数值分析课后题答案
数值分析 第二章
2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解：
0120121200102021101201220211,1,2,
()0,()3,()4;()()1
()(1)(2)()()2()()1
()(1)(2)
()()6
()()1
()(1)(1)
()()3
x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------=
=-+--
则二次拉格朗日插值多项式为
2
20
()()k k k L x y l x ==∑
0223()4()
14
(1)(2)(1)(1)23
537623
l x l x x x x x x x =-+=---+
-+=
+- 6．设,0,1,
,j x j n =为互异节点，求证：
（1）
0()n
k
k
j j j x l x x
=≡∑ (0,1,,);k n =
（2）0
()()0n
k j
j j x
x l x =-≡∑ (0,1,
,);k n =
证明
（1） 令()k
f x x = 若插值节点为,0,1,
,j x j n =，则函数()f x 的n 次插值多项式为0
()()n
k n j j j L x x l x ==∑。
插值余项为(1)1()
()()()()(1)!
n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+
又
,k n ≤
(1)()0
()0
n n f R x ξ+∴=∴=
0()n
k k
j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =
000
(2)()()
(())()()(())
n
k j j j n n
j i k i k j j j i n
n
i
k i
i k
j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑
0i n ≤≤又 由上题结论可知
()n
k i
j j
j x l x x ==∑
()()0
n
i k i i
k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式
∴得证。
7设[]2
(),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证：
21
max ()()max ().8
a x
b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为
10
101010()()
()
x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()
()x b x a
f a f b a b x a
--=+-- 1()()0
()0
f a f b L x ==∴=又
插值余项为1011
()()()()()()2
R x f x L x f x x x x x ''=-=
-- 011
()()()()2
f x f x x x x x ''∴=
--
[]012
012102()()
1()()21()41
()4
x x x x x x x x x x b a --??≤-+-????
=-=-又
∴21
max ()()max ().8
a x
b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 8．在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x
e 的近似值，要使
截断误差不超过6
10-，问使用函数表的步长h 应取多少？
解：若插值节点为1,i i x x -和1i x +，则分段二次插值多项式的插值余项为
2111
()()()()()3!i i i R x f x x x x x x ξ-+'''=
--- 211441
()()()()max ()6i i i x R x x x x x x x f x -+-≤≤'''∴≤---
设步长为h ，即11,i i i i x x h x x h -+=-=+
4343
2123().62733
R x e h e h ∴≤?=
若截断误差不超过6
10-，则
6243
6()1031027
0.0065.R x e h h --≤∴
≤∴≤ 9．若442,.n n n n y y y δ=?求及，
解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
2n n y =
44(1)n n y E y ?=-
4
404
4044044(1)4(1)4(1)2(21)2j j n
j j n j
j j j
n
j n n n
E y j y j y j y y -=+-=-=??
=- ?????=- ???
??=-? ???
=-==∑∑∑ 114
4
2
2()n n y E E y δ-=-
14
422
422
()(1)2n
n
n n E E y E y y ----=-=?==
16．74
()31,f x x x x =+++求0172,2,,2F ???
?及01
82,2,,2F ???
?。
解：
74()31f x x x x =+++
若2,0,1,,8i i x i ==
则[]()01()
,,
,!n n f f x x x n ξ=
[](7)017()7!,,,17!7!f f x x x ξ∴===
[](8)018()
,,
,08!
f f x x x ξ==
19．求一个次数不高于
4
次的多项式
P （x ），使它满足
(0)(0)0,(1)(1)0,(2)0P P P P P ''=====
解法一：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式
0101010,10,10,1
x x y y m m ======
11
30
2
0100101
2
()()()
()(12
)()(12)(1)j j j j j j H x y x m x x x x x x x x x x x x αβα===+--=---=+-∑∑
2
10110102
()(12
)()(32)x x x x x x x x x x x α--=---=-
202
1()(1)()(1)x x x x x x
ββ=-=-
22323()(32)(1)2H x x x x x x x ∴=-+-=-+
设22301()()()()P x H x A x x x x =+-- 其中，A 为待定常数
3222
(2)1
()2(1)P P x x x Ax x =∴=-++-
14
A ∴=
从而2
21()(3)4
P x x x =
- 解法二:采用牛顿插值，作均差表：
i x
)(i x f
一阶均差 二阶均差
0 1 2
0 1 1
1 0
-1/2
],,[))((],[)()()(210101000x x x f x x x x x x f x x x p x p --+-+=
))()()((210x x x x x x Bx A ---++
)2)(1()()2/1)(1(0--++--++=x x x Bx A x x x
又由 ,1)1(,0)0(='='p p 得
,
41,43=-=B A 所以 .
