二、解答题（共3题，共44分）
8.已知函数c bx x y ++=2
2在??? ??
-∞-23,上是减函数，在??
?
??+∞-,23上是增函数，求两个零点21,x x 满足221=-x x ，求这个二次函数的解析式。 解析 由题意可知对称轴是2
3
-=x ，21,x x 是方程两根，利用根与系数关系求解. 由题意推出62
3
22=?-=?-
=b b x ，则方程为c x x y ++=622. ,2
,32121c
x x x x =?-=+?()22942
122121=-=-+=-∴c x x x x x x
2
5=
?c . 经检验0162
5
2462
>=?
?-=?，符合题意。
所求函数解析式为2
5622
+
+=x x y . 9.已知函数f (x )＝x 3－x 2
＋x 2＋14.证明：存在x 0∈(0，12
)，使f (x 0)＝x 0.
解析 令g (x )＝f (x )－x .
∵g (0)＝14，g (12)＝f (12)－12＝－1
8，
∴g (0)·g (1
2
)<0.
又函数g (x )在[0，1
2
]上连续，
∴存在x 0∈(0，1
2
)，使g (x 0)＝0.即f (x 0)＝x 0.
10.已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x
＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点. 解 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x
＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x
＋1＝0仅有一个实根. 设2x ＝t (t >0)，则t 2
＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0，即m 2
－4＝0，
∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)， ∴2x
＝1，x ＝0符合题意. 当Δ>0，即m >2或m <－2时，
t 2＋mt ＋1＝0有两正根或两负根，
即f (x )有两个零点或没有零点. ∴这种情况不符合题意.
综上可知，m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.
分层训练B 级 基础达标演练（60分）
一、填空题（共6题，每题5分）
1．(2012·苏州模拟)若偶函数f (x )在区间为[0，a ](a ＞0)上是单调函数，且f (0)·f (a )＜0，
则方程f (x )＝0在区间[－a ，a ]内根的个数是________．
解析 由f (0)·f (a )＜0，且f (x )在[0，a ](a ＞0)上单调，知f (x )＝0在[0，a ]上有一根，又函数f (x )为偶函数，f (x )＝0在[－a,0]上也有一根．所以f (x )＝0在区间[－a ，a ]内有两个根． 答案 2
2．(2012·无锡调研)已知方程2x
＝10－x 的根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析 设f (x )＝2x
＋x －10，则由f (2)＝－4＜0，f (3)＝1＞0，所以f (x )的零点在(2,3)内． 答案 2
3．(2012·济宁模拟)已知a 是函数f (x )＝2x
－log 12x 的零点，若0＜x 0＜a ，则f (x 0)的值满
足________(与零的关系)．
解析 因为f (x )是(0，＋∞)上的增函数，且f (a )＝0，于是由0＜x 0＜a ，得f (x 0)＜f (a )＝0，即f (x 0)＜0. 答案 f (x 0)＜0
4．(2012·菏泽测试)设函数()???>+-≤-=,
1,34,1,442
x x x x x x f 则函数g (x )＝f (x )－log 4x 的零点个
数为________．
解析 设y ＝f (x )与y ＝log 4x ，分别画出它们的图象，得有2个交点，所以函数g (x )的零点个数为2. 答案 2
5．(2014·吉林白山二模)已知函数f (x )＝2mx 2
－x －1在区间(－2,2)上恰有一个零点，则m 的取值范围是________．
解析 当m ＝0时，函数f (x )＝－x －1有一个零点x ＝－1，满足条件．当m ≠0时，函数
f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)上恰有一个零点，需满足①f (－2)·f (2)＜0，或
②()?????<<-=-,0412,02m f 或③()??
???<<=,241
0,02m f 解①得－18＜m ＜0或0＜m ＜38；解②得m ∈?，解③得m ＝38.综上可知－18＜m ≤38.
答案 ??
?
??8
3,81-， 6．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间[－1,3]上函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________． 解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)得，
f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是周期为2的函数．
∵f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ， ∴当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x ， 易得当x ∈[1,2]时，f (x )＝－x ＋2， 当x ∈[2,3]时，f (x )＝x －2.
