数学2--1课后巩固作业(十二) 2.2.2.1
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课后巩固作业（十二）
(30分钟 50分)
一、选择题（每题4分，共16分） 1.（2011·新课标全国高考）椭圆
2
2
x
y
116
8
+
=的离心率为( )
（A ）1
3
（B ）1
2
（C 3
（D ）
2
2.(2011·嘉兴高二检测)已知椭圆的离心率为12
，焦点是（-3，0）和（3，0），则椭圆方程为( ) （A ）2
2
x
y
13627+
= （B ）
2
2
x
y
13627-
=
（C ）
2
2
x
y
127
36
+
= （D ）
2
2
x
y
1
27
36
-
=
3.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足12M F M F 0=
的点M
总在椭圆内部，则椭圆
离心率的取值范围是( )
（A ）(0，1) （B ）(0,1
2］ （C ）(02
) （D ）2
,1)
4.设椭圆
222
2
x y 1a
b
+
= (a ＞b ＞0)的离心率为e=
12
，右焦点为F （c,0），方程
ax 2+bx-c=0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P （x 1,x 2）( ) （A ）必在圆x 2+y 2=2内 （B ）必在圆x 2+y 2=2上
（C ）必在圆x 2+y 2=2外 （D ）以上三种情形都有可能 二、填空题（每题4分，共8分） 5.（2011·揭阳模拟）椭圆
2
2
x
y
1m
7
+
= (m ＞7)上一点P 到右焦点的距离是长轴两
端点到右焦点距离的等差中项，则P 点的坐标为__________________.
6.已知椭圆的一个顶点是（0,），且离心率2
，则椭圆的标准方程是___
_______________________. 三、解答题（每题8分，共16分）
7.（2011·三明高二检测）已知椭圆的焦点在x 轴上，离心率e ＝3
5，短轴长为
8，求椭圆的标准方程. 8.椭圆
222
2
x y 1a
b
+
=（a ＞b ＞0） 的一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直，且
此焦点和长轴上较近的端点距离为，求此椭圆方程.
【挑战能力】
（10分）我们把由半椭圆222
2
x y 1a
b
+
= (x ≥0)与半
椭圆
222
2
y x 1b
c
+
=（x ≤0）合成的曲线称作“果圆”，
其中a 2=b 2+c 2,a ＞b ＞c ＞0，如图，设点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点，A 1是“果圆”的左顶点.
（1）若△F 0F 1F 2是边长为1的正三角形，求“果圆”的方程；
（2）过F 0作x 轴的垂线，与“果圆”在第一象限的交点为P.若△A 1F 0P 与△OF 0F 2
的面积之比为4∶1，试比较椭圆222
2
x y 1a
b
+
=与
222
2
y x 1b
c
+
=离心率的大小.
答案解析
1.【解析】选D.由题意知c e a 42
=
==
.
2.【解析】选A ．由题意知c=3,c 1a
2
=，则a=6，
∴b 2
=a 2
-c 2
=27，∴椭圆方程为
2
2
x
y
136
27
+
=.
3.【解析】选C.由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则
2
2
2
2
2
1c b c b a c e 2
?=-?＜＜＜
，
又e ∈(0,1)，所以e ∈(0,2
).
4.【解析】选A.由1c e 2
a
=
=
得a=2c ，，所以12
b x x a
2
+==－
－
，
12
c 1x x a
2
=-=-
,
所以点P(x 1,x 2)到圆心（0，0）的距离为
=
=
=
所以点P 在圆内，选A.
5.【解析】设椭圆的右焦点F （c,0），长轴端点分别为（-a,0）、(a,0)， 则|PF|=
1
2
（a+c+a-c ）=a ，故点P 为椭圆的短轴端点，即P （).
答案:（
6.【解析】
∵
b 1a 2
=
=
=
，
∴a=2b ．若椭圆的焦点在x 轴上，则
，
a=y 轴上，
则
b=
2
．∴椭圆的标准方程是
2
2
x
y
112
3
+
=或
2
2
y
x
133
4
+
=．
答案：
2
2
x
y
112
3
+
=或
2
2
y
x
133
4
+
=
独具【误区警示】解答本题易误认为椭圆的焦点在x 轴上，从而导致漏解． 7.【解析】由椭圆的焦点在x 轴上， 可设椭圆的标准方程为
222
2
x y 1a
b
+
= (a>b>0),
依题意得2222b 8c 3
e a 5a b c
=??
?==?
??=+?,解得a 5
b 4=??=?
.
∴所求椭圆的标准方程为
2
2
x
y
125
16
+
=.
8.【解析】如图，可知A （0,b ）， B （0,-b ），F 2（c,0）.
∴2AF =(c,-b)，2
BF
=(c,b).
∵AF 2⊥BF 2,
∴2AF 〃2
BF =0,
∴c 2-b 2=0, ∴b 2=c 2.
又由
a-c=,
得22222b c a c a b c ?=??-=-??=+??
解得a 2=48,b 2=24, ∴所求椭圆的方程为
2
2
x
y
148
24
+
=.