)3(4)(22
-=x x x p
第四章
1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：
101210121
12120
(1)()()(0)();
(2)()()(0)();
(3)()[(1)2()3()]/3;
(4)()[(0)()]/2[(0)()];
h
h
h
h h
f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-??
??
解：
求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1)
()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --≈-++?
令()1f x =，则1012h A A A -=++
令()f x x =，则110A h Ah -=-+
令2
()f x x =，则3
221123
h h A h A -=+
从而解得011431313A h A h A h -?=??
?
=??
?=??
令3
()f x x =，则 3()0h
h
h
h
f x dx x dx --==?
? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=
故
101()()(0)()
h
h
f x dx A f h A f A f h --=-++?
成立。令
4
()f x x =，则
45
5
1012
()5
2
()(0)()3
h
h h
h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---==-++=?
?
故此时，101()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --≠-++?
故
101()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --≈-++?
具有3次代数精度。 （2）若
21012()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --≈-++?
令()1f x =，则1014h A A A -=++ 令()f x x =，则110A h Ah -=-+ 令2()f x x =，则3
2211163
h h A h A -=+
从而解得0
1143
8383A h A h A h -?=-??
?
=??
?=??
令3
()f x x =，则 22322()0h
h
h
h
f x dx x dx --==?
?
101()(0)()0A f h A f A f h --++=
故
21012()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --=-++?
成立。
令4
()f x x =，则
2245
2264()5
h
h
h
h
f x dx x dx h --==
?
?
5
10116()(0)()3
A f h A f A f h h --++=
故此时，21012()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --≠-++?
因此，
21012()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --≈-++?
具有3次代数精度。 （3）若
1
121
()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -≈-++?
令()1f x =，则
1
121
()2[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -==-++?
令()f x x =，则 120123x x =-++ 令2
()f x x =，则 22
122123x x =++ 从而解得120.28990.5266x x =-??
=?或120.6899
0.1266
x x =??=?
令3
()f x x =，则 1
1
31
1
()0f x dx x dx --==?
? 12[(1)2()3()]/30f f x f x -++≠
故
1
121
()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -=-++?
不成立。
因此，原求积公式具有2次代数精度。 （4）若
20
()[(0)()]/2[(0)()]h
f x dx h f f h ah f f h ''≈++-?
令()1f x =，则 0
(),h
f x dx h =?
2[(0)()]/2[(0)()]h f f h ah f f h h ''++-=
令()f x x =，则
2
22
1()2
1
[(0)()]/2[(0)()]2
h
h
f x dx xdx h h f f h ah f f h h ==
''++-=?
?
令2()f x x =，则
23
0232
1
()3
1
[(0)()]/2[(0)()]22
h
h
f x dx x dx h h f f h ah f f h h ah ==''++-=-?
?
故有
33
211232
112
h h ah a =-=
令3
()f x x =，则
340
2444
1()4
1111
[(0)()]/2[(0)()]12244
h
h
f x dx x dx h h f f h h f f h h h h ==
''++-=-=?
?
令4
()f x x =，则
4
500
2555
1()5
1111[(0)()]/2[(0)()]12236
h
h
f x dx x dx h h f f h h f f h h h h
==''++-=-=??
故此时，
2
1()[(0)()]/2[(0)()],12
h
f x dx h f f h h f f h ''≠++
-?
因此，
20
1
()[(0)()]/2[(0)()]12
h
f x dx h f f h h f f h ''≈++-?
具有3次代数精度。
7。若用复化梯形公式计算积分1
x I e dx =
?