在区间[－1,3]上函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k 的图象在区间[－1,3]上有4个不同的交点．作出函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k 的图象如图所示，结合图形易知k ∈??
? ??
41,0，.
答案 ?
?
? ??41,0，
二、解答题（共2题，每题15分）
7．关于x 的二次方程x 2
＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．
解 设f (x )＝x 2
＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1＞0，则应用f (2)＜0， 又∵f (2)＝22
＋(m －1)×2＋1， ∴m ＜－3
2
.
②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，
则()??
??
???≥<--<≥?,022210,0f m
()()??
?
??≥+?++<<-≥--∴.01214,
13,0412m m m ???
?
???
-≥<<--≤≥∴.
23
,
13,1,3m m m m ∴－3
2
≤m ≤－1.
由①②可知m 的取值范围(－∞，－
1].
8.(2012·泰州高三调研)(1)m 为何值时，f (x )＝x 2
＋2mx ＋3m ＋4. ①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；
(2)若函数f (x )＝|4x －x 2
|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．
解 (1)①f (x )＝x 2
＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点?方程f (x )＝0有两个相等实根?Δ＝0，即4m 2
－4(3m ＋4)＝0，即m 2
－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1. ②法一 设f (x )的两个零点分别为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4.
由题意，在()
()()()()()??
?
??>+++>++>+-=?.
011,
011,0434421212x x x x m m ?????>+->+-+>--?.022,01243,
0432m m m m m ??
?
??<->-<>?,1,
5,
1,4m m m m ∴－5＜m ＜－1.故m 的取值范围为(－5，－1)．
法二 由题意，知()???
??>-->->??.
01,1,
0f m 即??
???>++-<>--.04321,1,0432m m m m m
∴－5＜m ＜－1.∴m 的取值范围为(－5，－1)．
(2)令f (x )＝0，得|4x －x 2
|＋a ＝0， 即|4x －x 2
|＝－a .
令g (x )＝|4x －x 2
|，h (x )＝－a . 作出g (x )、h (x )的图象．
由图象可知，当0＜－a ＜4，即－4＜a ＜0时，g (x )与h (x )的图象有4个交点，即f (x )有4
个零点．故a 的取值范围为(－4,0).
新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之
新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系课 后课时精练新人教B 版必修第一册 A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1．下列说法中正确的有( ) ①f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为(－1,0)； ②f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为－1； ③y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图像与x 轴的交点； ④y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图像与x 轴交点的横坐标． A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③ 答案 B 解析 根据函数零点的定义，f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为－1，函数y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图像与x 轴交点的横坐标．因此，说法②④正确．故选B. 2．函数f (x )＝x 2 －x －1的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个 答案 C 解析 Δ＝(－1)2 －4×1×(－1)＝5>0，所以方程x 2 －x －1＝0有两个不相等的实根，故函数f (x )＝x 2 －x －1有2个零点． 3．函数f (x )＝2x 2 －3x ＋1的零点是( ) A ．－1 2，－1 B.12，1 C.1 2，－1 D ．－12 ，1 答案 B 解析 方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝12，所以函数f (x )＝2x 2 －3x ＋1的 零点是1 2 ，1. 4．函数y ＝x 2 －bx ＋1有一个零点，则b 的值为( )