独具【方法技巧】特征三角形的妙用 解答本题的关键是注意
a-c=-和求得
b=c ，其中求b=c 时除用上述解法
之外，还可以利用三角形的几何特征求得，具体解法如下： 在椭圆
222
2
x y 1a
b
+
=中，
∵AF 2⊥BF 2,OF 2⊥AB,AO=OB, ∴△ABF 2是等腰直角三角形， 即∠F 2AO=45°, ∴OA=OF 2,即b=c ， ∵a 2=b 2+c 2=2c 2, ∴a=2c, 由已知
a-c=
c c -==∴a 2
2=48,b 2=c 2=24，
∴所求椭圆的方程为2
2
x
y
148
24
+
=.
【挑战能力】 【解析】(1)由题意知
F 0（c,0）,F 1(0,2(0,
由题意知|F 0F 2
|F 1F 2=1.
于是2
2
2
2
37c
a b c 4
4
==+=
，.
∴所求“果圆”的方程为
2
2
4x y 17
+= (x ≥0)，2
2
4y x 13
+
= (x ≤0).
（2）将x=c 代入方程
222
2
x y 1a
b
+
=得P 点纵坐标y=
2
b
a
.
∵△A 1F 0P 与△OF 0F 2的面积之比为4∶1， 又10
22
A F P
1b b c S 2c 2a a
=??= ,
0O F F 21S c 2=
??
∴
2
b
a
=
又a 2=b 2+c 2,∴b 4=4(b 4-c 4)，
2
2222
2
c a b c 2
2
=
=+=
，.
设椭圆222
2
x y 1a
b
+
=,
222
2
y x 1b
c
+
=的离心率分别为
e 1,e 2,
则22
1
2
c e
2a
=
=
=-
,
(22
2
2
2
b c 1
e 12b
2
2
-=
=-
=
-.
显然e 12＞e 22，即e 1＞e 2.
小学数学课后作业设计的创新_数学论文
小学数学课后作业设计的创新_数学论文 目前，在中国的应试教育环境下，孩子的学习从小学开始就已经是繁重而又疲倦的。许许多多的小学生开始抱怨学习累，甚至讨厌排斥学习，而导致这种现象发生的原因并不是老师教得不好，更重要的原因是作业的繁重。 关键词：小学数学；课后作业；创新 小学应该是孩子最无忧无虑的时光，他们需要时间和朋友玩耍，需要时间去观察这个社会并适应这个社会，家长也需要时间和孩子沟通交流来增进关系。但是这一切都被课后作业所阻挡了。从小学的学习就有语文、数学、英语等科目，每一门科目在放学之前都会布置半个小时甚至是一个小时的作业，尤其是数学这一门学科，作业往往是最多的，也是最难的。因为这些必须完成的作业束缚了孩子的脚步，导致他们只能待在家里做作业，为了攻破难题抓耳挠腮。这样的学习方式并不值得提倡，也是妨碍孩子成长的重要原因。 一、小学数学课后作业过多的危害 许多小学生最害怕的科目就是数学了，因为数学这一门学科对逻辑思维能力要求是极高的，但是孩子在小学阶段才是刚开始发展逻辑思维的时期，所以刚开始接触数学可能很难跟得上老师的思维。所以他们容易形成对数学这一学科的恐惧心理。因此，为了不影响之后的数学学习，小学阶段最重要的任务就是要让孩子对数学学习放下戒备，转而爱上它。但是许多老师的做法却是加大课后作业的量，这些老师只关心孩子的成绩，对孩子的成长这一方面的关心少之又少。在他们看来孩子不停地做练习就可以取得一个较好的成绩，但事实确实是这样吗？许多课后作业中包含了大部分的基础练习和中等难度的题目，加上小部分能力提升的题目。其中大部分的基础练习是孩子可以轻松完成的，这样大量的练习并不能起到什么效果，反之会让孩子在反复的练习中失去对学习的乐趣。小部分的能力提升题目中的难度较高，若是孩子一直做不出来的话容易对数学失去信心，对以后的学习也有较大的影响。尤其刚刚进入一年级的小学生，他们对于概念性的东西还很模糊，所以在刚刚进入小学的时候，他们非常不适应当前的学习环境和课堂环境，这时候老师在教学过程中和课下布置作业的时候多费心思，既要循序渐进，还要留一些难度小，但是又能够引起孩子学习兴趣的作业来，以便让更多的孩子能够尽快地适应小学的学习环境。 二、小学数学课后作业的创新 （一）作业量 在我看来，小学数学教师一定要把握好小学数学的课后作业量，可以少但绝不能过多。总有一些老师希望自己的作业量多于其他科目，所以疯狂地布置作业。他们认为孩子用更多的时间来做自己的学科作业就会花费更多的时间来学习自己的学科，这样的想法是有问题的。一个孩子是否能够学习好一门学科，取决的不是我们硬性地对孩子的灌输，而是先有兴趣，激发自主学习的激情，往往高于被迫地去学习，如果让一个孩子产生了对一门学科的厌恶，那么他就很难会有一个好的成绩了。而布置课后作业的目的是在于希望孩子在课后也能对当天的学习内容进行复习和巩固，并对明天的学习内容进行预习。所以作业量过多只会加重孩子的压力，让他们厌倦甚至是厌恶数学学习。作为小学时代的孩子，还是玩心较重的儿童时代，他们对于玩的渴望还是很大的，如果因我们布置的作业量过多导致他们没有时间与朋友玩耍，他们就会渐渐失去对学习的兴趣，这样不仅会阻碍孩子的身心发展，还会让孩子的学习成绩一落千丈，所以作业量一定要适中，半个小时即可。 （二）作业难度 如同之前所说，作业往往是由大部分的简单题和中等难度的题目加上小部分的难题所构成的，
