．0864
所以1
308640324
..≈。 指出： 如果将方程1
0c x
-=改写为等价的10cx -=，则有1()f x cx =-，相应的迭代公式为
111
k k k cx x x c c
+-=-
= 无法展开迭代。
9．设a 为已知数，试用牛顿法导出求n a 的迭代公式，并求极限
1
2
lim
()n
k n k k a x a x +→∞--。
解：设a 为正实数，n 为自然数，由牛顿法，方程0()n f x x a =-=的解为
111
11()()
(1)1[(1)]k k k k n n n k k k k n n k k n k n k
k n k
f x x x f x x a nx x a x nx nx n x a nx
a n x n x +----=-
'--+=-=
-+=
=-+
此即求n a 的迭代公式。 由此，则
1111
22
111122111111111111111[()]lim lim ()([()])[()]lim ([()])[()]lim ([()n
k n n
k k n k k n k k n k
n k n k k n
k n k n k n k k n k n k a a n x a x n x a a x a n x n x a n a n x n x a n a n x n x a n n a n x x a
n a n x x +-++→∞→∞-+-+→∞-+-+→∞---+-=---+??
--+????
=--+??--+??
??
=--+2
1112
112
12
11112212])[()lim ]lim ([()lim ])lim [()]()([()])()()n k n k k k n k n k k
k n n n n n n n n n n n a n n a n x x a
n a n x x a
n n a n a a a
n a n a a n a n a n a
+-→∞+→∞-→∞→∞
--????--+?????
?=--+??--+??
?
?
=--+=
=
10．用快速弦截求方程3310x x --=在初始值02x =邻近的实根（取1 1.9x =，要求精确到310-）。
解: 因为3310x x --=
所以有3()31f x x x =--，相应的迭代公式为
111()
()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=---
取x 0=2为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下：
k x k x k -x k-1 f(x k ) f(x k )- f(x k-1)
0 2
1
1 1．9 -0.1 0.159 -0.841
2 1．8811 -0.0189 0.0130 -0.146 3
1．8794
-0.0017
0.0001
-0.0129
数值分析课后题答案
数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q
(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --
数值分析课后答案
1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。 由于 n i i i n n n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1... ......... ...... 1 )(21110 20 0---= ，.1,...,1,0-=n i 故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高 次幂 n x 的系数为 )(...1...1... ...... .........1),...,,(101 1 21 11 2 2221 02001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -== ∏-≤<≤-----------。 故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V 6、解：（1）设 .)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n 对 )(x f 构造Lagrange 插值多项式， ),()(0 x l x x L j n j k j n ∑== 其 0)()! 1() ()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ， ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j = 故 ),()(x L x f n =即 .,...,1,0,)(0 n k x x l x k j n j k j ==∑= 特别地，当0=k 时， 10) (=∑=n j x j l 。 （2） 0)()1(1) ()1()()(0000=-=??? ? ??-??? ? ??-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j k i i j i i k j n j k i i j k n j j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。 7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得 )()()(1 b f a b a x a f b a b x x P --+--= 因 0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。而 ))()(("2 1 )()(1b x a x f x P x f --= -ξ，b a <<ξ。 故)("max )(8 122)("max )(max 2 2 x f a b a b x f x f b x a b x a b x a ≤≤≤≤≤≤-=??? ??-≤。 14、解：设 ))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=， k x x g =)(，记)() (1 ∏=-=n j j n x x x w ，则 ),()(x w a x f n n =).()(' j n n j x w a x f = 由差商的性质知 [])! 1()(1,..,,1) (' 1 )(')('1 211 11 -== ==-===∑∑∑ n g a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n n j j n k j n n j j n n k j n j j k j ξ， ξ介于n x x ,...,1之间。 当20-≤≤ n k 时，0)()1(=-ξn g ， 当 1-=n k 时，)!1()(1-=-n g n ξ， 故 ???-=-≤≤=-= --=∑1,,20,0)!1()(1) ('1 11 n k a n k n g a x f x n n n n j j k j ξ 16、解：根据差商与微商的关系，有 [] 1! 7! 7!7)(2,...,2,2)7(7 10===ξf f ， [ ] 0! 80 !8)(2,...,2,2)8(8 1 ===ξf f 。 （ 13)(47+++=x x x x f 是7次多项式， 故 ,!7)()7(=x f 0)()8(=x f ）。 25、解：（1） 右边= [][]dx x S x f x S dx x S x f b a b a ??-+-)(")(")("2)(")("2 = [] d x x S x f x S x S x S x f x f b a ?-++-)("2)(")("2)(")(")("2)(" 222 = [] d x x S x f b a ?-)(")(" 22 = [][]dx x S dx x f b a b a 2 2 )(")("??- =左边。 （2）左边= ? -b a dx x S x f x S ))(")(")(("
数值分析课后题答案
数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡ 证明 (1)令f(x)=x k
n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)!