A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．3 答案 C 解析 因为函数有一个零点，所以Δ＝b 2 －4＝0，所以b ＝±2. 5．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )? ?? ??x －1a <0的解集为( ) A ．(－∞，a )∪? ?? ??1a ，＋∞ B ．(a ，＋∞) C.? ????－∞，1a ∪(a ，＋∞) D.? ?? ??－∞，1a 答案 A 解析 ∵a <－1，∴a (x －a )? ????x －1a <0?(x －a )? ?? ??x －1a >0.又a <－1，∴1a >a ，由函数f (x ) ＝(x －a )·? ?? ??x －1a 的图像可得所求不等式的解集为(－∞，a )∪? ?? ??1a ，＋∞. 二、填空题 6．函数f (x )＝? ???? 2x －4，x ∈[0，＋∞， 2x 2 －3x －2，x ∈－∞，0的零点为________． 答案 2，－1 2 解析 当x ≥0时，由2x －4＝0，得x ＝2；当x <0时，由2x 2 －3x －2＝0，得x ＝－12或 2(舍去)．故函数f (x )的零点是2，－1 2 . 7．已知函数f (x )＝ax 2 －5x ＋2a ＋3的一个零点为0，则f (x )的单调递增区间为________． 答案 ? ????－∞，－53 解析 由已知，得f (0)＝2a ＋3＝0，∴a ＝－32，∴f (x )＝－32x 2 －5x ，∴f (x )的单调递 增区间为? ????－∞，－53. 8．已知a 为常数，则函数f (x )＝|x 2 －9|－a －2的零点个数最多为________． 答案 4 解析 令g (x )＝|x 2 －9|，h (x )＝a ＋2，在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图像，如图所示．
方程的解与函数的零点 答案
方程的解与函数的零点 一、选择题 1 ．已知函数f(x)是R 上的偶函数,且f(1-x)=f(1+x),当x ∈[0,1]时,f(x)=x 2,则函数 y=f(x)-log 5x 的零点个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B 2 ．已知函数???>-≤-=0 ,120 ,2)(x x x a x f x (R a ∈),若函数)(x f 在R 上有两个零点,则a 的取值范围是 （ ） A ．)1,(--∞ B ．]1,(-∞ C ．)0,1[- D ．]1,0( 【答案】D 3 ．设函数f (x )=x |x |+bx +c ,给出下列四个命题: ①c =0时,f (x )是奇函数 ②b =0,c >0时,方程f (x )=0只有一个实根 ③f (x )的图象关于(0,c )对称 ④方程f (x )=0至多两个实根 其中正确的命题是 （ ） A ．①④ B ．①③ C ．①②③ D ．①②④ 【答案】C 4 ．已知函数()ln 38f x x x =+-的零点0[,]x a b ∈,且1(,)b a a b N +-=∈,则a b += （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】A 5 ．函数21 f ()lo g 22 x x x =- +的零点个数为 ( ) （ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ． 2 【答案】D 6 ．函数 ()22x f x x =-零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 7 ．函数12ln )(-+=x x x f 的零点的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B 8 ．奇函数()f x ,偶函数()g x 的图像分别如图1、2所示,方程(())0,(())0f g x g f x ==的实根个数分别 为,a b ,则a b +=
函数的零点与方程的解教学讲义
函数的零点与方程的解教学讲义 必备知识·探新知 基础知识 知识点1 函数的零点 (1)函数f (x )的零点是使f (x )＝0的__实数x __. (2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系． 思考1：(1)函数的零点是点吗？ (2)函数的零点个数、函数的图象与x 轴的交点个数、方程f (x )＝0根的个数有什么关系？ 提示：(1)不是，是使f (x )＝0的实数x ，是方程f (x )＝0的根． (2)相等． 知识点2 函数的零点存在定理 (1)条件：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是__连续不断的曲线__，f (a )f (b )<0； (2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，即存在c ∈(a ，b )使f (c )＝0，这个c 也就是f (x )＝0的根． 思考2：(1)函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，f (a )f (b )<0时，能否判断函数在区间(a ，b )上的零点个数？ (2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，是不是一定有f (a )f (b )<0? 提示：(1)只能判断有无零点，不能判断零点的个数． (2)不一定，如f (x )＝x 2在区间(－1,1)上有零点0，但是f (－1)f (1)＝1×1＝1>0. 基础自测 1．函数f (x )＝4x －6的零点是( C ) A ．2 3 B ．(3 2，0) C ．3 2 D ．－32 [解析] 令4x －6＝0，得x ＝32，∴函数f (x )＝4x －6的零点是3 2 . 2．(2020·广州荔湾区高一期末测试)函数f (x )＝x －2＋log 2x ，则f (x )的零点所在区间为( B )
函数与方程、零点
函数与方程 一、考点聚焦 1．函数零点的概念 对于函数))((D x x f y ∈=，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点，注意以下几点： （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零。 （2）函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标。 （3）一般我们只讨论函数的实数零点。 （4）求零点就是求方程0)(=x f 的实数根。 2、函数零点的判断 如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有0)()(
方程的根与函数的零点题型及解析