微积分课后题答案第九章习题详解
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
小学数学实践性作业设计举例
小学数学实践性作业设计举例 （1）游戏性的作业。小学生都有爱玩的天性，因此可以在游戏中进行作业，通过游戏来激发学生的求知欲望，进而达到传授学生知识的目的。比如，在教学“认识角”这一课时，让学生观察教室中都有哪些角，然后采取抢答的方式回答。这时学生就开始仔细观察，并争先恐后地抢答。然后笔者又组织学生进行“摆一摆”的游戏，把学生分成几个小组，给每个小组发一盒火柴，让学生发挥想象力，用火柴棒摆出不同的图形，并数出图形中角的个数。因每个小组摆出的图形不同，所以每个小组角的个数也就不同。在教学中进行这样的趣味游戏作业，使得数学计算题不再枯燥，还提高了学生学习数学的兴趣和积极性。 （2）生活化的作业。学习数学的目的就是用它来解决实际生活中的问题，因此为了更好地培养学生的实践能力，趣味作业还可以进行生活化的设计，让学生体验到用所学知识解决实际问题的乐趣。比如，学习了重量单位后，可以让学生回家后先掂一掂袋装食品的重量，然后再看包装上面所写的重量，让学生对重量单位有一个实际的感受。在学习了计算面积和体积之后，可以布置作业让学生回家后用尺子量一量家中的长方体物品，然后算出它们每个面的面积和整体的体积，这样既培养了学生的动手能力，又培养了学生的思
考计算能力，调动了学生完成家庭作业的积极性，也给学生学习数学知识带来了无穷乐趣。 （3）合作性的作业。培养学生的交流合作能力是素质教育的重要任务，也是未来社会要求人才所具备的重要素质之一。新课程倡导学生之间进行合作学习，因此教师要设计一些合作性的作业来培养学生的合作能力。比如，在学习了计数方式和统计知识之后，教师可以组织学生对校园门口的马路在某一时间段内过往的车辆进行数量统计，每个小组中的几个人可以分工合作，有的记录小轿车的数量，有的记录自行车的数量，有的记录货车的数量等，然后用写“正”字的方法进行统计，并绘制出统计条形图。通过学生之间的互相合作，不但准确迅速地完成了作业，巩固了课堂所学内容，还培养了学生的合作学习能力，增进了学生之间的友谊。 （4）综合性的作业。课堂中传授的知识往往比较单一，且各个知识点都是分开进行教学的，没有将学生所学的知识综合化。但是在实际生活中，遇到的问题往往是复杂的，且需要各个知识点的综合运用才能解决，所以为了培养学生分析问题的能力和发散性思维，教师在进行作业设计时要综合化。
小学数学作业规范要求
小学数学作业规范要求公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
四（1）班数学学习行为规范一、预习 预习是学习的首要环节，是进行课前自学的极好形式。同时，预习能使课堂学习更有针对与实效性。按照学习进度主动预习，坚持“不动笔墨不读书”，对教材用铅笔进行“圈点划注”，记下自己思考的要点以及自己的理解，对疑难不懂处做上记号，准备课堂交流。如果发现新课所需的某些旧知识欠缺或遗忘，应及时查阅、补习。 二、上课 上课是学好数学的中心环节。上课铃响前进入教室，准备好数学课本、课堂笔记本、文具盒，并整齐地放置课桌左上方，安静地等待上课。上课坐姿规范，精神饱满，不做小动作，不干扰别人学习。课堂上注意力集中，积极参与课堂活动，紧跟老师的讲解、演示，耐心听取同学的交流发言，认真记好课堂笔记，针对老师在课堂上提出的问题，只要自己能够解答，都要积极举手争取发言，凡是不举手的同学，老师会认为是在开小差或是对此问题不懂。 三、作业 作业是课堂学习的延续，是巩固知识、发展能力、检查评价学习效果的重要手段。 1、认真、独立、按时、足量完成书面作业，书写工整、有速度，页面整洁，尽量少涂改，养成良好的作业习惯。
2、做新作业前，认真阅读老师对上一次作业的批改评价，及时搜集、订正的题目，定期翻阅。 3、作业时，注意力集中，不做与作业无关的事，作业做完养成复查习惯。 4、作业中遇到困难，难以独立完成时，要主动请教他人，不抄袭同学作业。 5、书面作业格式要规范。在书上答题用铅笔书写，在大小练习册与作业本上用钢笔或水笔书写。连线、画图一般用铅笔。作业的订正要用铅笔，以便于老师第二次批改。 6、注意用眼卫生。不在强光或弱光下作业，作业本要放正，握笔姿势要正确，要做到“三个一”（握笔处离笔尖一寸，身体离桌一拳，眼睛离书本一尺。） 四、复习 复习是课堂学习的必要补充，是整理知识、巩固知识、发展能力的重要环节。复习要及时，当天的学习内容当天复习，做到堂堂清、天天清、单元清。能针对自己的实际，做到对当天的学习要点进行尝试性的回忆，注重整体消化，记忆要点。假期不忘复习。利用双休日时间，对一周所学内容进行回顾，并把练习册与补充习题上做错的题目，先抄写在错题集上，然后再独立做一遍。
