光学教程第2章_参考答案

2.1 单色平面光照射到一个圆孔上，将其波面分成半波带，求第k 各带的半径。若极点到观察点的距离r 0为1m ，单色光波长为450nm ，求此时第一半波带的半径。

解：由菲涅耳衍射，第k 个半波带满足关系式)1

1(02

R r R k hk +=λ，

当∞→R 时，0r k R hk λ=。

第一半波带半径067.011045001100=???==-r k R hk λcm 。

2.2平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像摄像机光圈那样改变大小．问：(1)小孔半径应满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小孔中心4 m 的P 点的光强分别得到极大值和极小值；(2)P 点最亮时，小孔直径应为多大?设此光的波长为500nm 。

解：(1)由菲涅耳衍射，第k 个半波带满足关系式)1

1(02

R r R k hk +=λ，

当∞→R 时，k k r k R hk 414.14105000100=???==-λmm 。 K 为奇数时，P 点光强为极大值； K 为偶数时，P 点光强为极小值。 (2)P 点最亮时，由p 点的振幅)(2

1

1k k a a a +=

，所以当k=1时，k a 为最大 所以2828.021==h R d cm 。

2.3 波长为500nm 的单色点光源离光阑1m ，光阑上有一个内外半径分别为0.5 mm 和1 mm 的透光圆环，接收点P 离光阑1 m ，求P 点的光强I 与没有光阑时的光强度I 0之比。

解：由菲涅耳衍射，第k 个半波带满足关系式)1

1(02

R

r R k hk +=λ，

圆环内径对应的半波带数1)1

1

11(105000)105.0()11(102302

1

1=+??=+=--R r R k h λ

圆环外径对应的半波带数4)1

1

11(105000)101()11(10

2302

1

2=+??=+=--R r R k h λ 由题意可知，实际仅露出3各半波带，即142)(2

1

a a a a k ≈+=，

而112

1

)(21a a a a ≈+=∞∞

所以光强之比4

2

0==∞a a I I k

。

2.4波长为632.8 nm 的平行光射向直径为2.76 mm 的圆孔，与孔相距l m 处放一屏，试问：(1)屏上正对圆孔中心的P 点是亮点还是暗点?(2)要使P 点变成与(1)相反的情况，至少要把屏幕分别向前或向后移动多少?

解：(1)由菲涅耳衍射，第k 个半波带满足关系式)1

1(02

R

r R k hk +=λ，

当∞→R 时，31

106328)21076.2(102

302≈???==

--r R k hk λ。 由于k=3，为奇数，所以屏上正对圆孔中心的P 点时亮点。 (2)预使P 点变为暗点，即要使k 为偶数，即k=2or4 当k=2时

5.12106328)2107

6.2('102

320≈???==--k R r hk λm 5.0'00-=-=?r r r m

即将屏向后移动0.5m 当k=2时

75.04106328)21076.2('10

2

320≈???==--k R r hk λm 25.0'00=-=?r r r m 即将屏向前移动0.25m

2.5 一波带片由五个半波带组成，第一半波带为半径r 1的不透明圆盘，第二半波带是半径r 1至r 2的透明圆环，第三半波带是r 2至r 3的不透明圆环，第四半波带是r 3至r 4的透明圆环，第五半波带是r 4至无穷大的不透明区域．已知r 1：r 2：r 3：r 4=l ：2：3：4，用波长500nm 的平行单色光照明，最亮的像点在距波带片1 m 的轴上．试求：(1)r1；(2)像点的光强；(3)光强极大值出现在轴上哪些位置上。

解：(1)由菲涅耳衍射，第k 个半波带满足关系式)1

1(02

R r R k hk +=λ，

当∞→R 时，λk r R hk 0=，由于500=λnm ，0r =1m ， 所以k R hk 101050001-??=

由题意可知43214321:4:3:2:1:::k k k k R R R R h h h h ：：== 所以1k =1，2k =2，3k =3，4k =4。

707.011050001101=???=-h R mm 。

由题意可知，屏对于波带片只让偶数的半波带透光，所以‘ 2422a a a a k ≈+=

而221

a a ≈∞

所以02

22216164I a a a I k ===≈∞

(3)因为1'2

0===λk R

r f h m ——主焦点

它还有次焦点：'31f 、'51f 、'7

1

f ……

故光强极大点出现在轴上31、51、7

1

……

2.6波长为λ的点光源经波带片成一个像点，该波带片有100个透明奇数半波带(1，3，5，…，199)．另外100个不透明偶数半波带．比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时，该像点的强度比0:I I 。

解：由题意可知，将所有偶数半波带挡住了，二只有奇数的半波带透过 所以在考察点的振幅为

119919731100a a a a a a k ≈++++= ，即2

1210000a a I k =≈ 当换上同样焦距的口径的透镜时，

透镜对所有光波的相位延迟一样，所以1a 、2a 、3a …199a 、200a 的方向时一致的，即

12001994321200a a a a a a a a k ≈+++++=

强度2

12

040000a a I k =≈

所以40

=I I

2.7 平面光的波长为480 nm ，垂直照射到宽度为0.4 mm 的狭缝上，会聚透镜的焦距

为60 cm ，分别计算当缝的两边到P 点的相位差为2π和6

π

时，P 点离焦点的距离。

解：如图所示

'