.f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj
数值计算课后答案2
习 题 二 解 答 1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误差不超过31 102-?。 分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。 解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。 由 3 4311*10 2 2 2 2 2 n n n n n n b a b a x x -----≤ == = < ? 有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000， 所以n ＝11，即只需要二分11次即可。 x *≈x 11=3.632。 指出： （1）注意精确度的不同表述。精确到10-3和误差不超过10-3 是不同的。 （2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。
（3）用秦九韶算法计算f(x n )比较简单。 1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。 解：令32247y x x x =---， 则2344322()()y x x x x '=--=+- 当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有122 23,x x =-=。 因为2 14902150327(),()y y -=- <=-<，所以方程在区间223 (,)-上无根； 因为214903 27 ()y - =-<，而函数在23 (,)-∞- 上单调增，函数值不可能变号，所以 方程在该区间上无根； 因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根， 而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。 所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。 2．证明1sin 0x x --=在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于4 1 102-?的根，需要迭代多少次？ 分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。 解：令()1sin f x x x =--， 因为(0)10sin 010,(1)11sin 1sin 10f f =--=>=--=-<，
数值分析课后习题答案
习 题 一 解 答 1．取3.14，3.15， 227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。 解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差： 3()0.0016 ()0.51103.14r e x e x x -==≈? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311 101022 --?=? 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差： 2()0.0085 ()0.27103.15r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1 ＝11211101022 --?=? 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差：
数值分析习题集及答案
（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令
数值分析第四版习题及答案
第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?
数值分析课后习题答案
第一章 题12 给定节点01x =-，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项： （1） （1） 3 ()432f x x x =-+ （2） （2） 4 3 ()2f x x x =- 解 （1）(4) ()0f x =， 由拉格朗日插值余项得(4)0123() ()()()()()()0 4!f f x p x x x x x x x x x ξ-=----=； （2）(4) ()4!f x = 由拉格朗日插值余项得 01234! ()()()()()() 4! f x p x x x x x x x x x -= ----(1)(1)(3)(4)x x x x =+---. 题15 证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差 012 10()()()max () 8x x x x x f x p x f x ≤≤-''-≤. 证 由拉格朗日插值余项得 01() ()()()()2!f f x p x x x x x ξ''-= --，其中01x x ξ≤≤， 01 0101max ()()()()()()()() 2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤''''-=--≤-- 01210()max () 8x x x x x f x ≤≤-''≤. 题22 采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p '==，(1)(1)1p p '==的插值多项式 ()p x ： （1） （1） 用待定系数法； （2） （2） 利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p '==，(1)1p =的插值多项式 ()p x . 解 （1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2 123()23p x a a x a x '=++， 代入得方程组001231123010231 a a a a a a a a a =? ?+++=?? =? ?++=? 解之，得01230 021 a a a a =??=?? =??=-?