(完整版)小学数学课堂练习设计有效性的研究
《小学数学课堂练习设计有效性的研究》课题中期总结 蟠龙小学陈健成 一、研究背景及意义 在目前小学数学课堂教学中普遍存在着这样一些现象： （1）教与学中的矛盾比较突出，一方面数学很有用，另一方面学了数学不会用； （2）教师无视学生之间的能力差异，用拉平取齐的方法要求两头学生向中等生看齐，致使成绩好的学生“吃不饱”而原地踏步，学习成绩差的学生“吃不了”而苦恼厌学； （3）学生学习处于被动状态且负担过重，主体意识和参与能力不强，独创精神和负责态度欠缺，以致很多学生在数学学习上感到困难，富有创造力的数学优秀学生难以脱颖而出。 我们的教学理念是“人人学有价值的数学，人人都获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。”同时，我们的《小学数学新课程标准》指出：“数学教学应该从学生的生活经验和已有知识背景出发，向他们提供充足的从事数学活动和交流的机会，帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，同时获得广泛数学活动经验”。然而，在以往的小学数学教学中，教师非常重视数学新课的设计，对课堂练习重视的不够，而学生在平时的课堂上一般对新课的基础知识掌握得很好，能否灵活运用基础知识解决问题就不能预测了，针对这个问题对练习的研究尤为重要。 二、过程设计 我校为了推进我校科研科研工作，参加了白云区《小学数学课堂教学分层指导的有效性研究》课题的子课题《小学数学课堂练习题组设计的有效性研究》。在学校课题启动后，我们根据低中高年级成立了课题小组，认真学习了区学校的总课题方案，对照新的课程理念，经过全面的课堂教学分析，反复了思考，最后确立了《小学数学课堂练习的研究》子课题。为了顺利有效地开展研究，制定了严格的管理制度，并进行了具体分工。课题组成员通力合作，积极搜集资料，查找理论依据。由董国洪校长拟稿，制定了课题方案，经过课题组成员
2019年全员培训小学数学实践作业提交-教学设计
《三角形的面积》教学设计 教学内容：冀教版《数学》五年级上册第八单元第二课时，第98、99页。 课标分析：三角形面积的计算方法是小学阶段学习几何知识的重要内容，也是学生今后学习的重要基础。《数学课程标准》中明确指出：利用方格纸或割补等方法，探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式。为落实这一目标，这部分教材均是以探索活动的形式出现的。学生在学习三角形面积的计算方法之前,已经亲身经历了平行四边形面积计算公式的推导过程，当学生亲身经历了三角形面积计算公式的推导过程时，不仅可以借鉴前面“转化”的思想，而且为今后逐渐形成较强的探索能力打下较为扎实的基础。新课标不仅对学生的认知发展水平提出了要求，同时也对学生学习过程、方法、情感、态度、价值观方面的发展也提出了要求。新理念注重学生的学，强调学生学习的过程与方法，这是引导学生学会学习的关键。如果我们将数学公式的教学仅仅看成是一般数学知识的传授，那么它就是一个僵死的教条，只有发现了数学的思想方法和精神实质，才能演绎出生动结论。 教材分析： 三角形的面积是《多边形的面积计算》中的第二课时，是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的，是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础，教材首先由怎样计算三角形警示标志的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题，接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路，把三角形也转化成学过的图形，通过学生动手操作和探索，推导出三角形面积计算公式，最后用字母表示出面积计算公式，这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的，另一方面有助于发展学生的空间观念。也为学生进一步探索并掌握其他平面图形的面积计算方法打下基础。本课内容编排的最大特点是加强了动手操作，让学生在动手实践中发现各种图形的内在联系，体会三角形面积计算的一般策略。让学生经历实际操作、建立猜想、归纳发现和抽象出公式的过程，培养推理能力。这样的编排使学生理解三角形面积公式的来龙去脉，锻炼数学推理能力，从而感受数学方法的内在魅力。 学生分析：
小学数学课后开放性作业设计案例