方程的根与函数的零点 题型及解析 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
方程的根与函数的零点题型及解析1.求下列函数的零点 （1）f（x）=x3+1；（2）f（x）=；（3）y=﹣x2+3x+4；（4）y=x2+4x+4． 分析：根据函数零点的定义解f（x）=0，即可得到结论． 解：（1）由f（x）=x3+1=0得x=﹣1，即函数的零点为﹣1；（2）由f（x）==0 得x2+2x+1=0得（x+1）2=0，得x=﹣1，即函数的零点为﹣1．（3）由y=﹣x2+3x+4=0，可得（x﹣4）（x+1）=0，所以函数的零点为4，﹣1；（4）y=x2+4x+4，可得（x+2）2=0，所以函数的零点为﹣2． 2.①求函数f（x）=2x+x﹣3的零点的个数；②求函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数；③求函数的零点个数是多少？ 分析：①由题意可判断f（x）是定义域上的增函数，从而求零点的个数；②由题意可 得，函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2的交点个数，数形结合可得结论．③由函数 y=lnx 的图象与函数y=的图 象只有一个交点，可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数． 解：①∵函数f（x）=2x+x﹣3单调递增，又∵f（1）=0，故函数f（x）=2x+x﹣3 有且只有一个零点 ②函数f（x）=log 2x﹣x+2的零点的个数，即函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2 的交点个数，如图所示：故函数y=log 2 x 的图象（红色部分）和直线y=x﹣2（蓝 色部分）的交点个数为2，即函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数为2；③函数 f（x）=lnx-（1／x）的零点个数就是函数y=lnx的图象与函数y=1／x的图象 的 交点的个数，由函数y=lnx 的图象与函数y=1／x的图象只有一个交点，如图 所示， 可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数是1 3.①已知方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，求实数a的取值范围 ②已知a是实数，函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个 零点，求a的取值． ③已知函数f（x）=x2﹣2ax+4在区间（1，2）上有且只有一个零点，求a的取值范围 分析：①由已知，函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，它的对称轴为x=3／2，得出不等式组，解出即可； ②若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f（0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，解得答案；③若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有一个零点，则△=0，经检验不符合条件；则函数f（x）=x2﹣2ax+4有两个零点，进而f （1）f（2）＜0，解得答案 解：①若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f （0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，即-3＜0，a-4＞0，2a-7＞0，4a-19＜0，解得：a∈（4，19／4）；②∵令f（x）=x2﹣3x+a，它的对称轴为x=3／2，∴函数f （x）在区间（2，3）单调递增，∵方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，∴函数f（x）在区间（2，3）内与x轴有一个交点，根据零点存在性定理得出：f（2）＜0，f（3）＞0，即a-2＜0，9-9+a＞0，解得0＜a＜2；③解：若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有
方程的根与函数的零点》说课稿
《方程的根与函数的零点》说课稿 1教材分析 1.1地位与作用 本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课. 新课标教材新增了二分法，也因而设置了本节课.所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础，零点概念与零点存在性定理的是二分法的必备知识. 之前的教材虽然没有设置本节内容，但方程的根与函数的关系从来是重要且无法回避的，所以将本节课直接编入教材很有必要.本节课也就不仅为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础.用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础. 从研究方法而言，零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合
从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台. 1.2教学重点 基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理. 2学情分析 2.1学生具备必要的知识与心理基础. 通过前面的学习，学生己经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础. 方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础. 2.2学生缺乏函数与方程联系的观点. 高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任.具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位. 例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象.函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成
