11讲奇偶分析与整除

基础知识

本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。技巧总结一、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类。

能被2整除的数叫做偶数，

不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k（k 为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k 为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

二、奇数与偶数的运算性质

性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数，偶数±奇数=奇数

性质2：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数。

三、两个实用的推论

推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。偶数个奇数的和或差是偶数；奇数个奇数的和或差是奇数。

推论2：对于任意2个整数a,b，有a+b 与a-b 同奇或同偶，即：两个数的和与差同奇偶性。推广：有限个数之间无论如何添加加减号，奇偶性都不变。

推论3：多个数相乘时，乘数都是奇数时，积才是奇数；有一个乘数是偶数积就是偶数。小升初第11讲

奇偶分析与整除（一）

知识讲解

两个数的和与差奇偶性相同。那么每个地方都可以填加号或者是减号，但是无论是填加号或者是填减号不会对结果的奇偶性造成影响。

6+4=107+1=86+3=9

6-4=27-1=66-3=3

结果的奇偶性和奇数的个数有关，与加减号和偶数的个数都没有关系。

（1）在123456之间添上加号或减号，判断奇偶性？（2）在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的和是奇数还是偶数.

定性分析和定量分析

能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由（1）1□2□3□4□5□6□7□8□9=10

（2）1□2□3□4□5□6□7□8□9=27

（3）判断1＋2＋……＋9999的奇偶性.

定性分析

（1）13355720072009

是奇数还是偶数？为什么？

?+?+?++?

（2）判断1＋2×2＋3×3×3＋4×4×4×4＋……＋10×10×……×10为奇数还

是偶数?

对于任意2个整数a,b，有a+b与a-b同奇或同偶；两个数的和与差同奇偶性。(a+b)×（a-b)=126是否可能？如果可能请求出a和b。如果不可能，请说明原因？

某市五年级99名同学参加数学竞赛，竞赛题共30道，评分标准是基础分15分，答对一道加5分，不答记1分，答错一道倒扣1分。问：所有参赛同学得分总和是奇数还是偶数？

在a，b，c三个数中，有一个是2003，一个是2004，一个是2005。问(a－1)(b －2)(c－3)是奇数还是偶数？

任意取出1234个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？

在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、…、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、…、2009。然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？

有一本500页的书，从中任意撕下20张纸，这20张纸上的所有页码之和能否是1999？

桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？

桌子上有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的4个，问能否经过若干次翻动，使得5个杯子的开口全都向下？

在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯。如果每次拨动4个不同房间的开关，能不能把全部房间的灯都关上？为什么？

桌上放有1993枚硬币，第1次翻动1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第3次翻动其中的1991枚，……，依此类推，第1993次翻动其中的一枚。能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后所有的硬币原先朝下的一面都朝上？

如下图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在每

一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。

平面上有11个齿轮咬合成一圈。试问，能否使这些齿轮同时转动起来?

在4×4方格中还有12个空格，希望填入12个自然数，使得同一行中相邻两（大减小）都相等，同一列中相邻两个数的差（大减小）也相等。问：这件事能否办到？为什么？

元旦前夕，同学们相互送贺年卡。每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？

试求1×2×3×……×99×100这100个数乘积的末尾有几个连续的零？

100×101×102×……×199×200这101个数相乘，积的末尾上有几个连续的0.

已知5个数依次是13、12、15、25、20，它们每相邻的两个数相乘可以得到4个数；这4个数每相邻的两个数相乘可以得到3个数；这3个数每相邻的两个数相乘可以得到2个数；这两个数相乘最后得1个数。问最后这个数从个位起左数，可以连续地数到几个“0”？

一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚。下面我们对

这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去。这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是___颜色(填“黑”或者“白”)。

一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，

永远说假话。某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人。外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人。”另一个成员李四说：“张三是老实人。”请判断李四是老实人还是骗子？

用代表整数的字母a，b，c，d写成等式组：abcd－a＝1991，abcd－b＝1993，abcd－c＝1995，abcd－d＝1997，试说明：符合条件的整数a，b，c，d是否存在。

桌上放着2011只杯子，最开始的时候杯口全部朝上。允许某人进行若干次

“操作”，每一次“操作”是指恰好翻动4只杯子(原来口朝上就翻成口朝下，原来口朝下就翻成口朝上)。问此人能否在若干次翻动后，将所有杯子全变成杯口朝下？为什么？

某次交谊会上共有2011位男士与2011位女士，每个人都仅与异性握手。

到某个时刻为止，每个男士的握手次数都是偶数。求证：此时至少存在一位女士，她的握手次数也是偶数。

甲乙二人做交换球的游戏.一开始甲有100个黑球和99个白球，乙有足

够多的黑球和白球.每轮换球的规则都是这样的：甲先闭上眼睛随意从自己的球中摸出2个球给乙；如果这两个球是同色的，那么乙就还给甲一个黑色的球；如果这两个球是异色的，那么乙就还给甲一个白色的球.持续这样交换下去，如果甲的球不足2个则游戏停止.问游戏是否一定能在有限次内结束？若能结束，结束时甲剩下几个什么颜色的球？

甲同学一手握有写着23的纸片，另一只手握有写着32的纸片．乙同学请甲回答如下一个问题：“请将左手中的数乘以3，右手中的数乘以2，再将这两个积相加，这个和是奇数还是偶数？”当甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有23的纸片握在甲的左手中．你能说出是什么道理吗？

已知四十一位数55…5□99…9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？

某个七位数1993□□□能同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么，它的后三位数是什么？

975×935×972×□末尾的四个数字都是零的□的最小正整数是多少？

44×45×46×……×999×1000这957个数相乘，积的末尾上有几个连续的0.

已知51位数55…5□99…9（其中5和9各有25个）能被13整除，那么中间方格内的数字是多少？

如果六位数1992AB能被105整除,那他的最后两位数字是几？

1+2+3+…...+1993

的和是奇数还是偶数？

1+2×3+4×5+6×7+...+98×99

的计算结果是奇数还是偶数，为什么？能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于

22.一个自然数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，那么这个数是？小升初奥数必胜系列定制-奇偶分析与整出（一）课堂测试

试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于1999.如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由。

你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数。

有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的各位数字，那么在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？

沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个.问：8丛植物上能否一共结有225个浆果？说明理由。

课堂中的例题建议重做一遍，再做课后练习，1-3道不会为正常现象。

元旦前夕，同学们相互送贺年卡。每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？

能否在5×5方格表的各个小方格内分别填入数1，2，……，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？

（200+201+202+......+288）-（151+152+153+......+233）得数是奇数还是偶数？

已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7.求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数？

若五个连续的偶数之和是320．问：这五个数中最大的数是多少？

黑板上写了数字1，2，3，…，2009，任意擦去其中两个数a，b，然后把它们改写成这两个数的差，这样继续下去，直到只剩下一个数，则最后剩下的数是奇数还是偶数？

(1)将2010个桃子分给一些猴子，分得奇数个桃子的猴子数是奇数还是偶数？为什么？(2)将2011个桃子分给一些猴子，分得奇数个桃子的猴子数是奇数还是偶数？为什么？

沿着河岸边栽了10棵桃树，每相邻两棵桃树上结的桃子数相差3个。问10棵桃树上的总桃子数可能为2010个吗？