小学数学课后开放性作业设计案例 【案例一】“套餐”型作业。根据不同层次的学生可将作业难易程度分为A 套餐、B套餐、C套餐三个层次。思维层次一般、模仿练习为A套餐，变式练习的为B套餐，发展性、拓展性练习的为C套餐，学生可以根据自己的认知水平，思维水平进行自行选择。因为选择的难度系数不一样，也为了在评价中体现其公平性，完成A套餐的得到的是一星，B套餐的是二星，C套餐的是三星。 教学“年、月、日”后，我设计了以下三类作业，供学生自选完成。 A套餐、根据所学知识，完成一组比较基础的填空题。 （1）一年有（）个月，其中大月有（）个月，每月有（）天，小月有（）个月，每月有（）天。 B套餐、制作月历：请根据所学知识，制作今年二月、三月、四月、七月、九月的月历。(教师提供每月第一天为星期几。) C套餐、查找有关年、月、日的资料，了解年、月、日的来源，了解平年、闰年的来历完成一张数学知识小报。 【案例二】“自助餐”型作业。根据学生之间的差异，设计些具有不同的解决方式和结果的练习题，以满足不同层次的学生的需要。如：在学习乘法后，可提供给学生某花店的鲜花价格表：
让学生根据此信息进行提问，并自行解答。 【反思】 1、孔子曰；“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”，如果学生产生兴趣，其作业的热情必然会高涨，作业效果必然会显著提高，因此，教师在设计作业时，应充分考虑作业的趣味性、开放性。布置这样的家庭作业有利于唤起低年级学生学习的兴趣。有思维的开放性作业题型要做到“活一点”，“新一点”，让作业充满生机，内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的……，以激发学生的作业兴趣。 2、学生是学习数学的主人，他们应享有学习的主动权。在作业设计中应尽可能地给学生提供自主探究，独立获取新知的机会，。建立开放式的作业，让学生自主选择，尽可能多的让学生体验尝试成功、探索与发现的快乐，在兴之所至中产生超越“障碍”的力量，愉快地完成作业。 事实证明，这样的作业既兼顾了学生的兴趣、爱好、同时也考虑到学生能力的差异。虽然学生做同一作业，却显示出不同的个性，虽然做不同的作业但达到了同一目的，这样，每一位学生在自选作业的同时体验到学习的快乐，得到了锻炼和发展。
《小学数学实践性作业设计的研究》
《小学数学实践性作业设计的研究》 实施方案 昌乐特师附属小学 于怀美
一、问题的提出 在日常教学中，数学作业的设计往往局限于再现式的范畴内，我们习惯布置一些形式单一、陈旧、缺乏应用知识的计算题和应用题，所以造成学生仍停留在以“练”为主的机械操作式的作业模式中。这种作业形式不但深深的扼杀了学生的学习积极性，而且使学生失去了学习数学的兴趣，导致作业的实效性差，不利于学生数学素养和综合素质的培养。由于我们在布置课外作业时只从本身意志出发，而忽略了学生的心理需求，课外作业形式单调，书面作业似乎是其唯一的形式，毫无新鲜感可言，更谈不上趣味性，致使众多小学生逐渐形成不良的作业习惯。 那么怎样使得课外作业也能与人的个性发展相协调，与时代发展相吻合，实现从原先的一种“负担”向一种自身需求并能促进自身发展的转变呢？为了提高学生学习能力，培养和锻炼学生独立获取知识和信息的能力，分析和解决问题的能力，培养具有创新思维的杰出人才，我尝试改变了以往作业的形式，并把其中的一部分设计为专项作业——实践性作业。 二、课题的界定和依据 （一）课题的界定 数学实践性作业是让学生带着数学的问题在现实生活中自主实践、自主探究，从中开发学生的创新潜能，促进学生数学的应用意识，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
（二）课题的依据 新课程明确提出：“有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。重视课程内容与现实生活的联系，增选在现代生活中广泛应用的内容，开发实践应用环节，加强实验和各类实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，提高实际操作能力。 数学实践性作业正好符合于上述要素，它是教师根据教材内容和学生的身心特点，结合生活实际，精心设计的以实践性、教育性、创造性的学生主体活动为主要形式，以学生主动参与，独立操作，积极探索为主要特征，以启迪思维、培养能力，促使学生素质全面发展为目的的一种作业形式。 三、课题研究的目标、内容及方法 (一)研究目标 （1）开展“小学数学实践性作业设计”的专题研究，是让学生在真实的活动场景中“用数学”，使数学课后作业真正建立在学生自主活动的基础之上。 （2）通过多方面的作业设计和探索，让学生快乐地学习数学，掌握数学知识，更重要的是获得数学方法与技能、发展学生智力、培养创新精神和实践能力。 (二)课题研究的内容 数学实践性作业可以分为：调查性实践作业、操作性实践作业、探究性实践作业、应用性实践作业。
小学数学三年级下册课后作业完整版
1.1认识东南西北(一) 班级：姓名：座号：等级： 课内练习 一、书P5第1—2题。(口答) 二、看图写方向。 三、看图回答。 1. 学校的东面是( )，南面是( ),西面是( ),北面是( )。 2. 体育馆在学校的（）面，图书馆在电影院的（）面。 3. 图书馆在学校的（）面，学校在图书馆的（）面。（比一比，有什么不同？）