数值分析第四版习题及答案
第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、
数值分析简明教程第二版课后习题答案(供参考)
0.1算法 1、 （p.11，题1）用二分法求方程013 =--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不 超过10-3. 【解】 由二分法的误差估计式31 1*102 1 2||-++=≤=-≤ -εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812 ln 10 ln 3≈-≥ k ，因此取9=k ，即至少需 2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]内有唯一个实根；使用 二分法求这一实根，要求误差不超过2102 1 -?。 【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且 012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根. 由二分法的误差估计式211*1021 2 12||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k . 两端取自然对数得6438.63219.322 ln 10 ln 2=?≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分
0.2误差 1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。 【解】有效数字： 因为111021 05.001828.0||-?= <=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为1 2102105.000828.0||-?=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字； 因为3 3102 10005.000028.0||-?=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字； %85.17.205 .0||111=<-= x x e r ε； %85.171.205 .0||222=<-= x x e r ε； %0184.0718 .20005 .0||333=<-= x x e r ε。 评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字； （2）近似数的所有数字并非都是有效数字.2．（p.12，题9）设72.21=x ， 71828.22=x ，0718.03=x 均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限) 与相对误差(限)。 【解】 005.01=ε，31 1 11084.172.2005 .0-?≈< = x r εε； 000005.02=ε，622 21084.171828 .2000005 .0-?≈< =x r εε； 00005.03=ε，43 3 31096.60718 .000005 .0-?≈< = x r εε； 评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位. 3．（p.12，题10）已知42.11=x ，0184.02-=x ，4 310184-?=x 的绝对误差限均为 2105.0-?，问它们各有几位有效数字？
(参考资料)数值分析课后答案1
1第一章 习题解答 1 设x >0，x 的相对误差限为δ，求 ln x 的误差。 解：设 x 的准确值为x *，则有 ( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 所以 e (ln x )=| ln x – ln x * | =| x – x * | ×| (ln x )’|x=ξ·≈ ( | x – x * | / | x *| ) ≤ δ 另解： e (ln x )=| ln x – ln x * | =| ln (x / x *) | = | ln (( x – x * + x *)/ x *) | = | ln (( x – x * )/ x * + 1) |≤( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限ε( x ) 和 ε( y ) 。 解：| e (x ) | = |e (– 2.18)|≤ 0.005，| e (y ) | = |e ( 2.1200)|≤ 0.00005，所以 ε( x )=0.005， ε( y ) = 0.00005。 3 下近似值的绝对误差限都是 0.005，问各近似值有几位有效数字 x 1=1.38，x 2= –0.0312，x 3= 0.00086 解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知，x 1，x 2， x 3有效数末位数均为小数点后第二位。故x 1具有三位有效数字，x 2具有一位有效数字，x 3具有零位有效数字。 4 已知近似数x 有两位有效数字，试求其相对误差限。 解：| e r (x ) | ≤ 5 × 10– 2 。 5 设 y 0 = 28，按递推公式 y n = y n-1 – 783/ 100 ( n = 1，2，…) 计算到y 100。若取≈78327.982 （五位有效数字），试问，计算 y 100 将有多大的误差？ 解：由于初值 y 0 = 28 没有误差，误差是由≈78327.982所引起。记 x = 27.982，783?=x δ。则利用理论准确成立的递推式 y n = y n-1 – 783/ 100 和实际计算中递推式 Y n = Y n-1 – x / 100 (Y 0 = y 0) 两式相减，得 e ( Y n ) = Y n – y n = Y n-1 – y n-1 – ( x – 783)/ 100 所以，有 e ( Y n ) = e ( Y n-1) – δ / 100 利用上式求和 δ?=∑∑=?=100111001)()(n n n n Y e Y e 化简，得 e ( Y 100) = e ( Y 0) – δ = δ 所以，计算y 100 的误差界为 4100105001.05.0)(?×=×=≤δεY 6 求方程 x 2 – 56x + 1 = 0的两个根，问要使它们具有四位有效数字，D=ac b 42 ?至少要取几位有效数字？ 如果利用韦达定理，D 又应该取几位有效数字？ 解：在方程中，a = 1，b = – 56，c = 1，故D=4562?≈55.96427，取七位有效数字。
数值分析课后习题部分参考答案
数值分析课后习题部分参考答案
数值分析课后习题部分参考答案 Chapter 1 （P10）5. 求2的近似值* x ，使其相对误差不超 过%1.0。 解： 4.12=。 设* x 有n 位有效数字，则n x e -??≤10105.0|)(|* 。 从而， 1 105.0|)(|1* n r x e -?≤ 。 故，若% 1.0105.01≤?-n ，则满足要求。 解之得，4≥n 。414 .1* =x 。 （P10）7. 正方形的边长约cm 100，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过12 cm 。 解：设边长为a ，则cm a 100≈。 设测量边长时的绝对误差为e ，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计:e ??≈1002。按测量要求，1|1002|≤??e 解得，2 105.0||-?≤e 。 Chapter 2
（P47）5. 用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵： ?? ?? ? ??--=011012111A 。 解：设() γβα =-1 A 。分别求如下线性方程组： ?? ?? ? ??=001αA ， ?? ?? ? ??=010βA ， ?? ?? ? ??=100γA 。 先求A 的LU 分解（利用分解的紧凑格式）， ???? ? ??-----3)0(2)1(1)1(2)0(1)1(2)2(1)1(1)1(1)1(。 即， ?? ?? ? ??=121012001L ，?? ?? ? ??---=300210111U 。 经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组， ?? ??? ??=001Ly 和y U =α，得， ?? ?? ? ??-=100α； ?? ?? ? ??=010Ly 和y U =β，得， ???? ??? ? ??=323131β； ?? ?? ? ??=100Ly 和y U =γ，得，； ???? ??? ? ??--=313231γ。