函数与方程的含参零点问题
函数与方程的含参零点问题 ?方法导读 函数与方程问题常以基本初等函数或分段函数为载体,考查函数零点的存在区间、确定零点的个数、参数的取值范围、方程的根或函数图象的交点等问题.函数与方程不仅考查考生计算、画图等方面的能力,还考查考生函数与方程、数形结合及转化化归等数学思想的综合应用.在解决函数零点问题时,既要注意利用函数的图象,也要注意根据函数的零点存在性定理、函数的性质等进行相关的计算,把数与形紧密结合起来. ?高考真题 【·天津卷理·】已知,函数,若关于的方程 恰有个互异的实数解,则的取值范围是______. ?解题策略 本题属于分段函数的零点问题,所以需要分类讨论: 当时,由,推出, 当时,由,推出, 再分别画出它们的图象,由图象可知, 当直线和的图象有两个不同的交点,而直线和 的图象无交点时满足条件. ?解题过程 当时,由,得, 当时,由,得,
令,作出直线,函数的图象如图所示, 的最大值为,由图象可知,若恰有个互异的实数解,则 ,得. ?解题分析 1.求函数零点问题,是高考试卷中的热点问题,这类问题要通过学生的直观想 象能力,画出函数图象求解比较直观、易理解; 2.本题由求解问题,通过变形转化为求和 的问题,然后通过图象可以顺利求解; 3.分类讨论思想贯穿整个高中阶段的数学学习中,在每年的高考试卷做题中都 会出现,尤其是解决综合题型时,很多学生不知道该如何分类讨论,所以学生在 平时的训练中要有意识的加以培养和应用. ?拓展推广 1.判断函数零点个数的常见方法 (1)直接法:解方程,方程有几个解,函数就有几个零点;
(2)图象法:画出函数的图象,函数的图象与轴的交点个数即为函数的零点个数; (3)将函数拆成两个常见函数和的差,从而 ,则函数的零点个数即为函数与函数 的图象的交点个数; (4)二次函数的零点问题,通过相应的二次方程的判别式来判断. 2.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 (1)解方程,当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是否有根落在给定区间 上; (2)利用零点存在性定理进行判断; (3)画出函数图象,通过观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断. 3.已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 (1)把函数零点问题转化为方程根的问题 利用函数的零点方程的根,把求函数零点的相关问题转化为求方程根的问题,通过方程的根所满足的条件建立不等式来解决问题. (2)把函数零点问题转化为函数图象与坐标轴的交点问题 利用函数的零点函数的图象与轴的交点,把函数零点的相关问题转化为图象与坐标轴的交点问题,再利用数形结合的思想方法来解决问题. (3)把零点问题分离变量后转化为函数值域问题 将函数零点问题先转化为方程根的问题,然后进行变量分离,将参数分离出来转化为求函数值域问题,这种方法思路简洁,学生容易想到. (4)把函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题
函数与方程(零点问题)
§2.8 函数与方程 函数零点问题 学习目标;(1)理解函数零点定义，会应用函数零点存在性定理 (2)体会函数与方程的转化思想 一 知识导练 1. (必修1 P43练习3改编) 函数32()2f x x x x =-+的零点是____________． 解析：解方程x3－2x2＋x ＝0得x ＝0或x ＝1，所以函数的零点是0或1. 导航：函数零点的求解 2．(必修1 P111复习13改编)已知函数()23x f x x =-，则函数f(x)的零点个数是____． 解析：解法1：令f(x)＝0，则2x ＝3x ，在同一坐标系中分别作出y ＝2x 和y ＝3x 的图象，由图知函数y ＝2x 和y ＝3x 的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2. 解法2：由f(0)>0，f(1)<0，f(3)<0，f(4)>0，…，所以有2个零点，分别在区间(0，1)和(3，4)内． 导航：函数零点个数的判定 3.给出以下三个结论：（1）0一定是奇函数的一个零点； （2）单调函数有且仅有一个零点； （3）周期函数一定有无穷多个零点. 其中正确的结论共有_____个。 4．(必修1 P97习题8)若关于x 的方程27(13)20x m x m -+--=的一个根在区间(0，1)上，另一个在区间(1，2)上，则实数m 的取值范围为_____________． 解析：设f(x)＝7x2－(m ＋13)x －m －2，则???? ?f （0）>0，f （1）<0，f （2）>0，解得－41. 要点回顾：
函数与方程(零点)
§1-10 函数的应用---根与零点及二分法 【课前预习】阅读教材P86-90完成下面填空 1．方程()0=x f 有实根 ? ? 7．若()y f x =的最小值为1，则()1y f x =-的零点个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．0或l D ．不确定
8．已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ） A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点 C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点 D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点 9．若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上 ( ) A ．一定没有零点 B ．至少有一个零点C ．只有一个零点 D ．零点情况不确定 10．如果二次函数)3(2 +++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()6,2- B ．[]6,2- C ．{}6,2- D ．()(),26,-∞-+∞ 11．