课外练习 一、想一想、填一填。 1. 2. 早晨，当你面对太阳时，你的左面是 ( )面，你的右面是( )面。 如果时针所指的方向是东面，那么半 小时后，分针所指方向是( )面。 3. 小明的家在学校的北面，小军家的位置和小明家刚好相反，小军家在学校的( )。 ☆4. 小红面向东方，她向左转，这时她面向( )。面向南方，向右转后就面向( )。 二、实践题。 备注：标有☆的为选做题，其余为必做题。 作业预计完成时间：10-15分钟实际完成时间：
1.2认识东北、东南、西北、西南(一) 班级：姓名：座号：等级： 课内练习 一、书P9第1、2题。(口答) 二、书P9第3题、P10第6、7题。(写在书上) 三、填空。 1. (1)A区在运动场的面。 (2)B区在运动场的面。 (3)E区在运动场的面。 (4)H区在运动场的面。 (5)运动场的东北面是区。 (6)运动场的西南面是区。 课外练习 一、想一想、填一填。
1. 小兔家在大象家的面，大象家在山羊家的面。 2. 小猴家在小鹿家的面，小狗家在小猴家的面。 3. 大象家的东面是家，东北面是家。 4. 小猫要去小兔家，可先向面走到大象家，再向面走。 5. 小猴向面走到大象家后，再向面走可到小熊家。 二、根据描述，标方向，写名字。 备注：标有☆的为选做题，其余为必做题。 作业预计完成时间：10-15分钟实际完成时间：
小学数学课后作业的合理设计
小学数学课后作业的合理设计[摘要] 小学数学课后作业的布置对小学生的数学学习质量有着重要的影响。科学合理的课后作业对帮助学生巩固课堂所学知识、促进学生发散性思维都有积极的促进作用。但当前小学数学课后作业的布置存在很多问题，比如难度把握不当、作业量大、形式呆板僵化等，对学生数学能力的提高造成消极影响。为了促进学生数学素养的提高，我们需要采取有效措施解决好这些问题，为学生的全面发展打好坚实的基础。 [关键词] 小学数学；课后作业；合理设计 科学合理的小学数学课后作业可以有效地帮助学生掌握所学知识，激发学生的学习兴趣，活跃学生的思维，对学生数学成绩的提高和学习能力的改善能够起到积极的促进作用。但是当前小学数学课后作业的效果并不理想，笔者认为这主要是因为教师受传统教学思想和教学模式的影响比较大，布置课后作业不是很合理。随着课程改革的不断深入和发展，小学数学教师必须解决好这一问题，为学生的全面发展和综合素养的提高做出积极的努力。 一、当前小学数学课后作业布置存在的问题 1.难度统一，针对性不强 当前小学数学课后作业的布置存在的最大问题就是
难度统一，针对性不强。在一个班级里面必然会有成绩比较好的学生和成绩相对较差的学生。这些学生的数学能力不同，因此如果布置难度一样的作业可能会让成绩好的觉得简单，得不到启发，因此轻视作业。而成绩差的学生可能会做得很吃力，因此产生畏难情绪，甚至丧失对数学学习的兴趣。而传统的小学数学课后作业布置通常是陷入了这样的尴尬中，这就使得成绩比较差的学生在完成作业的时候需要耗费大量的时间和精力，效果还不理想，而成绩比较好的学生能够很轻松地完成作业，却没有收获。因此，难度统一，针对性不强的数学课后作业严重制约了学生的发展。 2.作业形式呆板僵化 受到传统教学思想和教学模式的影响，当前小学数学课后作业布置的形式十分呆板僵化。这主要体现在两方面：首先，数学课后作业的布置范围窄，可选择性不强；其次，课后作业条条框框太多，让学生无法充分发挥潜能。当前数学作业的布置过于保守，基本上作业的全部内容都是学生已经学过的内容，因此学生通过课后作业也顶多能够做到“温故”。但实际上，对于提高学生数学能力来说，仅仅“温故”是不够的，教师还应该让学生能够“知新”，让学生在复习已经学到的知识的时候还能够发现新的知识。另外，当前布置的课后作业往往只需要学生找到一种解决办法就可以了，其实这种要求对学生的思维发展会产生不利的影响。一种解
中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/1e15876959.html, 关于小学数学课后作业的思考 作者：华庆华 来源：《内蒙古教育·基教版》2013年第12期 作业是课堂学习效果反馈的一个最直接的途径，适当的课后作业不但有利于学生们及时复习，更有利于老师把握学生的学习情况，以便于对接下来的教学工作有一个整体掌控。不过，课后作业的布置是一个需要我们仔细推敲的工作，就小学数学的课后作业来说，我的体会颇深。 一、层次分明，各有所获 课后作业是学生在离开老师辅导的情况下独立完成的问题，所以我们要考虑到一个原则，那就是机械型的题目能少做就不要多做，能不做就不做。布置作业还必须因人而异，不能一刀切。新课程观注重以人为本、学习方式多样性的原则，让学生在数学上都有不同的发展。对于基础弱的同学而言，数学家庭作业多布置一些基础性的题目，如简单面积体积计算等，然后慢慢地加深。对学习中等的学生在基础性的题目上增加一些需要“稍转一转”的题目。