数值分析课后题答案
数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4; ()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--= =-+-----= =------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 1 4(1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1）0 ()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2） 0()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()n k n j j j L x x l x ==∑。 插值余项为(1)1()()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+ 又,k n ≤Q
(1)()0()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0 ()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 000(2)()() (())()()(())n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 0()n k i j j j x l x x ==∑ 0()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10101010()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0 ()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-=-- 011()()()()2 f x f x x x x x ''∴=--
数值分析第四版习题及答案
第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试 指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -= ( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 211N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的 绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y ≈(三位有效数
字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin ,2s ab c = 其中c 为弧度, 02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 20000112111 2 1 ()(,,,,)11 n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x x x ----== 证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x - ,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=-- . 2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式. 3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.
数值分析第三版课本习题及答案
第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ******** 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1 234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11 783100n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6(21)f =-,取2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 63 11,(322),,9970 2. (21)(322)--++ 13. 2()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 22ln(1)ln(1)x x x x --=-++ 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010;2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
最新数值计算课后答案1
习 题 一 解 答 1．取3.14，3.15， 227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。 解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差： 3()0.0016 ()0.51103.14 r e x e x x -==≈? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311 101022 --?=? 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差： 2()0.0085 ()0.27103.15 r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211 101022 --?=? 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137 e x π=-=-=-≈-L L 相对误差：
数值分析复习题答案
数值分析复习题 一、填空 Chapter1 绪论 近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 3 位有效数字. 用1000.1近似真值1000时，其有效数字有 4 位， 已知准确值x*与其有t 位有效数字的近似值12 10.10(0)s n x a a a a =?≠的绝对误差为 1 x*-x 102s t -≤ ?。 设 2.40315x * =是真值 2.40194x =的近似值，则x * 有 3 位有效数字。 设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是44 11 1010224--?=?? ，其绝对误差限是4 1 102-?。 当x 很大时，为防止损失有效数字，应该使 = 。 Chapter2 插值方法 设642 ()3651f x x x x =+-+，则[3,2,1,0,1,2,3]f ---= 3 。 若 42 f(x)=2x +x -3, 则f[1,2,3,4,5,6]= 0 。 对 32f(x)=x +3x -x+5,差商f[0,1,2,3,4]= 0 。 设 643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 1 。 已知y=f(x)的均差 021[,,]5f x x x =, 402[,,]9f x x x =, f[x4, x3, x2]=14， f[x0, x3, x2]=8 ,.那么 均差f[x4, x2, x0]= 9 。（交换不变性） 设有数据112 032 x y -则其 2 次 Larange 插值多项式为 32 (1)(2)(1)(1)23x x x x -+-++-，2次拟合多项式为 （最佳平方逼近可求）。？？？ 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为 ()k l x ( k =0,1,2,…,n)，则 n k k=0 kl (x)= ∑ x 。？？（注： k y k =，则有拉格朗日插值公式：