，问区间[0,1]应多少等分才能使截断误差不超过
610-？
解：
采用复化梯形公式时，余项为 2
()(),(,)12
n b a R f h f a b ηη-''=-∈ 又
1
x I e dx =? 故(),(),0, 1.x x f x e f x e a b ''====
221()()1212
n e R f h f h η''∴=
≤ 若()6
10-≤f R n ，则 当对区间[0,1]进行等分时，1
,h n
=
故有12
106
?≥e n 因此，将区间476等分时可以满足误差要求
第五章
2. 用改进的欧拉方法解初值问题
??
?=<<+=',1)0(;10,y x y x y
取步长h=0.1计算，并与准确解x
e x y 21+--=相比较。
近似解 准确解 近似解 准确解 0.1 1.11 1.11034 0.6 2.04086 2.04424 0.2 1.24205 1.24281 0.7 2.32315 2.32751 0.3 1.39847 1.39972 0.8 2.64558 2.65108 0.4 1.58181 1.58365 0.9 3.01237 3.01921 0.5
1.79490
1.79744
1.0
3.42817
3.43656
3、解：改进的欧拉法为
111
2
[(,)(,(,))]
n n n n n n n n y y h f x y f x y hf x y ++=+++
将
2(,)=+-f x y x x y 代入上式，得
2
111
1112
2
1n n n n n n h h
h x x x x y h y +++)+[(-)(+)+(+)]=(-+
同理，梯形法公式为
211122[(1)(1)]-+++++=++++h h n n
n n n n h h y y x x x x 将
00,0.1y h ==代入上二式，，计算结果见表9—5
表 9—5
n x
改进欧拉
n y |()|n n y x y -
梯形法n y |()|n n y x y -
0．1
0．2 0．3 0．4 0．5
0．005500 0．021927500 0．050144388 0．090930671 0．144992257
3
0.33741803610-? 30.65825307810-? 30.96260818210-? 20.12507167210-? 20.152********-?
0．005238095 0．021405896 0．049367239 0．089903692 0．143722388
40.75513278110-? 30.136********-? 30.185********-? 30.22373844310-? 30.25304808710-?
可见梯形方法比改进的欧拉法精确。
4、用梯形方法解初值问题
??
?==+',1)0(;0y y y
证明其近似解为
,
22n
n h h y ??? ??+-=
并证明当0→h 时，它原初值问题的准确解x
e y -=。
证明：梯形公式为
1
11[(,)(,)]2
n n n n n n h
y y f x y f x y +++=++
代
(,)f x y y =-入上式，得
11[]2
++=+--n n n n h
y y y y
解得
21
110222(
)()()222n n n n h h h y y y y h h h
++----===?=+++ 因为
01y =，故
2()2n
n h y h
-=+ 对
0x ?>，以
h 为步长经n 步运算可求得
()y x 的近似值n
y ，故
,,x
x nh n h
==代入上式有
2()2x
h
n
h y h
-=+
22220000222lim lim()lim(1)lim[(1)]222x x h h x
x h h h h h
n h h h h h h h y e h h h
+-+→→→→-==-=-=+++
10. 证明解),(y x f y ='的下列差分公式
)34(4)(211111-+-+'+'-'++=
n n n
n n n y y y h
y y y
是二阶的，并求出截断误差的首项。
23(1)
(2)(3)31()26n n n
n n h h y y hy y y o h +=++++，2(1)(2)
(3)21'()
2n n n n h y y hy y o h +=+++，23(1)(2)(3)31()26n n n n n h h y y hy y y o h -=-+-+，2(1)(2)
(3)21'()
2n n n n h y y hy y o h -=-++，代入得
3(3)
325()()
8n h y o h o h ε=+=，截断误差首项为3(3)58n h y 。
12. 将下列方程化为一阶方程组：
1）;1)0(,1)0(,
023='==+'-''y y y y y (1)','32y z z z y ==-，其中(0)1,(0)1y z ==。
2）;0)0(,1)0(,
0)1(1.02='==+'--''y y y y y y (2) 2
','0.1(1)y z z y z y ==--，其中(0)1,(0)0y z ==。
第六章
1、用二分法求方程2
10x x --=的正根,要求误差小于0.05.