方程22lg x x -=的实数根的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．无数个 12.二次函数()f x =ax 2 +bx+c 中,ac<0则函数的零点个数是 13.若()f x 的图像关于y 轴对称，且()f x =0有三个零点，则这三个零点之和等于 14.若()f x =???--≤≥--2 1,11 2,12 x x x x x 或则函数g(x)= ()f x -x 的零点为 15.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，()f x =x 3 -x,则函数y=()f x 的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 16.已知函数()f x =4x +m.2x +1仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出零点 17．若函数()f x =(m-2)x 2 +mx+(2m+1)的两个零点分别在区间（-1,0）和区间（1,2）内，则的取值范围是（ ） A ．(-21,41) B.(- 41,21) C.( 41,21) D.[ 41,2 1] 18.数()f x =ax+b(a ≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)=bx 2 -ax 的零点是 19.数()f x =x 3 -3x+a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-2,2) B. [-2,2] C.(-∞，1) D. (1，+∞) 20.=cosx 在(-∞,+∞)内 （ ） A ．没有根 B.有且仅有一个根 C. 有且仅有两个根 D. 有无穷多个根 21.()ln 2f x x x =-+的零点个数为 。 [学后反思]____________________________________________________
函数与方程(零点)
§1-10 函数的应用---根与零点及二分法 【课前预习】阅读教材P86-90完成下面填空 1．方程()0=x f 有实根 ? ? 2．零点定理：如果函数()x f y =在区间 上的图象是 的一条曲线，并且 有 ，那么，函数()x f y =在区间 内有零点，即存在()b a c ,∈，使得 ，这个c 也就是方程()0=x f 的根. 3．二分法求函数()x f y =零点近似值的步骤： ⑴确定区间 ，验证 ，给定 。 ⑵求 ； ⑶计算 ；①若 ，则 ； ②若 ，则令 ； ③若 ，则令 。 ⑷判断 【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．下列函数中有2个零点的是 ( ) A ．lg y x = B ．2x y = C ．2y x = D ．1y x =- 2.若函数()f x 在区间[],a b 上为减函数，则()f x 在[],a b 上 ( ) A ．至少有一个零点 B ．只有一个零点 C ．没有零点 D ．至多有一个零点 3．函数)(x f =-x 2+5x-6的零点是 4. 函数)(x f =x 21-( 21)x 的零点个数 5.函数)(x f =x 3-x 2-x+1在[0,2]上 零点 6.下列函数图像与x 轴均有交点，但不宜用二分法求函数零点的是（ ） A B C D 7．若()y f x =的最小值为1，则()1y f x =-的零点个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．0或l D ．不确定 8．已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ） A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点 C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点 D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点 9．若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上 ( )
函数方程与零点(精)
函数的零点 .【高考考情解读】常考查：1.结合函数与方程的关系，求函数的零点．2.结合根的存在性定理或函数图像，对函数是否存在零点或存在零点的个数进行判断．3.判定函数零点(方程的根)所在的区间．4.利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或取值范围．高考题突出数形结合思想与函数方程思想的考查，以客观题的形式为主． (1)函数与方程的关系：函数f (x )有零点?方程f (x )＝0有根?函数f (x )的图象与x 轴有交点?f (x )与g (x )有交点?f (x )=g (x )． 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y ＝f(x)的图像与函数y ＝g(x)的图像交点的横坐标． (2)函数f (x )的零点存在性定理：如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0. 注：①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0. ②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点． ③如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f (x )在区间(a ，b )内有零点时不一定有f (a )·f (b )<0，也可能有f (a )·f (b )>0. (3)判定函数零点的方法:①解方程法；②利用零点存在性定理判定；③数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解． (2013·重庆)若a 0)， 2x ＋1(x ≤0)，的零点个数是 ( )
函数与方程零点问题