2tan 2sin 2f y b

b b λ

π

θλ

π

θλ

π

?=

≈

=

?， 所以?πλ?=

b f y 2'

18.02104.021*********'3

2911=??????=?=---ππ?πλb f y mm 06.06

104.021*********'32911=??????=?=---ππ?πλb f y mm

2.8 白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三个次最大值与波长为600nm 的光波的第二各次最大值重合，求该光波的波长。 解：由单缝衍射出现次最大值的条件为

λθ43.1sin 10≈b λθ46.2sin 20≈b λθ47.3sin 30≈b 由题意可知

046.247.3λλ=，即91060046.247.3-??=λ，

9104.425-?=λm

2.9 波长为546.1nm 的平行光垂直地射在l mm 宽的缝上，若将焦距为100 cm 的透镜紧贴于缝的后面，并使光聚焦到屏上，试问衍射图样的中央到(1)第一最小值；(2)第一最大值；(3)第三最小值的距离分别为多少?

解：(1)由单缝衍射出现最小值的条件为λθk b k =sin

而θθsin 'tan 'f f y ≈=

所以b k f y λ'=，所以63

9

2

1101.54610

1101.54610100'----?=????==b f y λ

m (2) 由单缝衍射出现第一级最大值的条件为λθ43.1sin =k b

而θθsin 'tan 'f f y ≈=

所以b

f y λ

43.1'?=，

所以63

9

2

1109.78010

1101.5461010043.1'43.1'----?=?????=?=b f y λ

(3) 由单缝衍射出现最小值的条件为λθk b k =sin

而θθsin 'tan 'f f y ≈=

所以b k f y λ

'=，

所以6

3

921103.163810

1101.546101003'3----?=?????==b f y λm

2.10钠光通过宽0.2 mm 的狭缝后，投射到与缝相距300cm 的照相底片上．所得的第一最小值与第二最小值间的距离为0.885 cm ，试问钠光的波长为多少?若改用X 射线(λ=0.1 nm)做此实验，问底片上这两个最小值之间的距离是多少? 解：由单缝衍射出现最小值的条件为λθk b k =sin

而θθsin 'tan 'f f y ≈=

所以b

k

f y λ

'=，

由题意可得b

f y y y λ

)

12('12-=-=?

3

22102.0)

12(1030010885.0---?-??=?λ

10105900-?=λm

若改用X 射线作此实验，底片上这两个最小值之间的距离

6

3

9212105.110

2.0101.0)12(10300)12('----?=??-??=-=-=?b f y y y λm

2.11 以纵坐标表示强度，横坐标表示屏上的位置，粗略地画出三缝的夫琅禾费衍射(包括缝与缝之间的干涉)图样，设缝宽为b ，相邻缝间的距离为d ，d=3b ，注意缺级问题。 解：

2.12 一束平行白光垂直入射在每毫米50条刻痕的全息光栅上，问第一级光谱的末端和第二光谱的始端的衍射角θ之差为多少?(设可见光中最短的紫光波长为400 nm ，最长的红光波长为760nm)

解：由光栅方程λθj d k =sin (j=0，±1 、±2、±3… )

由题意可知光栅常数53

10250

1011--?=?=

=N d m 对于白光，第一级的末端为红光，对应波长为760nm

25

9

1108.310

2107601sin ---?=???==d j λθrad 第二级的始端为紫光，对应波长为400nm

25

9

2100.410

2104002sin ---?=???==d j λθrad 所以衍射角之差为 rad 100.2)10arcsin(3.8)10arcsin(4.0Δθ222---?≈?-?=

'

7180102.02=?

??=-π

2.13 用可见光(760-400nm)照射全息光栅，一级光谱和二级光谱是否重叠?二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？

解：由光栅方程λθj d k =sin (j=0，±1 、±2、±3… ) 对于白光，第一级的末端为红光，对应波长为760nm

d

d d j 9

9110760107601sin --?=??==λθrad

第二级的始端为紫光，对应波长为400nm

d

d d j 9

9210800104002sin --?=??==λθrad

所以12θθ>，所以第一级与第二级之间是不会重叠的 第二级末端的红光，对应的衍射角由

d

d d j 9

92101520107602sin --?=??==λθrad

第三级始端的紫光，对应的衍射角

d

d d j 9

93101200104003sin --?=??==λθrad

23θθ<，所以第二级与第三级之间是会重叠的

对于重叠范围如下计算

32sin sin θθ=时，即为重叠部分

故有d

d 9

910)760~400(310)760~400(2--??=??，即

)760~400(3)760~400(2?=? )2280~1200()1520~800(=

可见重叠部分为1520~12001520~1200= 对于第二级对应波长为600~760nm 对于第三级对应的波长为400~506.7nm

即第二级光谱的600~760nm 与第三级的400~506.7nm 重合。

2.14 用波长为589nm 的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大值之间衍射角为15°10’，求该光栅l cm 内的缝数是多少? 解：由光栅方程λθj d k =sin (j=0，±1 、±2、±3… )