解 设
2
()1,(1)10,(2)10f x x x f f =--=-<=>,故[1,2]为()f x 的有根区间.又'()21f x x =-,故当
102x <<
时,()f x 单增,当1
2x >
时()f x 单增.而
15
(),(0)124f f =-=-,由单调性知()0f x =的惟一正根*(1,2)x ∈.根据二分法的误差估计式(7.2)知要求误差小于0.05,只需1
1
0.052k +<,解得1 5.322k +>,故至少应二分6次.
具体计算结果见表7-7.
表7-7
k
k a
k b
k x
()k f x 的符号
0 1 2 3 4 5
1 1.5 1.5 1.5 1.5625 1.59375
2 2 1.75 1.625 1.625 1.625
1.5 1.75 1.625 1.5625 1.59375 1.609375
- + + - - -
- 即
5* 1.609375x x ≈=.
3、为求3210x x --=在0
1.5x =附近的一个根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应
的迭代公式:
(1)211x x =+,迭代公式
12
11k k x x +=+; (2)321x x =+,迭代公式1
23
1(1)
k k x x +=+;
(3)
2
11x x =
-,迭代公式11
1
k k x x +=-.
试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根. 解 取
0 1.5x =的邻域[1.3,1.6]来考察.
(1)当[1.3,1.6]x ∈时,
233122()1[1.3,1.6],|'()|||11.3x x L x x ??=+
∈=-≤=<,故迭代公式
121
1k k x x +=+
在[1.3,1.6]上整体收敛.
(2)当[1.3,1.6]x ∈时
21/322223
3
()(1)[1.3,1.6]
22 1.6|'()|||0.5221
3
3
(1)
(1 1.3)
x x x x L x ??=+∈=
<
≤=<++
故
123
1(1)
k k x x +=+在[1.3,1.6]上整体收敛.
(3)
3/2
111
(),|'()|||12(1)2(1.61)1x x x x ??-=
=>>---故
11
1
k k x x +=-发散.
由于(2)的L 叫小,故取(2)中迭代式计算.要求结果具有四位有效数字,只需 3
11
|*|||1012k k k L x x x x L ---≤
-
33111
||100.5102k k L x x L -----<
??
取
0 1.5x =计算结果见表7-8.
表7-8
k
k
1
2 3
1.481248034 1.472705730 1.468817314
4 5 6
1.467047973 1.466243010 1.465876820
由于3
651
||102x x --
7、用下列方法求
3
()310f x x x =--=在02x =附近的根.根的准确值* 1.87938524...x =,要求计算结果准确到四位有效数字.
(1)用牛顿法; (2)用弦截法,取
012, 1.9x x ==; (3)用抛物线法,取
0121,3,2x x x ===.
解
22
(1)0,(2)0,()333(1)0,''()60f f f x x x f x x <>=-=-≥=>,对[1,2].x ?∈ (1)取0
2x =,用牛顿迭代法 k x k
x
33122
3121
333(1)k k k k k k k x x x x x x x +--+=-=-- 计算得3
1221
1.888888889, 1.879451567,|*|102x x x x -==-
2* 1.879451567x x ≈=.
(2)取
212, 1.9x x ==,利用弦截法
111()()
()()k k k k k k k x x f x x x f x f x -+--=-
-
得,3
23441
1.981093936, 1.880840630, 1.879489903,|*|102x x x x x -===-
4* 1.879489903x x ≈=.
(3)
0121,3,2x x x ===.抛物线法的迭代式为
121211212()
()4()[,,]
[,][,,]()
k k k k k k k k k k k k k k f x x x w sign w w f x f x x x w f x x f x x x x x +------=-
+-=+-
迭代结果为:
3451.953967549, 1.87801539, 1.879386866x x x ===已达四位有效数字.