函数与方程 1．函数的零点 (1)定义： 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系： 方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． [探究] 1.函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？ 提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点． 2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)有零点，则y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0呢？ 提示：不一定．由图(1)(2)可知． 3．函数零点具有哪些性质？ 提示：对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质： (1)当它通过零点且穿过x轴时，函数值变号； (2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
3．二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( ) 解析：选C 由图象可知，选项C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，不能用二分法求解． 2．(教材习题改编)若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)，那么下列命题中正确的是( ) A．函数f(x)在区间(0,1)有零点 B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)有零点 C．函数f(x)在区间[2,16)上无零点 D．函数f(x)在区间(1,16)无零点
函数方程与零点
函数与方程及函数的应用 高考考点考点解读 函数的零点 1.利用零点存在性定理或数形结合法确定函数的零点个数或其 存在范围，以及应用零点求参数的值(范围)． 2．常以高次式、分式、指数式、对数式、三角式结构的函数为 载体考查． 函数与方程 的综合应用 1.确定高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结 构方程解的个数或由其个数求参数的值(范围)． 2．常与函数的图象与性质的应用交汇命题． 函数的实际应用 1.常涉及物价、投入、产出、路径、工程、环保等国计民生的 实际问题，常以面积、体积、利润等最优化问题出现． 2．常与函数的最值、不等式、导数的应用综合命题. Z知识整合 h i s h i z h e n g h e 1．几种常见的函数模型 (1)一次函数模型：y＝a x＋b(a≠0)． (2)二次函数模型：y＝a x2＋b x＋c(a≠0)． (3)指数函数模型：y＝a·b x＋c(b>0且b≠1)． (4)对数函数模型：y＝b l o g a x＋c(a>0且a≠1)． (5)分段函数模型：f(x)＝ g(x)，x∈A1， h(x)，x∈A2， {(A1∩A2＝?)． 2．函数的零点 (1)函数的零点及函数的零点与方程根的关系 对于函数f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标. (2)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的一个根． 3．思想与方法 (1)数学方法：图象法、分离参数法、最值的求法．
《方程的根与函数的零点》测试题
《3.1.1 方程的根与函数的零点》测试题 一、选择题 1.(2012天津)函数在区间(0，1)内的零点个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 考查目的：考查函数零点的概念与零点存在性定理的应用. 答案：B. 解析：∵函数在区间(0，1)上连续且单调递增，又∵，，∴根据零点存在性定理可知，在区间内函数零点的个数有1个，答案选B. 2.(2010浙江)已知是函数的一个零点.若，，则( ). A. B. C. D. 考查目的：考查函数零点的概念、函数的性质和数形结合思想. 答案：B. 解析：(方法1)由得，∴.在同一直角坐标系中，作出函数，的图象，观察图象可知，当时，；当时，，∴，. (方法2)∵函数、在上均为增函数，∴函数在上为增函数，∴由，得，由，得. 3.若是方程的解，则属于区间( ).
A. B. C. D. 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 答案：D. 解析：构造函数，由，知，属于区间(1.75，2). 二、填空题 4.若函数的零点位于区间内，则 . 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 答案：2. 解析：∵函数在定义域上是增函数，∴函数在区间上只有一个零点. ∵，，，∴函数的零点位于区间内，∴. 5.若函数在区间(-2，0)与(1，2)内各有一个零点，则实数的取值范围. 考查目的：考查函数零点的概念，函数零点的存在性定理和数形结合思想. 答案：. 解析：由题意画出函数的草图，易得，即，解得. 6.已知函数，设函数有两个不同的零点，则实数 的取值范围是. 考查目的：考查函数零点的概念、函数与方程的关系和数形结合思想. 答案：.
解析：函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的实数根，画出函数图象与直线，观察图象可得满足题意的实数的取值范围是. 三、解答题 7.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根？ ⑴； ⑵. 考查目的：考查方程有实数根等价于函数的图象与轴交点的情况. 解析：⑴方程可化为，作出函数的图象，与轴有两个交点，故原方程有两个实数根； ⑵方程可化为，作出函数的图象，开口向上，顶点坐标为，与轴没有交点，故原方程没有实数根． 8.求出下列函数零点所在的区间. ⑴；⑵. 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 解析：⑴∵函数的定义域为，且在定义域上单调递增，在 上最多只有一个零点.又∵，， ，∴函数的零点所在的区间为. ⑵∵函数的定义域为R，且在定义域上单调递减，∴函数在R上最多只有一个零点，又∵，，，∴函数零点所在的区间为.