优秀的学生，基础性题目掌握较熟练，可以相对少做一点，多加一些难度高的题目，但不宜过多。比如三角形这个知识点的课后作业，我们可以分三个层次布置，第一层次要完成关于三角形周长、面积等简单的计算，一般是一些已知三边长度、底边和高的问题；第二个层次可以是根据周长和面积计算三边或者高的长度；第三个层次可以涉及到三角形周长或者面积大小比较的问题。三个层次的题目可以让学生分为必做题、选做题自主安排，这样确保学困生有题做，中等生有台阶登，优等生有难题提升。 二、游戏中做，活动中学 课后作业的趣味性一定要有足够的保证，否则时间一长，学生们会觉得厌倦，要不敷衍了事，要不应付差事。考虑到小学生天真活泼特别爱做游戏，游戏式作业将所学的知识蕴涵于游戏中，是学生最喜欢的数学作业，教学完“四则混合运算”后，可以设计“亲自对话”的游戏，让学生与家长玩，这样不仅使学生感觉到数学作业是一个游戏的天地，也增进了亲子情感。我们还可以设置一些走进社会的活动性课后作业，让学生们在与社会的接触中增长知识，这种作业主要是指通过学生进行社会调查，用数学的眼光分析调查所得资料，从而进一步认识我们周围的世界，提出解决生活中实际问题的建议性的方案。通过作业，把学生引向课外，拓宽知识来源，给课堂注入新的活力。比如学完了“百分数”知识，我们可以让学生们调查家人或者亲戚朋友们各年龄段人数占调查人数的百分比，或者调查就业人数的百分比。按照游戏中做、活动中学的原则，我们可以设计与实施适合学生天性的作业，使作业变得有应用性。让处于不同水平、不同层次的学生都体验到数学学习的愉悦。面对这样“多彩的”作业，他们会乐意设计出一张张生动有趣的数学图画、一份份充满童趣和个性的数学作业，数学学习也就会洋溢生命的气息。 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 《线上教育下的小学数学课后作业的有效性探究》 ——以小学低年级为例 2020年，一晃就过去了三分之一，线上教育如火如荼地进行，线上教育的实施不仅是孩子学习习惯和耐性的考验，更是对教师综合素质的一次考验，更是对中国教育的一次变革。作为线上教育的一员，如何提高线上教育的质量成为教师们开展教学的重要的问题？结合钉钉直播、视频录播，线上教育质量的保证更加关注教学反馈，而课后作业是我们把握教学反馈的重要抓手。 由于学生在家学习的时间大幅度延长，能有更多的时间去探索学习，与传统作业相比，线上作业课后作业需要具有更强的针对性、开放性、趣味性、体验性。结合一年级小学生的年龄特点和学习心理发展状态，线上课后作业从其内容、形式、要求和反馈四个方面进行设计，以保证课后作业的有效性，从而提高线上教育的质量。 首先，从内容上，线上课后作业布置应遵循少而精、层次性、贴合生活的原则。少而精强调作业的质量，根据每天教学任务和知识点，设计相应的书写作业、口头作业，保证知识点和练习照应。书面作业多设计一些综合性强的题目，精选习题，每天不超过5道题。减少不必要的重复练习，提高习题的质量。如今天学习20以内退位减法，要求学生理解计算道理，掌握计算方法，作业设计以基础口算、计算过程填写、简单计算生活运用为主，从题量上，10道口算，2道过程填写，1道问题应用，避免因大量重复练习而让学生厌倦。口头作业鼓励学生多表达，结合小棒讲计算过程，选择自己喜欢的方式讲述每天所学，充分发挥学生手、口、脑、眼多种感官，孩子在动手写、动口说、动手做的过程中加强自我知识体系的建构。层次性强调作业的分层，根据学生发展的差异，布置开放性、不同层次的作业，选做作业，给以学生自我潜能发挥的更多机会和空间。如每天“我是小讲师”任务，学生自己根据学习内容出一道题，猜数字、解决问题等都是可以自己决定难度高低的作业。贴合生活强调知识的应用性，学生能在完成作业中感受到数学与生活的密切联系，激发孩子学习数学的积极性和热情。 其次，从形式上，线上课后作业形式可以更加丰富多样，孩子家庭学习时间充分，能更大限度地进行探究学习。当然，注意探究学习不是额外给学生布置一些为了探究而探究的作业。结合每天的学习任务，作业分成基础作业、实践作业、游戏作业。基础作业是写的形式进行，针对每天知识点设置对应的习题，依然遵循少而精的原则。实践作业以说、画、动手操作、生活体验等多种形式进行，具有较强的生活性，学生在语言表达、想象绘画、动手操作、实地感受中体会数学在生活中的运用，真正地学数学、用数学，同时，多种形式的作业能极大地激发孩子学习的积极性。以“认识人民币”为例，布置“10元能买什么东西的购物作业”，孩子亲身体验购物过程，积累数学生活经验。人民币单元学习结束之际，我们又为学生布置了“记录我的购物经历”作业，可以画出数学小报，也可以写成数学日记，甚至创作出数学购物绘本故事。孩子们积极性非常高，用自己喜欢的方式完成该项作业，因此，不局限于书面作业，设计多种形式的作业是必要的，也是有效的。 第三，从要求上，线上课后作业应进一步明确作业要求。孩子的学习习惯从小培养，才能为之后的学习打下坚实的基础。