12. 应用牛顿法于方程03
=-a x ，导出求立方根3a 的迭代公式，并讨论其收敛性。
令a x x f -=3
)(，迭代公式为
2
3
231323)()(k
k k k k k k k k x a
x x a x x x f x f x x +=--='-=+。
2332)(x a x x +=
?，则3
)2(332)(--?+='x a x ?，所以0)(='a ?，
又 42)(-=''ax x ?，所以02)(3
/1≠=''-a
a ?，因此迭代格式为线性收敛。
15、证明迭代公式
212
(3)3k k k k x x a x x a ++=+ 是计算a 的三阶方法.假定初值0x 充分靠近根*x a =,求
12lim
()k k k a x a x +→∞
--
证明 记
22(3)
()3x x a x x a ?+=
+,则迭代式为1()k k x x ?+=且()a a ?=. 由()x ?的定义,有
22
(3)()(3)x a x x x a ?+=+ 对上式两端连续求导三次,得
22226()(3)'()336()12'()(3)''()618'()18''()(3)'''()6x x x a x x a x x x x a x x
x x x x a x ????????++=++++=+++=
代x a =依次入上三式,并利用()a a ?=,得
3'()0,''()0,'''()02a a a a ???===
≠
所以由定理7.4知,迭代公式是求a 的三阶方法且
12
131
lim
3!24()k k k a x a a
a x +→∞
-=
=-
数值分析课后答案
1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。 由于 n i i i n n n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1... ......... ...... 1 )(21110 20 0---= ，.1,...,1,0-=n i 故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高 次幂 n x 的系数为 )(...1...1... ...... .........1),...,,(101 1 21 11 2 2221 02001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -== ∏-≤<≤-----------。 故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V 6、解：（1）设 .)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n 对 )(x f 构造Lagrange 插值多项式， ),()(0 x l x x L j n j k j n ∑== 其 0)()! 1() ()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ， ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j = 故 ),()(x L x f n =即 .,...,1,0,)(0 n k x x l x k j n j k j ==∑= 特别地，当0=k 时， 10) (=∑=n j x j l 。 （2） 0)()1(1) ()1()()(0000=-=??? ? ??-??? ? ??-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j k i i j i i k j n j k i i j k n j j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。 7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得 )()()(1 b f a b a x a f b a b x x P --+--= 因 0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。而 ))()(("2 1 )()(1b x a x f x P x f --= -ξ，b a <<ξ。 故)("max )(8 122)("max )(max 2 2 x f a b a b x f x f b x a b x a b x a ≤≤≤≤≤≤-=??? ??-≤。 14、解：设 ))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=， k x x g =)(，记)() (1 ∏=-=n j j n x x x w ，则 ),()(x w a x f n n =).()(' j n n j x w a x f = 由差商的性质知 [])! 1()(1,..,,1) (' 1 )(')('1 211 11 -== ==-===∑∑∑ n g a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n n j j n k j n n j j n n k j n j j k j ξ， ξ介于n x x ,...,1之间。 当20-≤≤ n k 时，0)()1(=-ξn g ， 当 1-=n k 时，)!1()(1-=-n g n ξ， 故 ???-=-≤≤=-= --=∑1,,20,0)!1()(1) ('1 11 n k a n k n g a x f x n n n n j j k j ξ 16、解：根据差商与微商的关系，有 [] 1! 7! 7!7)(2,...,2,2)7(7 10===ξf f ， [ ] 0! 80 !8)(2,...,2,2)8(8 1 ===ξf f 。 （ 13)(47+++=x x x x f 是7次多项式， 故 ,!7)()7(=x f 0)()8(=x f ）。 25、解：（1） 右边= [][]dx x S x f x S dx x S x f b a b a ??-+-)(")(")("2)(")("2 = [] d x x S x f x S x S x S x f x f b a ?-++-)("2)(")("2)(")(")("2)(" 222 = [] d x x S x f b a ?-)(")(" 22 = [][]dx x S dx x f b a b a 2 2 )(")("??- =左边。 （2）左边= ? -b a dx x S x f x S ))(")(")(("
数值分析课后题答案
数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q
(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --
数值分析习题集及答案[1].(优选)
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若
数值分析习题集及答案
（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令
数值分析课后题答案
数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡ 证明 (1)令f(x)=x k
n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)!
.f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj
数值分析课后习题答案
习 题 一 解 答 1．取3.14，3.15， 227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。 解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差： 3()0.0016 ()0.51103.14r e x e x x -==≈? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311 101022 --?=? 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差： 2()0.0085 ()0.27103.15r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1 ＝11211101022 --?=? 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差：
数值分析第四版习题及答案
第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?