导数函数与零点及交点和方程的根问题
导数函数与零点及交点和方程的根问题 21．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f(x)在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2. (1)求a ； (2)证明：当k ＜1时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝kx －2只有一个交点． 2015年出题动向：利用导数作为解题工具，解决函数的零点问题。同时掌握函数与方程、数形结合、化归的数学思想方法. 练习：1.设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+． （Ⅰ）求()f x 的极值； （Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x = 与x 轴仅有一个交点 变式一、（引入参数） 讨论函数()()R a a x x x x f ∈--+-=109623零点的个数？ 变式二、（方程问题）若方程[]31109623，在a x x x =-+-上有实数解，求a 的取值范围.
2已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ （I ）求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t （II ）是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。 3.（本小题满分12分）已知函数3()31,0f x x ax a =--≠ ()I 求()f x 的单调区间； ()II 若()f x 在1x =-处取得极值， 直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。 4、设函数 321()223 f x x ax ax =-+--（a 为常数），且()f x 在[1,2]上单调递减。 （1）求实数a 的取值范围； （2）当a 取得最大值时，关于x 的方程2()7f x x x m =--有3个 不同的根，求实数m 的取值范围。
高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点课时训练无答案新人教A版必修
3.1.1 方程的根与函数的零点 一、选择题 1．y ＝2x －1的图象与x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) A. 12，12 B ．? ????12，0，12 C ．－12，－12 D ．? ?? ??－12，0，－12 2．函数y ＝x 2＋a 存在零点，则a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a ≤0 C ．a ≥0 D ．a <0 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间 ()0,+∞上存在零点的是（ ） A ．1y x = B ．x y e -= C ．lg y x = D ．21y x =-- 4．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表： A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 5．若函数y=f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是 ( ) A.若f (a )·f (b )>0,不存在实数c ∈(a ,b ),使得f (c )=0 B.若f (a )·f (b )<0,存在且只存在一个实数c ∈(a ,b ),使得f (c )=0 C.若f (a )·f (b )>0,有可能存在实数c ∈(a ,b ),使得f (c )=0 D.若f (a )·f (b )<0,有可能不存在实数c ∈(a ,b ),使得f (c )=0 6．已知函数f (x )为奇函数,且该函数有三个零点,则三个零点之和等于( ) A.0 B.1 C.-1 D.不能确定 7．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1003个，则f (x )的零点的个数为( )
A ．1003 B ．1004 C ．2006 D ．2007 8．方程3log 3x x += 的解所在的区间为( ) A ．(0,2) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 二、填空题 9．二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 中，a ·c ＜0，则函数零点的个数是________． 10. 函数212()log f x x x =-的零点个数为 . 11．函数f (x )＝????? 2x 2－x －1，x ≤0，3x －4，x ＞0的零点的个数为________. 12．已知函数???≤-->-=0 ,20,12)(2x x x x x f x 若函数m x f x g 3)()(+=有三个零点，则实数m 的取值范围 . 三、解答题 13．函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<. (1)求函数f (x )的定义域； (2)求函数f (x )的零点．
必修1《函数的零点与方程的根》(有答案)
《函数的零点与方程的根》专题复习 知识点梳理 函数的零点：对于函数)(x f y =，把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。 零点存在性定理：如果函数 )(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(
高考一轮复习专题3-13：方程与函数,函数的零点
1 第13节 函数与方程 题型46 函数的零点 知识点摘要 ? 函数的零点的定义：对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． ? 零点的几个等价关系：方程f (x )＝0有实数根?函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点?函数y ＝f (x )有零点． ? 函数的零点不是函数y ＝f (x )与x 轴的交点，而是y ＝f (x )与x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不 是一个点，而是一个实数. ? 函数的零点存在性定理 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． ? 二分法的定义：对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零 点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 典型例题精讲精练 1. (2018·福建期末)已知函数f (x )＝????? x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )C A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2. 设函数f (x )＝13 x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )D A ．在区间????1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间????1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间????1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D ．在区间????1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 3. 函数f (x )＝x 3－x 2－1的零点所在的区间是( )C A ．(0,1) B ．(－1,0) C ．(1,2) D ．(2,3) 4. 函数f (x )＝????? x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )B A ．3 B ．2 C ．7 D ．0 5. 设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )B A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)