第一级主最大值的衍射角为0，所以 由第二十级主最大的衍射角可以求得

m d 59

105.4'

1015sin 1058920--?=???=

该光栅每厘米内的缝数N 222105.410115

2

=??=

=--d N 条/厘米

2.15 用每毫米内有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm 的钠光谱．试问：(1)光垂直入射时，最多能观察到几级光谱?(2)光以30°角入射时，最多能观察到几级光谱？

解：(1)由题意可得光栅常数63

105.2400

101--?=?=

d m 当光垂直入射时，由光栅方程λθj d k =sin (j=0，±1 、±2、±3… )

961058990sin 105.2--??=???j 24.4=j

所以最多能看到第4及光谱

(2)当光以30°入射时，此时对应的光栅方程为λθθj d k =±)sin (sin 0 9610589)90sin 30(sin 105.2--??=?±???j 36.6=j or -2.12=j

所以最大可以看到第6级。

2.16 白光垂直照射到一个每毫米250条刻痕的平面透射光栅上，试问在衍射角为30°处会出现那些波长的光?其颜色如何?

解：由题意可得光栅常数63

100.4250

101--?=?=

d m 当光垂直入射时，由光栅方程λθj d k =sin (j=0，±1 、±2… ) 当j=1时，λ?=???-130sin 100.46，9102000-?=λm 当j=2时，λ?=???-230sin 100.46，9101000-?=λm 当j=3时，λ?=???-330sin 100.46，9107.666-?=λm 当j=4时，λ?=???-430sin 100.46，910500-?=λm 当j=5时，λ?=???-530sin 100.46，910400-?=λm 当j=6时，λ?=???-630sin 100.46，9103.333-?=λm 可出现的光有紫光400nm 、绿光500nm 、红光666.7nm

2.17 用波长为624 nm 的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b 为0.012mm ，不透明部分的宽度a 为0.029 mm ，缝数N 为103条，试求：(1)单缝衍射图样的中央角宽度，(2)单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱?(3)谱线的半宽度为多少? 解：(1)单缝衍射的中央角宽度一旁边两最小值对透镜中心所张的角 所以由单缝衍射出现最小值的条件λθk b k =sin

得91310624sin 10012.0--?=??θ 052.01=θrad ，

所以中央角宽度rad 104.0=?θ (2)由光栅方程λθj d k =s i n ，在单缝衍射图样中央宽度内能看到的光谱满足

91310624sin 10)012.0029.0(--??=??+j θ

j=3.42，即能看到的3级的光谱。0、±1、±2、±3共7条谱线。

(3)谱线的半角宽度由θ

λ

θcos Nd =?，当衍射角θ很小时，1cos ≈θ

rad Nd 53

39

1052.110041.01010624---?=???==?λθ

2.18 NaCI 的晶体结构是简单的立方点阵，其分子量M=58.5，密度ρ=2.17 g/cm 3，(1)试证相邻两离子问的平均距离为

nm N M A 2819.023=ρ 式中N A =6.02×1023/mol 为阿伏伽德罗常量；(2)用X 线照射晶面时，第二级光谱的最大值在掠射角为1°的方向上出现．试计算该X 射线的波长。 解：

2.19 波长为0.001 47 nm 的平行X 射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距为0.28nm ，试问光线与界面成什么角度时，能观察到二级光谱。 解：

2.20 如题2.20图所示有三条彼此平行的狭缝，宽度均为b ，缝距分别为d 和2d ，试用振幅矢量叠加法证明正入射时，夫琅禾费衍射强度公式为

)]6cos 4cos 2(cos 23[sin 220v v v u

u

I I +++=θ

式中λθπsin b u =λ

θ

πsin d v =。 解：

2.2l 一宽度为2cm 的平面光栅上刻有12000条刻痕。如题2.2l 图所示，以波长λ=500nm 的单色光垂直投射，将折射率为1.5的劈状玻璃片置于光栅前方，玻璃片的厚度从光栅的一端到另一端由lmm 均匀变薄到0.5mm ，试问第一级主最大方向改变了多少? 解：

2.22一平行单色光投射于平面光栅上，其方向与光栅的法线成θ角，在和法线成ll °和53°角的方向上出现第一级谱线，且位于法线的两侧。(1)试求入射角θ0；(2)试问为什么在法线两侧能观察到一级谱线，而在法线同侧则能观察到二级谱线? 解：

2.23波长为600nm 的单色光正入射到一平面光栅上，有两个相邻主最大分别出现在sin θ1=0.2和sin θ=0.3处，第四级为缺级。(1)试求光栅常量；(2)试求光栅的缝可能的最小宽度；(3)在确定了光栅常量与缝宽之后。试列出在光屏上实际呈现的全部级数。 解：

2.24设计实验：测定CD 或DVD 光盘的光栅常数。 解：