数值分析第四版习题及答案
第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、
数值分析课后习题答案
第一章 题12 给定节点01x =-，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项： （1） （1） 3 ()432f x x x =-+ （2） （2） 4 3 ()2f x x x =- 解 （1）(4) ()0f x =， 由拉格朗日插值余项得(4)0123() ()()()()()()0 4!f f x p x x x x x x x x x ξ-=----=； （2）(4) ()4!f x = 由拉格朗日插值余项得 01234! ()()()()()() 4! f x p x x x x x x x x x -= ----(1)(1)(3)(4)x x x x =+---. 题15 证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差 012 10()()()max () 8x x x x x f x p x f x ≤≤-''-≤. 证 由拉格朗日插值余项得 01() ()()()()2!f f x p x x x x x ξ''-= --，其中01x x ξ≤≤， 01 0101max ()()()()()()()() 2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤''''-=--≤-- 01210()max () 8x x x x x f x ≤≤-''≤. 题22 采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p '==，(1)(1)1p p '==的插值多项式 ()p x ： （1） （1） 用待定系数法； （2） （2） 利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p '==，(1)1p =的插值多项式 ()p x . 解 （1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2 123()23p x a a x a x '=++， 代入得方程组001231123010231 a a a a a a a a a =? ?+++=?? =? ?++=? 解之，得01230 021 a a a a =??=?? =??=-?
最新数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1
第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ；
(参考资料)数值分析课后答案1
1第一章 习题解答 1 设x >0，x 的相对误差限为δ，求 ln x 的误差。 解：设 x 的准确值为x *，则有 ( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 所以 e (ln x )=| ln x – ln x * | =| x – x * | ×| (ln x )’|x=ξ·≈ ( | x – x * | / | x *| ) ≤ δ 另解： e (ln x )=| ln x – ln x * | =| ln (x / x *) | = | ln (( x – x * + x *)/ x *) | = | ln (( x – x * )/ x * + 1) |≤( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限ε( x ) 和 ε( y ) 。 解：| e (x ) | = |e (– 2.18)|≤ 0.005，| e (y ) | = |e ( 2.1200)|≤ 0.00005，所以 ε( x )=0.005， ε( y ) = 0.00005。 3 下近似值的绝对误差限都是 0.005，问各近似值有几位有效数字 x 1=1.38，x 2= –0.0312，x 3= 0.00086 解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知，x 1，x 2， x 3有效数末位数均为小数点后第二位。故x 1具有三位有效数字，x 2具有一位有效数字，x 3具有零位有效数字。 4 已知近似数x 有两位有效数字，试求其相对误差限。 解：| e r (x ) | ≤ 5 × 10– 2 。 5 设 y 0 = 28，按递推公式 y n = y n-1 – 783/ 100 ( n = 1，2，…) 计算到y 100。若取≈78327.982 （五位有效数字），试问，计算 y 100 将有多大的误差？ 解：由于初值 y 0 = 28 没有误差，误差是由≈78327.982所引起。记 x = 27.982，783?=x δ。则利用理论准确成立的递推式 y n = y n-1 – 783/ 100 和实际计算中递推式 Y n = Y n-1 – x / 100 (Y 0 = y 0) 两式相减，得 e ( Y n ) = Y n – y n = Y n-1 – y n-1 – ( x – 783)/ 100 所以，有 e ( Y n ) = e ( Y n-1) – δ / 100 利用上式求和 δ?=∑∑=?=100111001)()(n n n n Y e Y e 化简，得 e ( Y 100) = e ( Y 0) – δ = δ 所以，计算y 100 的误差界为 4100105001.05.0)(?×=×=≤δεY 6 求方程 x 2 – 56x + 1 = 0的两个根，问要使它们具有四位有效数字，D=ac b 42 ?至少要取几位有效数字？ 如果利用韦达定理，D 又应该取几位有效数字？ 解：在方程中，a = 1，b = – 56，c = 1，故D=4562?≈55.96427，取七位有效数字。
数值分析课后题答案
数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4; ()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--= =-+-----= =------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 1 4(1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1）0 ()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2） 0()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()n k n j j j L x x l x ==∑。 插值余项为(1)1()()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+ 又,k n ≤Q
(1)()0()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0 ()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 000(2)()() (())()()(())n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 0()n k i j j j x l x x ==∑ 0()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10101010()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0 ()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-=-- 011()()()()2 f x f x x x x x ''∴=--
数值分析复习题及答案