结合上学期考试、作业、学生学习发展情况，提出以下几点作业要求： 谈谈小学数学课外作业的布置 沉重的书包，繁重的作业，高度的近视已成了现代小学生们形影不离的朋友。而知识的经济，竞争的社会，发展中的中国又在渴望着新一代的接班人。如何解决这一矛盾，我们不但要关注课堂，更要关注课外作业的布置。小学数学课外作业是数学课堂教学的延伸和继续，是课堂内容的提升和综合,是学科知识的应用和迁移。合理的数学课外作业的设计有利于学生更好得掌握知识和技能，进而使学生在思维、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展，并形成乐于探究的态度，从而全面实现数学教育目标。 一、新课程背景下数学作业的特点 在实施新课程背景下，数学课外作业设计要遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发。具体说来，数学课外作业有以下特点：生活性：数学课作业应将触角伸向小学生生活的每一个角落，作业设计可以与儿童的家庭生活、社会生活及其他各科的学习活动结合起来，构成一个和谐的学习整体。学生可以选择适合于自己的作业，以便根据自己的情况去完成，更能体验成功的乐趣。这些作业，涉及阅读、收集整理、手工制作等多项训练，且富有一定层次性。让具有不同水平、不同方法、不同个性的学生都有机会表达自己的数学思想。 综合性：数学是“一种普遍适用的技术”它的这一性质给其作业设计提供了更为广阔的空间，可以提供机会，引导学生将书本知识应用到实际问题解决中，同时引导学生建构知识体系的系统性、综合性，形成知识的网络系统。在学习百分数应用后，教师发动学生拓展设计这样的练习：配制含糖20%的糖水，可以怎样解？这是数学问题，它是科学问题还是化学问题已不再重要，这正是综合的体现。 趣味性：趣味性的作业设计，有助于学生的求知兴趣持续发展，以至于延伸课堂空间，使学生研究、探讨数学的潜力在课后得以充分发掘。特别是对于小学生而言，趣味性的作业更是让他们学习数学的过程成为了一个生动活泼的、主动的学习过程。如教学《分一分》后，让学生回家以后，把自己的玩具拿出来，用课上学到的方法，给它们分一分类，看一看有几种分法，并说一说自己是用什 《小学数学课堂教学中课后作业的布置》开题报告 指导教师：杨传达 姓名：周苹班级：11小教2 学号：242 一、研究背景 上世纪80年代中期以来，国家对中小学作业现状一直非常关心和重视。到了上世纪90年代中期，减轻学生过重的学业负担已经成了全社会的共识。在这样的背景下，各地陆续对包括作业在内的课业负担进行了大规模的调查，发现学生的学业负担比较重，有些地方小学生的课后作业量普遍超标。 和西方发达国家相比，我国中小学生的课后作业一直是偏多的。目前我国小学生一天的家庭作业量相当于美国小学生的一周作业量，甚至还多得多。在教学科目不断增加的情况下，课后作业被当做学校节省工作量的手段。讲授在课堂里进行，实践或应用部分推到课后进行。这样做，使学校能够把所有的时间集中于教学，课后作业成了学校课程的延伸这种做法的不良后果是降低了实践与练习在整个学习过程中的地位。另一种趋势是把作业当作管理的手段。上课若不认真听，课后作业就做不出。课后作业成了教育学生自觉遵守纪律的工具。① 二、研究目的与意义： （一）研究目的 作业是学校教学工作的一个重要组成部分，是课堂教学的延伸，是学生巩固课堂知识的重要环节，应体现学生学习的主体地位，且新课程改革倡导“以学生为本、减负增效”。但是，现在不少学生抱怨总也太多太难。不少教师认为同种类型的题目多做一些，这样记得更牢固，熟能生巧；也有些教师认为不同类型的题目多做一些总是好的，见多识广；也有些教师认为让学生多做些作业总比让学生打打闹闹或看电视玩电脑好。 也有些教师布置的作业比较空洞无味，学生对这类作业不感兴趣，没有多大的动机完成它，作业的有效性就比较低，达不到教师预期的效果。现阶段，小学数学课后作业多以书面作业为主，形式比较单一，不能培养学生的发散创新思维。 基于以上问题，引发了我对小学数学课后作业的思考。希望通过研究能够找到现阶段小学数学教学过程中课后作业布置的一些问题，同时发现一些闪光点，使得课后作业的布置能够更有效，从而提高教学效率。 （二）研究意义 1．研究的理论意义 从已有研究看,作业设计还未成为学术领域的专门术语,其研究的成果多为一线教师的经验摸索和实践总结,研究力度不够,理论高度不足,本研究在立足于 ①施良方，崔允漷.教学理论：课堂教学的远离、策略与研究[M].华东师大出版社，1999年8月，第362 页 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ; 解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：高等数学上复旦第三版 课后习题答案
关于小学数学课后作业的思考
微积分课后题答案习题详解
《线上教育下的小学数学课后作业的有效性探究》
谈谈小学数学课外作业的布置
小学数学课后作业的布置
高等数学下-复旦大学出版-习题十答案详解