数值分析复习题 一、选择题 1. 和分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A．B． C． D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0， B．＝0， C．＝1， D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性 B．平方 C．线性 D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A． B． C．D． 二、填空 1. 设，取5位有效数字，则所得的近似值x= . 2.设一阶差商， 则二阶差商 3. 设, 则，。 4．求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，那么 5．解初始值问题近似解的梯形公式是 6、，则A的谱半径＝。 7、设，则和。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代 都。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为。 10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写 成。 11. 设, 则，. 12. 一阶均差
13. 已知时，科茨系数，那么 14. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 15. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式 . 16.设是真值的近似值，则有位有效数字。 17. 对, 差商( )。 18. 设, 则。 19.牛顿—柯特斯求积公式的系数和。 20. 若a=是的近似值，则a有( )位有效数字. 21. 是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则( ). 22. 设f (x)可微，则求方程的牛顿迭代格式是( ). 23. 迭代公式收敛的充要条件是。 24. 解线性方程组A x=b (其中A非奇异，b不为0) 的迭代格式中的B称为( ). 给定方程组， 解此方程组的雅可比迭代格式为( )。 25、数值计算中主要研究的误差有和。 26、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则；。 27、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为；插值型求积公式中求积系数；且。 28、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式 为。 29、则。 30.设x* = 是真值x = 的近似值，则x*有位有效数字。 31. ，。 32.求方程根的牛顿迭代格式是。 33.已知,则, 。 34. 方程求根的二分法的局限性是。 三、计算题
数值分析第四版习题及答案
第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试 指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -= ( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 211N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的 绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y ≈(三位有效数
字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin ,2s ab c = 其中c 为弧度, 02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 20000112111 2 1 ()(,,,,)11 n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x x x ----== 证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x - ,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=-- . 2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式. 3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.
数值分析课后习题解答
课后习题解答 第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？
（1） （2） 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值
误差限，因 ，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因
得 3. 若，求和. 解：由均差与导数关系 于是 4. 若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得
最新数值计算课后答案1
习 题 一 解 答 1．取3.14，3.15， 227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。 解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差： 3()0.0016 ()0.51103.14 r e x e x x -==≈? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311 101022 --?=? 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差： 2()0.0085 ()0.27103.15 r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211 101022 --?=? 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137 e x π=-=-=-≈-L L 相对误差：
数值分析复习题答案
数值分析复习题 一、填空 Chapter1 绪论 近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 3 位有效数字. 用1000.1近似真值1000时，其有效数字有 4 位， 已知准确值x*与其有t 位有效数字的近似值12 10.10(0)s n x a a a a =?≠的绝对误差为 1 x*-x 102s t -≤ ?。 设 2.40315x * =是真值 2.40194x =的近似值，则x * 有 3 位有效数字。 设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是44 11 1010224--?=?? ，其绝对误差限是4 1 102-?。 当x 很大时，为防止损失有效数字，应该使 = 。 Chapter2 插值方法 设642 ()3651f x x x x =+-+，则[3,2,1,0,1,2,3]f ---= 3 。 若 42 f(x)=2x +x -3, 则f[1,2,3,4,5,6]= 0 。 对 32f(x)=x +3x -x+5,差商f[0,1,2,3,4]= 0 。 设 643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 1 。 已知y=f(x)的均差 021[,,]5f x x x =, 402[,,]9f x x x =, f[x4, x3, x2]=14， f[x0, x3, x2]=8 ,.那么 均差f[x4, x2, x0]= 9 。（交换不变性） 设有数据112 032 x y -则其 2 次 Larange 插值多项式为 32 (1)(2)(1)(1)23x x x x -+-++-，2次拟合多项式为 （最佳平方逼近可求）。？？？ 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为 ()k l x ( k =0,1,2,…,n)，则 n k k=0 kl (x)= ∑ x 。？？（注： k y k =，则有拉格朗日插值公式：